1、 1 考点 21 定义、命题、定理 一、定义与命题一、定义与命题 1一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义 2判断一件事情的语句叫做命题 3命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的 事项 4命题的表达形式：命题可以写成“如果那么”的形式， “如果”后接的部分是题设， “那么”后接的部分是结论 二、二、真真命题命题、假命题假命题 1正确的命题叫做真命题 2要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、 证明） 3要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可 三三、逆命题逆命题 1把原命题的结论作为
2、命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命 题的逆命题 2在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个 命题就叫做它的逆命题 3正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论 4每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题 四四、公理与定理公理与定理 1如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原 始依据，这样的真命题叫做公理 2如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断
3、它是正确的，并且可以进 一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理 3公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据 2 4由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论 五五、互逆命题互逆命题 1 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题， 那么它也是一个定理， 这两个定理叫做互逆定理， 其中一个定理叫做另一个定理的逆定理 2任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理 3角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定 理等都是互逆定理 六六、反证法反证法 1定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，
4、由此经过推理得出矛盾，由矛盾断 定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法 2反证法的步骤： 假设命题结论的反面正确； 从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论； 说明假设不成立，从而得出原命题正确 考向一 命题的改写 每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的但有 些命题的题设和结论不明显，它不是以“如果那么”的形式给出的区分这类命题的题设 和结论的具体方法：添上省去的词语后再进行分析 典例典例 1 把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果，那么”的形式为_ 【答案】如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条
5、角平分线互相垂直 【解析】如果的后面是条件，那么的后面是结论，注意语句的通顺，表达的准确. 故答案为如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直. 3 1【浙江省绍兴市浣江教育集团 20182019 学年八年级上学期期中数学试题】把命题“同角的余角 相等”改写成“如果那么”的形式_ 考向二 真命题、假命题 1 判断语句是否为命题要抓住两条： 命题必须是一个完整的带有判断性的句子， 通常是陈述句 （包 括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；命题必须对某件事作出肯定或否定 的判断 2 辨别命题的真假时， 对命题的正确性理解一定要准确， 进行辨别时要熟练掌握相关的定理、 公理
6、、 定义要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决命题的反例是具备命题的条 件，但不具备命题的结论的实例 典例典例 2 下列命题是真命题的是 A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B两条对角线相等的四边形是平行四边形 C两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形 【答案】C 【解析】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误； B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形故本选项错误； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形故本选项正确； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形故本选项错误；故选 C
7、 2下列命题中，假命题的是 A直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 B圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C一组邻边相等的矩形是正方形 D菱形对角线互相垂直平分 考向三 互逆命题与互逆定理 4 1如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个叫做 原命题，那么另一个叫做它的逆命题 2一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为 逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理 3“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是 第二个命题的题设 典例典例 3 下列命题中，逆命题为真命题的是 A对
8、顶角相等 B若 a=b，则|a|=|b| C同位角相等，两直线平行 D若 ac2bc2，则 ab 【答案】C 【解析】A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题；B、若 a=b，则|a|=|b|的逆命题 是若|a|=|b|，则 a=b，假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，两直线平行， 真命题；D、若 ac2bc2，则 ab 的逆命题是若 ab，则 ac20，b0，则 a+b0 B直角都相等 C同位角相等，两直线平行 D若 ab，则|a|b| 4下列命题：长度相等的弧是等弧；任意三点确定一个圆；相等的圆心角所对的弦相等； 外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，
9、其中真命题有 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 5对于命题“若 a2b2，则 ab”，下面四组关于 a，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是 Aa=3，b=2 Ba=3，b=2 Ca=3，b=2 Da=2，b=3 6写出一个能说明命题：“若 22 ab，则a b”是假命题的反例：_. 7请写出“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：_ 8命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_ 9已知命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+ 1 4 =0，当 b0 时必有实数解”，能说明这个命题是假 命题的一个反例可以是_ 10若命题“ 1 2 x y 不是方程 ax2y=1 的解”为假命题，则
10、实数 a 满足：_ 11如图，有三个论断：1=2；B=C；A=D，请你从中任选两个作为条件，另一 个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性 7 12定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （1）写出这个定理的逆命题； （2）判断逆命题的真假并说明你的理由 13【广西贺州市八步区 20192020 学年八年级上学期段考数学试题】写出下列命题的逆命题，并 判断是真命题，还是假命题 （1）如果0a，0b，那么0ab （2）对顶角相等 13如图，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，连接 AD，AEAB=AC；AD=AE；BD=CE以此 三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构
11、成三个命题： 8 A：；B：；C： （1）以上三个命题是真命题的为_（直接作答）； （2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明） 14阅读以下证明过程： 已知：在ABC 中，C90，设 AB=c，AC=b，BC=a求证：a2+b2c2 证明：假设 a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知C=90 ，这与已知中的C90矛盾，故假设 不成立，所以 a2+b2c2 请用类似的方法证明以下问题： 已知：关于 x 的一元二次方程 x2-（m+1）x+2m-3=0 有两个实根 x1和 x2 求证：x1x2 9 1【江苏省常州市 2019 年中考数学试题】判断命题“如果 n1，那么 n210，
12、b0，则 a+b0 的逆命题为若 a+b0，则 a0，b0，错误，为假命题； B、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题； C、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，为真命题； D、若 ab，则|a|b|的逆命题为若|a|b|，则 ab，错误，为假命题， 故选 C 【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、直角的定义、平 行线的性质及绝对值的意义，难度不大 4【答案】B 【解析】等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误 不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项错误 考点冲关考点冲关 14 在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错
13、误 外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确 所以只有一项正确故选 B 5【答案】C 【解析】当 a=3，b=2 时，a2b2，而 ab 成立，故 A 选项不符合题意； 当 a=3，b=2 时，a2b2，而 ab 成立，故 B 选项不符合题意； 当 a=3，b=2 时，a2b2，但 ab 不成立，故 C 选项符合题意； 当 a=2，b=3 时，a2b2不成立，故 D 选项不符合题意；故选 C 6【答案】 2,1ab （注：答案不唯一） 【解析】当2,1ab 时， 222 ( 2)4,1ab 根据有理数的大小比较法则可知：41, 2 1 则此时满足 22 ab，但不满足a b 因
14、此，“若 22 ab，则a b”是假命题 故答案为：2,1ab （注：答案不唯一） 【名师点睛】本题考查了假命题的证明方法，掌握反例中题设与结论的特点是解题关键 7【答案】菱形的四条边相等 【解析】“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题为“菱形的四条边相等”故答案为：菱形的 四条边相等 8【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】命题：“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”所 以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等” 故答案为“两直线平行，同位角相等” 9【答案】当 b= 1 2 ，方程没有实数解 【解析】b= 1 2 时，=（ 1 2 ）241 4 0，与 m2-
15、6m+13=0 矛盾， 故假设不成立，所以 x1x2 1【答案】A 【解析】当 n=2 时，满足 n0，所以判断命题“如果 n1，那么 n210”是假命 题，举出 n=2故选 A 【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真 即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一 个反例即可 2【答案】C 【解析】A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项错误； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以 C 选项正确； D、四边相等的菱形是正方形，所以 D 选项错误
16、 故选 C 【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真 即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一 个反例即可 3【答案】A 【解析】直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题； 两点之间线段最短；真命题； 直通中考直通中考 17 相等的圆心角所对的弧相等；假命题； 平分弦的直径垂直于弦；假命题； 真命题的个数是 1 个； 故选 A 【名师点睛】考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论 两部分组成， 题设是已知事项， 结论是由已知事项推出的事项， 一个命题可以写成“如
17、果那么” 形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 4【答案】B 【解析】A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题； B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题； C、n 边形( 3)n 的内角和是180 360n ，正确，是真命题； D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题， 故选 B 【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真 即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一 个反例即可 5【答案】D 【解析】A矩形对角线互相垂直，不正确； B方程
18、 x2=14x 的解为 x=14，不正确； C六边形内角和为 540 ，不正确； D一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确； 故选 D 【名师点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角 三角形全等的判定；要熟练掌握 6【答案】D 【解析】A对顶角相等；真命题； B直线 5yx 不经过第二象限；真命题； C五边形的内角和为540；真命题； D因式分解 322 +1xxxx xx ；假命题； 18 故选 D 【名师点睛】本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误的命 题是假命题；属于基础题. 7【答案】C 【解析】 A、
19、 由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等， 故 A 错误， 是假命题； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故 B 错误，是假命题； C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故 C 正确，是真命题； D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故 D 错误，是假命题； 故选 C 【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和 结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性是用推理 证实的，这样的真命题叫做定理 8【答案】D 【解析】函数 1 31 y x 中自变量x的取值范围是 1 3 x ，故错误 若
20、等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长是 7，故错误 一个正六边形的内角和是其外角和的 2 倍，正确 两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误 关于x的一元二次方程 2 (3)0 xkxk有两个不相等的实数根，正确， 故选 D 【名师点睛】此类题的知识综合性非常强要求对每一个知识点都要非常熟悉注意：二次根式 有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于 0，弄清等腰三角形的三线 合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤；理解正多 边形内角和外角关系；熟记根判别式 9【答案】C 【解析】两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等，两直
21、线平行，是真命题； 对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角，是假命题； 等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题； 菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题； 19 故选 C 【名师点睛】 本题考查了写一个命题的逆命题的方法， 真假命题的判断， 弄清命题的题设与结论， 掌握相关的定理是解题的关键. 10【答案】D 【解析】A有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确； B有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确； C如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 45 ；不正确； D点到直线的距离就是该点到该直线的垂线
22、段的长度；正确； 故选 D 【名师点睛】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定方法、点到直线的距离以及补角的定 义；熟记各个判定方法和定义是解题的关键 11【答案】B 【解析】A同旁内角相等，两直线平行；假命题； B对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题； C相等的两个角是对顶角；假命题； D圆内接四边形对角相等；假命题； 故选 B 【名师点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆 内接四边形的性质；熟练掌握相关性质和定理、定义是解题关键. 12【答案】B 【解析】斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题； 一个图形和它经过平移所
23、得的图形中， 各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一直线上， 错误，是假命题； 通常温度降到 0以下，纯净的水会结冰是必然事件，故错误，是假命题； 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题； 真命题有 2 个， 故选 B 【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质、平移的性 质、随机事件等知识，难度不大 20 13【答案】C 【解析】A、n边形（3n）的外角和是360，是真命题； B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题； C、相等的角不
24、一定是对顶角，是假命题； D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题； 故选 C 【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误 的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理 14【答案】A 【解析】A平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故 A 选项是假命题，符合题意； B同角（或等角）的余角相等，是真命题，不符合题意； C线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是真命题，不符合题意； D正方形的对角线相等，且互相垂直平分，是真命题，不符合题意， 故选 A 【名师点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握轴对称图、中心对称图形、余角的性质、线 段垂直平分
25、线的性质、正方形的性质是解本题的关键. 15【答案】D 【解析】命题，如果,0ab ab，那么 11 ab . ab，0ab ，0ab，0 ab ab ，整理得 11 ba ，该命题是真命题. 命题，如果 11 ,ab ab 那么0ab. 11 , ab 11 0,0. ba abab ab，0ba，0ab. 该命题为真命题. 命题，如果 11 0,ab ab ，那么ab. 11 , ab 11 0,0. ba abab 0ab，0ba，ba 该命题为真命题. 故，选 D 【名师点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义； 熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题
26、的关键 21 16【答案】D 【解析】当 m=5 时，方程变形为 x24x+m=5=0， 因为=（4）24 50， 所以方程没有实数解， 所以 m=5 可作为说明命题“关于 x 的方程 x24x+m=0 一定有实数根”是假命题的反例 故选 D 【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非 真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举 出一个反例即可 17【答案】C 【解析】A、函数35yx的图象可以看作由函数3 1yx 的图象向上平移 6 个单位长度而得 到，正确，是真命题； B、抛物线 2 34yxx 中 2 425
27、0bac ，与 x 轴有两个交点，正确，是真命题； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题； D、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题， 故选 C 【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解一次函数的平移、抛物线与坐 标轴的交点、正方形的判定及垂径定理的知识 18【答案】真命题 【解析】三角形内角和为 180 ，三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；故答案 为：真命题. 【名师点睛】本题考查命题与定理.判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命 题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理 19【答案】如果 a，b 互为相反数，那么 a+b=0 【解析】逆命题为：如果 a，b 互为相反数，那么 a+b=0. 故答案为如果 a，b 互为相反数，那么 a+b=0. 【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设 和结论两部分组成， 题设是已知事项， 结论是由已知事项推出的事项， 一个命题可以写成“如果 那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理也考查了逆命题 22