1、2020-2021 学年湖北省鄂州市梁子湖区、鄂城区九年级（上）期中数学试卷学年湖北省鄂州市梁子湖区、鄂城区九年级（上）期中数学试卷 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1在下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2抛物线 y2（x+2）23 的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 3用配方法解方程 x2+2x50 时，原方程应变形为（ ） A （x1）26 B （x+1）26 C （x+2）29 D （x2）29 4一个等腰三角形的两条边长分别是方程
2、x27x+100 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A12 B9 C13 D12 或 9 5 将抛物线 yx2向左平移 2 个单位长度， 再向下平移 3 个单位长度， 得到的抛物线的函数表达式为 （ ） Ay（x+2）23 By（x+2）2+3 Cy（x2）2+3 Dy（x2）23 6已知抛物线 yx2x1 与 x 轴的一个交点为（m，0） ，则代数式 m2m+2019 的值为（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 7 如图， 在ABC 中， CAB65， 将ABC 在平面内绕点 A 旋转到ABC的位置， 使 CCAB， 则旋转角的度数为（ ） A35 B40 C50 D6
3、5 8 要组织一次排球邀请赛， 参赛的每个队之间都要比赛一场， 根据场地和时间等条件， 赛程计划安排 7 天， 每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（ ） Ax（x+1）28 Bx（x1）28 Cx（x+1）28 Dx（x1）28 9如图，开口向下的抛物线 yax2+bx+c 交 y 轴正半轴于 A 点，对称轴为 x1，则下列结论：b2a； 若抛物线经过点（1，0） ，则 9a+3b+c0；abc0；若（x1，y1） 、 （x2，y2）是抛物线线上两 点，且 x1x2，则 y1y2其中所有正确的结论是（ ） A B C D 10关于 x 的函数 yax2
4、+（2a+1）x+a1 与坐标轴有两个交点，则 a 的取值有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11在平面直角坐标系中，点 A（2，4）关于原点对称的点 A的坐标是 12当方程（m1）x（m+1）x20 是一元二次方程时，m 的值为 13已知 ， 方程 x2+2x50 的两根，那么 2+3+ 的值是 14已知抛物线 yx2+mx+9 的顶点在 x 轴上，则 m 的值为 15某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为 1.8m，他在不弯腰的情况下，在 棚内的横向
5、活动范围是 m 16已知实数 m、n（mn）满足 m27m+20，n27n+20，则 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （9 分）用合适的方法解下列方程： （1）x24x70； （2）x24x120； （3） （2x3）25（2x3） 18（8 分） 在平面直角坐标系中， ABC 的位置如图所示 （每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形） （1）将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的AB1C1；直接写出点 B1的坐标； （2）作出ABC 关于原点 O 成中心对称的A2B2C2，并直接写出点 B2的坐标 19 （8 分）
6、关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2+10 有两个不等实根 x1、x2 （1）求实数 k 的取值范围 （2）若方程两实根 x1、x2满足 x1+x2x1x2，求 k 的值 20 （8 分）如图，二次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A（1，0）和点 B（0，2） ， 图象的对称轴交 x 轴于点 C，一次函数 y2mx+n 的图象经过点 B，C，与二次函数图象的另一个交点为 点 D （1）求二次函数的解析式 y1和一次函数的解析式 y2； （2）求点 D 的坐标； （3）结合图象，请直接写出 y1y2时，x 的取值范围： 21 （8 分）如图，利用一面墙（墙长 10 米）用
7、 20 米的篱笆围成一个矩形场地设垂直于墙的一边为 x 米， 矩形场地的面积为 s 平方米 （1）求 s 与 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围； （2）若矩形场地的面积为 48 平方米，求矩形场地的长与宽 22 （9 分）如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB110，BOC将BOC 绕点 C 按顺时针方 向旋转 60得ADC，连接 OD （1）试说明：COD 是等边三角形； （2）当 150时，试判断AOD 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时，AOD 是以 OD 为底边的等腰三角形？ 23 （10 分） 某网店销售某款童装， 每件售价 60 元， 每星期可卖 300
8、件， 为了促销， 该网店决定降价销售 市 场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 件已知该款童装每件成本价 40 元，设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ （3）若该网店每星期想要获得不低于 6480 元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？ 24 （12 分）如图，抛物线 yax2+2x3a 经过 A（1，0） 、B（b，0） 、C（0，c）三点 （1）求 b，c 的值； （2）在抛物线对称轴上找一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3
9、）点 M 为 x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四 边形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年湖北省鄂州市梁子湖区、鄂城区九年级（上）期中数学试卷学年湖北省鄂州市梁子湖区、鄂城区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1在下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个
10、图形就 叫做中心对称图形，据此可得结论 【解答】解：A不是中心对称图形，不合题意； B是中心对称图形，符合题意； C不是中心对称图形，不合题意； D不是中心对称图形，不合题意； 故选：B 2抛物线 y2（x+2）23 的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 【分析】根据抛物线的顶点式 ya（xh）2+k，顶点坐标为（h，k） ，可以确定抛物线的顶点坐标 【解答】解：抛物线 y2（x+2）23 是以抛物线的顶点的形式给出的， 其顶点坐标为： （2，3） 故选：B 3用配方法解方程 x2+2x50 时，原方程应变形为（ ） A （x1）26 B （x+1
11、）26 C （x+2）29 D （x2）29 【分析】利用配方法解出方程即可 【解答】解：x2+2x50 x2+2x5 x2+2x+15+1 （x+1）26， 故选：B 4一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x27x+100 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A12 B9 C13 D12 或 9 【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可 【解答】解：x27x+100， （x2） （x5）0， x20，x50， x12，x25， 等腰三角形的三边是 2，2，5 2+25， 不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意； 等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三
12、角形的周长是 2+5+512； 即等腰三角形的周长是 12 故选：A 5 将抛物线 yx2向左平移 2 个单位长度， 再向下平移 3 个单位长度， 得到的抛物线的函数表达式为 （ ） Ay（x+2）23 By（x+2）2+3 Cy（x2）2+3 Dy（x2）23 【分析】先确定抛物线 yx2的顶点坐标为（0，0） ，再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对 应点的坐标为（2，3） ，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 【解答】解：抛物线 yx2的顶点坐标为（0，0） ，把点（0，0）向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单 位长度所得对应点的坐标为（2，3） ，所以平移后的抛物线解
13、析式为 y（x+2）23 故选：A 6已知抛物线 yx2x1 与 x 轴的一个交点为（m，0） ，则代数式 m2m+2019 的值为（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 【分析】把（m，0）代入 yx2x1 得 m2m1，然后利用整体代入的方法计算 m2m+2019 的值 【解答】解：把（m，0）代入 yx2x1 得 m2m10， 所以 m2m1， 所以 m2m+20191+20192020 故选：C 7 如图， 在ABC 中， CAB65， 将ABC 在平面内绕点 A 旋转到ABC的位置， 使 CCAB， 则旋转角的度数为（ ） A35 B40 C50 D65 【分析】根据
14、两直线平行，内错角相等可得ACCCAB，根据旋转的性质可得 ACAC，然后 利用等腰三角形两底角相等求CAC，再根据CAC、BAB都是旋转角解答 【解答】解：CCAB， ACCCAB65， ABC 绕点 A 旋转得到ABC， ACAC， CAC1802ACC18026550， CACBAB50 故选：C 8 要组织一次排球邀请赛， 参赛的每个队之间都要比赛一场， 根据场地和时间等条件， 赛程计划安排 7 天， 每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（ ） Ax（x+1）28 Bx（x1）28 Cx（x+1）28 Dx（x1）28 【分析】关系式为：球队总数
15、每支球队需赛的场数247，把相关数值代入即可 【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x1）场，但 2 队之间只有 1 场比赛， 所以可列方程为：x（x1）47 故选：B 9如图，开口向下的抛物线 yax2+bx+c 交 y 轴正半轴于 A 点，对称轴为 x1，则下列结论：b2a； 若抛物线经过点（1，0） ，则 9a+3b+c0；abc0；若（x1，y1） 、 （x2，y2）是抛物线线上两 点，且 x1x2，则 y1y2其中所有正确的结论是（ ） A B C D 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及 抛物线与 x 轴交点情况进
16、行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：对称轴是直线 x1， 1，即 b2a，故符合题意； 抛物线经过点（1，0） ，对称轴是直线 x1， 抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为（3，0） ， 当 x3 时，9a+3b+c0，故符合题意； 观察图象可知，开口方下 a0，对称轴在 y 轴的右侧 b0，与 y 轴交于正半轴 c0， abc0，故不符合题意； 当 1x1x2，则 y1y2， 当 x1x21，则 y1y2， 当 x11x2，无法判断，故不符合题意 故选：B 10关于 x 的函数 yax2+（2a+1）x+a1 与坐标轴有两个交点，则 a 的取值有（ ） A1 个 B2
17、 个 C3 个 D4 个 【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分三种情况：函数为一次函数时；函数为二次函数， 与 x 轴有一个交点，与 y 轴有一个交点；函数为二次函数，与 y 轴的交点也在 x 轴上，即图象经过原 点针对每一种情况，分别求出 a 的值 【解答】解：关于 x 的函数 yax2+（2a+1）x+a1 的图象与坐标轴有两个交点， 可分如下三种情况： 当函数为一次函数时，有 a0， a0，此时 yx1，与坐标轴有两个交点； 当函数为二次函数时（a0） ，与 x 轴有一个交点，与 y 轴有一个交点， 函数与 x 轴有一个交点， 0， （2a+1）24a（a1）0， 解得 a； 函数
18、为二次函数时（a0） ，与 x 轴有两个交点，与 y 轴的交点和 x 轴上的一个交点重合，即图象经过 原点， a10， a1 当 a1，此时 yx2+3x，与坐标轴有两个交点 综上所述，a 的取值为 0，1， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11在平面直角坐标系中，点 A（2，4）关于原点对称的点 A的坐标是 （2，4） 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案 【解答】解：点 A（2，4）关于原点对称的点 A的坐标是（2，4） 故答案为： （2，4） 12当方程（m1）x（m+1）x20 是一元二次方程时
19、，m 的值为 1 【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答 【解答】解：因为原式是关于 x 的一元二次方程， 所以 m2+12， 解得 m1 又因为 m10， 所以 m1， 于是 m1 故答案为：1 13已知 ， 方程 x2+2x50 的两根，那么 2+3+ 的值是 2 【分析】 欲求 2+3+ 的值， 先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式， 代入数值计算即可 【解答】解：， 是方程 x2+2x50 的两个实数根， +2， 又2+3+（+）+2+（+） ， 2+3+2+222 故答案为：2 14已知抛物线 yx2+mx+9 的顶点在 x 轴上，则 m 的值为 6 【分析】抛物线
20、的顶点在 x 轴上时，抛物线与 x 轴的交点只有一个，因此根的判别式0，可据此求出 m 的值 【解答】解：抛物线 yx2+mx+9 的顶点在 x轴上， b24ac0， 即 m2360， 解得 m6 故答案为：6 15某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为 1.8m，他在不弯腰的情况下，在 棚内的横向活动范围是 3 m 【分析】设抛物线的解析式为：yax2+b，由图得知点（0，2.4） ， （3，0）在抛物线上，列方程组得到抛 物线的解析式为：yx2+2.4，根据题意求出 y1.8 时 x 的值，进而求出答案； 【解答】解：设抛物线的解析式为：yax2+b， 由图得知：点（
21、0，2.4） ， （3，0）在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为：yx2+2.4， 菜农的身高为 1.8m，即 y1.8， 则 1.8x2+2.4， 解得：x， 故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3 米， 故答案为：3 16已知实数 m、n（mn）满足 m27m+20，n27n+20，则 【分析】根据实数 m、n（mn）满足 m27m+20，n27n+20 知 m、n 是方程 x27x+20 的两个 不相等的实数根，由根与系数的关系得出 m+n7，mn2，代入原式计算可 得答案 【解答】解：实数 m、n（mn）满足 m27m+20，n27n+20， m、n 是方程 x27x+20 的
22、两个不相等的实数根， m+n7，mn2， 则原式 ， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （9 分）用合适的方法解下列方程： （1）x24x70； （2）x24x120； （3） （2x3）25（2x3） 【分析】 （1）利用配方法求解即可； （2） （3）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）x24x70， x24x7， 则 x24x+47+4，即（x2）211， x2， x12+，x22； （2）x24x120， （x6） （x+2）0， 则 x60 或 x+20， 解得 x16，x22； （3）（2x3）25（2x3）
23、， （2x3）25（2x3）0， 则（2x3） （2x8）0， 2x30 或 2x80， 解得 x11.5，x24 18（8 分） 在平面直角坐标系中， ABC 的位置如图所示 （每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形） （1）将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的AB1C1；直接写出点 B1的坐标； （2）作出ABC 关于原点 O 成中心对称的A2B2C2，并直接写出点 B2的坐标 【分析】 （1）分别作出 B，C 的对应点 B1，C1即可 （2）分别作出 A，B，C 的对应点 A2，B2，C2即可 【解答】解： （1）如图，AB1C1即为所求作 B1（4，2） （2
24、）如图，A2B2C2，即为所求作B2（4，4） 19 （8 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2+10 有两个不等实根 x1、x2 （1）求实数 k 的取值范围 （2）若方程两实根 x1、x2满足 x1+x2x1x2，求 k 的值 【分析】 （1）根据根与系数的关系得出0，代入求出即可； （2）根据根与系数的关系得出 x1+x2（2k+1） ，x1x2k2+1，根据 x1+x2x1x2得出（2k+1） （k2+1） ，求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可 【解答】解： （1）原方程有两个不相等的实数根， （2k+1）24（k2+1）0， 解得：k， 即实数 k 的取值范
25、围是 k； （2）根据根与系数的关系得：x1+x2（2k+1） ，x1x2k2+1， 又方程两实根 x1、x2满足 x1+x2x1x2， （2k+1）（k2+1） ， 解得：k10，k22， k， k 只能是 2 20 （8 分）如图，二次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A（1，0）和点 B（0，2） ， 图象的对称轴交 x 轴于点 C，一次函数 y2mx+n 的图象经过点 B，C，与二次函数图象的另一个交点为 点 D （1）求二次函数的解析式 y1和一次函数的解析式 y2； （2）求点 D 的坐标； （3）结合图象，请直接写出 y1y2时，x 的取值范围： x0 或 x 【分析】 （
26、1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式； （2）解析式联立，解方程组即可求得交点 D 的坐标， （3）根据交点坐标，结合图象即可求得 【解答】解： （1）将点 A（1，0）和点 B（0，2）代入，得：， 解得：， 二次函数的解析式为 y1x2+x+2 二次函数的对称轴为直线 x2， C（2，0） ， 一次函数 y2mx+n 的图象经过点 B、C， ，解得， 一次函数的解析式为 y2x+2； （2）解得或， 点 D 为（，） ； （3）由图象可知，当 x0 或 x时，有 y1y2 故答案为 x0 或 x 21 （8 分）如图，利用一面墙（墙长 10 米）用 20 米的篱笆围成
27、一个矩形场地设垂直于墙的一边为 x 米， 矩形场地的面积为 s 平方米 （1）求 s 与 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围； （2）若矩形场地的面积为 48 平方米，求矩形场地的长与宽 【分析】 （1）由 ADx，可得出 AB202x，由墙长 10 米，可得出关于 x 的一元一次不等式组，解之 即可得出 x 的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出 s 关于 x 的函数关系式； （2）根据矩形场地的面积，可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论 【解答】解： （1）ADBCx， AB202x 又墙长 10 米， ， 5x10 sx（202x）2x2+20 x（5x10
28、） （2）当矩形场地的面积为 48 平方米时，2x2+20 x48， 解得：x14（不合题意，舍去） ，x26， 202x8 答：矩形的长为 8 米，宽为 6 米 22 （9 分）如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB110，BOC将BOC 绕点 C 按顺时针方 向旋转 60得ADC，连接 OD （1）试说明：COD 是等边三角形； （2）当 150时，试判断AOD 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时，AOD 是以 OD 为底边的等腰三角形？ 【分析】 （1）由旋转的性质可知 COCD，OCD60，可判断：COD 是等边三角形； （2）由（1）可知COD60，当 150时，A
29、DOADCCDO，可判断AOD 为直角三 角形； （3） 当AOD是以OD为底边的等腰三角形时， AODADOADC6060， 根据AOB+ BOC+COD+AOD360，列方程求 【解答】解： （1）将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC， ADCBOC，OCD60 OCOD 则COD 是等边三角形； （2）AOD 为直角三角形 COD 是等边三角形 ODC60， ADCBOC150， ADOADCCDO1506090，于是AOD 是直角三角形 （3）125 理由：AOD 是以 OD 为底边的等腰三角形， AODADOADC6060 110+（60+AOD）360， 110+（6
30、0+60）360， 解得 125 23 （10 分） 某网店销售某款童装， 每件售价 60 元， 每星期可卖 300 件， 为了促销， 该网店决定降价销售 市 场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 件已知该款童装每件成本价 40 元，设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ （3）若该网店每星期想要获得不低于 6480 元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？ 【分析】 （1）根据售量 y（件）与售价 x（元/件）之间的函数关系即可得到结论 （2） ）设每星期
31、利润为 W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题 （3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题 【解答】解： （1）y300+30（60 x）30 x+2100 （2）设每星期利润为 W 元， W（x40） （30 x+2100）30（x55）2+6750 x55 时，W 最大值6750 每件售价定为 55 元时，每星期的销售利润最大，最大利润 6750 元 （3）由题意（x40） （30 x+2100）6480，解得 52x58， 当 x52 时，销售 300+308540， 当 x58 时，销售 300+302360， 该网店每星期想要获得不低于 6480 元的利润，每
32、星期至少要销售该款童装 360 件 24 （12 分）如图，抛物线 yax2+2x3a 经过 A（1，0） 、B（b，0） 、C（0，c）三点 （1）求 b，c 的值； （2）在抛物线对称轴上找一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四 边形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）把 A（1，0）代入抛物线 yax2+2x3a，再把 B（b，0） ，C（0，c）三点代入求出 a、b、 c 的值即可； （2）因为点 A 关于对称轴对称的点 B 的
33、坐标，连接 BC 交对称轴直线于点 P，求出 P 点坐标即可； （3）分点 N 在 x 轴下方和上方两种情况进行讨论 【解答】解： （1）把 A（1，0）代入抛物线 yax2+2x3a， 可得：a+23a0 解得 a1 抛物线的解析式为：yx2+2x3； 把 B（b，0） ，C（0，c）代入 yx2+2x3， 可得：b1 或 b3，c3， A（1，0） ， b3； （2）抛物线的解析式为：yx2+2x3， 其对称轴为直线 x1， 连接 BC，如图 1 所示， B（3，0） ，C（0，3） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0） ， ， 解得， 直线 BC 的解析式为 yx3， 当 x1 时，y132， P（1，2） ； （3）存在点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形 如图 2 所示， 当点 N 在 x 轴下方时， 抛物线的对称轴为直线 x1，C（0，3） ， N1（2，3） ； 当点 N 在 x 轴上方时， 如图 2，过点 N作 NDx 轴于点 D， 在AND 与MCO 中， ANDMCO（AAS） ， NDOC3，即 N点的纵坐标为 3 3x2+2x3， 解得 x1+或 x1， N（1+，3） ，N“ （1，3） 综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（2，3） ， （1+，3）或（1，3）