1、 2 2020020- -20212021 学年人教版七年级上册期末复习精选题考点讲义学年人教版七年级上册期末复习精选题考点讲义 第第三三章章 一元一次方程一元一次方程 思维导图思维导图 新知讲练新知讲练 知识点一、一元一次方程的概念知识点一、一元一次方程的概念 1 1方程：方程：含有未知数的等式叫做方程 2 2一元一次方程：只一元一次方程：只含有一个未知数（元） ，未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程 细节剖析：细节剖析： 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： 只含有一个未知数，未知数的次数为 1； 未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数 3 3方程的解：方程的解：使方程的
2、左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解 4 4解方程：解方程：求方程的解的过程叫做解方程 知识点二、等式的性质与去括号法则知识点二、等式的性质与去括号法则 1 1等式的性质：等式的性质： 等式的性质 1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等 2 2合并法则：合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变 3 3去括号法则：去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同 （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号
3、相反 知识点三、一元一次方程的解法知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数 (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 axb(a0)的形式 (5)系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 b x a (a0) (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相 等，则不是方程的
4、解 知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.1.行程问题：行程问题：路程速度时间 2.2.和差倍分问题：和差倍分问题：增长量原有量增长率 3.3.利润问题：利润问题：商品利润商品售价商品进价 4.4.工程问题：工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量 5.5.银行存贷款问题：银行存贷款问题：本息和本金+利息，利息本金利率期数 6.6.数字问题：多数字问题：多位数的表示方法：例如： 32 101010abcdabcd 考点典例分析考点典例分析 考点考点 1 1：方程的解方程的解 【例题【例题 1 1】 （2019 秋玉田县期
5、末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了1 5 x x ，他翻 阅了答案知道这个方程的解为1x ，于是他判断应该是 【解答】解：用a表示，把1x 代入方程得 1 11 5 a ， 解得：1a 故答案是：1 【变式变式 1 1- -1 1】 （2019 秋靖远县期末）已知3x是方程610axa 的解，则a 【解答】解：把3x代入方程610axa ， 得：3610aa ， 解方程得：4a 故填：4 考点考点 2 2：等式的性质等式的性质 【例题【例题 2 2】 （2020 春海淀区校级期末）如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，图所示的 两个天平处于平衡状态，要使第 3 个天平也
6、保持平衡，则需在它的右盘中放置( )个球 A5 B6 C7 D8 【解答】解：设球的质量是x，小正方形的质量是y，小正三角形的质量是z 根据题意得： 422 34 xyxz xzy ， 解得： 3 2 3 yx zx ； 图中左边是： 3 2237 2 xyzxxxx， 因而需在它的右盘中放置 7 个球 故选：C 考点考点 3 3：一元一次方程的定义一元一次方程的定义 【例题【例题 3 3】 （2016 秋婺源县期末）已知方程 21 0 k xk 是关于x的一元一次方程，则方程的解等于( ) A1 B1 C 1 2 D 1 2 【解答】解：由一元一次方程的特点得，211k ， 解得：1k ，
7、一元一次方程是：10 x 解得：1x 故选：A 【变式变式 3 3- -1 1】 （2016 秋余杭区期末）已知关于x的方程 |4| (3)180 m mx 是一元一次方程，试求： （1）m的值； （2）2(32)3(41)mm的值 【解答】解： （1）依题意有|4| 1m且30m ，解之得5m ， 故5m ； （2）当5m 时，2(32)3(41)676 ( 5)737mmm 【变式变式 3 3- -2 2】 （2015 秋召陵区期末）已知方程 | | 1 (2)80 a ax 是关于x的一元一次方程，求a的值并求该 方程的解 【解答】解：方程 | | 1 (2)80 a ax 是关于x的一
8、元一次方程， | 1 1a 且20a 2a 将2a 代入得：480 x 解得：2x 考点考点 4 4：一元一次方程的解一元一次方程的解 【例题例题 4 4】 （2019 秋沙坪坝区校级期末）若整数a使关于x的方程39axx 有负整数解，且a也是四条 直线在平面内交点的个数，则满足条件的所有a的个数为( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解： （1）当四条直线平行时，无交点， （2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点， （3）当两两直线平行时，有 4 个交点， （4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有 5 个交点， （5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点， （6）当四条直线
9、两两相交，且不过同一点时，有 6 个交点， （7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有 3 个交点， 故四条直线在平面内交点的个数是 0 或 1 或 3 或 4 或 5 或 6； 解方程39axx 得 12 1 x a ， x是负整数，a是整数， 11a 或 2 或 3 或 4 或 6 或 12， 解得0a 或 1 或 2 或 3 或 5 或 11 综上所述，0a 或 1 或 3 或 5，满足条件的所有a的个数为 4 故选：B 【变式变式 4 4- -1 1】 （2019 秋天桥区期末）小明在做解方程的作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清 楚，方程是： 1 2 2
10、yy 小明翻看了书后的答案，此方程的解是 1 2 y ，则这个常数是 【解答】解：设所缺的部分为x， 则 1 2 2 yyx ， 把 1 2 y 代入，得 111 2()() 222 x 得1x 故答案是：1 【变式变式 4 4- -2 2】 （2020 春双阳区期末）我们规定，若关于x的一元一次方程axb的解为ba，则称该方程 为“差解方程” ，例如：24x 的解为 2，且242，则该方程24x 是差解方程 （1）判断34.5x 是否是差解方程； （2）若关于x的一元一次方程51xm是差解方程，求m的值 【解答】解： （1）34.5x ， 1.5x， 4.531.5， 34.5x是差解方程；
11、 （2）方程51xm的解为： 1 5 m x ， 关于x的一元一次方程51xm是差解方程， 1 15 5 m m ， 解得： 21 4 m 故m的值为 21 4 【变式变式 4 4- -3 3】 （2020 春新蔡县期末） 已知，2x 是方程 1 2()2 3 mxx的解， 求代数式 2 (62)mm的值 【解答】解：把2x 代入方程得： 1 2(2)4 3 m， 解得：4m ， 则 2 (62)mm 16( 242) 38 考点考点 5 5：解一元一次方程解一元一次方程 【例题例题 5 5】 （2018 秋天桥区期末）解方程 211 2 36 xx 有下列四个步骤，其中变形错误的一步是( )
12、 A2(21)1 12xx B42112xx C39x D3x 【解答】解：方程去分母得：2(21)(1)12xx， 去括号得：42112xx ， 移项合并得：39x ， 解得：3x ， 则上述变形错误的为去分母过程， 故选：A 【变式变式 5 5- -1 1】 （2013 秋肇庆期末）方程 1 2(1) 2 xx的解是( ) A 4 3 x B 4 5 x C 2 3 x D 5 4 x 【解答】解：去分母得：4(1) xx， 去括号得：44xx， 移项合并得：54x ， 解得： 4 5 x 故选：B 【变式变式 5 5- -2 2】（2019 秋郓城县期末） 在有理数范围内定义一种新运算
13、“” ， 其运算规则为：23abab ， 如152 13 513 ，则方程240 x的解为 【解答】解：23abab ， 240 x 22340 x 4120 x 412x 3x ， 故答案为：3x 【变式变式 5 5- -3 3】（2019 秋薛城区期末） 已知代数式612x 与42x的值互为相反数， 那么x的值等于 【解答】解：根据题意得：612420 xx， 移项合并得：88x ， 解得：1x ， 故答案为：1 【变式变式 5 5- -4 4】 （2019 秋房山区期末）阅读下面解方程 312 23 xx 的步骤，在后面的横线上填写此步骤的 依据： 解：去分母，得3(31)2(2)xx依
14、据 去括号，得9324xx 移项，得 924 3xx 依据 合并同类项，得77x 系数化为 1，得 1x 1x 是原方程的解 【解答】解：去分母，得3(31)2(2)xx依据等式的基本性质 2：等式的两边都乘以同一个数，所 得的等式仍然成立， 去括号，得9324xx 移项，得924 3xx 依据等式的基本性质 1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所 得的等式仍然成立， 合并同类项，得77x 系数化为 1，得1x 1x 是原方程的解 故答案为： 等式的基本性质 2： 等式的两边都乘以同一个数， 所得的等式仍然成立； 等式的基本性质 1： 等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的
15、等式仍然成立 【变式变式 5 5- -5 5】 （2019 秋历下区期末）解方程： （1）4106(2)xx； （2） 341 1 25 xx 【解答】解： （1）去括号得，410612xx， 移项得，461210 xx ， 合并同类项得，22x ， 把x的系数化为 1 得，1x ； （2）去分母得，5(3)2(41)10 xx， 去括号得，5158210 xx， 移项得，5810152xx， 合并同类项得，327x， 把x的系数化为 1 得9x 【变式变式 5 5- -6 6】 （2019 秋伊通县期末）解方程： 71 1 32 xx 【解答】解：去分母得，2(7)3(1)6xx， 去括号得
16、，214336xx， 移项得，236143xx， 合并同类项得，23x ， 系数化为 1 得，23x 【变式变式 5 5- -7 7】 （2017 秋黄山期末）x为何值时，代数式 4 3 x 的值比 31 2 x 的值大 1？ 【解答】解：由题意得： 431 1 32 xx ， 去分母得：28936xx， 移项合并得：75x ， 解得： 5 7 x 考点考点 6 6：一元一次方程的应用一元一次方程的应用 【例题例题 6 6】 （2020 春密山市期末） 一个密封的瓶子里装着一些水 （如图所示） ， 已知瓶子的底面积为 2 10cm， 请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是( 3 )cm A8
17、0 B70 C60 D50 【解答】解：设体积为v，则102104v ， 解得60v 故选：C 【变式变式 6 6- -1 1】 （2019 秋兴国县期末）小明和小亮进行 100 米赛跑，两人在同一起跑线上，结果第一次比赛 时小明胜 10 米；在进行第二次比赛时，小明的起跑线比原来起跑线推后 10 米，如果两次他们速度不变， 则第二次结果( ) A小亮胜 B小明胜 C同时到达 D不能确定 【解答】解：第一次小明跑 100 米和小亮跑 90 米的时间相等，则设小明的速度是a，小亮的速度是 9 10 a， 设第二次比赛，小明经过x秒追上小亮， 9 10 10 axax， 100 x a ， 910
18、0 90 10 a a 米， 小亮跑了 90 米时，就被小明追上， 小明胜 故选：B 【变式变式 6 6- -2 2】 （2019 秋嘉兴期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别是8，10点P以每秒 2 个单 位长度从A出发沿数轴向右运动， 同时点Q以每秒 3 个单位长度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动， 设运动时间为t秒当点P，Q之间的距离为 6 个单位长度时，t的值为 【解答】解：点A，B表示的数分别是8，10， 8OA，10OB ， 18OAOB， 当点P、Q没有相遇时， 由题意得：821036tt， 解得： 12 5 t ； 当点P、Q相遇后，点Q没有到达A时， 由题意得：283
19、106tt， 解得： 24 5 t ； 当点Q到达A返回时， 由题意得：2(318)6tt， 解得：12t ； 综上所述，当点P，Q之间的距离为 6 个单位长度时，t的值为12 5 秒或 24 5 秒或 12 秒； 故答案为： 12 5 秒或 24 5 秒或 12 秒 【变式变式 6 6- -3 3】 （2019 秋松北区期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，甲车的速度是每小时行 驶 60 千米， 乙车的速度是甲车速度的 7 6 ， 经过 5 小时甲、 乙两车相距 200 千米， 则A、B两地相距 千 米 【解答】解：设A、B两地相距x千米 由题意知，乙车的速度是： 7 6070 6
20、（千米/时） 相遇前相距 200 千米时，则2005(6070)x 解得850 x 当相遇后相距 200 千米时，则2005(6070)x 解得450 x 综上所述，A、B两地相距 850 或 450 千米 故答案是：850 或 450 【变式变式 6 6- -4 4】 （2019 秋中山区期末）某市居民使用自来水按月收费，标准如下： 若每户月用水不超过 3 10m，按a元 3 /m收费； 若超过 3 10m，但不超过 3 20m，则超过的部分按1.5a元 3 /m收费，未超过 3 10m部分按标准收费； 若超过 3 20m，超过的部分按2a元 3 /m收费，未超过 3 20m部分按标准收费；
21、 （1）若用水 3 20m，应交水费 元； （用含a的式子表示） （2）小明家上个月用水 3 21m，交水费 81 元，求a的值； （3）在（2）的条件下，小明家七、八两个月共交水费 240 元，七月份用水 3 xm超过 3 10m，但不足 3 20m， 八月份用水 3 ym超过 3 20m，当x，y均为整数时，求y的值 【解答】解： （1）由题意得：1010 1.525aaa（元） 故答案是：25a （2）根据题意，25281aa 解得3a ； （3）根据题意，304.5(10)30456(20)240 xy 4.56300 xy 34200 xy 42003yx 3 50 4 x y 因为
22、x取 11 至 19 的整数，且y为整数，所以x应为 4 的倍数 当12x 时，41:y 当16x 时，38y 综上所述，y的值为 41 或 38 【变式变式 6 6- -5 5】 （2019 秋内江期末）李老师准备购买一套小户型商品房，他去售楼处了解情况得知该户型 商品房的单价是 5000 元 2 /m，面积如图所示（单位：m，卫生间的宽未定，设宽为)xm，售房部为李老师 提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为 5000 元 2 /m，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的 9.5 折出售 （1）用含x的代数式表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套
23、该户型商品房的总金额； （2）当2x 时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少元？ （3）李老师因现金不够，于 2019 年 10 月在建行借了 18 万元住房贷款，贷款期限为 10 年，从开始贷款的 下一个月起逐月偿还，贷款月利率是0.5%，每月应还的贷款本金数额为 1500 元（每月还款数额每月应还 的贷款本金数额月利息，月利息上月所剩贷款本金数额月利率） ，假设贷款月利率不变，请求出李老 师在借款后第(1120nn剟，n是正整数）个月的还款数额 （用n的代数式表示） 【解答】解： （1）该户型商品房的面积为：4734242482xx （平方米） 方案一购买一套该户型商品房的总金额为： 1
24、 (4734242 )500022000010000 2 xx （元） 方案二购买一套该户型商品房的总金额为：(4 73 4242 ) 5000 95%2280009500 xx （元） （2）当2x 时，方案一总金额为：22000010000240000 x（元） 方案二总金额为：2280009500247000 x（元） 方案一比方案二优惠 7000 元 （3）根据题意得：李老师在借款后第(1120nn剟，n是正整数）个月的还款数额为： 1500180000 1500(1) 0.5%2407.57.5nn（元） 考点考点 7 7：一元一次方程的应用一元一次方程的应用 【例题例题 7 7】
25、（2019 秋曾都区期末）甲、乙两家体有用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副 定价 20 元，乒乓球每盒定价 5 元，现两家商店搞促销活动 甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠盒乒乓球： 乙店的优惠办法是：按定价的 9 折出售某班需购买乒乓球拍 4 副，乒乓球若干（不少于 4 盒） （1）用代数式表示（所填代数式需化简）: 当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款 元，在乙店购买需付款 元： （2）若只能选择到一家商店购买，当购买乒乓球盒数为 10 盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理 由： （3）若只能选择到一家商店购买，当购买乒乓球多少盒时，到两家商店所花费用一样多？ （4）若只能选择到一家商店购买，结合（2） （3）的结论，请你回答当购买乒乓球的盒数在什么范围时， 到乙商店购买合算 【解答】解： （1）甲：2045(4)605 (4)xx x； 乙：4.572(4)xx 故答案是：(605 )(4)x x；(4.572)(4)xx； （2）当10 x 时， 甲：6056050110 x（元） 乙：4.5724.5 1072117x （元） 由于110117， 所以，在甲店合适； （3）由题意知，6054.572xx， 解得24x ， 即当24x 时，到两店一样合算； （4）由题意知，6054.572xx， 解得24x ， 即当24x 时，到乙店合算