1、 1 知识精要知识精要 1.三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、圆、扇形的面积公式。 2.图形的性质及勾股定理。 要点突破要点突破 1. 正确运用转化思想求阴影部分的面积。 2. 正确作出辅助线是解题的关键 典例精讲典例精讲 例 1如图，将ABC 绕点 C 按顺时针旋转 60 得到,已知 AC=9,BC=6,则线段 AB 扫过的图形的面 积为( ) A B C D 【答案】B 例 2如图，在 RtABC 中，ACB90 ，BAC60 .把ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60 后得到 ABC，若 AB8，则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ） 2 A 8
2、 B 6 C 4 D 2 【答案】A 课堂精练课堂精练 一、单选题 1如图，正方形 ABCD 内接于圆 O，AB4，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 【答案】B 3 2如图，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦 AB 的长，就计算出 了圆环的面积，若测量得 AB 的长为 20 m，则圆环的面积为( ) A 10 m2 B 10 m2 C 100 m2 D 100 m2 【答案】D 【解析】过 O 作 OCAB 于 C，连 OA，根据垂径定理得到 AC=BC=10，再根据切线的性质得到 AB 为 小圆的切线，于是有圆环的面积=OA2-OC2=（OA2-OC
3、2）=AC2，即可圆环的面积 解：过 O 作 OCAB 于 C，连 OA，如图， AC=BC，而 AB=20， AC=10， AB 与小圆相切， 4 OC 为小圆的半径， 圆环的面积=OA2-OC2 =（OA2-OC2） =AC2 =100（平方米） 故选：D 3如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角 形，若 AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A B C 2 D 2 【答案】D 5 莱洛三角形的面积 S=32=22， 故选 D 4如图，过半径为的O 外一点 P 引O 的切线 PA、PB，切点为 A、B，如果APB=60
4、 ，则图中 阴影的面积等于（ ） A B C D 【答案】D 5如图，在ABC 中，A90 ，ABAC2，点 O 是边 BC 的中点，半圆 O 与ABC 相切于点 D、E， 则阴影部分的面积等于( ) A 1 B 6 C 1 D 【答案】B ， BDFEOF（AAS） ， 故选：B 6如图，在正方形 ABCD 中，AB=12，点 E 为 BC 的中点，以 CD 为直径作半圆 CFD，点 F 为半圆的 中点，连接 AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ） 7 A 18+36 B 24+18 C 18+18 D 12+18 【答案】C BE=CE=CH=FH=6， AE=6， 易得 RtABEEHF
5、， AEB=EFH， 而EFH+FEH=90 ， AEB+FEH=90 ， AEF=90 ， 图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆S ABE S AEF =12 12+ 62 12 6 6 6 =18+18 故选：C 7如图，正方形 ABCD 的面积为，点 E 在 BC 上，点 G 在 AB 的延长线上，四边形 EFGB 是正方 8 形，以 B 为圆心，BC 长为半径画弧 AC，连结 AF，CF，则图中阴影部分面积为 A B C D 【答案】C 【解析】根据正方形的性质得出，设 ，则阴影部分的面积，代入求出即可 四边形 ABCD 和四边形 EFGB 是正方形，且正方形 ABCD 的面积
6、为， ， 设， 则阴影部分的面积 ， 故选：C 点睛：本题考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，解此题的关键是能表示出阴影部分的面积 8如图，直角三角形两直角边的长分别为 3 和 4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的 面积是（ ） A 6 B 1.5 C 2 D 12 【答案】A 9 由勾股定理可得:, 所以, 即两个以直角边为直径的半圆面积之和等于以斜边为直径的半圆面积, 再根据面积和差关系,可得两阴影部分面积之和等于直角三角形的面积, 所以. 9如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=8，BC=4，分别以 AC，BC 为直径画半圆，则图中阴影部分 的面积为（ ） A 10
7、-8 B 10-16 C 10 D 5 【答案】B 10正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正 方形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ） 10 A B C D 【答案】A 11如图,将半径为 2,圆心角为 120 的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60 ,点 O,B 的对应点分别为 O,B,连 接 BB,则图中阴影部分的面积是 ( ) A B 2- C 2- D 4- 【答案】C 11 AOO=60，OO=OA， 点 O中O 上， AOB=120 ， OOB=60， OOB 是等边三角形， AOB=120， AOB
8、=120， BOB=120， OBB=OBB=30， 图中阴影部分的面积=SBOB-（S扇形OOB-SOOB）= =. 故选 C 【点睛】 本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质， 旋转的性质， 正确的作出辅助线是解题的关键 12如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转后得到正方形，边与 CD 交于 点 O，则图中阴影部分的面积是 12 A B C D 【答案】B ，D，在一条直线上， 四边形 ABCD 是正方形， ， ， ， ， ， 13 ， 图中阴影部分的面积 故选 B. 【点睛】 本题考查了旋转的性质，正方形性质，勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，
9、解题关键在 于利用旋转前、后的图形全等来进行计算 二、填空题 13如图，在矩形 ABCD 中，以 AD 为直径的半圆与边 BC 相切于点 E，若 AD=4，则图中的阴影部分 的面积为 【答案】82 14如图，是半径为 2 的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是_ 结果用含 的式子表 示 14 【答案】 【解析】利用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边，再用圆的面积减去三角形的面积 15如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为 R 的扇形草坪(图中阴影部分) (1)图中草坪的面积为_； (2)图中草坪的面积为_； (3)图中草坪的面积为_； (4)如果多边形的边数
10、为 n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_ 15 【答案】(1) R2 (2)R2 (3) R2 (4)R2 【解析】 （1）求得三角形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解； （2）求得四边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解； （3）求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解； （4）求得 n 的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解 解： （1）三角形的内角和是：180 ，则面积是：； （2）四边形的内角和是： （4-2） 180 =360 ，则面积是：； （3）五边形的内角和是： （5-2） 180 =540 ，则面积是：； （4）n 边形的内角和是： （n-2）
11、180，则面积是： 故答案是：(1) R2 (2)R2 (3) R2 (4)R2 16如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，A=120 ，求图中阴影部分的面是 . 【答案】3 17如图，三个正方形的边长分别为 2，6，8；则图中阴影部分的面积为 16 【答案】21 18如图，在扇形 AOB 中，过点 C 作于点 D，以 CD 为边向右作正方形 CDEF，若，则阴影部分的面积是_ 结果保留 【答案】 【解析】根据题意可知阴影部分的面积等于扇形 OBC 的面积与ODC 的面积之差， 从而可以解答本题 解：连接 OC，如图所示， 在扇形 AOB 中，AOB=90 ， 17
12、 AOC=COB=45 ， 四边形 CDEF 是正方形，OA=， OC=，CDO=90 ， OD=CD=1， 阴影部分的面积是：， 故答案为： 19如图，在中，以 AB 中点 D 为圆心，作圆心角为的扇形 DEF， 点 C 恰好在弧 EF 上，则图中阴影部分面积为_ 【答案】 18 20如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AB=4，BC=2，将ABC 绕点 B 顺时针方向旋转到ABC的 位置，此时点 A恰好在 CB 的延长线上，则图中阴影部分的面积为_（结果保留 ） 【答案】4 19 21如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC16，BD12，以 AB 为直径作一个
13、半圆， 则图中阴影部分的面积为_. 【答案】24 【解析】首先根据菱形的性质，求出 AO、BO 的值是多少，再根据勾股定理，求出 AB 的值是多少；然 后根据圆的面积公式，求出以 AB 为直径的半圆的面积，再用它减去三角形 ABO 的面积，求出图中阴影部 分的面积为多少即可 解：AC=16，BD=12，ACBD，AB=10， 图中阴影部分的面积为： （）2 （16 2） （12 2） 2 =8 6 2 =24 20 故答案为：24 22如图，AB 为半圆的直径，且 AB=2，半圆绕点 B 顺时针旋转 40 ，点 A 旋转到 A的位置，则图中 阴影部分的面积为_（结果保留 ） 【答案】 23如图
14、，CD 为大半圆的直径，小半圆的圆心 O1在线段 CD 上，大半圆 O 的弦 AB 与小半圆 O1交于 E、F，AB=6cm，EF=2cm，且 ABCD。则阴影部分的面积为_cm2（结果保留准确数） 【答案】4 【解析】将两个圆变为同心圆做 OMAB 于 M，连接 OB、OF，构造直角三角形，利用所构造的两个 三角形有公共边 OM，可找到两个半圆的半径平方差与已知条件之间的关系：OB2-OF2=OM2+32-（OM2+12 =8，阴影部分的面积是两个半圆的面积差代入数据求解即可 解：如图将两个圆变为同心圆 做 OMAB 于 M，连接 OB、OF， 则 MF= EF=1，BM= AB=3， S阴
15、影= OB2- OF2， 21 = （OB2-OF2） ， = OM2+32-（OM2+12）， =4（cm2） 点睛：本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解如通过观察可知阴影部分的面 积正好等于两个半圆的面积差，根据条件可求出两个半圆的半径的平方差，整体代入即可求得阴影部分的 面积 24如图，已知 A(2，2)，B(2，1)，将AOB 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 旋转到点 A(2，2) 的位置，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】 三、解答题 25如图，半圆 O 的直径 AB=2，弦 CDAB，CAD=30 ，求阴影部分的面积（结果保留 ） 22 【答案】 26如图，在
16、中，直径，CA 切于 A，BC 交于 D，若，求： 的长； 阴影部分的面积 【答案】 （1）； （2）1. 【解析】 连接 AD，由于 AC 是的切线，所以，再根据可知，由勾股定理可求 出 BC 的长，由于 AB 是的直径，所以，故 D 是 BC 的中点，故可求出 BD 的长度； 连接 OD， 因为 O 是 AB 的中点， D 是 BC 的中点， 所以 OD 是的中位线， 所以， 故， 23 所以与弦 BD 组成的弓形的面积等于与弦 AD 组成的弓形的面积，所以，故可得 出结理论 解：连接 AD， 是的切线， ， ， ， ， 是的直径， ， 是 BC 的中点， ； 27如图，以正方形 ABCD
17、 的边 BC 为直径作半圆 O，过点 D 作直线与半圆相切于点 F，交 AB 于点 E， 若 AB=2cm，则阴影部分的面积为_ 24 【答案】cm2 28如图 1，ABC 中，AD 为 BC 边上的的中线，则 SABD= SADC. 实践探究 25 （1）在图 2 中，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，则 S阴和 S矩形ABCD之间满足的关系式 为 ； （2）在图 3 中，E、F 分别为平行四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，则 S阴和 S平行四边形ABCD之间满足 的关系式为 ； （3）在图 4 中，E、F 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点
18、，则 S阴和 S四边形ABCD之间满足的 关系式为 ； 解决问题： （4）在图 5 中，E、G、F、H 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD、AB、BC、CD 的中点，并且图中阴 影部分的面积为 20 平方米，求图中四个小三角形的面积和是多少？即求 S1+ S2+ S3+ S4=？ 【答案】 （1）S阴= 1 2 S矩形ABCD； （2）S阴= 1 2 S平行四边形ABCD； （3）S阴= 1 2 S四边形ABCD； （4）20 解： （1）由 E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD、BC 的中点， 得 S阴=BFCD= 1 2 BCCD， S矩形ABCD=BCCD， 所以 S阴= 1 2 S矩形ABCD； （2）同理可得；S阴= 1 2 S平行四边形ABCD； （3）同理可得；S阴= 1 2 S四边形ABCD； （4）设空白处面积分别为：x、y、m、n（见下图） ， 26