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专题13 抛物线与压轴题(2)备战2020年中考数学典例精做题集(教师版)

1、 1 二、抛物线与等腰三角形二、抛物线与等腰三角形 4如图,直线与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C,对称轴为的抛物线经过 B、C 两点,与 x 轴的另一个交点为 A,顶点为 D、点 P 是该抛物线上的一个动点,过点 P 作轴于点 E,分别交线段 BD、BC 于点 F、G,设点 P 的横坐标为 求该抛物线所对应的函数关系式及顶点 D 的坐标; 求证:; 当为等腰三角形时,求 t 的值 【答案】 ,D 坐标为;证明见解析;证明见解析;t 的值为 或 分三种情况讨论: 若则; 若则; 若则; 分别解方程可得. 解:直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为, 抛物线的对称轴为, 2 点 A 坐标为 设

2、所求抛物线的函数关系式为, 把点代入,得, 解得 所求抛物线的函数关系式为:,即 该抛物线的顶点 D 的坐标为 , 易得直线 DB 所对应的函数关系式为 设点 P 的坐标为,则, , ,即 过点 D 作轴,垂足为点 H,如图 分三种情况讨论: 若则, 3 整理得, 解得,舍去 若则, 整理得, 解得, , 这种情况不存在 5如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx2 与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C(0,2) ,OB=4OA,tanBCO=2 (1)求 A、B 两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)点 M、N 分别是线段 BC、AB

3、 上的动点,点 M 从点 B 出发以每秒个单位的速度向点 C 运动, 同时点 N 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度向点 B 运动,当点 M、N 中的一点到达终点时,两点同时停止 运动 过点 M 作 MPx 轴于点 E, 交抛物线于点 P 设点 M、 点 N 的运动时间为 t (s) , 当 t 为多少时, PNE 是等腰三角形? 4 【答案】 (1)A(1,0) ; (2)y= x2 x2; (3)当 t=1 时,PNE 是等腰三角形 【解析】(1) 由 C (0, 2) 知 OC=2, 根据 tanBCO=2 得 OB=4, 据此得出点 B 坐标, 再由 OB=4OA 可得点 A 坐标

4、; (2)将点 A、B 坐标代入抛物线解析式求得 a、b 的值,从而得出答案; (3)由题意知 AN=2t、BM=t,根据 tanBME=tanBCO=2 知=,求得 OE=OBBE=4t, 从而得出 PE= (4t)2+ (4t)+2,再分点 N 在点 E 左侧和右侧两种情况,表示出 NE 的长,利用 NE=PE 列方程求解可得答案 (2)将点 A(1,0) 、B(4,0)代入 y=ax2+bx2, 得:, 解得:, 抛物线解析式为 y= x2 x2; (3)设点 M、点 N 的运动时间为 t(s) ,则 AN=2t、BM=t, PEx 轴, PEOC, BME=BCO, 则 tanBME=

5、tanBCO,即=2, 5 =,即 =, 则 BE=t, OE=OBBE=4t, PE= (4t)2 (4t)2= (4t)2+ (4t)+2, 点 N 在点 E 左侧时,即1+2t4t,解得 t , 此时 NE=AO+OEAN=1+4t2t=53t, PNE是等腰三角形, PE=NE, 即 (4t)2+ (4t)+2=53t, 整理,得:t211t+10=0, 解得:t=1 或 t=10 (舍) ; 6如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A(1,0) ,B(3,0)两点,与 y 轴相交 于点 C(0,3) (1)求这个二次函数的表达式; (2)若 P 是第四象限

6、内这个二次函数的图象上任意一点,PHx 轴于点 H,与 BC 交于点 M,连接 PC 6 求线段 PM 的最大值; 当PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时,求点 P 的坐标 【答案】 (1)二次函数的表达式 y=x22x3; (2)PM最大= ;P(1,4)或(,21) 当 PM=PC 时, (n2+3n)2=n2+(n22n3+3)2, 解得 n1=0(不符合题意,舍) ,n2=2, n22n3=-3, P(2,-3) ; 7 当 PM=MC 时, (n2+3n)2=n2+(n3+3)2, 解得 n1=0(不符合题意,舍) ,n2=3+(不符合题意,舍) ,n3=3-, n22n3=2-

7、4, P(3-,2-4) ; 综上所述:P(2,3)或(3-,24) 三、抛物线与直角三角形三、抛物线与直角三角形 7如图,直线与抛物线相交于和,点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点,过点 P 作轴于点 D,交抛物线于点 C 求抛物线的解析式; 是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理 由; 连接 AC,直接写出为直角三角形时点 P 的坐标 【答案】 (1); (2)当时,线段 PC 最大且为; (3)为直角三角形时,点 P 的坐标为或 (3)当PAC 为直角三角形时,根据直角顶点的不同,有三种情形,需要分类讨论,分别求解 解:在直

8、线上, 8 , , ,在抛物线上, ,解得, 抛物线的解析式为; 设动点 P 的坐标为,则 C 点的坐标为, , , , , 当时,线段 PC 最大且为; 设直线 AM 的解析式为:, 则:,解得, 直线 AM 的解析式为: , 又抛物线的解析式为: , 9 联立式,解得:或与点A 重合,舍去 , ,即点 C、M 点重合, 当时, ; 若点 C 为直角顶点,则 , 抛物线的对称轴为直线, 如图 2,作点关于对称轴的对称点 C, 则点 C 在抛物线上,且, 当时, , 点、均在线段 AB 上, 综上所述,为直角三角形时,点 P 的坐标为或 8如图 1,在平面直角坐标系中,直线与 x 轴交于 B

9、点,与 y 轴交于 C 点,抛物线 经过 B、C 两点,与 y 轴的另一个交点为点 A,P 为线段 BC 上一个动点 不与点 B、点 C 重合 求抛物线的解析式; 10 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D,连结 CD、PD,当为直角三角形时,求点 P 的坐标; 过点 C 作轴,交抛物线于点 E,如图 2,求的最小值 【答案】抛物线的解析式为;点 P 的坐标为或; 的最小值为 10 解:直线与 x 轴交于 B 点,与 y 轴交于 C 点, 点 B 的坐标为,点 C 的坐标为 抛物线经过 B、C 两点, ,解得:, 抛物线的解析式为 抛物线的解析式为, 11 抛物线的对称轴为直线, 点 D 的坐

10、标为 设点P的坐标为过点P作轴于Q,则点 当时,如图 3, , , , ,即, 12 综上所述,点 P 的坐标为或 连接 AE,交 BC 于点 F,在的内部作,BH 与 AE 交于点 H,过点 P 作, 垂足为 R,连接 PE,如图 5 所示 , , 点 C 与点 E、点 A 与点 B 均关于直线对称, , , ,当且仅当点 P 与点 F 重合时,等号成立 ,对称轴为直线, ,且点 A 的坐标为, , ,即的最小值为 5, 的最小值为 10 13 9已知,抛物线经过点和 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使的值最小?如果存在,请求出点 P 的坐标,如果不 存在,请说明理由

11、; 设点 M 在抛物线的对称轴上,当是直角三角形时,求点 M 的坐标 【答案】(1); (2) 当的值最小时, 点 P 的坐标为; (3) 点 M 的坐标为、 、或. 解:将、代入中, 得:,解得:, 抛物线的解析式为 连接 BC 交抛物线对称轴于点 P,此时取最小值,如图 1 所示 14 当时,有, 解得:, 点 B 的坐标为 抛物线的解析式为, 抛物线的对称轴为直线 设直线 BC 的解析式为, 将、代入中, 得:,解得:, 直线 BC 的解析式为 当时, 当的值最小时,点 P 的坐标为 15 综上所述:当是直角三角形时,点 M 的坐标为、或 10已知:如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与

12、坐标轴分别交于点 A(0,6) ,B(6,0) ,C(2,0) ,点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点 (1)求抛物线的解析式; (2)当点 P 运动到什么位置时,PAB 的面积有最大值? (3)过点 P 作 x 轴的垂线,交线段 AB 于点 D,再过点 P 做 PEx 轴交抛物线于点 E,连结 DE,请 问是否存在点 P 使PDE 为等腰直角三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由 16 【答案】 (1)抛物线解析式为 y= x2+2x+6; (2)当 t=3 时,PAB 的面积有最大值; (3)点 P(4, 6) 解: (1)抛物线过点 B(6,0) 、C(2,0)

13、, 设抛物线解析式为 y=a(x6) (x+2) , 将点 A(0,6)代入,得:12a=6, 解得:a= , 所以抛物线解析式为 y=(x6) (x+2)= x2+2x+6; 17 PN=PMMN= t2+2t+6(t+6)= t2+2t+6+t6= t2+3t, S PAB =S PAN +S PBN = PNAG+ PNBM = PN(AG+BM) = PNOB = ( t2+3t) 6 = t2+9t = (t3)2+, 当 t=3 时,PAB 的面积有最大值; (3)如图 2, 18 四、抛物线与图形的面积四、抛物线与图形的面积 11如图,已知二次函数的图象经过点、和原点为二次函数图

14、象上的一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为,并与直线 OA 交于点 C 求直线 OA 和二次函数的解析式; 当点 P 在直线 OA 的上方时, 当 PC 的长最大时,求点 P 的坐标; 当时,求点 P 的坐标 19 【答案】,; 解:,轴,P 在上,C 在上, , , , , 当时,PC 的长最大, ; 当时,即, 当时,则有,解得,舍去 , 20 12如图,已知抛物线过点,顶点为 D 求抛物线的解析式; 设点,当的值最小时,求 m 的值; 若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点,求的面积的最大值 【答案】 (1); (2); (3). 配方,得,顶点 D 的坐标为 作 B

15、点关于直线的对称点,如图 1 21 , 则,由得, 可求出直线的函数关系式为, 当在直线上时,的值最小, 则 13如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1)的抛物线交 y 轴于点 A,交 x 轴于 B,C 两点(点 B 在点 C 的左侧),已知 C 点坐标为(6,0) (1)求此抛物线的解析式; (2)连结 AB,过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D,如果以点 C 为圆心的圆与抛物线的对称轴 l 相 22 切,先补全图形,再判断直线 BD 与C 的位置关系并加以证明; (3)已知点 P 是抛物线上的一个动点,且位于 A,C 两点之间问:当点 P 运动到什么位置时,PAC 的面积最大?

16、求出PAC 的最大面积 【答案】(1)y x22x3;(2) 直线 BD 与C 相离证明见解析;(3) P 点的位置是(3, ),PAC 的最大面积是. (3)根据抛物线解析式设点 P 的坐标为(x,- x2+2x-3) ,过点 P 作 PQy 轴交直线 AC 于 Q,求出直线 AC 的解析式并表示出点 Q 的坐标,然后求出 PQ 的长,再根据三角形的面积公式列式整理,然后利用二次 函数的最值问题确定出点 P 的横坐标,再求出纵坐标,即可得解 解:(1)y x22x3. (2)补全图形如图 1, 判断:直线 BD 与C 相离证明:令 (x4)210,则 x12,x26. B 点坐标(2,0)

17、又抛物线交 y 轴于点 A,A 点坐标为(0,3), AB . 23 设C 与对称轴 l 相切于点 F,则C 的半径 CF2, 作 CEBD 于点 E,则BECAOB90 . ABD90 ,CBE90 ABO, 又BAO90 ABO,BAOCBE, AOBBEC, , ,CE 2, 直线 BD 与C 相离. (3)如图 2,过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q, 14如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A(-1,0) 、B(3,0) 两点,且与 y 轴交于点 C . (1)求抛物线的表达式; (2)如图,用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x

18、 轴,并沿 x 轴左右平移,直尺的左右两边所在的直 24 线与抛物线相交于 P、 Q 两点(点 P 在点 Q 的左侧) ,连接 PQ,在线段 PQ 上方抛物线上有一动点 D,连 接 DP、DQ. 若点 P 的横坐标为,求DPQ 面积的最大值,并求此时点 D 的坐标; 直尺在平移过程中,DPQ 面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由. 【答案】 (1)抛物线 y=-x2+2x+3; (2)点 D( ) ;PQD 面积的最大值为 8 详解: (1)将 A(-1,0) 、B(3,0)代入 y=ax2+bx+3,得: ,解得:, 抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3 (2) (

19、I)当点 P 的横坐标为- 时,点 Q 的横坐标为 , 此时点 P 的坐标为(- , ) ,点 Q 的坐标为( ,- ) 设直线 PQ 的表达式为 y=mx+n, 将 P(- , ) 、Q( ,- )代入 y=mx+n,得: ,解得:, 直线 PQ 的表达式为 y=-x+ 如图,过点 D 作 DEy 轴交直线 PQ 于点 E, 25 设点 D 的坐标为(x,-x2+2x+3) ,则点 E 的坐标为(x,-x+ ) , DE=-x2+2x+3-(-x+ )=-x2+3x+ , S DPQ = DE(xQ-xP)=-2x2+6x+ =-2(x- )2+8 -20, 当 x= 时,DPQ 的面积取最大值,最大值为 8,此时点 D 的坐标为( ,)