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专题13 抛物线与压轴题(3)备战2020年中考数学典例精做题集(教师版)

1、 1 五、抛物线与平行四边形五、抛物线与平行四边形 15如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+bx+c 与 轴相交于 A、B 两点,与 轴相交于点 C, OA=1,OC=3,连接 BC (1)求 b 的值; (2)点 D 是直线 BC 上方抛物线一动点(点 B、C 除外) ,当BCD 的面积取得最大值时,在 轴上是 否存在一点 P,使得|PBPD|最大,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 (3)在(2)的条件下,若在平面上存在点 Q,使得以点 B、C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形, 请直接写出点 Q 坐标 【答案】 (1)b=2,c=3; (2)P(0,) ; (3

2、) (- ,) , ( ,- ) , ( , ) , 2 直线 BC 的解析式为:y=-x+3, 如图 1,作直线 lBC, 设直线 l 的解析式为:y=-x+b, 由题意可知:BCD 中边 BC 长一定,当BCD 的面积取得最大值时,即以 BC 为底边,其高最大, 也就是直线 l 与抛物线有一个交点时,三角形高最大,BCD 的面积最大, 则, 3 (3)如图 4,分三种情况: 4 当 CD 为平行四边形的对角线时, 【点睛】 本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式, 平行四边形的判定,以及坐标与图形性质,确定点 D、P、B 共线是解决第(2)

3、小题的关键,画出以点 B、 C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形是解决第(3)小题的关键 16如图,抛物线经过两点,与 x 轴交于另一点 B点 P 是抛物线上的 动点。 (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在点 P,使得BCP 是以 BC 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点 P 5 的坐标;若不存在,说明理由; (3)当 P 运动到第一象限时,过 P 作直线 PM 平行 y 轴,交直线 BC 于点 M。 求线段 PM 长度的最大值 D 为平面内任意一点,当线段 PM 最大时,是否存在以 C、P、M、D 为顶点的平行四边形。若存在, 直接写出所有符合条件的点 D 坐标. 【答

4、案】(1) ;(2)见解析;(3) 4; D1,D2 ,D3. (3)求出直线 BC 解析式, 根据PM 平行 y 轴用二次函数表示 P M 的长度从而表示出 PM 的最大值; 分 3 种情况:CM 为对角线;MP 为对角线;CP 为对角线. 解: (1)将两点代入到中得, 抛物线的解析式为. (2) 存在 6 第二种情况,当以 B 为直角顶点时, 过点 P 作 PHx 轴,垂足为 H.CBA=45 ,CBP=90 , OBP =45 HPB=45 , PH=HB 即:, 解得:(舍去) , 则 P2的坐标是 综上所述,P 的坐标是或 7 17已知,如图,抛物线 y=ax2+3ax+c(a0)

5、与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于 A、B 两点,点 A 在点 B 左侧,点 B 的坐标为(1,0) 、C(0,3) 8 (1)求抛物线的解析式 (2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点,求四边形 ABCD 面积的最大值 (3)若点 E 在 x 轴上,点 P 在抛物线上,是否存在以 A、C、E、P 为顶点且以 AC 为一边的平行四边 形?如存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y= x2+ x3(2)(3)P1(3,3)或 P2(,3)或 P3(,3) 解: (1)解:将点 B、C 的坐标代入抛物线的解析式得: , 解得:a= ,c=3 抛物线的解析式为 y=

6、 x2+ x3. (2)解:令 y=0,则 x2+ x3=0,解得 x1=1,x2=4, A(4,0) 、B(1,0). 令 x=0,则 y=3, C(0,3) , SABC= 5 3= . 9 设 D(m, m 2+ m3) , 过点 D 作 DEy 轴交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 y= x3,则 E(m, m3) , DE= m3( m2+ m3)= (m+2)2+3, 当 m=2 时,DE 有最大值为 3, 此时,SACD有最大值为 DE 4=2DE=6. 四边形 ABCD 的面积的最大值为 6+ = , 10 18在平面直角坐标系中,已知抛物线经过 A(4,0) ,B(0,4

7、) ,C(2,0)三点 (1)求抛物线的解析式; (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m,AMB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式,并求出 S 的最大值 (3)若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 y=x 上的动点,是否存在以点 P、Q、B、O 为顶点的 四边形为平行四边形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y= x2+x4; (2)m=2 时,S 有最大值,S=4; (3)Q(4,4)或(2+2,22) 或(22,2+2)或(4,4) 【解析】 (1)先假设出函数解析式,利用三点法求解函数解析式 11 (2)M 点

8、的横坐标为 m,且点 M 在这条抛物线上, M 点的坐标为: (m, m2+m4) , S=SAOM+SOBMSAOB = 4 ( m2m+4)+ 4 (m) 4 4 =m22m+82m8 =m24m, =(m+2)2+4, 4m0, 当 m=2 时,S 有最大值为:S=4+8=4 答:m=2 时,S 有最大值,S=4 (3)设 P(x, x2+x4) 当 OB 为边时,根据平行四边形的性质知 PQOB,且 PQ=OB, Q 的横坐标等于 P 的横坐标, 又直线的解析式为 y=x, 则 Q(x,x) 由 PQ=OB,得|x( x2+x4)|=4, 解得 x=0,4,2 2 x=0 不合题意,舍

9、去 12 如图,当 BO 为对角线时,知 A 与 P 应该重合,OP=4四边形 PBQO 为平行四边形则 BQ=OP=4,Q 横坐标为 4,代入 y=x 得出 Q 为(4,4) 由此可得 Q(4,4)或(2+2,22)或(22,2+2)或(4,4) 点睛:考查了三点式求抛物线的方法,以及抛物线的性质和最值的求解方法 19如图,抛物线 y=ax2+bx 经过 A(1,0) ,B(5,0)两点 (1)求此抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使得 PA+PC 的值最小时,求ABP 的面积; (3)点 M 为 x 轴上一动点,在抛物线上是否存在一点 N,使以 A,C,M,N 四点构成

10、的四边形为平 行四边形?若存在,直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y= x22x ; (2) ; (3)符合条件的点 N 的坐标为(4, ) 、 (2+, )或(2 , ) 13 种情况分别画出图形,从而得出答案 详解: (1)把 A(1,0) ,B(5,0)代入 y=ax2+bx , 得到,解得:, 即抛物线的解析式为 y= x22x ; 六、抛物线与动点问题六、抛物线与动点问题 20如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y =ax2+bx3(a0)与 x 轴交于点 A(2,0) 、B(4,0) 两点,与 y 轴交于点 C点 P、Q 分别是 AB、BC 上的动点,当点

11、 P 从 A 点出发,在线段 AB 上以每秒 3 个 14 单位长度的速度向 B 点运动, 同时点 Q 从 B 点出发, 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动, 其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.设 P、Q 同时运动的时间为 t 秒(0t2). (1)求抛物线的表达式; (2)设PBQ 的面积为 S ,当 t 为何值时,PBQ 的面积最大,最大面积是多少? (3)当 t 为何值时,PBQ 是等腰三角形? 【答案】(1) y= 3 8 x2 3 4 x3;(2) 当 t=1 时, S PBQ 最大= 9 10 .;(3) 当 t 的值是 3 2 秒或 30 23 秒

12、或 48 29 秒时,CPQ 为等腰三角形. (2)由题意可知:AP=3t,BQ=t. PB=63t. 由题意得,点 C 的坐标为(0,3). 在 RtBOC 中,BC= 22 345. 如图 1,过点 Q 作 QHAB 于点 H. 15 QHCO, BHQBOC HQBQ OCBC ,即 35 HQt HQ= 3 5 t. S PBQ = 1 2 PBHQ= 1 2 (63t) 3 5 t= 9 10 t2+ 9 5 t= 9 10 (t1)2+ 9 10 . 当 t=1 时,S PBQ 最大= 9 10 . () 答:运动 1 秒使PBQ 的面积最大,最大面积是 9 10 ; 16 cos

13、HBQ= BDOB BPBC 1 4 2 635 t t ,解得 t= 48 29 当 t= 48 29 秒时,CPQ 是等腰三角形, 即当CPQ 为等腰三角形时,t 的值是 3 2 秒或 30 23 秒或 48 29 秒. 21如图,在平面直角坐标系中,抛物线(a0)与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 点 C,且 OA=2,OB=8,OC=6 (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 从 A 点出发,在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动,同时,点 N 从 B 出发, 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停

14、止运动, 当MBN 存在时,求运动多少秒使MBN 的面积最大,最大面积是多少? (3)在(2)的条件下,MBN 面积最大时,在 BC 上方的抛物线上是否存在点 P,使BPC 的面积是 MBN 面积的 9 倍?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1); (2)运动 秒使MBN 的面积最大,最大面积是 ; (3)P(3,)或 (5,) 17 (2) 设运动时间为 t 秒, 则 AM=3t, BN=t, MB=103t 由题意得, 点 C 的坐标为 (0, 6) 在 RtBOC 中,BC=10如图,过点 N 作 NHAB 于点 H,NHCO,BHNBOC,即 ,HN= t,S

15、MBN= MBHN= (103t) t=(t )2+ ,当MBN 存在时, 0t2,当 t= 时,SMBN最大= 答:运动 秒使MBN 的面积最大,最大面积是 ; (3)设直线 BC 的解析式为 y=kx+c(k0) 把 B(8,0) ,C(0,6)代入,得:,解得:,直线 BC 的解析式为 点 P 在抛物线上,设点 P 的坐标为(m,) ,如图,过点 P 作 PEy 轴,交 BC 于 点 E,则 E 点的坐标为(m,) 18 22如图,已知抛物线与 y 轴交于点,与 x 轴交于点,点 P 是线段 AB 上方 抛物线上的一个动点 求这条抛物线的表达式及其顶点坐标; 当点 P 移动到抛物线的什么

16、位置时,使得,求出此时点 P 的坐标; 当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动,在移动中,点 P 的横坐标以每秒 1 个单 位长度的速度变动;与此同时点 M 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动,点 P,M 移动到各自 终点时停止当两个动点移动 t 秒时,求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式,并求 t 为何值时,S 有 最大值,最大值是多少? 19 【答案】 (1)抛物线的表达式为,抛物线的顶点坐标为; (2)P 点坐标为 ; (3)当时,S 有最大值,最大值为 24 解:根据题意,把,代入抛物线解析式可得,解得, 抛物线的表达式

17、为, , 抛物线的顶点坐标为; 如图 1,过 P 作轴于点 C, , , 当时, ,即, 设,则, , 20 把 P 点坐标代入抛物线表达式可得,解得或, 经检验,与点 A 重合,不合题意,舍去, 所求的 P 点坐标为; 七、抛七、抛物线与直物线与直线、线段的交点问题线、线段的交点问题 23在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=mx24mx+4m+4(m0)的顶点为 PP,M 两点关于原点 O 成中心对称 (1)求点 P,M 的坐标; (2)若该抛物线经过原点,求抛物线的表达式; (3)在(2)的条件下,将抛物线沿 x 轴翻折,翻折后的图象在 0 x5 的部分记为图象 H,点 N 为抛 物

18、线对称轴上的一个动点,经过 M,N 的直线与图象 H 有两个公共点,结合图象求出点 N 的纵坐标 n 的取 21 值范围 【答案】 (1)点 P(2,4) ,点 M(2,4) ; (2)y=x2+4x(3)4n 22 24已知二次函数 y=x22(k+1)x+k22k3 与 x 轴有两个交点 ()求 k 取值范围; ()当 k 取最小整数时,此二次函数的对称轴和顶点坐标; ()将()中求得的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,图象的其余部分不变,得 到一个新图象请你求出新图象与直线 y=x+m 有三个不同公共点时 m 的值 【答案】 ()k1()对称轴为:x=1顶点坐标为(

19、1,4) ; ()m 的值为 1 或13 4 23 25在平面直角坐标系中,二次函数 y=x2+mx+2m7 的图象经过点(1,0) (1)求抛物线的表达式; 24 (2)把4x1 时的函数图象记为 H,求此时函数 y 的取值范围; (3)在(2)的条件下,将图象 H 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象 H 的其余部分保持不变,得到 一个新图象 M若直线 y=x+b 与 图象 M 有三个公共点,求 b 的取值范围 【答案】 (1)抛物线的表达式为 y=x2+2x3; (2)y 的取值范围是4y5; (3)b 的取值范围是 3b 21 4 解: (1)二次函数 y=x2+mx+2m7 的图

20、象经过点(1,0) , 1+m+2m7=0,解得 m=2, 抛物线的表达式为 y=x2+2x3; (2)y=x2+2x3=(x+1)24, 当4x1 时,y 随 x 增大而减小; 当1x1 时,y 随 x 增大而增大, 25 当 x=1,y最小=4, 当 x=4 时,y=5, 4x1 时,y 的取值范围是4y5; 26在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 2 443ymxmxm的顶点为 A (1)求点 A 的坐标; 26 (2)将线段OA沿x轴向右平移 2 个单位得到线段O A 直接写出点 O 和 A 的坐标; 若抛物线 2 443ymxmxm与四边形AOO A 有且只有两个公共点, 结合函数

21、的图象, 求m的 取值范围 【答案】 (1) (2,3) (2) O (2,0) , A (4,3) (3) 3 0 4 m (3)如图, 抛物线 ymx24mx4m3 与四边形 AOOA有且只有两个公共点, 27 m0 由图象可知,抛物线是始终和四边形 AOOA的边 OA相交, 抛物线已经和四边形 AOOA有两个公共点, 将(0,0)代入 ymx24mx4m3 中,得 m 3 4 3 4 m0 七、七、抛物线与整点问题抛物线与整点问题 27. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 2 21(0)ymxmxmm与 x 轴的交点为 A,B. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的

22、点叫做整点。 当 m1 时,求线段 AB 上整点的个数; 若抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有 6 个整点,结合函数的 图象,求 m 的取值范围。 【答案】见解析 28 28已知一次函数 1 ykxb(k0)的图象经过2,0, 4,1两点,二次函数 2 2 24yxax(其 中 a2). (1)求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标(用含 a 的代数式表示) ; (2)利用函数图象解决下列问题: 若 5 2 a ,求当 1 0y 且 2 y0 时,自变量 x 的取值范围; 如果满足 1 0y 且 2 y0 时的自变量 x 的取值范围内恰有一个整数,直接写出 a 的取值范围. 【答案】 (1) 1 1 1 2 yx;二次函数图象的顶点坐标为 2 ,4aa; (2)2x4.13 6 a 5 2 . 29 (2)当 5 2 a 时, 2 2 54yxx, 如图, 30