1、 1 知识精要知识精要 一、锐角三角函数： 在直角三角形 ABC 中，C 是直角 1、三角函数定义 正弦：把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 c a A sin 余弦：把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 c b A cos 正切：把锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 b a A tan 2、同角三角函数关系公式 （1）1cossin 22 BA； （2） A A cot 1 tan ； （3） tanA A A cos sin 3、一些特殊角的三角函数值 二、解直角三角形 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 若
2、直角三角形 ABC 中，C90 ，那么 A、B、C，a，b，c 中除C90 外，其余 5 个元素之间有关 系： （l） 222 cba； （2）A 十B90 ； （3） c a A sin ； c b A cos ； b a A tan ； a b A cot 所以，只要知道其中的 2 个元素（至少有一个是边） ，就可以求出其余 3 个未知数。 要点突破要点突破 1.根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数。 2.由平行光线形成的投影：在某一时刻物体高度的比等于影长的比 典例精讲典例精讲 例 1如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平 行，请你根
3、据图中数据计算回答：小敏身高 1.85 米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o0.47，tan28o0.53） 2 【答案】小敏不会有碰头危险 例 2如图，一栋居民楼 AB 的高为 16 米，远处有一栋商务楼 CD，小明在居民楼的楼底 A 处测得商务 楼顶 D 处的仰角为 60 ，又在商务楼的楼顶 D 处测得居民楼的楼顶 B 处的俯角为 45 其中 A、C 两点分别 位于 B、D 两点的正下方，且 A、C 两点在同一水平线上，求商务楼 CD 的高度 （参考数据： 21.414， 31.732结果精确到 0.1 米） 【答案】37.9 米 【解析】过点 B 作 BECD 与点 E，解直角三角
4、形得出方程，求出方程的解即可 解： 过点 B 作 BECD 与点 E， 由题意可知DBE=45 ， DAC=60 ， CE=AB=16， 设 AC=x， 则 CD=3x， 3 BE=AC=x DE=CDCE=3x16 BED=90 ， DBE=45 ， BE=DE， x=3x16， x=83+8， CD=3x=24+8337.9（米） 答：商务楼 CD 的高度为 37.9 米 课堂精练课堂精练 一、单选题 1如图，一架长米的梯子 AB 斜靠在墙上，已知梯子底端 B 到墙角 C 的距离为米，设梯子与地面 所夹的锐角为 ，则的值为 A B C D 【答案】A 2如图，小刚从山脚 A 出发，沿坡角为
5、 的山坡向上走了 300 米到达 B 点，则小刚上升了（ ） A 米 B 米 C 米 D 米 4 【答案】A 【解析】解：在 RtAOB 中，AOB=90 ，AB=300 米， BO=ABsin=300sin 米 故选 A 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出 AB，BO 的关系是解题关键 3如图，在中，D 是 AC 上一点，若，则 AD 的长为 A 2 B 4 C D 【答案】A 4如图，AC 是电线杆 AB 的一根拉线，测得 BC 的长为 6 米，ACB=50 ，则拉线 AC 的长为（ ） 5 A B C 6cos50 D 【答案】B
6、 5河堤的横截面如图所示，堤高 BC 是 5 米，迎水坡 AB 的长是 13 米那么斜坡 AB 的坡度 i 是（ ） A 1：3 B 1：2.6 C 1：2.4 D 1：2 【答案】C 【解析】 在 RtABC 中， 根据勾股定理求得 AC 的长， 根据坡面 AB 的坡比即为BAC 的正切即可求解. 解： 在 RtABC 中，BC=5 米，AB=13 米， 根据勾股定理得 AC=12 米， AB 的坡度 i=. 故选 C. 6 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 如图， 旗杆 PA 的高度与拉绳 PB 的长度相等 小 明将PB拉到PB的位置， 测得 （为水平线） ， 测角仪的高度为1
7、米， 则旗杆PA的高度为( ) 6 A B C D 【答案】A 7如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为、，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100m，点 A、D、B 在同一直线上，则 A、B 两点的距离是 A 200m B C D 【答案】D 【解析】先根据从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为、可求出与的度数， 再由直角三角形的性质求出 AD 与 BD 的长，根据即可得出结论 解：从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为、， ， 7 ， 是等腰直角三角形， ， 在中， ， ， ， 故选 D 8如图，要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为 35
8、,高 CD 长为 3 米,则斜梁 AC 长为（ ）米 A B C 3sin35 D 【答案】D 9如图，甲、 乙为两座建筑物， 它们之间的水平距离 BC 为 30 日，在 A 点测得 D 点的仰角， 在 B 点测得 D 点的仰角为，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为 米 A ，30 B 30， C ，30 D ， 8 【答案】D 【解析】在中可求得 CD 的长，即求得乙的高度，延长 AE 交 CD 于 F，则，求得 ，在中可求得 DF，则可求得 CF 的长，即可求得甲的高度 解：延长 AE 交 CD 于 F，则， 10如图，在中，点 D 是 CB 延长线上的一点，且，则 的值为 A B C D
9、 9 【答案】A 【解析】 通过解直角得到 AC 与 BC、 AB 间的数量关系， 然后利用锐角三角函数的定义求 的值 解：如图， 在中， ， ， ， 故选：A 11如图，直立于地面上的电线杆APM，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BCCD、. 测得6mBC ， 4mCD ， 150BCD，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为30，则电线杆AB的 高度 为（ ） A 22 3 B 42 3 C 42 3 D 43 2 【答案】B 10 由题意得E=30 ， EF= tanE DF =23， BE=BC+CF+EF=6+43， AB=BE tanE= 3 3 （6+43） =（23+4
10、）米， 即电线杆的高度为（23+4）米 故选 B. 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题， 掌握仰角俯角的概念、 熟记锐角三角函数的定义是解题 的关键 12如图，在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE 留 在坡面上已知铁塔底座宽 CD=12 m，塔影长 DE=18 m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站 在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2m 和 1m，那么塔高 AB 为（ ） 11 A 24m B 22m C 20m D 18m 【答案】A 二、填空题 12 13如图，小明为
11、了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部 B 点 6m 的位置， 在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53 ，若测角仪的高度是 1.5m，则旗杆 AB 的高度约为_m （精确到 0.1m参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33） 【答案】9.5 【解析】解：过 D 作 DEAB， 在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53 ， ADE53 ， BCDE6m， AEDEtan5361.337.98m， ABAEBEAECD7.981.59.48m9.5m， 故答案为：9.5 14如图，某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度，已知在离地面
12、 900 米高度 C 处的飞机上，测量 人员测得正前方 A、B 两点处的俯角分别为和，则隧道 AB 的长为_米 结果保留根号 【答案】 13 15如图，平台 AB 高为 12m，在 B 处测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为，底部点 C 的俯角为， 则楼房 CD 的高度为_ 【答案】 14 16如图所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的 雷达测得 AR 的距离是 40 km，仰角是 30 .n s 后，火箭到达 B 点，此时仰角是 45 ，则火箭在 这 n s 中上升的高度为_km. 【答案】2020 15 17小强和小明去测量一座古塔的高度，如图
13、，他们在离古塔 60 m 处( A )用测角仪测得塔顶的仰角为 30 ，已知测角仪高 AD 1.5 m，则古塔 BE 的高为_m 【答案】203+1.5 【解析】过点 A 作 AFBE 于点 F，则 AF=DE=60，EF=AD=1.5，BAF=30 ，因为 tanBAF= BF AF ， 所以 60 BF = 3 3 ，所以 BF=203，则 BE=BF+EF=203+1.5，故答案为（203+1.5）. 16 18根据图中所给的数据，求得避雷针 CD 的长约为_m(结果精确到 0.01 m) 【答案】4.86 三、解答题 19 如图，某游客在山脚下乘览车上山导游告知， 索道与水平线成角为，
14、览车速度为 60 米 分， 11 分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度 BC 精确到 1 米 参考数据：， 【答案】山的高度 BC 约为 422 米. 【解析】 由题意可得，米，根据的正弦可求出 BC 的值 解：由题意可知， 17 在中， ， 米 答：山的高度 BC 约为 422 米 【点睛】 运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题解题关键是运用:正弦等于对边比斜边 20郑州市某中学周一举行升国旗仪式，小红站在队伍的第一排排头 CD 处，小明站在队伍的最后一排 EF 处，随着国歌响起，五星红旗冉冉升起，当国旗升至旗杆 AB 的顶端时，小红目视国旗的仰角是， 小明目视国旗的仰角为，
15、 已知小红的眼睛与地面的距离CD是， 小明的眼睛与地面的距离EF是， 两人相距 10m 且位于旗杆同侧 点 B，D，F 在同一条直线上 请求出旗杆 AB 的高度 参考数据：结果保留 整数 【答案】旗杆 AB 的高度 15 米 18 在中， ， ， 解得， 米 答：旗杆 AB 的高度 15 米 21如图，一艘游轮在 A 处测得北偏东 45 的方向上有一灯塔 B游轮以 20海里/时的速度向正东方 向航行 2 小时到达 C 处， 此时测得灯塔 B 在 C 处北偏东 15 的方向上， 求 A 处与灯塔 B 相距多少海里？ （结 果精确到 1 海里，参考数据：1.41，1.73） 【答案】A 处与灯塔
16、B 相距 109 海里 19 22两栋居民楼之间的距离 CD=30 米，楼 AC 和 BD 均为 10 层，每层楼高 3 米 （1）上午某时刻，太阳光线 GB 与水平面的夹角为 30 ，此刻 B 楼的影子落在 A 楼的第几层？ （2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B 楼的影子刚好落在A 楼的底部 【答案】 （1）此刻B 楼的影子落在 A 楼的第 5 层； （2）当太阳光线与水平面的夹角为 45 度时，B 楼的 影子刚好落在 A 楼的底部 20 （2）连接 BC，BD=3 10=30=CD， BCD=45 ， 答：当太阳光线与水平面的夹角为 45 度时，B 楼的影子刚好落在 A 楼的底部
17、23如图，张明同学想测量某铜像的高度，已知铜像（图中）高度比底座（图中）高度多 1 米， 张明随后用高度为 1 米的测角仪（图中）测得铜像顶端点 的仰角 5124，底座顶端点 的仰角 2636请你帮助张明算出铜像 AB 的高度（把铜像和底座近似看在一条直线上它的抽象几何图形如左 图） （参考数据： sin26360.45, cos26360.89， tan26360.5， sin51240.78,cos51240.6， tan51241.25） 【答案】6 米 24如图，在大楼 AB 正前方有一斜坡 CD，坡角DCE=30 ，楼高 AB=60 米，在斜坡下的点 C 处测得 楼顶 B 的仰角为
18、60 ，在斜坡上的 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45 ，其中点 A,C,E 在同一直线上. （1）求坡底 C 点到大楼距离 AC 的值； 21 （2）求斜坡 CD 的长度. 【答案】 （1）坡底 C 点到大楼距离 AC 的值为 20米； （2）斜坡 CD 的长度为 80-120 米. （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，则四边形 AEDF 为矩形， AF=DE，DF=AE. 设 CD=x 米，在 RtCDE 中，DE= x 米，CE=x 米 在 RtBDF 中，BDF=45 ， BF=DF=AB-AF=60- x（米） DF=AE=AC+CE， 20+x=60- x 解得：x=80-12
19、0（米） 故斜坡 CD 的长度为（80-120）米. 25 如图， 甲、 乙两数学兴趣小组测量山 CD 的高度. 甲小组在地面 A 处测量， 乙小组在上坡 B 处测量， AB=200 m. 甲小组测得山顶 D 的仰角为 45 ，山坡 B 处的仰角为 30 ；乙小组测得山顶 D 的仰角为 58 . 求 22 山 CD 的高度（结果保留一位小数） 参考数据：，供选用. 【答案】山高约为 295.2 m. EC=BF=100 米， 设 BE=x 米，则 FC=x 米， 在 RtDBE 中， DBE=58 ， DE=tan58BE=1.6x（米） ， DAC=45 ，C=90 ， ADC=45 ， A
20、C=DC， 23 AC=AF+FC=（100+x）米， DC=DE+EC=（1.6x+100）米， 解得：x=122， DC=DE+EC=1.6 122+100=295.2（米） ； 答：山的高度 BC 约为 295.2 米 26如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距 点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角 ，若新坡面下 处与建筑物之间需留下至少 米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最 后结果保留一位小数）. （参考数据：，） 【答案】该建筑物需要拆除. 27为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加
21、固，专家提供的方案是：水坝加高 2 米（即 CD=2 米） ，背水坡 DE 的坡度 i=1：1（即 DB：EB=1：1） ，如图所示，已知 AE=4 米，EAC=130 ， 求水坝原来的高度 BC （参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.2） 24 【答案】水坝原来的高度为 12 米 28高为 12.6 米的教学楼 ED 前有一棵大树 AB（如图） （1）某一时刻测得大树 AB、教学楼 ED 在阳光下的投影长分别是 BC=2.4 米，DF=7.2 米，求大树 AB 的高度 （2）用皮尺、高为 h 米的测角仪，请你设计另一种 测量大树 AB 高度的方案，要求：在图 2
22、上，画出 你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母 m 、n 表示，角度用希腊字母 、 表示） ； 根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树 AB 高度（用字母表示） 【答案】 （1）4.2 米； （2）AB=（m tanh）米. 【解析】 （1）首先根据平行线的性质判断出，得到比例关系式，可求得的值； 25 （2）根据题意，设计测量方法，要求符合三角函数的定义，且易于操作即可. 解：连接 AC、EF， （1）太阳光线是平行线， ACEF， ACB=EFD ABC=EDF=90 ， ABCEDF， AB=4.2 答：大树 AB 的高是 4.2 米 （2） （方法一） 如图，
23、MG=BN=m， AG=mtan AB=（mtan+h）米 26 29如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，分别过点 B、C 作 BEAC，CEBD，BE 与 CE 交于点 E （1）求证：四边形 OBEC 是矩形； （2）当ABD=60 ，AD=2时，求EDB 的正切值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 30如图，在中，以 AC 为直径作交 BC 于点 D，过点 D 作于点 E，交 AC 的延长线于点 F 求证：EF 与相切； 若，求 EB 的长 27 【答案】证明见解析 【解析】如图，欲证明 EF 与相切，只需证得 通过解直角可以求得设的半径为 r， 由已知可得FODFAE， 继而得到， 由知， 在中， 则， ， FODFAE， 28 ， 设的半径为 r， ，