1、2020-2021 学年广东省汕头市潮南区两英镇九年级（上）期中数学试卷学年广东省汕头市潮南区两英镇九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1在平面直角坐标系中，点 P（2，1）关于原点对称的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2如果抛物线 y（2a）x2开口向下，那么 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 3用配方法解方程 x22x40，配方正确的是（ ） A （x1）23 B （x1）24 C （x1）25 D （x+1）23 4抛物线 y（x1）2与 y 轴的交点坐标是（ ） A （1，0
2、） B （0，1） C （0，1） D （0，0） 5若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 6如图，ABC 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转 60，得ABC，则ABB是（ ）三角 形 A锐角三角形 B正三角形 CRt 三角形 D钝角三角形 7m 是方程 x2+x10 的根，则式子 2m2+2m+2020 的值为（ ） A2018 B2019 C2021 D2022 8已知二次函数 yx26x+m 的最小值是 1，那么 m 的值等于（ ） A10 B4 C5 D6 9用一条长为 40
3、cm 的绳子围成一个面积为 acm2的长方形，a 的值不可能为（ ） A20 B40 C100 D120 10 如图， 函数 yax22x+1 和 yaxa （a 是常数， 且 a0） 在同一平面直角坐标系的图象可能是 （ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）方程 x210 的解为 12 （4 分）若二次函数 yx2+2m1 的图象经过原点，则 m 的值是 13 （4 分）如图，如果把正方形 CDFE 经过旋转后能与正方形 ABCD 重合，那么图形所在的平面上可作为 旋转中心的点共有 个 14 （4 分）若关于 x 的一元
4、二次方程 x2+（k+3）x+k0 的一个根是2，则另一个根是 15 （4 分）如图，在等边ABC 中，AB12，D 是 BC 上一点，且 BC3BD，ABD 绕点 A 旋转后得到 ACE，则 CE 的长度为 16 （4 分） 二次函数 ymx22x+1， 当 x时， y 的值随 x 值的增大而减小， 则 m 的取值范围是 17 （4 分）现定义运算“” ，对于任意实数 a、b，都有 aba23a+b，如：353233+5，若 x 26，则实数 x 的值是 三、解答题（一） （每小题三、解答题（一） （每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）用因式分解法解方程：x（x2）x2
5、 19 （6 分）关于 x 的一元二次方程 kx2（3k1）x+2k10，其根的判别式的值为 1，求 k 的值及方程的 根 20 （6 分）如图，AOB 中，顶点 A，B，O 均在格点上，画出AOB 绕点 O 旋转 180后的三角形 （不 要求写作法，证明，但要注明结果） 四、解各题（二） （每小题四、解各题（二） （每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）2018 年，某市某楼准备以每平方米 5000 元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为 了加快资金的周转，决定进行降价促销，经过连续两年的下调后，2020 年的均价为每平方米 4050 元 （1）求平均每年下调的百
6、分率； （2）假设 2021 年的均价仍然下调相同的百分率，则购买一套 100 平方米的房子需要多少万元？ 22 （8 分）如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点 A 处出手，出手时球离地面约m铅球落地点在 B 处，铅球运行中在运动员前 4m 处（即 OC4）达到最高点，最高点高为 3m已知铅球经过的路线是抛 物线，根据如图所示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？ 23 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CEBC，连接 CD，将线 段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90后得 CF，连接 EF （1）补充完成图形； （2）若 EFCD，求证
7、：BDC90 五、解答题（三） （每小题五、解答题（三） （每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）已知二次函数 yx2+2x+m （1）如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，直线 AB 与这个二次函数图象的对称轴交 于点 P，求点 P 的坐标 （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围 25 （10 分）如图 1，在等腰 RtABC 中，C90，O 是 AB 的中点，AC6，MON90，将MON 绕点 O 旋转，OM、ON 分别交边 AC 于点 D，交边
8、 BC 于点 E（D、E 不与 A、B、C 重合） （1）判断ODE 的形状，并说明理由； （2）在旋转过程中，四边形 CDOE 的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说 明理由； （3） 如图 2， DE 的中点为 G， CG 的延长线交 AB 于 F， 请直接写出四边形 CDFE 的面积 S 的取值范围 2020-2021 学年广东省汕头市潮南区两英镇九年级（上）期中数学试卷学年广东省汕头市潮南区两英镇九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1在平面直角坐标系中，点 P（2，1
9、）关于原点对称的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） ， 即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数 【解答】解：根据中心对称的性质，得： 点 P（2，1）关于原点对称的点是（2，1） ，则这点在第三象限 故选：C 2如果抛物线 y（2a）x2开口向下，那么 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数 2a0 【解答】解：抛物线 y（2a）x2的开口向下， 2a0，即 a2， 故选：A 3用配方法解方
10、程 x22x40，配方正确的是（ ） A （x1）23 B （x1）24 C （x1）25 D （x+1）23 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方 式，右边化为常数 【解答】解：x22x40 x22x4 x22x+14+1 （x1）25 故选：C 4抛物线 y（x1）2与 y 轴的交点坐标是（ ） A （1，0） B （0，1） C （0，1） D （0，0） 【分析】根据题意得出 x0，然后求出 y 的值，即可以得到与 y 轴的交点坐标 【解答】解：令 x0， 得 y1， 故与 y 轴的交点坐标是： （0，1） 故选：B 5若关于 x
11、的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于 k 的不等式组，求出 k 的取值范围即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根， ，即， 解得 k1 且 k0 故选：B 6如图，ABC 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转 60，得ABC，则ABB是（ ）三角 形 A锐角三角形 B正三角形 CRt 三角形 D钝角三角形 【分析】根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得 ABAB，再根据旋转角求出 BAB，
12、然后根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形判断 【解答】解：ABC 旋转得ABC， ABAB， 旋转角是 60， BAB60， ABB是等边三角形 故选：B 7m 是方程 x2+x10 的根，则式子 2m2+2m+2020 的值为（ ） A2018 B2019 C2021 D2022 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 m2+m10，即 m2+m1，然后利用整体代入的方法计算 2m2+2m+2015 的值 【解答】解：m 是方程 x2+x10 的根， m2+m10， 即 m2+m1， 2m2+2m+20202（m2+m）+20202+20202022 故选：D 8已知二次函数 yx2
13、6x+m 的最小值是 1，那么 m 的值等于（ ） A10 B4 C5 D6 【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于 m 的等式，解方程求出 m 的值即可 【解答】解：原式可化为：y（x3）29+m， 函数的最小值是 1， 9+m1， m10 故选：A 9用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 acm2的长方形，a 的值不可能为（ ） A20 B40 C100 D120 【分析】设围成面积为 acm2的长方形的长为 xcm，由长方形的周长公式得出宽为（402x）cm，根据 长方形的面积公式列出方程 x （402x） a， 整理得 x220 x+a0， 由4004a0， 求出 a100，
14、 即可求解 【解答】解：设围成面积为 acm2的长方形的长为 xcm，则宽为（402x）cm，依题意，得 x（402x）a，整理，得 x220 x+a0， 4004a0， 解得 a100， 故选：D 10 如图， 函数 yax22x+1 和 yaxa （a 是常数， 且 a0） 在同一平面直角坐标系的图象可能是 （ ） A B C D 【分析】 可先根据一次函数的图象判断 a 的符号， 再判断二次函数图象与实际是否相符， 判断正误即可 【解答】解：A、由一次函数 yaxa 的图象可得：a0，此时二次函数 yax22x+1 的图象应该开口 向下，故选项错误； B、由一次函数 yaxa 的图象可得
15、：a0，此时二次函数 yax22x+1 的图象应该开口向上，对称轴 x0，故选项正确； C、由一次函数 yaxa 的图象可得：a0，此时二次函数 yax22x+1 的图象应该开口向上，对称轴 x0，和 x 轴的正半轴相交，故选项错误； D、由一次函数 yaxa 的图象可得：a0，此时二次函数 yax22x+1 的图象应该开口向上，故选项 错误 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）方程 x210 的解为 x11，x21 【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x210， （x+1） （x1）0， x1
16、0，x+10， x11，x21， 故答案为：x11，x21 12 （4 分）若二次函数 yx2+2m1 的图象经过原点，则 m 的值是 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式得到关于 m 的方程，然后解此方程 即可 【解答】解：二次函数 yx2+2m1 的图象经过点（0，0） ， 2m10， m 故答案为 13 （4 分）如图，如果把正方形 CDFE 经过旋转后能与正方形 ABCD 重合，那么图形所在的平面上可作为 旋转中心的点共有 3 个 【分析】 根据旋转的性质， 把正方形 CDFE 经过旋转后能与正方形 ABCD 重合， 分析对应点的不同情况， 易得答案 【解答】解
17、：根据图形间的关系，分析可得如果把正方形 CDFE 经过旋转后能与正方形 ABCD 重合， 那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点有 C、D，以及线段 CD 的中点共三个 故答案为 3 14 （4 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+（k+3）x+k0 的一个根是2，则另一个根是 1 【分析】 把方程的一个根2 代入方程得到关于 k 的方程， 解方程求出 k的值 根据根与系数的关系， 由两根之和可以求出方程的另一个根 【解答】解：把 x2 代入 x2+（k+3）x+k0 得到： （2）2+（k+3）（2）+k0， 解得 k2 设方程的另一根为 t，则 2t2， 解得 t1 故答案是：1 15
18、 （4 分）如图，在等边ABC 中，AB12，D 是 BC 上一点，且 BC3BD，ABD 绕点 A 旋转后得到 ACE，则 CE 的长度为 4 【分析】由等边三角形的性质得出 BCAB12，求出 BD，由旋转的性质得出ACEABD，得出 CE BD，即可得出结果 【解答】解：ABC 是等边三角形， BCAB12， BC3BD， BDBC4， 由旋转的性质得：ACEABD， CEBD4 故答案为：4 16 （4 分）二次函数 ymx22x+1，当 x时，y 的值随 x 值的增大而减小，则 m 的取值范围是 0m 3 【分析】根据对称轴的左侧的增减性，可得 m0，根据增减性，可得对称轴大于或等于
19、，可得答案 【解答】解：由当 x时，y 的值随 x 值的增大而减小，得 抛物线开口向上，m0， 且对称轴， 解得 m3， 故答案为：0m3 17 （4 分）现定义运算“” ，对于任意实数 a、b，都有 aba23a+b，如：353233+5，若 x 26，则实数 x 的值是 1 或 4 【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到 x 的值 【解答】解：根据题中的新定义将 x26 变形得： x23x+26，即 x23x40， 因式分解得： （x4） （x+1）0， 解得：x14，x21， 则实数 x 的值是1 或 4 故答案为：1 或 4 三、解答题（一）
20、 （每小题三、解答题（一） （每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）用因式分解法解方程：x（x2）x2 【分析】根据因式分解法，可得答案 【解答】解：移项，得 x（x2）（x2）0， 因式分解，得 （x1） （x2）0， 于是，得 x10 或 x20， 解得 x11，x22 19 （6 分）关于 x 的一元二次方程 kx2（3k1）x+2k10，其根的判别式的值为 1，求 k 的值及方程的 根 【分析】由题意可得（3k1）24k（2k1）1，解此一元二次方程即可求得：k10，k22，又 因为 k0，可得 k2，即可得方程：2x25x+30，然后解此方程即可求得答案 【解答】
21、解：关于 x 的一元二次方程 kx2（3k1）x+2k10，其根的判别式的值为 1， （3k1）24k（2k1）1， 解得：k10，k22，（4 分） k0 不合题意舍去， k2，（5 分） 此时方程为 2x25x+30， 即（2x3） （x1）0， 解得：x1，x21（8 分） 20 （6 分）如图，AOB 中，顶点 A，B，O 均在格点上，画出AOB 绕点 O 旋转 180后的三角形 （不 要求写作法，证明，但要注明结果） 【分析】根据基本作图的方法，要画出AOB 绕点 O 旋转 180后的三角形，即画出AOB 以点 O 为对 称中心的对称三角形 【解答】解：如图，A1OB1即为所求（正确
22、画出图形得（4 分） ，写出结果 1 分） 四、解各题（二） （每小题四、解各题（二） （每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）2018 年，某市某楼准备以每平方米 5000 元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为 了加快资金的周转，决定进行降价促销，经过连续两年的下调后，2020 年的均价为每平方米 4050 元 （1）求平均每年下调的百分率； （2）假设 2021 年的均价仍然下调相同的百分率，则购买一套 100 平方米的房子需要多少万元？ 【分析】 （1）设平均每年下调的百分率为 x，根据 2018 年的房价为 5000 元以及 2020 年的房价为 4050
23、 元，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据下调相同的百分率求出 2021 年购买 100 平方米住房需要的价钱，比较后即可得出结论 【解答】解： （1）设平均每年下调的百分率为 x， 根据题意得：5000（1x）24050， 解得：x110%，x2190%（舍去） 答：平均每年下调的百分率为 10% （2）如果下调的百分率相同，2021 年的房价每平方米为：4050（110%）3645（元） ， 买 100 平方米的住房需 3645100364500（元）36.45（万元） ， 答：购买一套 100 平方米的房子需要 36.45 万元 22 （8 分）如图所示，一个
24、运动员推铅球，铅球在点 A 处出手，出手时球离地面约m铅球落地点在 B 处，铅球运行中在运动员前 4m 处（即 OC4）达到最高点，最高点高为 3m已知铅球经过的路线是抛 物线，根据如图所示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？ 【分析】知道抛物线顶点，根据设出顶点坐标公式 ya（x4）2+3，求出 a，然后令 y0，解得 x 【解答】解：能 OC4，CD3， 顶点 D 坐标为（4，3） ， 设 ya（x4）2+3， 把 y代入上式，得a（04）2+3， a， y（x4）2+3， 即 yx2+x+， 令 y0，得x2+x+0， x110，x22（舍去） 故该运动员的成绩为 10m 23 （8
25、 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CEBC，连接 CD，将线 段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90后得 CF，连接 EF （1）补充完成图形； （2）若 EFCD，求证：BDC90 【分析】 （1）根据题意补全图形，如图所示； （2）由旋转的性质得到DCF 为直角，由 EF 与 CD 平行，得到EFC 为直角，利用 SAS 得到三角形 BDC 与三角形 EFC 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证 【解答】解： （1）补全图形，如图所示； （2）由旋转的性质得：DCF90， DCE+ECF90， ACB90， DCE+BCD90， ECFB
26、CD， EFDC， EFC+DCF180， EFC90， 在BDC 和EFC 中， ， BDCEFC（SAS） ， BDCEFC90 五、解答题（三） （每小题五、解答题（三） （每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）已知二次函数 yx2+2x+m （1）如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，直线 AB 与这个二次函数图象的对称轴交 于点 P，求点 P 的坐标 （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围 【分析】 （1）二次函数的图象与 x 轴有两个交点
27、，则0，从而可求得 m 的取值范围； （2）由点 B、点 A 的坐标求得直线 AB 的解析式，然后求得抛物线的对称轴方程为 x1，然后将 x1 代入直线的解析式，从而可求得点 P 的坐标； （3）一次函数值大于二次函数值即直线位于抛物线的上方部分 x 的取值范围 【解答】解： （1）二次函数的图象与 x 轴有两个交点， 22+4m0 m1； （2）二次函数的图象过点 A（3，0） ， 09+6+m m3， 二次函数的解析式为：yx2+2x+3， 令 x0，则 y3， B（0，3） ， 设直线 AB 的解析式为：ykx+b， ，解得：， 直线 AB 的解析式为：yx+3， 抛物线 yx2+2x+
28、3，的对称轴为：x1， 把 x1 代入 yx+3 得 y2， P（1，2） （3）根据函数图象可知：x0 或 x3 25 （10 分）如图 1，在等腰 RtABC 中，C90，O 是 AB 的中点，AC6，MON90，将MON 绕点 O 旋转，OM、ON 分别交边 AC 于点 D，交边 BC 于点 E（D、E 不与 A、B、C 重合） （1）判断ODE 的形状，并说明理由； （2）在旋转过程中，四边形 CDOE 的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说 明理由； （3） 如图 2， DE 的中点为 G， CG 的延长线交 AB 于 F， 请直接写出四边形 CDFE 的面积 S
29、 的取值范围 【分析】 （1）连接 OC，根据等腰三角形的性质得到 OCAB，OC 平分ACB，求得AODCOE， 根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到四边形 CDOE 的面积AOC 的面积，根据三角形的面积公式即可得 到结论； （3）当四边形 CDFE 是正方形时，其面积最大，根据正方形的面积公式即可得到结论 【解答】解： （1）ODE 是等腰直角三角形， 理由：连接 OC， 在等腰 RtABC 中， O 是 AB 的中点， OCAB，OC 平分ACB， OCE45，OCOAOB，COA90， DOE90， AODCOE， 在AOD 与COE 中， AODCOE， （ASA） ， ODOE， ODE 是等腰直角三角形； （2）在旋转过程中，四边形 CDOE 的面积不发生变化， AODCOE， 四边形 CDOE 的面积AOC 的面积， AC6， AB6， AOOCAB3， 四边形 CDOE 的面积AOC 的面积339； （3）当四边形 CDFE 是正方形时，其面积最大， 四边形 CDFE 面积的最大值9， 故四边形 CDFE 的面积 S 的取值范围为：0S9