1、2020-2021 学年江西省吉安市九年级学年江西省吉安市九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题 1（3 分）下列方程为一元二次方程的是（ ） Ax 22xy+y20 Bx（x+3）x 21 C Dx 22x3 2（3 分）某校食堂每天中午为学生提供A、B两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同 款套餐的概率为（ ） A B C D 3（3 分）已知x1，x2是方程x 23x20 的两根，则 x1 2+x 2 2的值为（ ） A5 B10 C11 D13 4（3 分）如果两个相似三角形的周长比是 1：2，那么它们的面积比是（ ） A1：2 B1：4 C1： D：1 5（3
2、分）如图矩形纸片ABCD中，已知AD8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处， 折痕为AE，且EF3则AB的长为（ ） A3 B4 C5 D6 6（3 分）菱形ABCD的一条对角线长为 6，边AB的长是方程x 27x+120 的一个根，则菱形 ABCD的周长 为（ ） A12 B14 C16 D12 或 16 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7（3 分）已知，则 8（3 分）菱形ABCD的一条对角线长为 4cm，另一条对角线长为 6cm，则菱形ABCD的面积为 cm 2 9（3 分）在一个不透明的袋子中装有 3 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相
3、同每次从袋子中随 机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.7 附近，则袋 子中红球约有 个 10（3 分）已知点C是线段AB的黄金分割点（ACBC），且AB10 cm，则点C到A的距离是 11 （3 分）对于任意实数a、b，定义：aba 2+ab+b2若方程（x2）50 的两根记为 m、n，则（m+2） （n+2） 12 （3 分）如图，一次函数yx+6 的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4， 3）作一条直线与AOB交于点Q，使得所截新三角形与AOB相似，则点Q坐标是 三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 30 分
4、） 13（6 分）解方程：x 26x+80 14如图，在ABC中，DEBC，分别与AB、AC交于点D、E，若AE：EC2：3，AB15，求AD和DB的长 15 （6 分）在三个完全相同的小球上分别写上2，1，2 三个数字，然后装入一个不透明的布袋内搅匀， 从布袋中取出一个球，记下小球上的数字为m，放回袋中再搅匀，然后再从袋中取出一个小球，记下小 球上的数字为n，组成一对数（m，n） （1）请用列表或画树状图的方法，表示出数对（m，n）的所有可能的结果； （2）求直线ymx+n不经过第一象限的概率 16（6 分）如图，在ABC中，AC9，AB12，BC15，P为BC边上一动点，PGAC于点G，P
5、HAB于 点H （1）求证：四边形AGPH是矩形； （2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理 由 17（6 分）图、图、图都是 66 的网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点A、B、C 均在格点上，在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图不要求写出画 法 （1）在图中画出ABC边BC上的中线AD，则SABD ； （2）在图中画出BEF，点E、F分别在边AB、BC上，满足BEFBAC，且SBEF：SBAC1：4； （3）在图中画出BMN，点M、N分别在边AB、BC上，使得BMN与BAC是位似图形，且点B为位似 中心，位
6、似比为（保留作图痕迹） 18（6 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 50 元为了扩大销售，增加盈利，该 店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元， 平均每天可多售出 2 件 （1）若每件商品降价 2 元，则平均每天可售出 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为 1600 元？ 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 19（8 分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使 斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条
7、直角边DE0.4m，EF0.2m，测得 边DF离地面的高度AC1.5m，CD8m，求树高 20（8 分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且 AFEB （1）求证：ADFDEC； （2）若AB8，AD6，AF4，求AE的长 21（8 分）ABC中，B90，AB9，BC12，点P从点A开始沿边AB向点B以 1cm/s的速度移动， 与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以 2cm/s的速度移动如果PQ分别从AB同时出发，当点 Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）填空：BQ ，PB （用含t的代数式表示） （2）经过几秒，PQ的长为 6cm
8、？ （3）经过几秒，PBQ的面积等于 8cm 2？ 五、解答题（共 2 小题，满分 18 分） 22（9 分）如图，已知ABC中，BC10，BC边上的高AH8，四边形DEFG为内接矩形 （1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长 （2）设EFx，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最 大值 23（9 分）探究：如图，点A、点D在直线BC上方，且ABBC，DCBC点E是线段BC上的点，AE DE求证：ABEECD 应用：如图，在探究的条件下，若BE2，CD4，DE6，求AE的长 拓展：如图，矩形ABCD中，AB12，BC8将矩形ABCD翻折，使点A落
9、在边CD上的点E处，折痕 为MN若DEDC，则BN 六、（本大题 1 小题，共 12 分） 24（12 分）已知：如图，在 RtACB中，C90，AC4cm，BC3cm，点P由B出发沿BA方向向 点A匀速运动，速度为 1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 2cm/s；连接PQ若设 运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQBC； （2）设AQP的面积为y（cm 2），求 y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把 RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的 值；若不存在，说明理由； （4）如图，连接PC，并把
10、PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边 形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本小题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确答案） 1（3 分）下列方程为一元二次方程的是（ ） Ax 22xy+y20 Bx（x+3）x 21 C Dx 22x3 解：A、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元一次方程，故此选项错误； C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； D、是一元二次方程，故此选项正确； 故选：D 2（3 分）某校食堂每天中午为学生提供A、B两种套餐
11、，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同 款套餐的概率为（ ） A B C D 解：根据题意画图如下： 所有等可能的情况有 4 种，其中甲乙两人选择同款套餐的有 2 种， 则甲乙两人选择同款套餐的概率为：； 故选：A 3（3 分）已知x1，x2是方程x 23x20 的两根，则 x1 2+x 2 2的值为（ ） A5 B10 C11 D13 解：根据题意得x1+x23，x1x22， 所以x1 2+x 2 2（x 1+x2） 22x 1x23 22（2）13 故选：D 4（3 分）如果两个相似三角形的周长比是 1：2，那么它们的面积比是（ ） A1：2 B1：4 C1： D：1 解：两个相似三
12、角形的周长比是 1：2， 它们的面积比是：1：4 故选：B 5（3 分）如图矩形纸片ABCD中，已知AD8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处， 折痕为AE，且EF3则AB的长为（ ） A3 B4 C5 D6 解：四边形ABCD是矩形，AD8， BC8， AEF是AEB翻折而成， BEEF3，ABAF，CEF是直角三角形， CE835， 在 RtCEF中，CF4， 设ABx， 在 RtABC中，AC 2AB2+BC2，即（x+4）2x2+82，解得 x6， 故选：D 6（3 分）菱形ABCD的一条对角线长为 6，边AB的长是方程x 27x+120 的一个根，则菱形 ABCD的周长
13、 为（ ） A12 B14 C16 D12 或 16 解：方程x 27x+120， 分解因式得：（x3）（x4）0， 可得x30 或x40， 解得：x3 或x4， 当AB3 时，3+36，不能构成三角形，舍去； 当AB4 时，菱形周长为 16 故选：C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7（3 分）已知，则 解：， 设x3a，y4a， 则 故答案为： 8（3 分）菱形ABCD的一条对角线长为 4cm，另一条对角线长为 6cm，则菱形ABCD的面积为 12 cm 2 解：菱形ABCD的一条对角线长为 4cm，另一条对角线长为 6cm， 菱形ABCD的面积为6412（
14、cm 2） 故答案为：12 9（3 分）在一个不透明的袋子中装有 3 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同每次从袋子中随 机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.7 附近，则袋 子中红球约有 7 个 解：设袋中红球有x个， 根据题意，得：0.7， 解得：x7， 经检验：x7 是分式方程的解， 所以袋中红球有 7 个， 故答案为：7 10（3 分）已知点C是线段AB的黄金分割点（ACBC），且AB10 cm，则点C到A的距离是 （5 5）cm 解：点C是线段AB的黄金分割点（ACBC）， ACAB， AB10cm， AC10（55）cm 故答案为：（
15、55）cm 11 （3 分）对于任意实数a、b，定义：aba 2+ab+b2若方程（x2）50 的两根记为 m、n，则（m+2） （n+2） 1 解：（x2）5x 2+2x+45， m、n为方程x 2+2x10 的两个根， m+n2，mn1， （m+2）（n+2）mn+2（m+n）+41+2（2）+41 故答案为1 12 （3 分）如图，一次函数yx+6 的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4， 3）作一条直线与AOB交于点Q，使得所截新三角形与AOB相似，则点Q坐标是 （0，3）或（，0） 或（4，0） 解：一次函数yx+6 的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A， A（
16、0，6），B（8，0）， OA6，OB8，AB10， 如图有两种情形：当PQOB时，满足条件 APPB， AQOQ， Q（0，3） 当PQAB时，满足条件连接AQ PAPB，PQAB， QAQB，设QAQBm， 在 RtAOQ中，则有m 262+（8m）2， 解得m， OQ8， Q（，0） 当PQy轴时，同法可得P（4，0） 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（，0）或（4，0） 三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13（6 分）解方程：x 26x+80 解：（x2）（x4）0， x20 或x40， 所以x12，x24 14如图，在ABC中，DEBC，分别
17、与AB、AC交于点D、E，若AE：EC2：3，AB15，求AD和DB的长 解：DEBC， ， AE：EC2：3，AB15， ， AD6， BDABAD9 15 （6 分）在三个完全相同的小球上分别写上2，1，2 三个数字，然后装入一个不透明的布袋内搅匀， 从布袋中取出一个球，记下小球上的数字为m，放回袋中再搅匀，然后再从袋中取出一个小球，记下小 球上的数字为n，组成一对数（m，n） （1）请用列表或画树状图的方法，表示出数对（m，n）的所有可能的结果； （2）求直线ymx+n不经过第一象限的概率 解：（1）树状图如图所示， 数对（m，n）的所有可能的结果为（2，2），（2，1），（2，2），（
18、1，2），（1， 1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，2）； （2）当m0，n0 时，直线ymx+n不经过第一象限， 直线ymx+n不经过第一象限的概率P 16（6 分）如图，在ABC中，AC9，AB12，BC15，P为BC边上一动点，PGAC于点G，PHAB于 点H （1）求证：四边形AGPH是矩形； （2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理 由 【解答】（1）证明AC9 AB12 BC15， AC 281，AB2144，BC2225， AC 2+AB2BC2， A90 PGAC，PHAB， AGPAHP90， 四边形AGPH是
19、矩形； （2）存在理由如下： 连结AP 四边形AGPH是矩形， GHAP 当APBC时AP最短 91215AP AP 17（6 分）图、图、图都是 66 的网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点A、B、C 均在格点上，在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图不要求写出画 法 （1）在图中画出ABC边BC上的中线AD，则SABD 6 ； （2）在图中画出BEF，点E、F分别在边AB、BC上，满足BEFBAC，且SBEF：SBAC1：4； （3）在图中画出BMN，点M、N分别在边AB、BC上，使得BMN与BAC是位似图形，且点B为位似 中心，位似比为（保留作图痕迹） 解：
20、（1）如图中，线段AD即为所求SABD346， 故答案为 6 （2）如图中，线段EF即为所求 （3）如图中，线段MN即为所求 18（6 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 50 元为了扩大销售，增加盈利，该 店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元， 平均每天可多售出 2 件 （1）若每件商品降价 2 元，则平均每天可售出 24 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为 1600 元？ 解：（1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 2 元， 则平均每天可多售出 22
21、4（件），即平均每天销售数量为 20+424（件） 故答案为：24 （2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为 1600 元， 由题意得：（50 x）（20+2x）1600 整理得：x 240 x+3000 （x10）（x30）0 x110，x230 每件盈利不少于 25 元 x230 应舍去 答：每件商品降价 10 元时，该商品每天的销售利润为 1600 元 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 19（8 分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使 斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE
22、0.4m，EF0.2m，测得 边DF离地面的高度AC1.5m，CD8m，求树高 解：DEFDCB90，DD， DEFDCB ， DE0.4m，EF0.2m，CD8m， ， CB4（m）， ABAC+BC1.5+45.5（米） 答：树高为 5.5 米 20（8 分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且 AFEB （1）求证：ADFDEC； （2）若AB8，AD6，AF4，求AE的长 【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD， ADFCED，B+C180； AFE+AFD180，AFEB， AFDC， ADFDEC；
23、 （2）解：四边形ABCD是平行四边形， DCAB8 ADFDEC， ，即， DE12 ADBC，AEBC， AEAD 在 RtADE中，EAD90，DE12，AD6， AE6 21（8 分）ABC中，B90，AB9，BC12，点P从点A开始沿边AB向点B以 1cm/s的速度移动， 与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以 2cm/s的速度移动如果PQ分别从AB同时出发，当点 Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）填空：BQ 2t ，PB 9t （用含t的代数式表示） （2）经过几秒，PQ的长为 6cm？ （3）经过几秒，PBQ的面积等于 8cm 2？ 解：（1）根据题意得：BQ2t，PB
24、9t 故答案为：2t；9t （2）根据题意得：（9t） 2+（2t）272， 解得：t1，t23， 经过秒或 3 秒，PQ的长为 6cm （3）根据题意得：（9t）2t8， 解得：t18，t21 0t6， t1 答：经过 1 秒，PBQ的面积等于 8cm 2 五、解答题（共 2 小题，满分 18 分） 22（9 分）如图，已知ABC中，BC10，BC边上的高AH8，四边形DEFG为内接矩形 （1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长 （2）设EFx，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最 大值 解：（1）设HKy，则AKAHKHAHEF8y， 四边
25、形DEFG为矩形， GFBC， AGFABC， AK：AHGF：BC， 当矩形DEFG是正方形时，GFKHy， 8y：8y：10， 解得：y； （2）设EFx，则KHx AKAHEF8x， 由（1）可知：， 解得：GF10 x， sGFEF（10 x）x（x4） 2+20， 当x4 时S有最大值，并求出最大值 20 23（9 分）探究：如图，点A、点D在直线BC上方，且ABBC，DCBC点E是线段BC上的点，AE DE求证：ABEECD 应用：如图，在探究的条件下，若BE2，CD4，DE6，求AE的长 拓展：如图，矩形ABCD中，AB12，BC8将矩形ABCD翻折，使点A落在边CD上的点E处，
26、折痕 为MN若DEDC，则BN 2 解：探究：ABBC，DCBC， BC90， A+AEB90， AEDE， AED90， AEB+DEC90， ADEC， ABEECD； 应用：由探究知，ABEECD， ， ， AE3； 拓展：如图， 四边形ABCD是矩形， ADBC8，CDAB12， DEDC， DE4， 设DMx，则AMADDM8x， 由折叠知，MEAM8x， 根据勾股定理得，DM 2+DE2ME2， x 2+42（8x）2， x3， DM3， 四边形ABCD是矩形， ADCB90， 过点N作NFCD于F，则EFN90BC， 四边形BCFN是矩形， BNCF，FNBC8， D90， DM
27、E+DEM90， 由折叠知，MEN90， DEM+NEC90， DMENEC， MDEEFN， ， ， EF6， BNCFBCDEEF12462， 故答案为 2 六、（本大题 1 小题，共 12 分） 24（12 分）已知：如图，在 RtACB中，C90，AC4cm，BC3cm，点P由B出发沿BA方向向 点A匀速运动，速度为 1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 2cm/s；连接PQ若设 运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQBC； （2）设AQP的面积为y（cm 2），求 y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好
28、把 RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的 值；若不存在，说明理由； （4）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边 形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 解：（1）在 RtABC中，AB， 由题意知：AP5t，AQ2t，若PQBC，则APQABC， ， t所以当t时，PQBC （2）过点P作PHAC于H APHABC， ， ， PH3t， yAQPH2t（3t）t 2+3t （3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQBP+BC+CQ （5t）+2tt+3+（42t），解得t1 若PQ把ABC面积平分，则SAPQSABC，即+3t3 t1 代入上面方程不成立， 不存在这一时刻t，使线段PQ把 RtACB的周长和面积同时平分 （4）过点P作PMAC于M，PNBC于N， 若四边形PQPC是菱形，那么PQPC PMAC于M， QMCM PNBC于N，易知PBNABC ， PN， QMCM， t+t+2t4，解得：t 当ts时，四边形PQPC是菱形 此时PM3tcm，CMtcm， 在 RtPMC中，PCcm， 菱形PQPC边长为cm