1、2020-2021 学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）调研数学试卷（学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）调研数学试卷（12 月份） （五四学制）月份） （五四学制） 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1若 2x3y，则的值为（ ） A B C D 2在 RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，下列等式中不成立的是（ ） AtanB BcosB CsinA DcotA 3如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东 30方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ） A北偏东 30 B北偏西 30
2、C北偏东 60 D北偏西 60 4k 为任意实数，抛物线 ya（xk）2k（a0）的顶点总在（ ） A直线 yx 上 B直线 yx 上 Cx 轴上 Dy 轴上 5已知 为单位向量， 3 ，那么下列结论中错误的是（ ） A B| |3 C 与 方向相同 D 与 方向相反 6二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有以下结论： a0；abc0；ab+c0；b24ac0； 其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7如果 cot，那么锐角 度 8已知线段
3、 a 是线段 b、c 的比例中项，如果 a2，b3，那么 c 9如果两个相似三角形的对应高比是：2，那么它们的相似比是 10四边形 ABCD 和四边形 ABCD是相似图形，点 A、B、C、D 分别与 A、B、C、D对应，已知 BC3， CD2.4，BC2，那么 CD的长是 11小杰沿坡比为 1：2.4 的山坡向上走了 130 米那么他沿着垂直方向升高了 米 12在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时同地测得一栋楼的影长为 90m，则这栋楼 的高度为 m 13在直角坐标平面中，将抛物线 y2（x+1）2先向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，那么平移后 的抛物线表
4、达式是 14如图，ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 AC 于点 E，连接 BE若 BE9，BC12，则 cosC 15如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽 BC6 厘米，长 CD16 厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边 CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米 16设抛物线 l：yax2+bx+c（a0）的顶点为 D，与 y 轴的交点是 C，我们称以 C 为顶点，且过点 D 的 抛物线为抛物线 l 的“伴随抛物线” ，请写出抛物线 yx24x+1 的伴随抛物线的解析式 17定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果
5、这两个三角形相似但不全 等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线在四边形 ABCD 中，对角线 BD 是它的相似对 角线，ABC70，BD 平分ABC，那么ADC 度 18如图，在直角坐标平面 xOy 中，点 A 坐标为（3，2） ，AOB90，OAB30，AB 与 x 轴交于 点 C，那么 AC：BC 的值为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）已知二次函数图象的最高点是 A（1，4） ，且经过点 B（0，3） ，与 x 轴交于 C、D 两点（点 C 在点 D 的左侧） 求BCD 的面积 20 （10 分）已知抛物
6、线 yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表： x 3 2 1 0 1 2 3 y 4 4 0 （1）求该抛物线的表达式； （2）已知点 E（4，y）是该抛物线上的点，点 E 关于抛物线的对称轴对称的点为点 F，求点 E 和点 F 的 坐标 21 （10 分）如图，在ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，DEBC，点 F 在线段 DE 上，过点 F 作 FGAB、FHAC 分别交 BC 于点 G、H，如果 BG：GH：HC2：4：3求的值 22 （10 分）如图，在东西方向的海岸线 l 上有长为 300 米的码头 AB，在码头的最西端 A 处测得
7、轮船 M 在 它的北偏东 45方向上；同一时刻，在 A 点正东方向距离 100 米的 C 处测得轮船 M 在北偏东 22方向 上 （1）求轮船 M 到海岸线 l 的距离； （结果精确到 0.01 米） （2）如果轮船 M 沿着南偏东 30的方向航行，那么该轮船能否行至码头 AB 靠岸？请说明理由 （参考数据：sin220.375，cos220.927，tan220.404，1.732 ） 23 （12 分）如图，已知ABC 和ADE，点 D 在 BC 边上，DADC，ADEB，边 DE 与 AC 相交于 点 F （1）求证：ABADDFBC； （2）如果 AEBC，求证： 24 （12 分）如
8、图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点 O、点 B（1，3） ，又与 x 轴正半轴相交于点 A， BAO45， 点 P 是线段 AB 上的一点， 过点 P 作 PMOB， 与抛物线交于点 M， 且点 M 在第一象限内 （1）求抛物线的表达式； （2）若BMPAOB，求点 P 的坐标； （3）过点 M 作 MCx 轴，分别交直线 AB、x 轴于点 N、C，若ANC 的面积等于PMN 的面积的 2 倍，求的值 25 （14 分）如图，在ABC 中，ABAC10，BC16，点 D 为 BC 边上的一个动点（点 D 不与点 B、点 C 重合） 以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E，
9、过点 A 作 AFAD 交射线 DE 于点 F （1）求证：ABCEBDCD； （2）当 DF 平分ADC 时，求 AE 的长； （3）当AEF 是等腰三角形时，求 BD 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1若 2x3y，则的值为（ ） A B C D 【分析】根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积即可求解 【解答】解：2x3y， 3， 则 故选：B 2在 RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，下列等式中不成立的是（ ） AtanB BcosB
10、 CsinA DcotA 【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题 【解答】解：RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， tanB，故 A 选项成立； cosB，故 B 选项成立； sinA，故 C 选项成立； cotA，故 D 选项不成立； 故选：D 3如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东 30方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ） A北偏东 30 B北偏西 30 C北偏东 60 D北偏西 60 【分析】根据题意画出图形，进而分析得出从乙船看甲船的方向 【解答】解：从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东 30方向， 从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西 30方向
11、故选：B 4k 为任意实数，抛物线 ya（xk）2k（a0）的顶点总在（ ） A直线 yx 上 B直线 yx 上 Cx 轴上 Dy 轴上 【分析】求出抛物线的顶点为（k，k） ，可以得到顶点在 yx 直线上 【解答】解：ya（xk）2k（a0） ， 抛物线的顶点为（k，k） ， k 为任意实数， 顶点在 yx 直线上， 故选：B 5已知 为单位向量， 3 ，那么下列结论中错误的是（ ） A B| |3 C 与 方向相同 D 与 方向相反 【分析】根据向量的定义，即可求得答案 【解答】解：A、由 为单位向量， 3 知：两向量方向相反，相互平行，即 ，故本选项错误 B、由 3 得到| |3，故本选
12、项错误 C、由 为单位向量， 3 知：两向量方向相反，故本选项正确 D、由 为单位向量， 3 知：两向量方向相反，故本选项错误 故选：C 6二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有以下结论： a0；abc0；ab+c0；b24ac0； 其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用抛物线开口方向对进行判断；利用对称轴的位置得到 b0，利用抛物线与 y 轴的交点位 置得到 c0，则可对进行判断；利用自变量为1 对应的函数值为负数可对进行判断；利用抛物线 与 x 轴的交点个数和判别式的意义可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0，所以正确； 抛
13、物线的对称轴在 y 轴的右侧， a、b 异号，即 b0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以错误； x1 时，y0， 即 ab+c0，所以正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以错误 故选：B 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7如果 cot，那么锐角 30 度 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案 【解答】解：cot， 锐角 30 故答案为：30 8已知线段 a 是线段 b、c 的比例中项，如果 a2，b3，那么 c 【分析】根据比例中项的定义，若 b 是
14、a，c 的比例中项，即 b2ac即可求解 【解答】解：线段 a 是线段 b、c 的比例中项， a2bc， a2，b3， c 故答案为： 9如果两个相似三角形的对应高比是：2，那么它们的相似比是 ：2 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比解答 【解答】解：两个相似三角形的对应高比是：2， 它们的相似比是：2， 故答案为：2 10四边形 ABCD 和四边形 ABCD是相似图形，点 A、B、C、D 分别与 A、B、C、D对应，已知 BC3， CD2.4，BC2，那么 CD的长是 1.6 【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD四边形 AB
15、CD， CD：CDBC：BC， BC3，CD2.4，BC2， CD1.6， 故答案为：1.6 11小杰沿坡比为 1：2.4 的山坡向上走了 130 米那么他沿着垂直方向升高了 50 米 【分析】设他沿着垂直方向升高了 x 米，根据坡度的概念用 x 表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理 计算即可 【解答】解：设他沿着垂直方向升高了 x 米， 坡比为 1：2.4， 他行走的水平宽度为 2.4x 米， 由勾股定理得，x2+（2.4x）21302， 解得，x50，即他沿着垂直方向升高了 50 米， 故答案为：50 12在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时同地测得一栋楼的影长为
16、 90m，则这栋楼 的高度为 54 m 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论 【解答】解：设这栋楼的高度为 hm， 在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 90m， ，解得 h54（m） 故答案为：54 13在直角坐标平面中，将抛物线 y2（x+1）2先向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，那么平移后 的抛物线表达式是 y2x2+1 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：抛物线 y2（x+1）2向上平移 1 个单位后的解析式为：y2（x+1）2+1 再向右平移 1 个单位所得抛物线的解析式为：y2x2+1
17、 故答案为：y2x2+1 14如图，ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 AC 于点 E，连接 BE若 BE9，BC12，则 cosC 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出 CEBE，再根据等腰三角形的性质可得出 CDBD，从 而得出 CD：CE，即为 cosC 【解答】解：DE 是 BC 的垂直平分线， CEBE， CDBD， BE9，BC12， CD6，CE9， cosC， 故答案为 15如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽 BC6 厘米，长 CD16 厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边 CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 9.6 厘
18、米 【分析】直接利用勾股定理得出 BF 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案 【解答】解：如图所示：作 BEAE 于点 E， 由题意可得，BC6cm，CFDC8cm， 故 BF10（cm） ， 可得：CFBBAE，CAEB， 故BFCBAE， ， ， 解得：BE9.6 故答案为：9.6 16设抛物线 l：yax2+bx+c（a0）的顶点为 D，与 y 轴的交点是 C，我们称以 C 为顶点，且过点 D 的 抛物线为抛物线 l 的“伴随抛物线” ，请写出抛物线 yx24x+1 的伴随抛物线的解析式 yx2+1 【分析】 先根据抛物线的解析式求出其顶点 D 和抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标
19、 然后根据 C 的坐标用顶 点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将D点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线 的解析式 【解答】解：抛物线 yx24x+1（x2）23， 顶点坐标 D 为（2，3） ，与 y 轴交点为 C（0，1） ， 设伴随抛物线的解析式为：yax2+1，把 D（2，3）代入得 a1， 伴随抛物线 yx2+1， 故答案为：yx2+1 17定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全 等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线在四边形 ABCD 中，对角线 BD 是它的相似对 角线，ABC70，BD 平分ABC，那么A
20、DC 145 度 【分析】依据四边形的相似对角线的定义，即可得到ABDDBC，ABDC，ADBC，再 根据四边形内角和为 360，即可得到ADC 的度数 【解答】解：如图所示，ABC70，BD 平分ABC， ABDDBC， 又对角线 BD 是它的相似对角线， ABDDBC， ABDC，ADBC， A+CADC， 又A+C+ADC36070290， ADC145， 故答案为：145 18如图，在直角坐标平面 xOy 中，点 A 坐标为（3，2） ，AOB90，OAB30，AB 与 x 轴交于 点 C，那么 AC：BC 的值为 【分析】作 ADx 轴，垂足为 D，作 BEy 轴，垂足为 E，先求得
21、 OA 的长，然后证明OEBODA， 依据相似三角形的性质可得到，最后依据 AC：BCSAOC：SOBCAD：OE 求解即可 【解答】解：如图所示：作 ADx 轴，垂足为 D，作 BEy 轴，垂足为 E A（3，2） ， OA， OAB30，AOB90， ， AOB90，EOC90， EOBAOD， 又BEOADO， OEBODA， ，即，解得：OE， AC：BCSAOC：SOBCAD：OE2：， 故答案为： 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）已知二次函数图象的最高点是 A（1，4） ，且经过点 B（0，3） ，与 x 轴
22、交于 C、D 两点（点 C 在点 D 的左侧） 求BCD 的面积 【分析】根据二次函数图象的最高点是 A（1，4） ，且经过点 B（0，3） ，可以求得该函数的解析式，然 后令 y0，求出相应的 x 的值，即可得到点 C 和点 D 的坐标，从而可以求得BCD 的面积 【解答】解：设二次函数解析式为 ya（x1）2+4（a0） ， 把 B（0，3）代入得 3a（01）2+4 解得：a1， 令 y0，那么（x1）2+40， 解得：x13，x21， 点 C 的坐标为（1，0） ，点 D 的坐标为（3，0） ， CD4， 点 B 的坐标为（0，3） ， OB3， BCD 的面积是：6 20 （10 分
23、）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表： x 3 2 1 0 1 2 3 y 4 4 0 （1）求该抛物线的表达式； （2）已知点 E（4，y）是该抛物线上的点，点 E 关于抛物线的对称轴对称的点为点 F，求点 E 和点 F 的 坐标 【分析】 （1）利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（1，） ，则可设顶点式 ya（x+1）2 ，然后把（0，4）代入求出 a 即可； （2）计算当 x4 时对应的函数值得到 E 点坐标，然后利用对称的性质确定点 F 的坐标 【解答】解： （1）x2，y4；x0，y4， 抛物线的对称轴为直线 x1，则抛物线
24、的顶点坐标为（1，） ， 设抛物线解析式为 ya（x+1）2， 把（0，4）代入得 a（0+1）24，解得 a， 抛物线解析式为 y（x+1）2； （2）当 x4 时，y（4+1）28，则 E 点坐标为（4，8） ， 抛物线的对称轴为直线 x1 点 E 关于抛物线的对称轴对称的点 F 的坐标为（6，8） 21 （10 分）如图，在ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，DEBC，点 F 在线段 DE 上，过点 F 作 FGAB、FHAC 分别交 BC 于点 G、H，如果 BG：GH：HC2：4：3求的值 【分析】设 BG2k，GH4k，HC3k，根据平行四边形的性质可得 DFBG2k
25、，EFHC3k，可 得 DE5k，根据ADEFGH 可得（）2 【解答】解：BG：GH：HC2：4：3， 设 BG2k，GH4k，HC3k， （k0） DEBC，FGAB， 四边形 BDFG 是平行四边形， DFBG2k， DEBC，FHAC 四边形 EFHC 是平行四边形， EFHC3k， DE5k DEBC ADEB， FGAB FGHB， ADEFGH， 同理可得：AEDFHG ADEFGH （）2， 22 （10 分）如图，在东西方向的海岸线 l 上有长为 300 米的码头 AB，在码头的最西端 A 处测得轮船 M 在 它的北偏东 45方向上；同一时刻，在 A 点正东方向距离 100
26、米的 C 处测得轮船 M 在北偏东 22方向 上 （1）求轮船 M 到海岸线 l 的距离； （结果精确到 0.01 米） （2）如果轮船 M 沿着南偏东 30的方向航行，那么该轮船能否行至码头 AB 靠岸？请说明理由 （参考数据：sin220.375，cos220.927，tan220.404，1.732 ） 【分析】 （1）过点 M 作 MDAC 交 AC 的延长线于 D，设 DMx，解直角三角形即可得到结论； （2）作DMF30，交 l 于点 F解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）过点 M 作 MDAC 交 AC 的延长线于 D，设 DMx， 在 RtCDM 中，CDDMtanC
27、MDxtan22， 又在 RtADM 中，MAC45， ADDM， ADAC+CD100+xtan22， 100+xtan22x， x167.79， 答：轮船 M 到海岸线 l 的距离约为 167.79 米 （2）作DMF30，交 l 于点 F 在 RtDMF 中，DFDMtanFMDDMtan30 DM167.7996.87 米， AFAC+CD+DFDM+DF167.79+96.87264.66300， 所以该轮船能行至码头靠岸 23 （12 分）如图，已知ABC 和ADE，点 D 在 BC 边上，DADC，ADEB，边 DE 与 AC 相交于 点 F （1）求证：ABADDFBC； （2
28、）如果 AEBC，求证： 【分析】 （1） 由等腰三角形的性质得出DACC， 由已知ADEB， 证明ABCFDA， 得出 ，即可得出结论； （2）由三角形的外角性质得出CDFBAD，由平行线的性质得出ECDF，CEAF，证出 BADE，证明ABDEDA，得出，证出EAFDAC，即 AC 平分DAE，作 FM AD 于 M，FNAE 于 N，则 FMFN，求出，即可得出结论 【解答】 （1）证明：DADC， DACC， 又ADEB， ABCFDA， ， ABADDFBC； （2）证明：ADE+CDFB+BAD，ADEB， CDFBAD， AEBC， ECDF，CEAF， BADE， 又ADEB，
29、 ABDEDA， ， DADC， DACC， EAFDAC，即 AC 平分DAE， 作 FMAD 于 M，FNAE 于 N， 则 FMFN， ， 24 （12 分）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点 O、点 B（1，3） ，又与 x 轴正半轴相交于点 A， BAO45， 点 P 是线段 AB 上的一点， 过点 P 作 PMOB， 与抛物线交于点 M， 且点 M 在第一象限内 （1）求抛物线的表达式； （2）若BMPAOB，求点 P 的坐标； （3）过点 M 作 MCx 轴，分别交直线 AB、x 轴于点 N、C，若ANC 的面积等于PMN 的面积的 2 倍，求的值 【分析】 （1）过点 B
30、作 BHx 轴，垂足为点 H，根据等腰直角三角形的性质可求点 A（4，0） ，用待定 系数法可求抛物线的表达式； （2）根据平行线的性质可得 BMOA，可求点 M 坐标，用待定系数法可求直线 BO，直线 AB，直线 PM 的解析式，即可求点 P 坐标； （3） 延长 MP 交 x 轴于点 D， 作 PGMN 于点 G， 根据等腰直角三角形的性质可得 ACCN， PGNG， 根据锐角三角函数可得 tanBOA3tanMPG， 可得 MG3PG3NG， 根据面积关系可求的 值 【解答】解： （1）如图 1，过点 B 作 BHx 轴，垂足为点 H， 点 B（1，3） BH3，OH1， BAO45，B
31、HA90 AHBH3， OA4 点 A（4，0） 抛物线过原点 O、点 A、B， 设抛物线的表达式为 yax2+bx（a0） 解得：a1，b4 抛物的线表达式为：yx2+4x （2）如图 2， PMOB PMB+OBM180，且BMPAOB， AOB+OBM180 BMOA， 设点 M（m，3） ，且点 M 在抛物线 yx2+4x 上， 3m2+4m， m1（舍去） ，m3 点 M（3，3） ， 点 O（0，0） ，点 A（4，0） ，点 B（1，3） 直线 OB 解析式为 y3x， 直线 AB 解析式为 yx+4， PMOB， 设 PM 解析式为 y3x+n，且过点 M（3，3） 333+n
32、， n6 PM 解析式为 y3x6 解得：x，y 点 P（，） （3）如图 3，延长 MP 交 x 轴于点 D，作 PGMN 于点 G， PGMN，MCAD PGAD MPGMDC，GPNBAO45， 又PGC90，ACG90， ACCN，PGNG， PMOB， BOAMDC， MPGBOA 点 B 坐标（1，3） tanBOA3tanMPG MG3PG3NG， MN4PG， ANC 的面积等于PMN 的面积的 2 倍， ACNC2MNPG， NC22MNMNMN2， 25 （14 分）如图，在ABC 中，ABAC10，BC16，点 D 为 BC 边上的一个动点（点 D 不与点 B、点 C 重
33、合） 以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AFAD 交射线 DE 于点 F （1）求证：ABCEBDCD； （2）当 DF 平分ADC 时，求 AE 的长； （3）当AEF 是等腰三角形时，求 BD 的长 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到BC，根据三角形的外角性质得到BADCDE，得到 BADCDE，根据相似三角形的性质证明结论； （2）证明 DFAB，根据平行线的性质得到，证明BDABAC，根据相似三角形的性质列 式计算，得到答案； （3）分点 F 在 DE 的延长线上、点 F 在线段 DE 上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可 【解答】 （
34、1）证明：ABAC， BC， ADCBAD+B，ADEB， BADCDE，又BC， BADCDE， ，即 ABCEBDCD； （2）解：DF 平分ADC， ADECDE， CDEBAD， ADEBAD， DFAB， ， BADADEB， BADC，又BB， BDABAC， ，即 解得，BD， ， 解得，AE； （3）解：作 AHBC 于 H， ABAC，AHBC， BHHCBC8， 由勾股定理得，AH6， tanB， tanADF， 设 AF3x，则 AD4x， 由勾股定理得，DF5x， BADCDE， ， 当点 F 在 DE 的延长线上，FAFE 时，DE5x3x2x， ， 解得，CD5， BDBCCD11， 当 EAEF 时，DEEF2.5x， ， 解得，CD， BDBCCD； 当 AEAF3x 时，DEx， ， 解得，CD， BDBCCD； 当点 F 在线段 DE 上时，AFE 为钝角， 只有 FAFE3x，则 DE8x， ， 解得，CD2016，不合题意， AEF 是等腰三角形时，BD 的长为 11 或或