1、2020-2021 学年天津市南开学年天津市南开区区二校联考二校联考八年级（上）第二次段考数学试卷八年级（上）第二次段考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 2在平面直角坐标系中，点 A，点 B 关于 y 轴对称，点 A 的坐标是（2，8） ，则点 B 的坐标是（ ） A （2，8） B （2，8） C （2，8） D （8，2） 3下列运算正确的是（ ） A4x33x212x6 B （3a4） （4a3）12a7 C3a45a38a7 D （a）
2、 （2a）3（3a）272a6 4如图，OP 为AOB 的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是 C，D，则下列结论错误的是（ ） APCPD BCPODOP CCPODPO DOCOD 5已知直角三角形中 30角所对的直角边为 2cm，则斜边的长为（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm 6计算（）20031.52002（1）2004的结果是（ ） A B C D 7等腰三角形的一个角为 50，则它的底角为（ ） A50 B65 C50或 65 D80 8如图，RtABC 中，ACB90，A50，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD， 则ADB（ ） A40 B3
3、0 C20 D10 9在下列结论中： 有一个外角是 120的等腰三角形是等边三角形； 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； 有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； 有一个角是 60，且是轴对称的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 10如图，在ABC 中，已知 BC13，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 于 E，则ADE 的周 长等于（ ） A11 B13 C14 D15 11如图，已知AOB 的大小为 ，P 是AOB 内部的一个定点，且 OP2，点 E、F 分别是 OA、OB 上 的动点，若PEF 周长的
4、最小值等于 2，则 （ ） A30 B45 C60 D90 12如图，在四边形 ABCD 中，A90，AD3，连接 BD，BDCD，ADBC若 P 是 BC 边上 一动点，则 DP 长的最小值为（ ） A1 B6 C3 D12 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13计算：x2x3 ； 14若点 P（a+2，3）与点 Q（1，b+1）关于 y 轴对称，则 ab 15 如图， ABAD， BAEDAC， 要使ABCADE， 还需添加一个条件， 这个条件可以是 16如图，在ABC 中，ABC 与ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC
5、于点 D、 E若ADE 的周长为 7，ABC 的周长是 12，则 BC 的长度为 17如图，已知 RtABC 中，C90，A30在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB 是等腰 三角形，则符合条件的 P 点有 个 （在图上作出点 P 的位置） 18在ABC 中，已知CAB60，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，且AED60，ED+DBCE， CDB2CDE，则DCB 等于 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，共小题，共 46 分）分） 19如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点ABC（即三角形的顶点都在 格点上） （1）ABC 的面积为 ； （2）在
6、图中作出ABC 关于直线 MN 的对称图形ABC （3）利用网格纸，在 MN 上找一点 P，使得 PB+PC 的距离最短 （保留痕迹） 20如图，ABC 中，ABACCD，BDAD，求ABC 中各角的度数 21解答问题 （1）计算：aa5+（2a2）32a （3a54a3+a）（2a3）2； （2）已知 n 是正整数，且 x3n2，求（3x3n）3+（2x2n）3的值 22如图所示，ABC 是等边三角形，AD 是高，并且 AB 恰好是 DE 的垂直平分线，求证：ADE 是等边 三角形 23如图，AD 是ABC 的角平分线，DFAB，垂足为 F，如图 DEDG，ADG 和AED 的面积分别为 5
7、0 和 38，求EDF 的面积 24如图，已知：E 是AOB 的平分线上一点，ECOB，EDOA，C、D 是垂足，连接 CD，且交 OE 于 点 F （1）求证：OE 是 CD 的垂直平分线 （2）若AOB60，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论 25如图 1，OA2，OB4，以点 A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰直角ABC （）求 C 点的坐标； （）如图 2，OA2，P 为 y 轴负半轴上的一个动点，若以 P 为直角顶点，PA 为腰等腰直角APD， 过 D 作 DEx 轴于 E 点，求 OPDE 的值； （）如图 3，点 F 坐标为（4，4） ，点 G（0，m）
8、在 y 轴负半轴，点 H（n，0）x 轴的正半轴，且 FHFG，求 m+n 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选：A 2在平面直角坐标系中，点 A，点 B 关于 y 轴对称，点 A 的坐标是（2，8） ，则点 B 的坐标是（
9、） A （2，8） B （2，8） C （2，8） D （8，2） 【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案 【解答】解：点 A，点 B 关于 y 轴对称，点 A 的坐标是（2，8） ， 点 B 的坐标是（2，8） ， 故选：A 3下列运算正确的是（ ） A4x33x212x6 B （3a4） （4a3）12a7 C3a45a38a7 D （a） （2a）3（3a）272a6 【分析】根据单项式的乘法法则，积的乘方的性质，对个选项计算后利用排除法求解 【解答】解：A、应为 4x33x243x3x212x5，故本选项错误； B、 （3a4） （4a3）（3
10、）（4）a4a312a7，正确； C、应为 3a45a335a4a315a7，故本选项错误； D、应为（a） （2a）3（3a）2， （a） （8a3） （9a2） ， （1）（8）9aa3a2， 72a6，故本选项错误 故选：B 4如图，OP 为AOB 的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是 C，D，则下列结论错误的是（ ） APCPD BCPODOP CCPODPO DOCOD 【分析】只要证明OPCOPD，可得 PCPD，OCOD，CPODPO，由此即可判断 【解答】解：在OPC 和OPD 中， ， OPCOPD， PCPD，OCOD，CPODPO， A、C、D 正确， 故选：B 5
11、已知直角三角形中 30角所对的直角边为 2cm，则斜边的长为（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm 【分析】根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半解答 【解答】解：直角三角形中 30角所对的直角边为 2cm， 斜边的长为 224cm 故选：B 6计算（）20031.52002（1）2004的结果是（ ） A B C D 【分析】将原式化为同底数幂的乘法解答 【解答】解： （）20031.52002（1）2004 （）20021.52002（1）2004 （）2002 1 故选：A 7等腰三角形的一个角为 50，则它的底角为（ ） A50 B65 C50或 65 D80 【分析
12、】已知给出了一个内角是 50，没有明确是顶角还是底角，所以要分 50的角是顶角或底角两种 情况分别进行求解 【解答】解： （1）当这个内角是 50的角是顶角时，则它的另外两个角的度数是 65，65； （2）当这个内角是 50的角是底角时，则它的另外两个角的度数是 80，50； 所以这个等腰三角形的底角的度数是 50或 65 故选：C 8如图，RtABC 中，ACB90，A50，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD， 则ADB（ ） A40 B30 C20 D10 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得ADBCADB，又折叠前 后图形的形状和大小不变，CA
13、DA50，易求B90A40，从而求出ADB 的度 数 【解答】解：RtABC 中，ACB90，A50， B905040， 将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD，则CADA， CAD 是ABD 的外角， ADBCADB504010 故选：D 9在下列结论中： 有一个外角是 120的等腰三角形是等边三角形； 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； 有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； 有一个角是 60，且是轴对称的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】依据等边三角形的判定方法进行判断：三条边都相等的三角形
14、是等边三角形，三个角都相等的 三角形是等边三角形，有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 【解答】解：有一个外角是 120的等腰三角形是等边三角形，正确； 有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误； 有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误； 有一个角是 60，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确 故选：C 10如图，在ABC 中，已知 BC13，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 于 E，则ADE 的周 长等于（ ） A11 B13 C14 D15 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DBDA，ECEA，根据三角形的周长公式计算即可
15、【解答】解：AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 于 E， DBDA，ECEA， ADE 的周长AD+AE+DEBD+DE+ECBC13， 故选：B 11如图，已知AOB 的大小为 ，P 是AOB 内部的一个定点，且 OP2，点 E、F 分别是 OA、OB 上 的动点，若PEF 周长的最小值等于 2，则 （ ） A30 B45 C60 D90 【分析】设点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D，当点 E、F 在 CD 上时，PEF 的周长 为 PE+EF+FPCD，此时周长最小，根据 CD2 可求出 的度数 【解答】 解： 如图， 作点 P 关于 OA
16、的对称点 C， 关于 OB 的对称点 D， 连接 CD， 交 OA 于 E， OB 于 F 此 时，PEF 的周长最小 连接 OC，OD，PE，PF 点 P 与点 C 关于 OA 对称， OA 垂直平分 PC， COAAOP，PECE，OCOP， 同理，可得DOBBOP，PFDF，ODOP COA+DOBAOP+BOPAOB，OCODOP2， COD2 又PEF 的周长PE+EF+FPCE+EF+FDCD2， OCODCD2， COD 是等边三角形， 260， 30 故选：A 12如图，在四边形 ABCD 中，A90，AD3，连接 BD，BDCD，ADBC若 P 是 BC 边上 一动点，则 D
17、P 长的最小值为（ ） A1 B6 C3 D12 【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出ABDCBD，角平分线的性质定理得 ADDH，垂 线段定义证明 DH 最短，求出 DP 长的最小值为 3 【解答】解：过点 D 作 DHBC 交 BC 于点 H，如图所示： BDCD， BDC90， 又C+BDC+DBC180， ADB+A+ABD180 ADBC，A90， ABDCBD， BD 是ABC 的角平分线， 又ADAB，DHBC， ADDH， 又AD3， DH3， 又点 D 是直线 BC 外一点， 当点 P 在 BC 上运动时，点 P 运动到与点 H 重合时 DP 最短，其长度为 DH 长等
18、于 3， 即 DP 长的最小值为 3 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13计算：x2x3 x5 ； 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可 【解答】解：x2x3x2+3x5； 故答案为：x5； 14若点 P（a+2，3）与点 Q（1，b+1）关于 y 轴对称，则 ab 2 【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点分别求出 a，b，根据有理数的乘法法则计算 【解答】解：点 P（a+2，3）与点 Q（1，b+1）关于 y 轴对称， a+21，b+13， 解得，a1，b2， 则 ab2， 故答案为：2 15如图，ABAD
19、，BAEDAC，要使ABCADE，还需添加一个条件，这个条件可以是 AE AC 【分析】求出BACDAE，根据全等三角形的判定定理 SAS 推出即可 【解答】解：AEAC 理由是：BAEDAC， BAE+EACDAC+EAC， BACDAE， 在ABC 和ADE 中 ABCADE， 故答案为：AEAC 16如图，在ABC 中，ABC 与ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、 E若ADE 的周长为 7，ABC 的周长是 12，则 BC 的长度为 5 【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质和等量代换证明DBODOB，EOCECO，则 DB DO，EOE
20、C，再利用等线段代换得到 AB+AC7，然后利用ABC 的周长是 12 得到 BC 的长 【解答】解：ABC 与ACB 的平分线交于点 O， DBOCBO，BCOECO， DEBC， DOBCBO，EOCBCO， DBODOB，EOCECO， DBDO，EOEC， ADE 的周长为 7， 即 AD+DE+AE7， AD+DO+EO+AE7， AD+DB+CE+AE7， 即 AB+AC7， ABC 的周长是 12， 即 AB+AC+BC12， BC1275 故答案为 5 17如图，已知 RtABC 中，C90，A30在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB 是等腰 三角形，则符合条件的
21、P 点有 6 个 （在图上作出点 P 的位置） 【分析】本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解 【解答】解：如图，第 1 个点在 AC 上，作线段 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 P，则有 PAPB； 第 2 个点是以 A 为圆心，以 AB 长为半径截取 APAB，交 AC 延长线上于点 P； 第 3 个点是以 A 为圆心，以 AB 长为半径截取 APAB，在上边于 CA 延长线上交于点 P； 第 4 个点是以 B 为圆心，以 BA 长为半径截取 BPBA，与 AC 的延长线交于点 P； 第 5 个点是以 B 为圆心，以 BA 长为半径截取 BPBA，与 BC 在左边交于点 P； 第
22、 6 个点是以 A 为圆心，以 AB 长为半径截取 APAB，与 BC 在右边交于点 P； 故符合条件的点 P 有 6 个点 故答案为：6 18在ABC 中，已知CAB60，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，且AED60，ED+DBCE， CDB2CDE，则DCB 等于 20 【分析】延长 AB 到 F 使 BFAD，连接 CF，如图，先判断ADE 为等边三角形得到 ADDEAE， ADE60，再利用CDB2CDE 得到CDE40，CDB80，接着证明 AFAC，从而可判 断AFC 为等边三角形，则有 CFAC，F60，然后证明ACDFCB 得到 CBCD，最后根 据等腰三角形的性质和三角
23、形内角和计算DCB 的度数 【解答】解：延长 AB 到 F 使 BFAD，连接 CF，如图， CAD60，AED60， ADE 为等边三角形， ADDEAE，ADE60， BDE180ADE120， CDB2CDE， 3CDE120，解得CDE40， CDB2CDE80， BFAD， BFDE， DE+BDCE， BF+BDCE，即 DFCE， AFAD+DF，ACAE+CE， AFAC， 而BAC60， AFC 为等边三角形， CFAC，F60， 在ACD 和FCB 中 ， ACDFCB （SAS） ， CBCD， CBDCDB80， DCB180（CBD+CDB）20 三、解答题（共三、解
24、答题（共 7 小题，共小题，共 46 分）分） 19如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点ABC（即三角形的顶点都在 格点上） （1）ABC 的面积为 5 ； （2）在图中作出ABC 关于直线 MN 的对称图形ABC （3）利用网格纸，在 MN 上找一点 P，使得 PB+PC 的距离最短 （保留痕迹） 【分析】 （1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）分别作出各点关于直线 MN 的对称点，再顺次连接即可； （3）连接 BC交直线 MN 于点 P，则点 P 即为所求点 【解答】解： （1）SABC34221423122235 故答案为：5； （2）
25、如图，ABC即为所求； （3）如图，点 P 即为所求 20如图，ABC 中，ABACCD，BDAD，求ABC 中各角的度数 【分析】利用 ABAC，可得B 和C 的关系，利用 ADBD，可求得CADCDA 及其与B 的关 系，在ABC 中利用内角和定理可求得B，进一步求得ABC，得到结果 【解答】解：ABAC， BC， BDAD， BDAB， ACDC， DACADC2B， BACBAD+DACB+2B3B， 又B+C+BAC180， 5B180， B36，C36，BAC108 21解答问题 （1）计算：aa5+（2a2）32a （3a54a3+a）（2a3）2； （2）已知 n 是正整数，且
26、 x3n2，求（3x3n）3+（2x2n）3的值 【分析】 （1）先算乘方，再算乘法，然后再合并同类项即可； （2）先算乘方，然后再变形，代入 x3n2 可求值 【解答】解： （1）原式a6+8a66a6+8a42a24a6a6+8a42a2 （2）因为 x3n2， 所以，原式（3x3n）3+（2x2n）3 33（x3n）3+（2）3（x3n）2 278+（8）4 184 22如图所示，ABC 是等边三角形，AD 是高，并且 AB 恰好是 DE 的垂直平分线，求证：ADE 是等边 三角形 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 AEAD，根据垂直的定义得到ADE90BAD，根据 角的和差即可得到
27、结论 【解答】证明：A 在 DE 的垂直平分线上， AEAD， ADE 是等腰三角形， ABDE， ADE90BAD， ADBD， B90BAD， 由ADE90BAD，B90BAD，得：BADE60， 等腰ADE 是等边三角形 23如图，AD 是ABC 的角平分线，DFAB，垂足为 F，如图 DEDG，ADG 和AED 的面积分别为 50 和 38，求EDF 的面积 【分析】作 DMDE 交 AC 于 M，作 DNAC，利用角平分线的性质得到 DNDF，将三角形 EDF 的面 积转化为三角形 DNM 的面积来求 【解答】解：作 DMDE 交 AC 于 M，作 DNAC 于点 N， DEDG，
28、DMDG， AD 是ABC 的角平分线，DFAB， DFDN， 在 RtDEF 和 RtDMN 中， ， RtDEFRtDMN（HL） ， ADG 和AED 的面积分别为 50 和 38， SMDGSADGSADM503812， SDNMSEDFSMDG126 24如图，已知：E 是AOB 的平分线上一点，ECOB，EDOA，C、D 是垂足，连接 CD，且交 OE 于 点 F （1）求证：OE 是 CD 的垂直平分线 （2）若AOB60，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论 【分析】 （1）先根据 E 是AOB 的平分线上一点，ECOB，EDOA 得出ODEOCE，可得出
29、OD OC，DECE，OEOE，可得出DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出 OE 是 CD 的 垂直平分线； （2）先根据 E 是AOB 的平分线，AOB60可得出AOEBOE30，由直角三角形的性质 可得出 OE2DE，同理可得出 DE2EF 即可得出结论 【解答】解： （1）E 是AOB 的平分线上一点，ECOB，EDOA， DECE，OEOE， RtODERtOCE， ODOC， DOC 是等腰三角形， OE 是AOB 的平分线， OE 是 CD 的垂直平分线； （2）OE 是AOB 的平分线，AOB60， AOEBOE30， ECOB，EDOA， OE2DE，ODFOED6
30、0， EDF30， DE2EF， OE4EF 25如图 1，OA2，OB4，以点 A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰直角ABC （）求 C 点的坐标； （）如图 2，OA2，P 为 y 轴负半轴上的一个动点，若以 P 为直角顶点，PA 为腰等腰直角APD， 过 D 作 DEx 轴于 E 点，求 OPDE 的值； （）如图 3，点 F 坐标为（4，4） ，点 G（0，m）在 y 轴负半轴，点 H（n，0）x 轴的正半轴，且 FHFG，求 m+n 的值 【分析】 （）证明MACOBA（AAS） ，得出 CMOA2，MAOB4，进而求得 C 点的值； （）求 OPDE 的值，则将其放在同一直线上
31、，过 D 作 DQOP 于 Q 点，即是求 PQ 的值，由图易 求得AOPPDQ（AAS） ，得出 AOPQ2，即可得出答案； （）根据（）的结论，可知 m+n 为定长，过 F 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，运用（）中的方法即可 求得 m+n 的值 【解答】解： （）如图 1，过 C 作 CMx 轴于 M 点，如图 1 所示： CMOA，ACAB， MAC+OAB90，OAB+OBA90， MACOBA， 在MAC 和OBA 中， MACOBA（AAS） ， CMOA2，MAOB4， OM6， 点 C 的坐标为（6，2） ， 故答案为（6，2） ； （）如图 2，过 D 作 DQOP 于 Q 点， 则四边形 OEDQ 是矩形， DEOQ， APO+QPD90，APO+OAP90， QPDOAP， 在AOP 和PDQ 中， AOPPDQ（AAS） ， AOPQ2， OPDEOPOQPQOA2； （）如图 3，过点 F 分别作 FSx 轴于 S 点，FTy 轴于 T 点， 则HSFGTF90SOT， 四边形 OSFT 是正方形， FSFT4，EFT90HFG， HFSGFT， 在FSH 和FTG 中， FSHFTG（AAS） ， GTHS， 又G（0，m） ，H（n，0） ，点 F 坐标为（4，4） ， OTOS4， GT4m，HSn（4）n+4， 4mn+4， m+n8