1、2020-2021 学年河南省焦作学年河南省焦作市解放区二校联考市解放区二校联考九年级（上）期中数学试卷九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列命题中，真命题是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C对角线互相平分的四边形是平行四边形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2用配方法将二次三项式 x2+4x96 变形，结果正确的是（ ） A （x+2）2100 B （x2）2100 C （x+2）292 D （x2）292 3如图是大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方
2、形内的数字表示该位置上小正方体的数量， 数字“2”的位置上的小正方体向标数字“1”位置上平移一个，下列说法正确的是（ ） A主视图与俯视图不变 B左视图与俯视图不变 C主视图与左视图改变 D三种视图都不变 4如图，在ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（1，0） 以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作ABC 的位似图形ABC，并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍设点 B 的对应点 B 的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ） A B C D 5 定义运算： mnmn2mn1 例如： 424224217 则方程 1x0 的根的情况为 （ ） A有两个不相等的实数根
3、 B有两个相等的实数根 C无实数根 D只有一个实数根 6如图，幼儿园计划用 30m 的围栏靠墙围成一个面积为 100m2的矩形小花园（墙长为 15m） ，则与墙垂直 的边 x 为（ ） A10m 或 5m B5m 或 8m C10m D5m 7已知点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）都在反比例函数 y（k0）的图象上，且 x1x20 x3，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy3y1y2 8如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 E 在 AC 边上，过点 E 作 EFBC，交 AD 于点 F， 过
4、点 E 作 EGAB，交 BC 于点 G，则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 9如图，已知菱形 OABC 的顶点 O（0，0） ，B（2，2） ，若菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为（ ） A （1，1） B （1，1） C （，0） D （0，） 10如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE，CD 与 BE、 AE 分别交于点 P、M对于下列结论：BAECAD；MPMDMAME；2CB2CPCM； CPB45其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个
5、 11如图，D 为ABC 中 BC 边上的一点，连接 AD，将ABC 沿 AD 平移到ABC的位置，AB 和 AC分别交 BC 边于点 E、F已知ABC 的面积为 30，阴影部分的面积为 20若 AD6，那么 ABC 平移的距离 AA的长为（ ） A2 B62 C2 D4 12如图所示，把多块大小不同的 30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板 AOB 的一条直 角边与 x 轴重合且点 A 的坐标为（2，0） ，ABO30，第二块三角板的斜边 BB1与第一块三角板的斜 边 AB 垂直且交 x 轴于点 B1，第三块三角板的斜边 B1B2与第二块三角板的斜边 BB1垂直且交 y 轴于点
6、B2，第四块三角板斜边 B2B3与第三块三角板的斜边 B1B2垂直且交 x 轴于点 B3按此规律继续下去，则 线段 OB2020的长为（ ） A2（）2020 B2（）2021 C （）2020 D （）2021 二、填空题（共二、填空题（共 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 13已知实数 a、b、c，满足k，则 k 14一元二次方程 x23x10 与 x2x+30 的所有实数根的和等于 15如图，电路图上有编号为共 5 个开关和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关或 同时闭合开关都可使小灯泡发光， 任意闭合电路上其中的两个开关， 小灯泡发光的概率为 16如图，AB
7、C 的三个顶点分别为 A（1，2） ，B（4，2） ，C（4，4） 若反比例函数 y在第一象限内 的图象与ABC 有交点，则 k 的取值范围是 17如图所示，RtABC 在第一象限，BAC90，ABAC2，点 A 在直线 yx 上，其中点 A 的横坐 标为 1，且 ABx 轴，ACy 轴，若双曲线（k0）与ABC 有交点，则 k 的取值范围是 18如图，已知 ADBC，ABBC，AB3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠， 点 B 落在点 B处，过点 B作 AD 的垂线，分别交 AD，BC 于点 M，N当点 B为线段 MN 的三等分 点时，BE 的长为 19
8、如图，在边长为 2 个单位长度的正方形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，点 P 从点 D 出发沿射线 DC 以每 秒 1 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PFDE 于点 F，当运动时间为 秒时，以 P、F、E 为顶 点的三角形与AED 相似 三、解答题（三、解答题（8 小题，共小题，共 75 分）分） 20 （8 分）解方程： （1）7x（3x）4（x3） ； （2）2（t1）2+t3 21 （9 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别在 BD 和 DB 的延长线上，且 DEBF，连接 AE，CF （1）求证：ADECBF； （2）连接 AF，
9、CE当 BD 平分ABC 时，四边形 AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由 22 （9 分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助某批次派出 20 人组成 的专家组，分别赴 A、B、C、D 四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示： （1）计算赴 B 国女专家和 D 国男专家人数，并将条形统计图补充完整 （2）根据需要，从赴 A 国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专 家恰好是一男一女的概率 23 （9 分）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了 让顾客得到更大的实惠
10、，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克）与每千克降价 x（元） （0 x 20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 24 （9 分）如图，已知直线 yx+4 与反比例函数 y的图象相交于点 A（2，a） ，并且与 x 轴相交于 点 B （1）求 a 的值；求反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）求不等式x+40 的解集（直接写出答案） 25 （10 分）如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影 AB1.125m，蹲下来，则身影 AC0.5m，已知小 明的身高
11、 AD1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度 PH 26 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且APDB （1）求证：ACCDCPBP； （2）若 AB10，BC12，当 PDAB 时，求 BP 的长 27如图 1，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，AEADEC 与 BD 相交于点 G，与 AD 相交于点 F，AFAB （1）求证：BDEC； （2）若 AB1，求 AE 的长； （3）如图 2，连接 AG，求证：EGDGAG 28 （11 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB12cm，BC6cm，点
12、P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2cm/s 的 速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示 移动时间（0t6） （1）当 t 为何值时，QAP 为等腰三角形？ （2）当 t 为何值时，以 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？ （3） 设QCP 的面积为 S， 求 S 与 t 之间的函数关系式， 并求出当 t 为何值时， QCP 的面积有最小值？ 最小值是多少？ 29 如图， 在 RtABC 中， ACB90， CDAB 于点 D， 点 E 是直线 AC 上一动点， 连接 DE， 过点 D 作 FD
13、ED，交直线 BC 于点 F （1）探究发现： 如图 1，若 mn，点 E 在线段 AC 上，则 ； （2）数学思考： 如图 2，若点 E 在线段 AC 上，则 （用含 m，n 的代数式表示） ； 当点 E 在直线 AC 上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 3 的情形给出证明； （3）拓展应用：若 AC，BC2，DF4，请直接写出 CE 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列命题中，真命题是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C对角线互相平分的四边形
14、是平行四边形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【分析】A、根据矩形的定义作出判断； B、根据菱形的性质作出判断； C、根据平行四边形的判定定理作出判断； D、根据正方形的判定定理作出判断 【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误； 故选：C 2用配方法将二次三项式 x2+4x96 变形，结果正确的是（ ） A （x+2）2100 B （x2）2100 C （x+2）292 D （x2）292
15、 【分析】若二次项的系数为 1，则常数项为一次项系数的一半的平方，若二次项系数不是 1，则可先提取 二次项系数，将其化为 1 即可 【解答】解：x2+4x96x2+4x+4496（x+2）2100， 故选：A 3如图是大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形内的数字表示该位置上小正方体的数量， 数字“2”的位置上的小正方体向标数字“1”位置上平移一个，下列说法正确的是（ ） A主视图与俯视图不变 B左视图与俯视图不变 C主视图与左视图改变 D三种视图都不变 【分析】直接利用俯视图上小立方体的个数进而可以判断三视图，再利用移动一个小立方体得出三视图 的变化情况 【解答】解：小正方形内的数
16、字表示该位置上小正方体的数量，数字“2”的位置上的小正方体向标数 字“1”位置上平移一个， 俯视图不变，由于最左边最高的是 3 个小正方体，故其后面的小正方体移动不会影响主视图，则主视 图也不变，左视图第 2 行高度改变，其左视图改变 故选：A 4如图，在ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（1，0） 以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作ABC 的位似图形ABC，并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍设点 B 的对应点 B 的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ） A B C D 【分析】以点 C 为坐标原点建立新的坐标系，表示出点 B的横坐标，根据位似变换的性
17、质计算，得到 答案 【解答】解：以点 C 为坐标原点建立新的坐标系， 点 C 的坐标是（1，0） ， 点 B的横坐标为：a+1， 以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作ABC 的位似图形ABC， 则点 B 在以 C 为坐标原点的坐标系中的横坐标为：， 点 B 在原坐标系中的横坐标为：1， 故选：D 5 定义运算： mnmn2mn1 例如： 424224217 则方程 1x0 的根的情况为 （ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D只有一个实数根 【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案 【解答】解：由题意可知：1xx2x10， 141（1）50， 有两个不相等的实
18、数根 故选：A 6如图，幼儿园计划用 30m 的围栏靠墙围成一个面积为 100m2的矩形小花园（墙长为 15m） ，则与墙垂直 的边 x 为（ ） A10m 或 5m B5m 或 8m C10m D5m 【分析】设与墙垂直的边长 x 米，则与墙平行的边长为（302x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小 花园的面积为 100m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论 【解答】解：设与墙垂直的边长 x 米，则与墙平行的边长为（302x）米， 根据题意得： （302x）x100， 整理得：x215x+500， 解得：x15，x210 当 x5 时，302x2015， x5 舍去
19、 故选：C 7已知点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）都在反比例函数 y（k0）的图象上，且 x1x20 x3，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy3y1y2 【分析】根据反比例函数性质，反比例函数 y（k0）的图象分布在第二、四象限，则 y3最小，y2 最大 【解答】解：反比例函数 y（k0）的图象分布在第二、四象限， 在每一象限 y 随 x 的增大而增大， 而 x1x20 x3， y30y1y2 即 y2y1y3 故选：A 8如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 E 在 AC 边上，过点
20、E 作 EFBC，交 AD 于点 F， 过点 E 作 EGAB，交 BC 于点 G，则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可 【解答】解：EFBC， ， EGAB， ， ， 故选：C 9如图，已知菱形 OABC 的顶点 O（0，0） ，B（2，2） ，若菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为（ ） A （1，1） B （1，1） C （，0） D （0，） 【分析】根据菱形的性质，可得 D 点坐标，根据旋转的性质，可得 D 点的坐标 【解答】解：菱形 OABC 的顶点 O（0，0） ，B（2
21、，2） ，得 D 点坐标为（1，1） 每秒旋转 45，则第 60 秒时，得 45602700， 27003607.5 周， OD 旋转了 7 周半，菱形的对角线交点 D 的坐标为（1，1） ， 故选：B 10如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE，CD 与 BE、 AE 分别交于点 P、M对于下列结论：BAECAD；MPMDMAME；2CB2CPCM； CPB45其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由等腰 RtABC 和等腰 RtADE 三边份数关系可证；通过等积式倒推可知，证明PME AMD 即可
22、；2CB2转化为 AC2，证明ACPMCA，问题可证；根据相似三角形的性质即可 得到结论 【解答】解：由已知：ACAB，ADAE， ， BACEAD， BAECAD， BAECAD， 所以正确； BAECAD， BEACDA， PMEAMD， PMEAMD， ， MPMDMAME， 所以正确； 由MPMDMAME， PMADME， PMAEMD， APDAED90， CAE180BACEAD90， CAPCMA， AC2CPCM， ACBC， 2CB2CPCM， 所以正确； 设 BE 与 AC 相交于 O， 则AOBPOC， BAECAD， ABEACD， BPCBAC45， 所以正确， 故选
23、：D 11如图，D 为ABC 中 BC 边上的一点，连接 AD，将ABC 沿 AD 平移到ABC的位置，AB 和 AC分别交 BC 边于点 E、F已知ABC 的面积为 30，阴影部分的面积为 20若 AD6，那么 ABC 平移的距离 AA的长为（ ） A2 B62 C2 D4 【分析】证明AEFABC，再利用相似三角形的性质求得 AD，进而即可求得 AA的长 【解答】解：ABC 的面积为 30，阴影部分的面积为 20 SAEF10， 将ABC 沿 AD 平移得到ABC， BACBAC，AEAB，AFAC， DAEDAB， ， 同理：， ， AEFABC， （）2（）2即（）2 解得 AD2或
24、AD2（舍） ， AAADAD62 故选：B 12如图所示，把多块大小不同的 30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板 AOB 的一条直 角边与 x 轴重合且点 A 的坐标为（2，0） ，ABO30，第二块三角板的斜边 BB1与第一块三角板的斜 边 AB 垂直且交 x 轴于点 B1，第三块三角板的斜边 B1B2与第二块三角板的斜边 BB1垂直且交 y 轴于点 B2，第四块三角板斜边 B2B3与第三块三角板的斜边 B1B2垂直且交 x 轴于点 B3按此规律继续下去，则 线段 OB2020的长为（ ） A2（）2020 B2（）2021 C （）2020 D （）2021 【分析】 根据
25、题意和图象可以发现题目中的变化规律： OB2， OB12 （） 2， OB22 （ ） 3，从而可以推算出 OB2020 的长 【解答】解：由题意可得， OBOAtan6022， B（0，2） ， OB1OBtan6022（）2， B1（2（）2，0） ， OB2OB1tan602（）3， B2（0，2（）3） ， OB3OB2tan602（）4， B3（2（）4，0） ， 线段 OB2020的长为 2（）2021 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 13已知实数 a、b、c，满足k，则 k 1 或 2 【分析】根据等比性质：
26、kk，可得答案 【解答】解：由等比性质，得 当 a+b+c0 时，k1 当 a+b+c0 时，k2 故答案为：1 或 2 14一元二次方程 x23x10 与 x2x+30 的所有实数根的和等于 3 【分析】首先需要通过判别式来判定这两根方程是否有实数根，再根据根与系数的关系即可求得答案 【解答】解：x23x10， a1，b3，c1， b24ac130， 方程有两个不相等的实数根； 设这两个实数根分别为 x1与 x2， 则 x1+x23； 又x2x+30， a1，b1，c3， b24ac110， 此方程没有实数根 一元二次方程 x23x10 与 x2x+30 的所有实数根的和等于 3 故答案为：
27、3 15如图，电路图上有编号为共 5 个开关和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关或 同时闭合开关都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可 【解答】 解： 两两组合有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 能发亮的有， 所以小灯泡发光的概率为， 故答案为： 16如图，ABC 的三个顶点分别为 A（1，2） ，B（4，2） ，C（4，4） 若反比例函数 y在第一象限内 的图象与ABC 有交点，则 k 的取值范围是 2k16 【分析】由于ABC 是直角三角形，所以当反比例函数 y经过点 A 时 k 最小，经过点 C 时
28、 k 最大， 据此可得出结论 【解答】解：ABC 是直角三角形， 当反比例函数 y经过点 A 时 k 最小，经过点 C 时 k 最大， k最小122，k最大4416， 2k16 故答案为 2k16 17如图所示，RtABC 在第一象限，BAC90，ABAC2，点 A 在直线 yx 上，其中点 A 的横坐 标为 1， 且 ABx 轴， ACy 轴， 若双曲线（k0） 与ABC 有交点， 则 k 的取值范围是 1k4 【分析】根据等腰直角三角形和 yx 的特点，先求算出点 A，和 BC 的中点坐标求得最内侧的双曲线 k 值和最外侧的双曲线 k 值即可求解 【解答】解：根据题意可知点 A 的坐标为（
29、1，1） BAC90，ABAC2 点 B，C 关于直线 yx 对称 点 B 的坐标为（3，1） ，点 C 的坐标为（1，3） 中点的横坐标为2，纵坐标为， 线段 BC 的中点坐标为（2，2） ， 双曲线（k0）与ABC 有交点 过 A 点的双曲线 k1，过 B，C 中点的双曲线 k4 即 1k4 故答案为：1k4 18如图，已知 ADBC，ABBC，AB3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠， 点 B 落在点 B处，过点 B作 AD 的垂线，分别交 AD，BC 于点 M，N当点 B为线段 MN 的三等分 点时，BE 的长为 或 【分析】根据勾股定理，可得 E
30、B， 根据相似三角形的性质，可得 EN 的长， 根据勾股定理，可得答案 【解答】解：如图， 由翻折的性质，得 ABAB，BEBE 当 MB2，BN1 时，设 ENx，得 BE BENABM， ，即， x2， BEBE 当 MB1，BN2 时，设 ENx，得 BE， BENABM， ，即， 解得 x2，BEBE， 故答案为：或 19如图，在边长为 2 个单位长度的正方形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，点 P 从点 D 出发沿射线 DC 以每 秒 1 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PFDE 于点 F，当运动时间为 1 或 秒时，以 P、F、E 为 顶点的三角形与AED 相似 【分析】分
31、两种情形：如图，当PFEEAD 时，如图，当EFPEAD 时，分别求解即可 【解答】解：如图，当PFEEAD 时， 可知此时 PECD， tDP1； 如图，当EFPEAD 时， 可知，此时 F 为 DE 中点， EFDFDE， ， 即， 解得 tDP， 综上所述，满足条件的 t 的值为 1s 或s 故答案为：1 或 三、解答题（三、解答题（8 小题，共小题，共 75 分）分） 20 （8 分）解方程： （1）7x（3x）4（x3） ； （2）2（t1）2+t3 【分析】 （1）利用因式分解法求解即可； （1）整理为一般式，再利用公式法求解即可 【解答】解： （1）7x（3x）+4（3x）0，
32、（3x） （7x+4）0， 则 3x0 或 7x+40， 解得 x13，x2； （2）整理为一般式，得：2t23t10， a2，b3，c1， （3）242（1）170， 则 t， 解得 t1，t2 21 （9 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别在 BD 和 DB 的延长线上，且 DEBF，连接 AE，CF （1）求证：ADECBF； （2）连接 AF，CE当 BD 平分ABC 时，四边形 AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由 【分析】 （1）根据四边形 ABCD 是平行四边形，可以得到 ADCB，ADBC，从而可以得到ADE CBF，然后根据 S
33、AS 即可证明结论成立； （2）根据 BD 平分ABC 和平行四边形的性质，可以证明ABCD 是菱形，从而可以得到 ACBD，然 后即可得到 ACEF，再根据题目中的条件，可以证明四边形 AFCE 是平行四边形，然后根据 ACEF， 即可得到四边形 AFCE 是菱形 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，ADBC， ADBCBD， ADECBF， 在ADE 和CBF 中， ， ADECBF（SAS） ； （2）当 BD 平分ABC 时，四边形 AFCE 是菱形， 理由：BD 平分ABC， ABDCBD， 四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD，ADBC
34、， ADBCBD， ABDADB， ABAD， 平行四边形 ABCD 是菱形， ACBD， ACEF， DEBF， OEOF， 又OAOC， 四边形 AFCE 是平行四边形， ACEF， 四边形 AFCE 是菱形 22 （9 分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助某批次派出 20 人组成 的专家组，分别赴 A、B、C、D 四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示： （1）计算赴 B 国女专家和 D 国男专家人数，并将条形统计图补充完整 （2）根据需要，从赴 A 国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专 家恰好是一男一女的
35、概率 【分析】 （1）先计算出赴 B 国女专家人数和赴 D 国男专家人数，然后补全条形统计图； （2）画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，找出所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数，然后 根据概率公式求解 【解答】解： （1）赴 B 国女专家人数为 2040%53（人） 赴 D 国男专家人数为 20（120%40%25%）21（人） 条形统计图补充为： （2）画树状图为： 共有 20 种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为 12， 所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率 23 （9 分）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元
36、的价格销售，为了 让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克）与每千克降价 x（元） （0 x 20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【分析】 （1）设一次函数解析式为：ykx+b 由题意得出：当 x2，y120；当 x4，y140；得出方 程组，解方程组解可； （2）由题意得出方程（6040 x） （10 x+100）2090，解方程即可 【解答】解： （1）设一次函数解析式为：ykx+b 当 x2，y120；当 x4，y140； ， 解得：， y
37、与 x 之间的函数关系式为 y10 x+100； （2）由题意得： （6040 x） （10 x+100）2090， 整理得：x210 x+90， 解得：x11x29， 让顾客得到更大的实惠， x9， 答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元 24 （9 分）如图，已知直线 yx+4 与反比例函数 y的图象相交于点 A（2，a） ，并且与 x 轴相交于 点 B （1）求 a 的值；求反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）求不等式x+40 的解集（直接写出答案） 【分析】 （1）直接利用待定系数法把 A（2，a）代入函数关系式 yx+4 中即可求出 a
38、的值，得到 A 点坐标后，把 A 点坐标代入反比例函数关系式 y即可得到答案； （2）根据题意画出图象，过 A 点作 ADx 轴于 D，根据 A 的坐标求出 AD 的长，再根据 B 点坐标求出 OB 的长，根据三角形面积公式即可算出AOB 的面积； （3）观察图象，一次函数在反比例函数图象下方的部分对应的 x 的取值即为所求 【解答】解： （1）点 A（2，a）在 yx+4 的图象上， a2+46； 将 A（2，6）代入 y，得 k12， 所以反比例函数的解析式为 y； （2）如图：过 A 点作 ADx 轴于 D， A（2，6） ， AD6， 在直线 yx+4 中，令 y0，得 x4， B（4
39、，0） ， OB4， AOB 的面积 SOBAD4612 （3）设一次函数与反比例函数的另一个交点为 C， 解得或， 所以 C 点坐标（6，2） ， 由图象知，不等式x+40 的解集为：2x0 或 x6 25 （10 分）如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影 AB1.125m，蹲下来，则身影 AC0.5m，已知小 明的身高 AD1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度 PH 【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形根据对应边成比例，列方程解答即 可 【解答】解：因为 ADPH， ADBHPB；AMCHPC AB：HBAD：PH，AC：AMHC：PH， 即
40、1.125： （1.125+AH）1.6：PH， 0.5：0.8（0.5+HA） ：PH， 解得：PH8m 即路灯的高度为 8 米 26 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且APDB （1）求证：ACCDCPBP； （2）若 AB10，BC12，当 PDAB 时，求 BP 的长 【分析】 （1）易证APDBC，从而可证到ABPPCD，即可得到，即 ABCDCP BP，由 ABAC 即可得到 ACCDCPBP； （2）由 PDAB 可得APDBAP，即可得到BAPC，从而可证到BAPBCA，然后运用相 似三角形的性质即可求出 BP 的长 【解答】
41、解： （1）ABAC，BC APDB，APDBC APCBAP+B，APCAPD+DPC， BAPDPC， ABPPCD， ， ABCDCPBP ABAC， ACCDCPBP； （2）如图，PDAB， APDBAP APDC， BAPC BB， BAPBCA， AB10，BC12， ， BP 27如图 1，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，AEADEC 与 BD 相交于点 G，与 AD 相交于点 F，AFAB （1）求证：BDEC； （2）若 AB1，求 AE 的长； （3）如图 2，连接 AG，求证：EGDGAG 【分析】 （1）证明AEFADB（SAS） ，得出A
42、EFADB，证得EGB90，则结论得出； （2）证明AEFDCF，得出，即 AEDFAFDC，设 AEADa（a0） ，则有 a （a1） 1，化简得 a2a10，解方程即可得出答案； （3） 在线段 EG 上取点 P， 使得 EPDG， 证明AEPADG （SAS） ， 得出 APAG， EAPDAG， 证得PAG 为等腰直角三角形，可得出结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上， EAFDAB90， 又AEAD，AFAB， AEFADB（SAS） ， AEFADB， GEB+GBEADB+ABD90， 即EGB90， 故 BDEC， （2）解：四边
43、形 ABCD 是矩形， AECD， AEFDCF，EAFCDF， AEFDCF， ， 即 AEDFAFDC， 设 AEADa（a0） ，则有 a （a1）1，化简得 a2a10， 解得或（舍去） ， AE （3）证明：如图，在线段 EG 上取点 P，使得 EPDG， 在AEP 与ADG 中，AEAD，AEPADG，EPDG， AEPADG（SAS） ， APAG，EAPDAG， PAGPAD+DAGPAD+EAPDAE90， PAG 为等腰直角三角形， EGDGEGEPPGAG 28 （11 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB12cm，BC6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B
44、以 2cm/s 的 速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示 移动时间（0t6） （1）当 t 为何值时，QAP 为等腰三角形？ （2）当 t 为何值时，以 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？ （3） 设QCP 的面积为 S， 求 S 与 t 之间的函数关系式， 并求出当 t 为何值时， QCP 的面积有最小值？ 最小值是多少？ 【分析】 （1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻 t，AP2t，DQt，QA6t当 QAAP 时， QAP 为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案； （2）根据题意，在矩形
45、ABCD 中，可分为 、两种情况来研究，列出关系式，代入数据 可得答案； （3）利用面积的差，用 t 表示出PCQ 的面积，即可得出结论 【解答】解： （1）由运动知，AP2t（cm） ，DQt（cm） ，QA（6t） （cm） 四边形 ABCD 是矩形， PAQ90， QAP 为等腰三角形， QAAP， 6t2t， t2， 所以，当 t2 时，QAP 为等腰三角形 （2）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形 ABCD 中： 当QAPABC 时， ， t1.2， 即当 t1.2 时，QAPABC； 当PAQABC 时， ， t3， 即当 t3 时，PAQABC； 所以，当 t1.2 或 3
46、时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似 （3）SPCQS四边形QAPCSQAP S四边形ABCDSCDQSPBCSQAP 12612t6（122t）2t（6t） 366t+t2 （t3）2+27， 0t6， 当 t3 时，QCP 的面积最小，最小值为 27cm2 29 如图， 在 RtABC 中， ACB90， CDAB 于点 D， 点 E 是直线 AC 上一动点， 连接 DE， 过点 D 作 FDED，交直线 BC 于点 F （1）探究发现： 如图 1，若 mn，点 E 在线段 AC 上，则 1 ； （2）数学思考： 如图 2，若点 E 在线段 AC 上，则 （用含 m，n 的代
47、数式表示） ； 当点 E 在直线 AC 上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 3 的情形给出证明； （3）拓展应用：若 AC，BC2，DF4，请直接写出 CE 的长 【分析】 （1） 先用等量代换判断出ADECDF， ADCB， 得到ADECDF， 再判断出ADC CDB 即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出ADECDF，ADCB，得到ADECDF，再 判断出ADCCDB 即可； （3）由（2）的结论得出ADECDF，判断出 CF2AE，求出 DE，再利用勾股定理，计算出即可 【解答】解： （1）当 mn 时，即：BCAC， ACB90， A+ABC90， CDAB， DCB+ABC90， ADCB， FDEADC90， FDECDEADCCDE， 即ADECDF， ADECDF， ， ADCB，ADCBDC90， ADCCDB， 1， 1 （2）ACB90， A+ABC90， CDAB， DCB+ABC90， ADCB， FDEADC90， FDECDEADCCDE， 即ADECDF， ADECDF， ， ADCB，ADCBDC90， ADCCDB， ， 成立如图， ACB90， A+ABC90， 又CDAB，