1、 1 考点 14 三角形及其全等 一、一、三角形的基础知识三角形的基础知识 1三角形的三角形的概念概念 由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形 2三角形的三边关系三角形的三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边 推论：三角形的两边之差小于第三边 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： 判断三条已知线段能否组成三角形；当已知两边时，可确定第三边的范围；证明线段不等关系 3三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180 推论：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形 的一个外角大于
2、任何一个和它不相邻的内角 4三角形中的重三角形中的重要线段要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平 分线 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的 高） （4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边 的一半 二、全等三角形二、全等三角形 1三角形全等的判定定理：三角形全等的判定定理： （1） 边角边定理： 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 （可简写成“边角边”或“S
3、AS”） ； （2） 角边角定理： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （可简写成“角边角”或“ASA”） ； （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2 （4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直 角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 2全等三角形的性质：全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等 考向一 三角形的三边关系 在判断三条线
4、段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来 判断 典例典例 1 小芳有两根长度为 6 cm 和 9 cm 的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她 应该选择长度为_的木条 A2 cm B3 cm C12 cm D15 cm 【答案】C 【解析】设木条的长度为 x cm，则 96x9+6，即 3x15，故她应该选择长度为 12 cm 的木条 故选 C 1以下列各组线段为边，能组成三角形的是 A2 cm，5 cm，8 cm B3 cm，3 cm，6 cm C3 cm，4 cm，5 cm D1 cm，2 cm，3 cm 考向二 三角形的内角和外
5、角 在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角 3 典例典例 2 小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中90E ，90C，45A ， 30D，则12 等于 A150 B180 C210 D270 【答案】C 【解析】如图， 1DDOA ，2EEPB ， DOACOP，EPBCPO， 12DECOPCPO =180DEC =309018090210， 故选 C 2如图，CE 是ABC 的外角ACD的平分线，若 3560，BACE，则 A_ 3如图，在ABC 中，ACB=68 ，若 P 为ABC 内一点，且1=2，则BPC=_ 4 考向三 三角形中的重要线段 三
6、角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得 90的角，由三角形的中线可得线段之间的 关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系另外，要注意区分三角形的中线和中位线中线：连接三 角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段. 典例典例 3 在ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F 分别为 AB，BC，AC 中点，连接 DF，FE，则四边 形 DBEF 的周长是 A5 B7 C9 D11 【答案】B 【解析】D、E、F 分别为 AB、BC、AC 中点，DF= 1 2 BC=2，DFBC，EF= 1 2 AB= 3 2 ，EFAB， 四边形 DBEF 为平
7、行四边形，四边形 DBEF 的周长=2（DF+EF）=2 （2+ 3 2 ）=7，故选 B 【名师点睛】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 典例典例 4 在ABC 中，BAC=115 ，DE、FG 分别为 AB、AC 的垂直平分线，则EAG 的度数为 A50 B40 C30 D25 【答案】A 【解析】BAC=115 ，B+C=65 ， DE、FG 分别为 AB、AC 的垂直平分线， EA=EB，GA=GC， EAB=B，GAC=C， EAG=BAC（EAB+GAC）=BAC（B+C）=50 ， 故选 A 5 4如图，在 RtABC 中，A=90 ，BD 平分A
8、BC 交 AC 于 D 点，AB=4，BD=5，点 P 是线段 BC 上的一 动点，则 PD 的最小值是_ 考向四 全等三角形 1 从判定两个三角形全等的方法可知， 要判定两个三角形全等， 需要知道这两个三角形分别有三个元素 （其 中至少有一个元素是边） 对应相等， 这样就可以利用题目中的已知边 （角） 准确地确定要补充的边 （角） ， 有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路： （1）已知两边 SAS HL SSS 找夹角 找直角 找第三边 （2）已知一边、一角 AAS SAS ASA AAS 一边为角的对边找另一角 找夹角的另一边 一边为角的邻边 找夹角的另一角 找边
9、的对角 （3）已知两角 ASA AAS 找夹边 找其中一角的对边 2若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补 短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目 典例典例 5 如图，点 B、F、C、E 在同一条直线上，ABDE，A=D，BF=EC （1）求证：ABCDEF； （2）若A=120 ，B=20 ，求DFC 的度数 6 【解析】（1）ABDE， B=E， BF=EC BF+FC=EC+CF， 即 BC=EF， 在ABC 和DEF 中， AD BE BCEF ， ABCDEF （2）A=120 ，B=20 ， ACB=40 ， 由（1
10、）知ABCDEF，ACB=DFE， DFE=40 ，DFC=40 【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”； 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等， 简记为“SAS”； 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 简记为“ASA”；两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；斜边及一直 角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可 5如图，OA=OB，A=B，有下列 3 个结论：AODBOC，ACEBDE，点 E 在O 的 平分线上，其中正确的结论个数是 A0 B1 C2 D3 7 6如图，在BCE 中，ACBE，A
11、B=AC，点 A、点 F 分别在 BE、CE 上，BF、AC 相交于点 D，BD=CE求 证：AD=AE 1下列线段，能组成三角形的是 A2 cm，3 cm，5 cm B5 cm，6 cm，10 cm C1 cm，1 cm，3 cm D3 cm，4 cm，8 cm 2下列图形不具有稳定性的是 A正方形 B等腰三角形 C直角三角形 D钝角三角形 3直角三角形中两锐角之差为 20 ，则较大锐角为 A45 B55 C65 D50 4如图，在ABC 中，C=90 ，B=30 ，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，垂足为点 E，DE=1，则 BC= A3 B2 C3 D 3+2 5如图所示，AB=DB
12、，BC=BE，欲证ABEDBC，则需补充的条件是 8 AA=D BE=C CA=C D1=2 6如图，ABC 中，H 是高 AD、BE 的交点，且 BH=AC，则ABC=_ 7如图，已知方格纸中是 4 个相同的正方形，则123=_度 8如图，已知 ABCF，E 为 DF 的中点，若 AB=8，CF=5，则 BD=_ 9如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=90 ，BD 是中线，AFBD，F 为垂足，过点 C 作 AB 的平行线交 AF 的延长线于点 E 求证：（1）ABD=FAD； （2）AB=2CE 9 10如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，点 D，F 分别在 AB，AC 上，CF
13、=CB连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 后得 CE，连接 EF （1）求证：BCDFCE； （2）若 EFCD求BDC 的度数 11如图，操场上有两根旗杆 CA 与 BD 之间相距 12 m，小强同学从 B 点沿 BA 走向 A，一定时间后他到达 M 点，此时他测得 CM 和 DM 的夹角为 90 ，且 CM=DM，已知旗杆 AC 的高为 3 m，小强同学行走的 速度为 0.5 m/s，则： （1）请你求出另一旗杆 BD 的高度； （2）小强从 M 点到达 A 点还需要多长时间？ 10 1（2019徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A2，2，4 B5，6 ，
14、12 C5，7，2 D6，8，10 2（2019百色）三角形的内角和等于 A90 B180 C270 D360 3（2019荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1的度数是 A95 B100 C105 D110 4（2019大庆）如图，在ABC 中，BE 是ABC 的平分线，CE 是外角ACM 的平分线，BE 与 CE 相交 于点 E，若A=60 ，则BEC 是 A15 B30 C45 D60 5（2019长春）如图，在ABC中，ACB为钝角用直尺和圆规在边AB上确定一点D使 2ADCB ，则符合要求的作图痕迹是 A B C D 11 6（2019张家界）如图
15、，在ABC中，90C，8AC ， 1 3 DCAD，BD 平分ABC，则点 D 到 AB 的距离等于 A4 B3 C2 D1 7（2019梧州）如图，DE是 ABC 的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且 85ACBC，则 BEC的周长是 A12 B13 C14 D15 8 （2019临沂） 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DEFE，FCAB， 若4AB ，3CF ， 则BD的长是 A0.5 B1 C1.5 D2 9（2019河南）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D=90 ，AD=4，BC=3分别以点 A，C 为圆心， 大于 1 2 AC 长为半径作弧，两弧交于点
16、 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O若点 O 是 AC 的中 点，则 CD 的长为 A2 2 B4 C3 D 10 12 10 （2019宿迁） 一副三角板如图摆放 （直角顶点C重合） ，边AB与CE交于点F，DEBC，则BFC 等于 A105 B100 C75 D60 11（2019青岛）如图，BD 是ABC 的角平分线，AEBD，垂足为 F若ABC=35 ，C=50 ，则 CDE 的度数为 A35 B40 C45 D50 12 （2019滨州） 如图， 在OAB和OCD中， ,40OAOB OCOD OAOCAOBCOD ， 连接,AC BD交于点M， 连接OM 下列
17、结论： ACBD； 40AMB； OM平分BOC； MO平分BMC其中正确的个数为 A4 B3 C2 D1 13（2019兰州）在ABC 中，AB=AC，A=40 ，则B=_ 14（2019长沙）如图，要测量池塘两岸相对的 A，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点 C，连接 AC， BC，分别取 AC，BC 的中点 D，E，测得 DE=50 m，则 AB 的长是_m 15（2019成都）如图，在ABC 中，AB=AC，点 D，E 都在边 BC 上，BAD=CAE，若 BD=9，则 CE 13 的长为_ 16 （2019南通） 如图， ABC 中， AB=BC， ABC=90 ， F 为 AB
18、延长线上一点， 点 E 在 BC 上， 且 AE=CF， 若BAE=25 ，则ACF=_度 17（2019泸州）如图，ABCD，AD和BC相交于点O，OAOD求证：OBOC 18 （2019广州）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，FCAB，求证：ADECFE 14 19（2019无锡）如图，在ABC 中，AB=AC，点D、E 分别在AB、AC 上，BD=CE，BE、CD 相交于点O 求证：（1）DBCECB； （2）OBOC 1【答案】C 【解析】2cm+5cm10，故正确； C、1+13，故错误； D、4+38，故错误 故选 B 2【答案】A 【解析】根据三角
19、形具有稳定性可知，只有选项 A 不具有稳定性，故选 A 3【答案】B 【解析】设两个锐角分别为 x、y，由题意得， =90 =20 xy xy ，解得 =55 =35 x y ，所以最大锐角为 55 故选 B 考点冲关考点冲关 16 4【答案】C 【解析】根据角平分线的性质可得 CD=DE=1，根据 RtADE 可得 AD=2DE=2，根据题意可得ADB 为 等腰三角形，则 DE 为 AB 的中垂线，则 BD=AD=2，则 BC=CD+BD=1+2=3故选 C 5【答案】D 【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证ABEDBC 还需补充条件 AB，BE 与 BC，BD 的夹角相 等，即ABE=
20、CBD 或者1=2，故选 D 6【答案】45 【解析】ADBC，BEAC， ADB=ADC=BEC=90 ， HBD+C=CAD+C=90 ， HBD=CAD， 在HBD 和CAD 中， HBDCAD HDBCDA BHAC ， HBDCAD， AD=BD， DAB=DBA， ADB=90 ， ABD=45 ， 即ABC=45 故答案为：45 7【答案】135 【解析】如图所示： 由题意可知ABCEDC，3=BAC， 又1+BAC=90 ，1+3=90 ， 17 DF=DC，2=45 ，1+2+3=135 度， 故答案为：135 8【答案】3 【解析】ABCF，A=FCE，ADE=F，又DE=
21、FE，ADECFE， AD=CF=5， AB=8，BD=ABAD=85=3， 故答案为：3 9【解析】(1)BAC=90 ，FADBAF=90 . AFBD，在 RtABF 中，ABDBAF=90 ， ABD=FAD (2)CEAB，BAC=90 ，ACE=90 ， 在BAD 和ACE 中， ABD=CAE，AB=CA，BAC=ACE=90 ， BADACE(ASA)，AD=CE. BD 为ABC 中 AC 边上的中线AC=2AD，AC=2CE. 又AB=AC，AB=2CE. 10【解析】（1）将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 后得 CE， CD=CE，DCE=90 ， ACB=
22、90 ， BCD=90 ACD=FCE， 在BCD 和FCE 中，CB=CF， BCD=FCE，CD=CE，CB=CF，BCD=FCE， BCDFCE （2）由（1）可知BCDFCE， BDC=E，BCD=FCE， DCE=DCA+FCE=DCA+BCD=ACB=90 ， EFCD， E=180 DCE=90 ， BDC=90 11【解析】（1）如图，CM 和 DM 的夹角为 90 ， 18 1+2=90 ，DBA=90 ，2+D=90 ，1=D， 在CAM 和MBD 中，1 AB D CMMD ， CAMMBD（AAS），AM=DB，AC=MB， AC=3m，MB=3m， AB=12m，AM
23、=9m，DB=9m； （2）9 0.5=18（s） 答：小强从 M 点到达 A 点还需要 18 秒 1【答案】D 【解析】224，2，2，4不能组成三角形，故选项 A 错误， 5 612 ，5，6，12不能组成三角形，故选项 B 错误， 527，5，7，2不能组成三角形，故选项 C 错误， 6 810 ，6，8，10能组成三角形，故选项 D 正确，故选 D 2【答案】B 【解析】因为三角形的内角和等于 180 度，故选 B 3【答案】C 【解析】如图， 直通中考直通中考 19 由题意得，245490 3060 ，-，3245 ， 由三角形的外角性质可知，134 105 ，故选 C 4【答案】B
24、 【解析】BE 是ABC 的平分线，EBM= 1 2 ABC， CE 是外角ACM 的平分线，ECM= 1 2 ACM， 则BEC=ECMEBM= 1 2 （ACMABC）= 1 2 A=30 ，故选 B 5【答案】B 【解析】2ADCB 且ADCBBCD ，BBCD ，DBDC， 点D是线段BC中垂线与AB的交点，故选 B 6【答案】C 【解析】如图，过点 D 作DEAB于 E， 8AC ， 1 3 DCAD， 1 82 1 3 CD ， 90C，BD 平分ABC，2DECD，即点 D 到 AB 的距离为 2，故选 C 7【答案】B 【解析】DE是ABC的边AB的垂直平分线，AEBE，85A
25、CBC，BEC的 周长是：13BEECBCAEECBCACBC故选 B 8【答案】B 【解析】CFAB，AFCE ，ADEF ， 20 在 ADE 和FCE中， AFCE ADEF DEFE ，ADECFE，3ADCF， 4AB ，4 3 1DBABAD 故选 B 9【答案】A 【解析】如图，连接 FC，则 AF=FC ADBC，FAO=BCO 在FOA 与BOC 中， FAOBCO OAOC AOFCOB ，FOABOC（ASA）， AF=BC=3，FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1 在FDC 中，D=90 ，CD2+DF2=FC2，CD2+12=32，CD=2 2故选 A 10【
26、答案】A 【解析】由题意知45E ，30B，DECB，45BCFE ， 在CFB中，1801803045BFCBBCF 105，故选 A 11【答案】C 【解析】 BD 是ABC 的角平分线， AEBD， ABD=EBD= 1 2 ABC= 35 2 ， AFB=EFB=90 ， BAF=BEF=90 -17.5 ，AB=BE，AF=EF，AD=ED，DAF=DEF， BAC=180 -ABC-C=95 ，BED=BAD=95 ，CDE=95 -50 =45 ，故选 C 12【答案】B 【解析】40AOBCOD，AOBAODCODAOD，即AOCBOD ， 在AOC和BOD中， OAOB AO
27、CBOD OCOD ，AOCBOD， 21 OCAODB ACBD ，正确； OACOBD，由三角形的外角性质得：AMBOACAOBOBD， 40AMBAOB ，正确； 作OGMC于G，OHMB于H，如图所示： 则90OGCOHD ， 在OCG和ODH中， OCAODB OGCOHD OCOD ，OCGODH，OGOH，MO平分 BMC，正确，正确的个数有 3 个，故选 B 13【答案】70 【解析】AB=AC，B=C， A+B+C=180 ，B= 1 2 （180 -40 ）=70 故答案为：70 14【答案】100 【解析】点 D，E 分别是 AC，BC 的中点，DE 是ABC 的中位线，
28、AB=2DE=250=100 m 故答案为：100 15【答案】9 【解析】AB=AC，B=C，在BAD 和CAE 中， BADCAE ABAC BC ，BADCAE， BD=CE=9，故答案为：9 16【答案】70 【解析】ABC=90 ，AB=AC，CBF=180 ABC=90 ，ACB=45 ， 在 RtABE 和 RtCBF 中， ABCB AECF ，RtABERtCBF， BCF=BAE=25 ，ACF=ACB+BCF=45 +25 =70 ，故答案为：70 17【解析】ABCD，AD ，BC ， 22 在AOB和DOC中， AD BC OAOD ， AOBDOC， OBOC 18【解析】FCAB， A=FCE，ADE=F， 所以在ADE 与CFE 中， AFCE ADEF DEEF ， ADECFE 19【解析】（1）AB=AC， ECB=DBC， 在DBC与ECB中， BDCE DBCECB BCCB ， DBCECB （2）由（1）DBCECB， DCB=EBC， OB=OC