1、 1 知识精要知识精要 1.勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：cba 22 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系： 222 cba,那么这个三角形是直角 三角形 要点突破要点突破 1.根据实际情况构造出直角三角形，用未知数表示出三边长度，根据勾股定理列出方程. 2.建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解 典例精讲典例精讲 例 1如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)其中长方形 ABCD 是由双层白布缝制的 穿旗杆用的旗裤，阴影部分 DCEF 为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到 地面的高度为 220
2、 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h. 【答案】70cm. 2 h22015070(cm) 彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度 h 为 70 cm. 例 2如图，一根旗杆原有 8 米，一次“台风”过后，旗杆被台风吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底 部4 米处，那么这根旗杆被台风吹断处离地面多高？ 【答案】3 米 课堂精练课堂精练 一、单选题 3 1下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A 1，1， B 4，5，6 C 6，8，11 D 5，12，15 【答案】A 【解析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两短边的平方和是否等于最长边的
3、平方即可 解：A12+12=（）2，能构成直角三角形，故符合题意； B52+4262，不能构成直角三角形，故不符合题意； C62+82112，不能构成直角三角形，故不符合题意； D122+52152，不能构成直角三角形，故不符合题意 故选 A 2一架 25 米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端 7 米如果梯子的顶端沿墙下滑 4 米，那么梯脚将水平滑动（ ） A 9 米 B 15 米 C 5 米 D 8 米 【答案】D 3如图所示，圆柱的高 AB=3，底面直径 BC=3，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕 食，则它爬行的最短距离是（ ） A B 4 C D 【
4、答案】C 【解析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可 求解 解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点 A、C 的最短距离为线段 AC 的长 在 RtADC 中，ADC=90 ，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，AD=1.5， 所以 AC=， 故选：C 4如图，从电线杆离地面 5m 处向地面拉一条长 13m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底 部有多远？ 【答案】12m 5 5如图，一棵大树在离地面 6 米高的 B 处断裂，树顶 A 落在离树底部 C 的 8 米处，则大树数断裂之 前的高度为（ ） A 16 米 B 15 米 C 24 米
5、D 21 米 【答案】A 【解析】由题意得 BC=6，在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理得：AB=米 所以大树的高度是 10+6=16 米 故选：A 6在直线 L 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为 1、2、3，正放置的四 个正方形的面积依次是、，则=( ) A 5 B 4 C 6 D 、10 【答案】C 6 7如图为某楼梯，测得楼梯的长为 5 米，高 3 米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为( ) A 4 米 B 8 米 C 9 米 D 7 米 【答案】D 【解析】由勾股定理得： 楼梯的水平宽度=4， 地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的
6、和， 地毯的长度至少是 3+4=7 米。 故选 D. 8 如图所示， AC 是一根垂直于地面的木杆， B 是木杆上的一点， 且 AB=2 米， D 是地面上一点， AD=3 7 米.在 B 处有甲、乙两只猴子，D 处有一堆食物.甲猴由 B 往下爬到 A 处再从地面直奔 D 处，乙猴则向上爬 到木杆顶 C 处腾空直扑到 D 处，如果两猴所经过的距离相等，则木杆的长为（ ） A m B 2 m C 3 m D 5 m 【答案】B 9 如图， 将矩形纸片 ABCD 折叠， 使边 AD 落在对角线 BD 上， 折痕为 DE， 且 A 点落在对角线 F 处 若 AD=3，CD=4，则 AE 的长为（ ）
7、 A B 1 C 2 D 【答案】A 8 10 如图， ABC 中， ABAC2， BC 边上有 10 个不同的点 P1， P2， ， P10， 记 （i 1，2，10） ，那么 M1+M2+M10的值为（ ） A 4 B 14 C 40 D 不能确定 【答案】C 【解析】作 ADBC 于 D根据勾股定理，得 APi2=AD2+DPi2=AD2+（BDBPi）2=AD2+BD2 2BDBPi+BPi2，PiBPiC=PiB（BCPiB）=2BDBPiBPi2，从而求得 Mi=AD2+BD2，即可求解 解：作 ADBC 于 D，则 BC=2BD=2CD 根据勾股定理，得： APi2=AD2+DP
8、i2=AD2+（BDBPi）2=AD2+BD22BDBPi+BPi2， 9 又 PiBPiC=PiB（BCPiB）=2BDBPiBPi2， Mi=AD2+BD2=AB2=4，M1+M2+M10=4 10=40 故选 C 11等腰三角形的腰长 5cm，底长 8cm，则底边上的高为_cm 【答案】3 12若三角形三边分别为 6，8，10，那么它最长边上的中线长是_ 【答案】5 【解析】根据勾股定理的逆定理可得三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半即可求解 解：三角形三边分别为 6，8，10，62+82=102， 该三角形为直角三角形， 最长边即斜边为 10， 斜边上的中线
9、长为：5， 故答案为：5 13一种盛饮料的圆柱形杯子(如图)，测得它的内部底面半径为 2.5 cm，高为 12 cm，吸管放进杯子里， 10 杯口外面至少要露出 4.6 cm，则吸管的长度至少为_cm. 【答案】17.6 14如图，矩形 ABCD 中，CB 在数轴上，点 C 表示的数是，若以点 C 为圆心， 对角线 CA 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点 P，则点 P 表示的数是_ 【答案】 【解析】由勾股定理可得：AC=, 因为，PC=AC, 所以，PO=, 所以，点 P 表示的数是. 故答案为： 15 如图， 在矩形 ABCD 中， AB=10， AD=6， 矩形 ABCD 绕点 A 逆时
10、针旋转一定角度得矩形 ABCD， 11 若点 B 的对应点 B落在边 CD 上，则 BC 的长为_ 【答案】2 16如图，RtABC 中，B=90 ，AB=3cm，AC=5cm，将ABC 折叠，使点 C 与 A 重合，得折痕 DE， 则ABE 的周长等于_cm 【答案】7 【解析】根据勾股定理，可得 BC 的长，根据翻折的性质，可得 AE 与 CE 的关系，根据三角形的周长 公式，可得答案 解：在 RtABC 中，B=90 ，AB=3cm，AC=5cm， 由勾股定理，得 BC=4， 由翻折的性质，得 CE=AE， ABE 的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7， 故
11、答案为：7 17如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上的点，BE=1，F 为 AB 的中点，P 为 AC 上一个动点， 12 则 PF+PE 的最小值为_ 【答案】 182002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是 由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示） 如果大正方形的面积是 13， 小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b，那么（a+b）2的值为_ 【答案】25 13 19有一个面积为 1 的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图 1),其中,
12、三个 正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了 4 个正方形(如图 2),如果按此规律继续“生 长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生长”了 2 017 次后形成的图形中所有正方形的面积和是_ 图 1 图 2 【答案】2018 【解析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1 次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方 形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是 2 1=2；“生长”2 次后，所有的正 方形的面积和是 3 1=3，推而广之即可求出“生长”2017 次后形成图形中所有正方形的面积之和 解：设直角三角形的是三条边分别是 a，b，c 根据勾
13、股定理，得 a2+b2=c2， 由图 1 可知，“生长”1 次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的 正方形的面积，即所有正方形的面积和是 2 1=2； 由图 2 可知，“生长”2 次后，所有的正方形的面积和是 3 1=3； 推而广之，“生长”了 2017 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 2018 1=2018 故答案为：2018 20如图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成若较短的直角 边 BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，若BCD 的 周长是 30，则这个风车的
14、外围周长是_ 14 【答案】76 21如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端 A 处的绳子垂到地面 B 处后还多 2 米当他把 绳子拉直并使下端刚好接触到地面 C 处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为 6 米，请你帮小刚求出旗杆的 高度 AB 长 【答案】旗杆的高度为 8 米 【解析】 因为旗杆、绳子、 地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为 x 米，则绳子的长度为米， 根据勾股定理即可求得旗杆的高度 解：设旗杆的高度为 x 米，则绳子的长度为米， 根据勾股定理可得：， 15 解得， 答：旗杆的高度为 8 米 22在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生
15、其中央， 出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长 为 1 丈（1 丈=10 尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向岸 边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池深多少尺？” 【答案】12 尺 23如图，在四边形 ABCD 中，ABC=90 ，AB，BC，DC12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积 【答案】36. 【解析】连接 AC，先根据勾股定理求出 AC 的长，再勾股定理的逆定理可证ACD 为直角三角形，然 后将两个直角三角形的面积相加即为四边形 ABCD 的面积 解:连接 AC， 16 A
16、BC=90 ，AB=3，BC=， AC= 5， DC=12，AD=13， AC2+DC2=52+122=25+144=169， AD2=132=169， AC2+DC2=AD2， ACD 是ACD=90 的直角三角形， 四边形 ABCD 的面积=ABC 的面积+ACD 的面积=36 答：四边形 ABCD 的面积为 36. 24我们古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高 2 丈,粗 3 尺,有一根藤条从树根处 缠绕而上,缠绕 7 周到达树顶,(如图所示),则这根藤条有多长?(注:枯树可以看成圆柱.树粗 3 尺,指的是:圆柱底 面周长为 3 尺,1 丈=10 尺) 【答案】这根藤条
17、有 29 尺. 25一道古算题：有执长竿入城门者，横执之多六尺，竖执之多三尺，有老父至，教他斜竿对两角， 17 不多不少刚抵足，借问竿长多少数？ 大意如下：某人拿着长竹竿进城门，横着拿竿多六尺，竖着拿竿多三尺，有一个经验丰富的老者，教 他斜着拿竹竿进城门，竹竿刚好就是城门斜对角线的长度，正好可以进城，问竹竿长多少尺？（城门为矩 形） 【答案】竹竿的长为 15 尺 26由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭.近日 A 城气象局测得沙尘暴中 心在 A 城的正西方向 240km 的 B 处（如图） ，以每小时 12km 的速度向北偏东 60 方向移动.距沙尘暴中心 150km 的
18、范围为受影响区域. （1）A 城是否受到这次沙尘暴的影响?为什么? （2）若 A 城受这次沙尘暴的影响，那么 A 城遭受沙尘暴的影响时间有多长? 【答案】 （1）A 城将受这次沙尘暴的影响； （2）A 城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为 15 时. 【解析】 （1）过点作 ACBM，垂足为 C，在 RtABC 中，由题意可知ABC=30 ，由此可以求出 AC 的长度，然后和 150km 比较大小即可判断 A 城是否受到这次沙尘暴的影响； （2）如图，设点 E、F 是以 A 为圆心，150km 为半径的圆与 BM 的交点，根据勾股定理可以求出 CE 的长度，也就求出了 EF 的长度，然后除以
19、沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间. 解： （1）过点 A 作 ACBM，垂足为 C， 在 RtABC 中，由题意可知CBA=30 ， 18 AC= AB= 240=120（km） ， AC=120150， A 城将受这次沙尘暴的影响； （2）设点 E，F 是以 A 为圆心，150km 为半径的圆与 MB 的交点，连接 AE，AF， 由题意得 CE=90（km） ， EF=2CE=2 90=180（km） ， A 城受沙尘暴影响的时间为：180 12=15（时） ， 答：A 城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为 15 时 27如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D
20、 作 DEAC 且 DE= AC，连接 CE、OE， 连接 AE 交 OD 于点 F （1）求证：OE=CD； （2）若菱形 ABCD 的边长为 2，ABC=60 ，求 AE 的长 【答案】 （1）详见解析； （2） 19 四边形 OADE、四边形 OCED 都是平行四边形， （2）解：ACBD， OE=AD， OE=CD； 四边形 OCED 是矩形， 在菱形 ABCD 中，ABC=60 ， AC=AB=2， 在矩形 OCED 中，CE=OD= 在 RtACE 中，AE= 28如图所示铁路上 A.B 两站（视为两个点）相距 25km，CD 为两村庄（视为两个点） ，CAAB 于点 A， DBA
21、B 于点 B， 已知 CA=15km， DB=10km.现要在 A B 之间建一个土特产收购站 E， 当 AE=xkm 时,（1）求 CE+DE 的长。 （用含 x 的式子表示） （2）E 在什么位置时 CE+DE 的长最短。 （3）根据上面的解答，求 2 9x + 2 2416x的最小值。 20 【答案】 （1） 2 225x+ 2 10025x （2）当 E 为 CD 与 AB 交点时 CE+DE 的长最短。 （3）最小值为 25. BE=25-x 由勾股定理可得： CE= 222 225ACAEx，DE= 2 22 10025DBBEx CE+DE= 2 2 22510025xx （2）
22、连接 CD，如图 1 所示 当点 E 为 AB 与 CD 的交点时，CE+DE 最短 CAAB 于点 A，DBAB 于点 B， CAE=DBE=90 ， 21 又CEA=DEB， CAEDBE， AECA BEDB ，即 15 2510 x x ， 解得：x=15 当点 E 离点 A15km 时，CE+DE 的长最短 解 9 2416 x x 得，x= 72 7 此时 2 222 92416= 24 +3+4=25xx（） 29如图，直线 l 与O 相离，OAl 于点 A，交O 于点 B，点 C 是O 上一点，连接 CB 并延长交 直线 l 于点 D，使 AC=AD （1）求证：AC 是O 的
23、切线； （2）若 BD=23，OA=4，求线段 BC 的长 22 【答案】 （1）见解析； （2） 5 3 4 OB=OC，AC=AD OBC=OCB，ACD=ADC， OAl， ADC+ABD=90 ， 而ABD=OBC， OCB+ACD=90 ， ACO=90 OCAC， AC 是O 的切线； （2）解：如图 1，作直径 BE，连接 CE， 23 30如图，在正方形 ABCD 中，点 M 在 CD 边上，点 N 在正方形 ABCD 外部，且满足CMN90 ， CMMN连接 AN，CN，取 AN 的中点 E，连接 BE，AC，交于 F 点 DA CB M （1）依题意补全图形； 求证：BEA
24、C 24 （2）请探究线段 BE，AD，CN 所满足的等量关系，并证明你的结论 （3）设 AB1，若点 M 沿着线段 CD 从点 C 运动到点 D，则在该运动过程中，线段 EN 所扫过的面积 为_（直接写出答案） 【答案】 （1）见解析； （2） BE 2 2 AD 1 2 CN. （3） 3 4 . MCN45 . ACNACDMCN90 . 在 RtACN 中, 点 E 是 AN 中点, AECE 1 2 AN. AECE, ABCB, 点 B，E 在 AC 的垂直平分线上. BE 垂直平分 AC. BEAC. 25 ABECBE. ABBC, BEAC. （2）BE 2 2 AD 1 2
25、 CN（或 2BE2ADCN）. 证明：ABBC, ABECBE, 26 AFFC. 点 E 是 AN 中点, AEEN. 四边形 ABCD 是正方形, BCAD. BF 2 2 AD. BEBFFE, 27 BE 2 2 AD 1 2 CN. （3） 3 4 . 31如图，四边形 ABCD 是长方形 （1） P 为长方形内一点（如图19 3 11 2 - 92 xx ） ，求证: ; （2）探索若点 P 在 AD 边上(如图 b）时，结论是否仍然成立若成立请证明，不成立请说明理由。 （3）探索若点 P 在长方形 ABCD 外(如图 c）时，结论是否仍然成立若成立请证明，不成立请说明理 由。 【答案】 （1）证明见解析； （2）成立； （3）成立 . 则 AE=BF,DE=CF。 在 RtAPE 中，根据勾股定理得 222 PAPEAE, 在 RtDPE 中，根据勾股定理得 222 PDPEDE, 28 在 RtBPF 中，根据勾股定理得, 在 RtCPF 中，根据勾股定理得 222 PCPFCF, 22 PEAE 22 PFCF 22 PBPD 22 PFBF 22 PEDE 22 PAPC 22 PBPD (5 分）