1、 1 考点 05 一元二次方程 一一、一元二次方程的概念一元二次方程的概念 1一元二次方程一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 2一般形式一般形式 2 0axbxc（其中 , ,a b c为常数， 0a），其中 2, ,ax bx c分别叫做二次项、一次项和常数 项，, a b分别称为二次项系数和一次项系数 注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a，因为当0a时，不含有二次项，即不 是一元二次方程； （2）一元二次方程必须具备三个条件： 必须是整式方程； 必须只含有一个未知数； 所含未知数的最高次数是 2 二二、一元二次方程的解法一元二
2、次方程的解法 1直接开平方法直接开平方法 适合于 2 ()()0 xab b或 22 ()()axbcxd形式的方程 2配方法配方法 （1）化二次项系数为 1； （2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把方程整理成 2 ()()0 xab b的形式； （5）运用直接开平方法解方程 3公式法公式法 （1）把方程化为一般形式，即 2 0axbxc； （2）确定, ,a b c的值； 2 （3）求出 2 4bac的值； （4）将, ,a b c的值代入 2 4 2 bbac x a 即可 4因式分解法因式分解法 基本思想是把方程
3、化成()()0axb cxd的形式，可得0axb或0cxd 三三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1根的判别式根的判别式 一元二次方程 2 (0)0axbxca是否有实数根， 由 2 4bac的符号来确定， 我们把 2 4bac 叫做一元二次方程根的判别式 2一元二次方程根的情况与判别式的关系一元二次方程根的情况与判别式的关系 （1）当 2 40bac时，方程 2 (0)0axbxca有两个不相等的实数根； （2）当 2 40bac时，方程 2 (0)0axbxca有 1 个（两个相等的）实数根； （3）当 2 40bac时，方程 2 (0)0axbx
4、ca没有实数根 3根与系数关系根与系数关系 对于一元二次方程 2 0axbxc（其中 , ,a b c为常数， 0a），设其两根分别为 1 x， 2 x，则 12 b xx a ， 12 c x x a 四四、利用一元二次方程解决实际问题利用一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样， 即审、 设、列、解、验、 答六步列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容 1增长率等量关系增长率等量关系 （1）增长率=增长量基础量 （2）设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则()1 n amb；当m 为平均下降率时，则有()
5、1 n amb 2利润等量关系利润等量关系 （1）利润=售价成本 （2）利润率= 利润 成本 100 3 3面积问题面积问题 （1）类型 1：如图 1 所示的矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影 部分的面积为()(22 )ax bx （2）类型 2：如图 2 所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面 积为()()ax bx （3）类型 3：如图 3 所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则 4 块空白部分 的面积之和可转化为()()ax bx 图 1 图 2 图 3 考向一 一元二次方程的概念 一元二次方程必须具备三个条件： 必须
6、是整式方程；必须只含有一个未知数；所含未知数的最高次数是 2 典例典例 1 【江西省赣州市蓉江新区潭东中学 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】方程 2 254xx 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 A2，5，4 B2，5 ，4 C2， 5，4 D2，5，4 【答案】D 【解析】 2 254xx 可变形为： 2 2540 xx ， 二次项系数为：2，一次项系数为：5，常数项为：4， 故选 D 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟记定义. 4 1下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 A 2 0axbxc（a是实数） B 2 121xxx C 2 1 30
7、x x D 2 210 x 考向二 解一元二次方程 一元二次方程的常见解法及适用情形： 一般形式： 2 (00)axbxca 直接开平方 法 形 如 2 ()(0)xmn n的 方 程 ， 可 直 接 开 方 求 解 ， 则 1 xmn， 1 xmn 因式分解法 可化为()()0a xm xn的方程，用因式分解法求解，则 1 xm ， 1 xn 配方法 若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为 2 ()a xhk，再直接开方求解 公式法 利用求根公式： 2 2 4 (40) 2 bbac xbac a 典 例典 例 2 若2x是 关 于x的 一 元 二 次 方 程 22 3 0 2 xaxa的
8、 一 个 根 ， 则a的 值 为 _ 【答案】1或4 【解析】因为2x是关于x的一元二次方程 22 3 0 2 xaxa的一个根， 所以 22 3 220 2 ()()aa ，即 2 340aa，整理得 1)40()(aa ， 解得 1 4a ， 2 1a 故a的值是1或4 典例典例 3 用配方法解方程 2 210 xx 时，配方结果正确的是 A 2 (2)2x B 2 (1)2x C 2 (2)3x D 2 (1)3x 5 【答案】B 【解析】因为 2 210 xx ，所以 2 212xx ，即 2 (1)2x 故选 B 2一元二次方程 2 3830 xx的解是_ 3方程( )32)11(x
9、 xx的根是_ 考向三 一元二次方程根的判别式 对于方程 2 (0)0axbxca， 2 4bac， 若，方程有两个不相等的实数根； 若，方程有两个相等的实数根； 若，方程没有实数根 典例典例 4 【四川省成都市部分学校 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】一元二次方程 2 710 xx 的根的情况是 A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【答案】A 【解析】对于方程 2 710 xx ，因为 a=1，b=7，c=1，所以 =（7） 24 1 （1）=530， 所以方程有两个不相等的实数根.故选 A. 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根的
10、判别式，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的 判别式与方程根的个数的关系是关键. 典例典例 5 有两个一元二次方程： 2 0axbxc， 2 0cxbxa，其中0ac ，以下四个 结论中，错误的是 A如果方程有两个相等的实数根，那么方程也有两个相等的实数根 B如果方程和方程有一个相同的实数根，那么这个根必定是1x 6 C如果 4 是方程的一个根，那么 1 4 是方程的一个根 D方程的两个根的符号相异，方程的两个根的符号也相异 【答案】B 【解析】选项 A， 2 1 4bac， 2 2 4bac， 12 ，所以 A 正确； 选项 B，因为将1分别代入方程，值相等，结合0ac ，可知 B 不正确
11、； 选项 C，因为1640abc ， 11 0 164 cba，即1640abc ，故 C 正确； 选项 D，由根与系数关系可知 D 正确 故选 B 4下列方程中，没有实数根的是 A 2 0 xx B 2 20 xx C 2 20 xx D 2 20 xx 5【安徽省芜湖市部分学校 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】已知关于 x 的一元二次方 程 x2+（k+1）x+k=0 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正数，求 k 的取值范围 考向四 根与系数关系 设一元二次方程 2 0(0)axbxca的两根分别为 1 x， 2 x，则 12 b xx a ， 1
12、2 c x x a 7 典例典例 6 若1 3 是方程 2 20 xxc的一个根，则c的值为 A2 B4 3 2 C33 D1 3 【答案】A 【解析】由根与系数的关系可得另一个根为2(13)13 ，所以(13)(13)2c . 故选 A 典例典例7 如果 1 x，2x是一元二次方程 2 650 xx的两个实根， 那么 22 12 xx_ 【答案】46 【解析】由根与系数关系，可得 12 6xx， 12 5x x ， 则 222 121212 ()2365 246xxxxx x 6若方程 2 410 xx-+ =的两根是 1 x， 2 x，则 122 (1)xxx+的值为_ 7关于x的方程02
13、 2 nmxx的两个根是2和1，则 m n的值为 A8 B8 C16 D16 考向五 一元二次方程在实际问题中的应用 列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程其中分析实际 问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符 合实际问题 典例典例 8 【山东省滨州市博兴县 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】某地区 2018 年投入教 育经费5000万元，预计 2020 年投入7200万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x， 由题意可列方程为_ 【答案】 2 5000 17200 x 8 【解析】由题意得
14、2 5000 17200 x，故答案为 2 5000 17200 x. 【名师点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握增长率问题的方程形式是关键. 典例典例 9 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元，设该药品平均每次降价的 百分率为x，根据题意可列方程是_ 【答案】 2 03(5 12) x 【解析】由题意可得 2 03(5 12) x 8某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，从 1 月份到 3 月份，该店销 售额平均每月的增长率是 A20% B25% C50% D62.5% 9 【湖北省孝感市云梦县 20192020 学年九年级
15、上学期期中数学试题】 如图是一张长 12dm， 宽 6dm 的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为 xdm 的正方形，然后将四周突出部分折 起，可制成一个无盖长方体纸盒 （1）无盖方盒盒底的长为_dm，宽为_dm（用含 x 的式子表示） （2）若要制作一个底面积是 40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长 x 1关于x的一元二次方程（a 21）23x+a2+3a4=0 的一个根为 0，则a的值是 A4 B1 C4 或1 D4或1 2方程x 2=x 的根是 9 A1 B 1 C0 和 1 D0 3已知关于 x 的一元二次方程（k+1）x2+2x1=0 有实数根，则 k 的取值
16、范围是 Ak2 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 4用“配方法”解一元二次方程 x216x+24=0，下列变形结果，正确的是 A（x4）2=8 B（x4）2=40 C（x8）2=8 D（x8）2=40 5同学聚会，每两人都握手一次，共握手 45 次，设 x 人参加聚会，列方程为 Ax（x1）=45 Bx（x1）= 45 2 C 1 2 x（x1）=45 Dx（x+1）=45 6制造某种产品成本 100 元，计划经过两年成本降低为 64 元，则平均每年降低 A18% B20% C36% D以上答案均错 7一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图 1 放置，两个小正方形纸片的重叠部 分
17、面积为 4；按如图 2 放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方 形覆盖的部分（阴影部分）的面积为 44，则把两张小正方形按如图 3 放置时，两个小正方形重 叠部分的面积为 A11 B12 C20 D24 8已知 ,m n是方程 x2+x3=0 的两个实数根，则 2 2019mn的值是 A2023 B2021 C2020 D2019 9若关于 x 的方程 2 (4)80 xxxm 的三个根恰好可以成为某直角三角形的三边长，则 m 的值为 10 A24 B15 C15 或 24 D无解 10关于x的一元二次方程 2 80 xxq有两个不相等的实数根，则q的取值范围是 A
18、16q B16q C 4q D4q 11已知 cba,为常数，点),(caP在第二象限，则关于x的方程 0 2 cbxax根的情况是 A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 12关于x的一元二次方程 22 (2 )10 xaa xa 的两个实数根互为相反数，则a的值为 A2 B0 C1 D2或0 13如果2是方程 2 30 xxk的一个根，则此方程的另一根为 A2 B1 C1 D2 14设，是方程 2 210 xx 的两根，则代数式 的值是 A1 B1 C3 D3 15若关于x的一元二次方程 2 0 xbxc的两个实数根分别为2和4，则bc A10 B10 C6
19、 D1 16已知一元二次方程 2 210 xx 的两根分别为 1 x， 2 x，则 12 11 xx 的值为 A2 B1 C 1 2 D2 172018 年某市人民政府投入 1000 万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到 2020 年再追加 投资 210 万元，如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为 A10% B8% 11 C1.21% D12.1% 18已知一次函数 y=kx+b 的大致图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x22x+kb+1=0 的根的情 况是 A有两个不相等的实数根 B没有实数根 C有两个相等的实数根 D有一个根是 0 19用配方法解方程
20、 x2+6x5=0 时，应该变形为_ 20【江苏省常州市常州市新北区实验学校 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】关于 x 的 方程 2 21 (1)50 aa axx 是一元二次方程，则 a=_ 21 已知关于x的一元二次方程 2 20 xxm有两个相等的实数根， 则m的值是_ 22 在一次聚会中， 参加聚会的人每两位都相互握一次手， 一共握手 28 次， 设参加聚会有x人， 则可列方程_ 23若 x=1 是方程 x2+px+q=0 的解，则 pq 的值是_ 24方程 2 2430 xx的两根为 1 x， 2 x，则 12 11 xx =_ 25设，是方程( 1)(4)5xx 的
21、两实数根，则 33 _ 26解下列方程： （1） 2 235()x； （2） 2 2330 xx； 12 （3） 2 () 330 xx 27关于x的一元二次方程 2 (3)220 xkxk （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于 1，求k的取值范围 28已知，关于x的一元二次方程 2 210 xxm 有两个不相等的实数根. （1）求m的取值范围； （2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值. 29根据要求，解答下列问题 （1）根据要求，解答下列问题 13 方程 2 210 xx 的解为_； 方程 2 320 xx的解为_； 方程 2 430 xx的解为_； （2
22、）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 方程 2 980 xx的解为_； 关于x的方程_的解为 1 1x ， 2 xn （3）请用配方法解方程 2 980 xx，以验证猜想结论的正确性 30如图，要在长、宽分别为 50 米、40 米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭为方便行人，分 别从东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观 赏亭边长的 1 5 ，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的 3 25 ，求小路的宽 14 31如图，在ABC 中，B=90 ，AB=5cm，BC=7cm点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的 速度移动，点 Q 从
23、点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 （1）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 6 cm2？ （2）在（1）中，PQB 的面积能否等于 8 cm2？说明理由 32【江西省赣州市蓉江新区潭东中学 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】赣州蓉江新区 某汽车销售公司去年 12 月份销售新上市一种新型低能耗汽车 200 辆， 由于该型汽车优越的经济 适用性，销量快速上升，今年 2 月份该公司销售该型汽车达到 450 辆，并且去年 12 月到今年 1 月和今年 1 月到 2 月两次的增长率相同 （1）求该公司销售该型汽车每次的增长率；
24、 （2）若该型汽车每辆的盈利为 5 万元，则平均每天可售 8 辆，为了尽量减少库存，汽车销售公 司决定采取适当的降价措施， 经调查发现， 每辆汽车每降 5000 元， 公司平均每天可多售出 2 辆， 若汽车销售公司每天要获利 48 万元，每辆车需降价多少？ 15 1（2019河南）一元二次方程（x+1）（x1）=2x+3 的根的情况是 A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 2（2019黑龙江）某校“研活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支 干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 43，则这种植物每个支 干长出
25、的小分支个数是 A4 B5 C6 D7 3（2019广西）扬帆中学有一块长 30m，宽 20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的 区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为 xm，则可列方程为 A（30 x）（20 x）= 3 4 2030 B（302x）（20 x）= 1 4 2030 C30 x+220 x= 1 4 2030 D（302x）（20 x）= 3 4 2030 4（2019河北）小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a0）时，只抄对了 a=1，b=4，解出其中一 个根是 x=1他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2，则原方程的
26、根的情况是 A不存在实数根 B有两个不相等的实数根 C有一个根是 x=1 D有两个相等的实数根 16 5（2019新疆）若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 Ak 5 4 Bk 5 4 Ck0， k0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0，ab=8，ab=m， m0，b0， 方程 x22x+kb+1=0 有两个不等的实数根. 故选 A 【名师点睛】判断根的情况，只要看根的判别式=b24ac 的值的符号就可以了 19【答案】（x+3）2=14 【解析】方程移项得：x2+6x=5，配方得：x2+6x+9=
27、14，即（x+3）2=14. 【名师点睛】此题考查了解一元二次方程的方法：配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关 键方程中常数项移到右边，两边加上 9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断 20【答案】3 24 【解析】关于 x 的方程 2 21 (1)50 aa axx 是一元二次方程， a22a1=2 且 a+10，解得：a=3故答案为：3 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的概念和解法，熟记概念是解决此题的关键，注意二次 项系数不能为 0 21【答案】1 【 解 析 】 因 为 关 于x的 一 元 二 次 方 程 2 20 xxm有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 所 以 2
28、 240m，解得1m 22【答案】8 2 () 1 12x x 【解析】参加聚会的有x人，每个人都要握手(1)x次，可列方程：8 2 () 1 12x x 23【答案】1 【解析】x=1 是方程 x2+px+q=0 的解，1p+q=0，pq=1 故答案为：1 【名师点睛】 本题考查了一元二次方程的解， 解题的关键是了解方程的解能使得方程两边相等， 难度不大 24【答案】 4 3 【解析】方程 2 2430 xx的两根为 1 x， 2 x， 12 2xx ， 12 3 2 x x ， 12 1212 1124 3 3 2 xx xxx x . 故答案为： 4 3 . 【名师点睛】本题考查了一元二
29、次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握根与系数 的关系 是解题关键. 25【答案】47 25 【解析】方程(1)(4)5xx 可化为 2 310 xx ，因为，是方程( 1)(4)5xx 的 两 实 数 根 ， 所 以3，1， 所 以 222 (+)27 ， 4422 222 =()2 47，所以 3344 47 26【答案】（1） 10 3 2 x ；（2） 333 4 x ；（3） 1 3x ， 2 4x 【解析】（1） 2 235()x，开平方可得 10 3 2 x ，即 10 3 2 x ， 所以方程 2 235()x的解为 10 3 2 x （2）由 2 2330 xx，可得
30、 2,3,3abc ， 2 4330bac， 所以 333333 2 2 () 4 x ， 所以方程 2 2330 xx的解为 333 4 x （3） 2 () 330 xx，即 2 ()(30)3xx，即()() 1330 xx， 即4)30()(xx，解得 1 3x ， 2 4x ， 所以方程 2 () 330 xx的解为 1 3x ， 2 4x 【名师点睛】一元二次方程的解法：（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用；（2）配方 法，所有方程适用；（3）公式法，所有方程适用；（4）因式分解法，可因式分解的方程适用 27【答案】（1）证明见解析；（2）0k 【解析】（1）因为 222 (3
31、)4(22)21(1)0kkkkk ， 所以方程总有两个实数根 （2）因为 2 (3)22(2)(01)xkxkxxk， 所以 1 2x ， 2 1xk， 因为方程总有一根小于 1， 所以1 1k ，即0k 26 故k的取值范围为0k 【思路分析】（1）由方程根的判别式0即可求证；（2）由因式分解法可将方程化为 1()2)(xxk的形式，解出两根即可 28【解析】（1）根据题意得： 2 2410m， 解得：2m. 故m的取值范围为2m； （2）由（1）得：2m， m为非负整数， 0m或1， 把0m代入原方程得： 2 210 xx ， 解得： 1 12x ， 2 12x ， 0m不合题意，舍去；
32、 把1m代入原方程得： 2 20 xx， 解得： 1 0 x ， 2 2x . 故m的值是1. 【名师点睛】此题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程 的解的定义是解题关键 29【答案】（1） 1 1x ， 2 1x ， 1 1x ， 2 2x ， 1 1x ， 2 3x ； （2） 1 1x ， 2 8x ， 2 )0(1xn xn；（3） 1 1x ， 2 8x ，猜想结论正确 【解析】（1） 1 1x ， 2 1x ； 1 1x ， 2 2x ； 1 1x ， 2 3x （2） 1 1x ， 2 8x ； 2 )0(1xn xn （3） 2 980 xx，即
33、2 98xx ，即 2 8181 98 44 xx ，即 2 49 () 9 24 x， 所以 7 2 9 2 x ， 所以 1 1x ， 2 8x 故猜想结论正确 30【答案】小路的宽为 2 米 27 【解析】设小路的宽为 x 米， 由题意得，（5x）2+（40+50）x2 x 5x= 3 25 40 50， 解得 x=2 或 x=8（不合题意，舍去） 答：小路的宽为 2 米 【名师点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关 键.根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的 3 25 ”，建立方程求解即可得出结论 31【答案】（1）2 或 3 秒；（2）不能.
34、 【解析】（1）设经过 x 秒以后PBQ 的面积为 6 cm2， 则 1 2 （5x） 2x=6， 整理得：x25x+6=0， 解得：x=2 或 x=3 答：2 或 3 秒后PBQ 的面积等于 6 cm2 （2）设经过 x 秒以后PBQ 面积为 8 cm2，则 1 2 （5x） 2x=8， 整理得：x25x+8=0， 因为=2532=70， 所以此方程无解， 故PQB 的面积不能等于 8 cm2 【名师点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用， 找到关键描述语“PBQ 的面积等于 6 cm2”， 得出等量关系是解决问题的关键 （1）设经过 x 秒钟，PBQ 的面积等于 6 cm2，根据点 P
35、从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的 速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，表示出 BP 和 BQ 的长可列方 程求解 （2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到 8 cm2 32【解析】（1）设该公司销售该型汽车每次的增长率为 x， 根据题意列方程： 2 200 1450 x（） ， 解得： 1 250%x（不合题意，舍去）， 2 50%x 答：该公司销售该型每次增长率为 50% 28 （2）设每辆车需降价 y 万元，日销售量为：82(84 ) 0.5 y y 辆. 根据题意得：58448yy， 解得：y1=1，y2
36、=2 因题意要尽快减少库存，y=2 答：每辆车需降价 2 万元 【名师点睛】本题考主要查了一元二次方程的应用判断所求的解是否符合题意，舍去不合题 意的解找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键 1【答案】A 【解析】原方程可化为：x22x4=0，a=1，b=2，c=4，=（2）241（4）=200， 方程有两个不相等的实数根故选 A 2【答案】 【解析】 设这种植物每个支干长出 x 个小分支， 根据题意， 得： 1+x+x2=43， 解得： x1=7 （舍去） ， x2=6故选 C 3【答案】D 【解析】设花带的宽度为 xm，则可列方程为（302x）（20 x）= 3 4 2030，故选 D
37、【名师点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的 相等关系 4【答案】A 【解析】小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a0）时，只抄对了 a=1，b=4，解出其中一个 根是 x=1， （1）24+c=0，解得：c=3，故原方程中 c=5，则 b24ac=16415=40，则原方程的根的 情况是不存在实数根故选 A 【名师点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出 c 的值是解题关键 5【答案】D 【解析】 关于 x 的一元二次方程 （k1） x2+x+1=0 有两个实数根， 2 10 14 (1) 1 0 k k ， 直通中考直通中考 29 解得：
38、k 5 4 且 k1故选 D 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别 式 0，找出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键 6【答案】A 【解析】设有 x 个队参赛，根据题意，可列方程为： 1 2 x（x1）=36，故选 A 【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的 等量关系，注意 2 队之间的比赛只有 1 场，最后的总场数应除以 2 7【答案】D 【解析】=（2）2410=40，x1x2，选项 A 不符合题意； x1是一元二次方程 x22x=0 的实数根，x122x 1=0，选项 B 不符合题意； x1
39、，x2是一元二次方程 x22x=0 的两个实数根，x 1+x2=2，x1 x 2=0，选项 C 不符合题意，选项 D 符合题意 故选 D 【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关 键 8【答案】0 【解析】x1、x2是方程 x2x1=0 的两根，x1+x2=1，x1x2=1，x1+x2+x1x2=11=0故答案为： 0 【名师点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两根为 x1，x2，则 x1+x2= b a ，x1x2= c a 9【答案】（12x）（8x）=77 【解析】道路的宽应为 x 米，由题意得，（
40、12x）（8x）=77， 故答案为：（12x）（8x）=77 【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移 到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键 10【答案】x1=3，x2=1 【解析】两边直接开平方得：x1=2， x1=2 或 x1=2， 解得：x1=3，x2=1 30 【名师点睛】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号 的左边，把常数项移到等号的右边，化成 x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解 11【答案】x1= 9353 4 ，x2= 9353 4 【解析】原方程化为一般形式为 2x29x34=0， x2
41、 9 2 x=17， x2 9 2 x+ 81 16 =17+ 81 16 ， （x 9 4 ）2= 353 16 ， x 9 4 = 353 4 ， 所以 x1= 9353 4 ，x2= 9353 4 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法， 配方法， 公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 12【答案】x1=x2=1 【解析】关于 x 的方程 x22x+2m1=0 有实数根， b24ac=44（2m1）0，解得 m1， m 为正整数，m=1， x22x+1=0， 则（x1）2=0， 解得：x1=x2=1 【名师点睛】此题主要考查了根的
42、判别式，正确得出 m 的值是解题关键 13【答案】（1）计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是 6 万座 （2）2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 70% 【解析】（1）1.54=6（万座） 答：计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是 6 万座 （2）设 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x， 根据题意，得：6（1+x）2=17.34， 31 解得：x1=0.7=70%，x2=2.7（舍去） 答：2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 70% 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键