1、2020-2021 学年福建省三明市永安市九年级（上）期中数学试卷学年福建省三明市永安市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求 的的 1在平行四边形 ABCD 中，若A60，则B 的度数是（ ） A30 B60 C90 D120 2在一个不透明的布袋中装有 1 个黑球，2 个白球，3 个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一 个球，摸到白球的概率是（ ） A B C D 3一元二次方程 x23x+20 的根的情况是（
2、） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 4如图，在ABC 中，DEAB，且，则的值为（ ） A B C D 5不透明的袋子里装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除了颜色外都相同从中任意摸一个，放回摇匀，再 从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（ ） A B C D 6若 x1、x2是一元二次方程 x22x10 的两根，则 x1+x2的值是（ ） A1 B2 C1 D2 7已知一个多边形的内角和为 720，则这个多边形为（ ） A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 8下列命题中，错误的是（ ） A平行四边形的对角线互相平分 B菱形的对角线互相垂
3、直平分 C矩形的对角线相等且互相垂直平分 D对角线相等的菱形是正方形 9已知两点 A（4，6） 、B（6，2） ，以原点 O 为位似中心，将OAB 缩小为原来的，则点 A 的对应点 C 的坐标为（ ） A （2，3） B （3，1） C （2，1） D （3，3） 10如图，在ABC 中，中线 BE，CD 相交于点 O，连接 DE，下列结论： ； ； 其中结论正确的是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11方程 3x25x0 的一次项系数是 12把 10cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长度是 cm （
4、精确到 0.01） 13如图，RtABC 中，ACB90，D 为斜边 AB 的中点，AB10cm，则 CD 的长为 cm 14三角形三条中位线围成的三角形的周长为 19，则原三角形的周长为 15为了估计池塘里有多少条鱼，我们从池塘里捕上 100 条做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间待 带标记的鱼完全混合于鱼群中后，第二次捕得 200 条，发现其中带标记的鱼 25 条，通过这种调查方式， 我们可以估计出这个池塘里有 条鱼 16如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 边，CD 边的中点，AE、AF 分别交 BD 于点 G，H， 设AGH 的面积为 a，则平行四边形 ABCD 的
5、面积为 （用含 a 的代数式表示） 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （8 分）解方程： （1）x2+4x120 （2） （x+4）25（x+4） 18 （8 分）在ABCD 中，E，F 分别是 BC、AD 上的点，且 BEDF求证：AECF 19（8 分） 在一次数学活动课上， 老师让同学们到操场上测量旗杆的高度， 然后回来交流各自的测量方法 小 芳的测量方法是： 拿一根高 3.5 米的竹竿直立在离旗杆 27 米的 C 处 （如图） ， 然后沿 BC 方向走到 D 处，
6、 这时目测旗杆顶部 A 与竹竿顶部 E 恰好在同一直线上，又测得 C、D 两点的距离为 3 米，小芳的目高为 1.5 米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由 20 （8 分）现有 5 个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字1，2，1，2，3先将标有数字2，1， 3 的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里现分别从两个盒子里 各随即取出一个小球 （1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果； （2）求取出的两个小球上的数字之和等于 0 的概率 21 （8 分）如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿
7、 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处 （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若 AB6，AC10，求 BE 的长 22 （10 分）如图，已知PAB30，线段 AB4 （1）尺规作图：作菱形 ABCD，使线段 AB 是菱形的边，顶点 C 在射线 AP 上； （保留作图痕迹，不写作 法） （2）求（1）中菱形对角线 AC 的长度 23 （10 分）某商场销售一批衬衫，每件进价是 120 元，当每件衬衫售价为 160 元时，平均每天可售出 20 件，为了扩大销售，尽快清库，增加盈利，商场经调查发现，如果每
8、件衬衫降价 1 元，商场平均每天可 多售出 2 件，据此规律，请回答： （1）当每件衬衫降价 5 元时，每天可销售多少件衬衫？商场获得的日盈利是多少？ （2）若商场平均每天想盈利 1200 元，则每件衬衫应降价多少元？ 24 （12 分）在ABCD 中，点 P 和点 Q 是直线 BD 上不重合的两个动点，APCQ，ADBD （1）如图，求证：BPDQ； （2）由图易得 BP+BQBC，请分别写出图，图中 BP，BQ，BC 三者之间的数量关系，并选择 一个关系进行证明； （3）在（1）和（2）的条件下，若 DQ1，DP3，则 BC 25 （14 分）已知：E 是矩形 ABCD 的边 AB 上一个
9、动点，直线 EFDE 交 BC 于点 F， （1）求证：ADEBFE； （2）若直线 EF 经过 C 点，且 AD3，AB10，是否存在这样的点 E，使ADE 和BFE 相似？若存 在，请求出 AE 的长度；若不存在，请说明理由 （3）连结 DF，若 AD3，AE2，当ADE 和EFD 相似时，则 AB 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求 的的 1在平行四边形 ABCD 中，若A60，则B 的度数是（ ）
10、A30 B60 C90 D120 【分析】根据平行四边形对边平行，同旁内角互补，即可求出B 的度数 【解答】解：如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， A+B180， B18060120 故选：D 2在一个不透明的布袋中装有 1 个黑球，2 个白球，3 个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一 个球，摸到白球的概率是（ ） A B C D 【分析】用白球的个数除以总球的个数即可得出摸到白球的概率 【解答】解：不透明的布袋中装有 1 个黑球，2 个白球，3 个红球，共有 6 个球， 从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是 故选：B 3一元二次方程 x23x+20 的根的情况是（
11、） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先求出“”的值，再判断即可 【解答】解：x23x+20， （3）241210， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：B 4如图，在ABC 中，DEAB，且，则的值为（ ） A B C D 【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论 【解答】解：DEAB， ， 故选：A 5不透明的袋子里装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除了颜色外都相同从中任意摸一个，放回摇匀，再 从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（ ） A B C D 【分析】列举出所有情况，看两次摸到球
12、的情况占总情况的多少即可 【解答】解：易得共有 339 种可能，两次摸到球的颜色相同的有 5 种，所以概率是 故选：B 6若 x1、x2是一元二次方程 x22x10 的两根，则 x1+x2的值是（ ） A1 B2 C1 D2 【分析】直接利用根与系数的关系解答即可 【解答】解：x1、x2是一元二次方程 x22x10 的两根， x1+x22 故选：B 7已知一个多边形的内角和为 720，则这个多边形为（ ） A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 【分析】利用 n 边形的内角和可以表示成（n2） 180，结合方程即可求出答案 【解答】解：设这个多边形的边数为 n，由题意，得 （n2）180720
13、， 解得：n6， 则这个多边形是六边形 故选：D 8下列命题中，错误的是（ ） A平行四边形的对角线互相平分 B菱形的对角线互相垂直平分 C矩形的对角线相等且互相垂直平分 D对角线相等的菱形是正方形 【分析】 利用平行四边形的性质、 菱形的对角线的性质、 矩形的性质及正方形的判定方法进行判断即可 【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确； B、菱形的对角线互相垂直平分，正确； C、矩形的对角线相等但不垂直，故错误； D、对角线相等的菱形是正方形，正确， 故选：C 9已知两点 A（4，6） 、B（6，2） ，以原点 O 为位似中心，将OAB 缩小为原来的，则点 A 的对应点 C 的坐标为
14、（ ） A （2，3） B （3，1） C （2，1） D （3，3） 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案 【解答】解：以原点 O 为位似中心，将OAB 缩小为原来的，点 A 的坐标为（4，6） ， 则则点 A 的对应点 C 的坐标为（4，6） ，即（2，3） ， 故选：A 10如图，在ABC 中，中线 BE，CD 相交于点 O，连接 DE，下列结论： ； ； 其中结论正确的是（ ） A B C D 【分析】先判断 DE 为ABC 的中位线，则根据三角形中位线性质得到 DEBC，DEBC，于是可对 进行判断；证明DOECOB，利用相似比得到，则可对进行 判断； 加上， 则可对进行判断；
15、利用三角形面积公式得到 SODESDCE， SDCESADC， 则可对进行判断 【解答】解：BE、CD 为ABC 的中线， DE 为ABC 的中位线， DEBC，所以正确； DEBC， DOECOB， ，（）2，所以错误； ， ，所以正确； OD：OC1：2， SODESDCE， AECE， SDCESADC， SODESADC，所以正确 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11方程 3x25x0 的一次项系数是 5 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答 【解答】解：方程 3x25x0 的一次项是5x，其系数是5 故答
16、案是：5 12把 10cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长度是 6.18 cm （精确到 0.01） 【分析】直接运用黄金分割的比值进行计算即可 【解答】解：把 10cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长度为106.18（cm） ， 故答案为：6.18 13如图，RtABC 中，ACB90，D 为斜边 AB 的中点，AB10cm，则 CD 的长为 5 cm 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CDAB 【解答】解：ACB90，D 为斜边 AB 的中点， CDAB105cm 故答案为：5 14三角形三条中位线围成的三角形的周长为 19，则原三角形的周长为 38 【分析】根
17、据三角形的中位线定理知：三条中位线围成的三角形的各边是对应原三角形各边的一半，所 以原三角形的周长是 38 【解答】解：根据题意可知，原三角形的周长21938 故答案为 38 15为了估计池塘里有多少条鱼，我们从池塘里捕上 100 条做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间待 带标记的鱼完全混合于鱼群中后，第二次捕得 200 条，发现其中带标记的鱼 25 条，通过这种调查方式， 我们可以估计出这个池塘里有 800 条鱼 【分析】200 条鱼，发现带有记号的鱼有 25 条，则可求出带记号的鱼所占的百分比，再根据带记号的总 计有 100 条，即可求得湖里鱼的总条数 【解答】解：设这个池塘里鱼大约有
18、x 条， 根据题意，得：， 解得：x800， 经检验：x800 是分式方程的解， 所以估计这个池塘里有 800 条鱼， 故答案为：800 16如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 边，CD 边的中点，AE、AF 分别交 BD 于点 G，H， 设AGH 的面积为 a，则平行四边形 ABCD 的面积为 6a （用含 a 的代数式表示） 【分析】想办法证明 BGGHDH，即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，ABCD，ADBC， DFCF，BECE， ， ， BGGHDH， AGH 的面积为 a， SABGSAGHSADHa， S平行四边形
19、ABCD6a， 故答案为：6a 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （8 分）解方程： （1）x2+4x120 （2） （x+4）25（x+4） 【分析】利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）x2+4x120， （x2） （x+6）0， 则 x20 或 x+60， 解得 x12，x26； （2）（x+4）25（x+4） ， （x+4） （x1）0， 则 x+40 或 x10， 解得 x11，x24 18 （8 分）在ABCD 中，E，F 分别是 BC、AD 上的点，且
20、 BEDF求证：AECF 【分析】 根据平行四边形的性质得出 ABCD， BD， 根据 SAS 证出ABECDF 即可推出答案 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，BD， BEDF， ABECDF， AECF 19（8 分） 在一次数学活动课上， 老师让同学们到操场上测量旗杆的高度， 然后回来交流各自的测量方法 小 芳的测量方法是： 拿一根高 3.5 米的竹竿直立在离旗杆 27 米的 C 处 （如图） ， 然后沿 BC 方向走到 D 处， 这时目测旗杆顶部 A 与竹竿顶部 E 恰好在同一直线上，又测得 C、D 两点的距离为 3 米，小芳的目高为 1.5 米，这样便可知道旗
21、杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由 【分析】 根据已知得出过 F 作 FGAB 于 G， 交 CE 于 H， 利用相似三角形的判定得出AGFEHF， 再利用相似三角形的性质得出即可 【解答】解：这种测量方法可行 理由如下： 设旗杆高 ABx过 F 作 FGAB 于 G，交 CE 于 H（如图） 所以AGFEHF 因为 FD1.5，GF27+330，HF3， 所以 EH3.51.52，AGx1.5 由AGFEHF， 得， 即， 所以 x1.520， 解得 x21.5（米） 答：旗杆的高为 21.5 米 20 （8 分）现有 5 个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字1，2，1，2，3
22、先将标有数字2，1， 3 的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里现分别从两个盒子里 各随即取出一个小球 （1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果； （2）求取出的两个小球上的数字之和等于 0 的概率 【分析】 （1）首先根据题意列出表格，由表格即可求得取出的两个小球上数字之和所有等可能的结果； （2）首先根据（1）中的表格，求得取出的两个小球上的数字之和等于 0 的情况，然后利用概率公式即 可求得答案 【解答】解： （1）列表得： 1 2 2 3 0 1 0 3 3 2 5 则共有 6 种结果，且它们的可能性相同；（3 分） （2
23、）取出的两个小球上的数字之和等于 0 的有： （1，1） ， （2，2） ， 两个小球上的数字之和等于 0 的概率为： 21 （8 分）如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处 （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若 AB6，AC10，求 BE 的长 【分析】 （1）依据矩形的性质以及折叠的性质，即可得到 AFCE，AECF，即可得到四边形 AECF 是 平行四边形； （2）由图形折叠可得AMEB90，AMAB6，即可得到 MC1064，设 BEx，
24、则 ME BEx，EC8x，依据CEM 是直角三角形，利用勾股定理即可得到 BE 的长 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ABCD， CABACD 由折叠的性质可得EABEAC，ACFFCD， 又CABACD， EACACF， AECF， 四边形 AECF 是平行四边形； （2）AB6，AC10，B90， 由勾股定理得：BC8， 由图形折叠可得 AMAB6， MC1064， 设 BEx，则 MEBEx，EC8x， AMEB90， CME90，即CEM 是直角三角形， 由勾股定理得： （8x）2x2+42， 解得：x3， BE3 22 （10 分）如图，已知PAB30，线
25、段 AB4 （1）尺规作图：作菱形 ABCD，使线段 AB 是菱形的边，顶点 C 在射线 AP 上； （保留作图痕迹，不写作 法） （2）求（1）中菱形对角线 AC 的长度 【分析】 （1）先以 B 为圆心，BA 为半径画弧交 AP 于 C，再分别以 A、C 为圆心，AB 的长为半径画弧交 于点 D，则四边形 ABCD 满足条件； （2）连结 BD 交 AC 于 O，如图，根据菱形的性质得到AOB90，AOCO，然后利用含 30 度的直 角三角形三边的关系求出 AO，从而得到 AC 的长 【解答】解： （1）如图，菱形 ABCD 为所作； （2）连结 BD 交 AC 于 O，如图， 四边形 A
26、BCD 为菱形， AOB90，AOCO， PAB30， OBAB2， AOOB2， AC4 23 （10 分）某商场销售一批衬衫，每件进价是 120 元，当每件衬衫售价为 160 元时，平均每天可售出 20 件，为了扩大销售，尽快清库，增加盈利，商场经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可 多售出 2 件，据此规律，请回答： （1）当每件衬衫降价 5 元时，每天可销售多少件衬衫？商场获得的日盈利是多少？ （2）若商场平均每天想盈利 1200 元，则每件衬衫应降价多少元？ 【分析】 （1）利用日销售量20+2每件衬衫降低的价格，即可求出每天可销售衬衫的数量，利用日盈 利额销售每件衬衫
27、的利润日销售量，即可求出日盈利额； （2）设每件衬衫应降价 x 元，则每天可销售（20+2x）件衬衫，根据日盈利额销售每件衬衫的利润 日销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论 【解答】解： （1）20+5230（件） ， （1605120）301050（元） 答：当每件衬衫降价 5 元时，每天可销售 30 件衬衫，商场获得的日盈利是 1050 元 （2）设每件衬衫应降价 x 元，则每天可销售（20+2x）件衬衫， 依题意，得： （160 x120） （20+2x）1200， 整理，得：x230 x+2000， 解得：x110，x220 要尽快清库， x20 答：每
28、件衬衫应降价 20 元 24 （12 分）在ABCD 中，点 P 和点 Q 是直线 BD 上不重合的两个动点，APCQ，ADBD （1）如图，求证：BPDQ； （2）由图易得 BP+BQBC，请分别写出图，图中 BP，BQ，BC 三者之间的数量关系，并选择 一个关系进行证明； （3）在（1）和（2）的条件下，若 DQ1，DP3，则 BC 2 或 4 【分析】 （1）根据平行四边形的性质证明ADPCBQ，得 BQPD，由 ADBDBC 得：BCBD BP+PDBP+BQ； （2）图，证明ABPCDQ，得 PBDQ，根据线段的和得结论； 图，证明ADPCBQ，得 PDBQ，同理得出结论； （3）分
29、别代入图和图条件下的 BC，计算即可 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， ADBCBD， APCQ， APQCQB， ADPCBQ（AAS） ， DPBQ， BPDQ； （2）图：BQBPBC，理由是： APCQ， APBCQD， ABCD， ABDCDB， ABPCDQ， ABCD， ABPCDQ（AAS） ， BPDQ， BCADBDBQDQBQBP； 图：BPBQBC，理由是： 同理得：ADPCBQ（AAS） ， PDBQ， BCADBDBPPDBPBQ； （3）图，BCBP+BQDQ+PD1+34， 图，BCBQBPPDDQ312， BC2 或
30、 4 25 （14 分）已知：E 是矩形 ABCD 的边 AB 上一个动点，直线 EFDE 交 BC 于点 F， （1）求证：ADEBFE； （2）若直线 EF 经过 C 点，且 AD3，AB10，是否存在这样的点 E，使ADE 和BFE 相似？若存 在，请求出 AE 的长度；若不存在，请说明理由 （3）连结 DF，若 AD3，AE2，当ADE 和EFD 相似时，则 AB 4 或 【分析】 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可 （2）设 AEx，则 BE10 x，利用相似三角形的性质，构建方程求解即可 （3）连接 DF分两种情形：当ADEEDF 时，当ADEEFD 时，分别构建方程求解即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， AB90， EFDE， DEF90， AEDBFE， ADEBFE （2）解：设 AEx，则 BE10 x， 由题意 BFBCAD3， ADEBFE， ， ， 解得 x1 或 9， 经检验，x1 或 9 是分式方程的根， AE1 或 9 （3）解：连接 DF 当ADEEDF 时，则有， ， ADEBEF， ， AD3， BE2， ABAE+BE2+24 当ADEEFD 时，则有， ， ADEBEF， ， AD3， BE， ABAE+EB2+， 综上所述，满足条件的 AB 的值为 4 或 故答案为：4 或