1、2020-2021 学年湖南省长沙市岳麓区九年级上期中数学试卷学年湖南省长沙市岳麓区九年级上期中数学试卷 一、选择题 1（3 分）下列四个数中，比1 小的数是（ ） A2 B C0 D1 2（3 分）下列事件是必然事件的是（ ） A王伟参加本次数学期末考试，成绩是 90 分 B某射击运动员射靶一次，正中靶心 C打开电视机，CCTV第一套节目正播放新闻 D口袋中装有 2 个白球和 1 个红球，从中摸出 2 个球，其中必有白球 3（3 分）如图，五边形ABCDE是O的内接正五边形，则正五边形中心角COD的度数是（ ） A60 B36 C76 D72 4（3 分）如图，点A、B、C在O上，ACB54
2、，则ABO的度数是（ ） A54 B30 C36 D60 5（3 分）如图，圆锥的底面半径为 6，母线长为 10，则圆锥的侧面积是（ ） A36 B60 C96 D100 6（3 分）反比例函数y图象如图所示，下列说法正确的是（ ） Ak0 By随x的增大而减小 C若矩形OABC面积为 2，则k2 D若图象上点B的坐标是（2，1），则当x2 时，y的取值范围是y1 7（3 分）某村粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量y（吨），人口数为x（人），则 y与x之间的函数图象应为图中的（ ） A B C D 8（3 分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比
3、足球的单价多 20 元李老师购买篮球花费 900 元，购买足球花费 400 元，结果购得的篮球数量是足球数量的 1.5 倍设 购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A+20 B+20 C+20 D+20 9（3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 10 （3 分） 已知函数yx与y在同一平面直角坐标系内的图象如图所示， 由图象可知，x取什么值时， x（ ） Ax1 或x1 Bx1 或 0 x1 C1x0 或x1 D1x0 或 0 x1 11（3 分）如图，AB、AC是O的切线，B、C为切点，A50，点P是圆上异于B、C的点，则BPC 的度数是（ ）
4、 A65 B115 C115或 65 D130或 65 12 （3 分）如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转 30得到矩形ABC D，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13（3 分）已知扇形的半径为 6cm，圆心角为 150，则此扇形的弧长是 cm 14（3 分）已知反比例函数y，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范 围为 15（3 分）一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外其余都相同），分别是 2 个红球，3 个白球和 5 个黑球，搅匀之后
5、，摸出一只小球是红球的概率是 16（3 分）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将AMN沿MN 所在直线折叠，得到AMN，连接AC，则AC的最小值是 三.解答题（共大题共 9 小题，第 17、18、19 题每小题 6 分，第 20、21 题每小题 6 分，第 22、23 题每小 题 6 分，第 24、25 题每小题 6 分，共 72 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17（6 分）计算： 18（6 分）化简并计算：，其中x3 19（6 分）阅读下列材料完成作答： 已知：RtABC，ACB90 作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧
6、，交CA于点M，交CB于点N；分别以点M，N为圆心，大 于MN的长为半径画弧，两弧在ACB的内部相交于点D，画射线CD （2）同理，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点P，交AB于点Q；分别以点P，Q为圆心，大 于PQ的长为半径画弧，两弧在CAB的内部相交于点E：画射线AE （3）射线CD、AE交于点O 请你根据提供的材料完成下面问题： （1）由画图知O是三角形ABC的 心；（填“内”或“外”） （2）如图，RtABC中，ACB90，AC6，BC8求ABC的内切圆半径 20（8 分）2019 年 12 月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一 种新型冠状病
7、毒感染的肺炎，其传染性较强为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：戴 口罩；勤洗手；少出门；重隔离；捂口鼻；谨慎吃某公司为了解员工对防护措施的了解程 度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每 名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图 （1）本次共调查了 名员工，条形统计图中m ； （2）若该公可共有员工 1000 名，请你估计不了解防护措施的人数； （3）在调查中，发现有 4 名员工对防护措施很了解，其中有 3 名男员工、1 名女员工若准备从他们中 随机抽取 2 名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求
8、恰好抽中一男一女的概率 21（8 分）如图，等腰 RtABC中，A45，ABC90，点D在AC上，将ABD绕点B沿顺时针 方向旋转 90后，得到CBE （1）求DCE的度数； （2）若AB4，CD3AD，求DE的长 22（9 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+5 和y2x的图象相交于点A，反比例函数y 的图象经过点A （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数yx+5 的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为B，连接OB，求ABO的面 积 23（9 分）如图，在 RtABC中，ACB90，D为AB边上的一点，以AD为直径的O交BC于点E， 过点C作CGAB交AB于点G，交AE于点
9、F，过点E作EPAB交AB于点P，EADDEB （1）求证：BC是O的切线； （2）求证：CEEP； （3）若CG12，AC15，求四边形CFPE的面积 24（10 分）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当axb，函数值y满足myn，且满足n mk（ba），则称此函数为“k属和合函数”例如：正比例函数y2x，当 1x3 时，6y 2，则2（6）k（31），求得：k2，所以函数y2x为“2 属和合函数” （1）一次函数yax1（a0，1x3）为“1 属和合函数”，求a的值 （2）反比例函数（k0，axb，且 0ab）是“k属和合函数”，且，请求出a 2+b2 的值； （3）已知二次函数y3
10、x 2+6ax+a2+2a，当1x1 时，y 是“k属和合函数”，求k的取值范围 25（10 分）如图 1，二次函数yax 22ax3a（a0）的图象与 x轴交于A、B两点（点A在点B的右 侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D （1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）； （2）若以AD为直径的圆经过点C 求抛物线的函数关系式； 如图 2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将OBE绕平面内某一点旋转 180，得到PMN（点P、 M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MFx轴于点F，若线段MF：BF1：2， 求点M、N的坐标； 点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、
11、B两点，并且和直线CD相切，如图 3，求点Q的坐 标 参考答案参考答案 一选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本 大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1（3 分）下列四个数中，比1 小的数是（ ） A2 B C0 D1 解：根据有理数比较大小的方法，可得 21，01，1，11， 四个数中，比1 小的数是2 故选：A 2（3 分）下列事件是必然事件的是（ ） A王伟参加本次数学期末考试，成绩是 90 分 B某射击运动员射靶一次，正中靶心 C打开电视机，CCTV第一套节目正播放新闻 D口袋中装有 2 个白球和 1 个红球，从中摸出
12、2 个球，其中必有白球 解：王伟参加本次数学期末考试，成绩不一定是 90 分，也可能为其它分数，因此选项A不符合题意； 某射击运动员射靶一次，可能正中靶心，也可能不中靶心，是随机事件，因此选项B不符合题意； 打开电视机，CCTV第一套节目可能正播放新闻，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项C不符合 题意； 口袋中装有 2 个白球和 1 个红球，从中摸出 2 个球，无论怎样摸，每次摸到的两个球至少有一个白球， 因此是必然事件，符合题意； 故选：D 3（3 分）如图，五边形ABCDE是O的内接正五边形，则正五边形中心角COD的度数是（ ） A60 B36 C76 D72 解：五边形ABCDE是
13、O的内接正五边形， 五边形ABCDE的中心角COD的度数为72， 故选：D 4（3 分）如图，点A、B、C在O上，ACB54，则ABO的度数是（ ） A54 B30 C36 D60 解：ACB54， 圆心角AOB2ACB108， OBOA， ABOBAO（180AOB）36， 故选：C 5（3 分）如图，圆锥的底面半径为 6，母线长为 10，则圆锥的侧面积是（ ） A36 B60 C96 D100 解：底面周长是：2612， 则圆锥的侧面积是：121060 故选：B 6（3 分）反比例函数y图象如图所示，下列说法正确的是（ ） Ak0 By随x的增大而减小 C若矩形OABC面积为 2，则k2
14、D若图象上点B的坐标是（2，1），则当x2 时，y的取值范围是y1 解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k0，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形OABC面积为 2，则|k|2，而k0，所以k2，所以C选项正确； D、若图象上点B的坐标是（2，1），则当x2 时，y的取值范围是 0y1，所以D选项错误 故选：C 7（3 分）某村粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量y（吨），人口数为x（人），则 y与x之间的函数图象应为图中的（ ） A B C D 解：根据题意可得：xya， y（x0，y0） 故选：C 8（3 分）某校为了丰富学
15、生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多 20 元李老师购买篮球花费 900 元，购买足球花费 400 元，结果购得的篮球数量是足球数量的 1.5 倍设 购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A+20 B+20 C+20 D+20 解：设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是 1.5x个， 根据题意，得+20 故选：C 9（3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 解：解不等式 3x30 得x1， 解不等式x15x得x3， 则不等式组的解集为 1x3， 故选：D 10 （3 分） 已知函数yx与y在同一平面直角坐标系内的图象
16、如图所示， 由图象可知，x取什么值时， x（ ） Ax1 或x1 Bx1 或 0 x1 C1x0 或x1 D1x0 或 0 x1 解：根据图象得，yx的图象在反比例函数的图象的上边，x比大， 即当1x0 或x1 时，x， 故选：C 11（3 分）如图，AB、AC是O的切线，B、C为切点，A50，点P是圆上异于B、C的点，则BPC 的度数是（ ） A65 B115 C115或 65 D130或 65 解：AB、AC是O的切线， OBAB，OCAC， OBA90，OCA90 A50， BOC360909050130， 当点P在优弧BPC上时，BPCBOC65， 当点P在劣弧BC上时，BPC1806
17、5115， 故选：C 12 （3 分）如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转 30得到矩形ABC D，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 解：连接AC， 在矩形ABCD中，B90，AB，BC1， tanBAC， BAC30， 旋转角为 30， A、B、C共线 AC2， S阴S扇形ACCSABC， S阴， 故选：B 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13（3 分）已知扇形的半径为 6cm，圆心角为 150，则此扇形的弧长是 5 cm 解：扇形的半径为 6cm，圆心角为 150， 此扇形的弧长是：l5， 故
18、答案为：5 14（3 分）已知反比例函数y，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范 围为 k4 解：反比例函数y，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小， k40， 解得，k4， 故答案为：k4 15（3 分）一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外其余都相同），分别是 2 个红球，3 个白球和 5 个黑球，搅匀之后，摸出一只小球是红球的概率是 解：不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外其余都相同），分别是 2 个红球，3 个白球和 5 个黑球， 摸出一只小球是红球的概率是； 故答案为： 16（3 分）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，M是AD边的中点，N是AB边
19、上的动点，将AMN沿MN 所在直线折叠，得到AMN，连接AC，则AC的最小值是 1 解：四边形ABCD是矩形 ABCD3，BCAD2， M是AD边的中点， AMMD1 将AMN沿MN所在直线折叠， AMAM1 点A在以点M为圆心，AM为半径的圆上， 如图，当点A在线段MC上时，AC有最小值， MC AC的最小值MCMA1 故答案为：1 三.解答题（共大题共 9 小题，第 17、18、19 题每小题 6 分，第 20、21 题每小题 6 分，第 22、23 题每小 题 6 分，第 24、25 题每小题 6 分，共 72 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17（6 分）计算： 解
20、：原式1+11+2 18（6 分）化简并计算：，其中x3 解：原式 ， 当x3 时，原式3 19（6 分）阅读下列材料完成作答： 已知：RtABC，ACB90 作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CA于点M，交CB于点N；分别以点M，N为圆心，大 于MN的长为半径画弧，两弧在ACB的内部相交于点D，画射线CD （2）同理，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点P，交AB于点Q；分别以点P，Q为圆心，大 于PQ的长为半径画弧，两弧在CAB的内部相交于点E：画射线AE （3）射线CD、AE交于点O 请你根据提供的材料完成下面问题： （1）由画图知O是三角形ABC的 内 心；（填“内”
21、或“外”） （2）如图，RtABC中，ACB90，AC6，BC8求ABC的内切圆半径 解：（1）由画图知O是三角形ABC的内心； 故答案为：内； （2）RtABC中，ACB90，AC6，BC8 AB10， 设ABC的内切圆半径为r， 由（1）知O是三角形ABC的内心， 根据切线长定理可知：6r+8r10， 解得，r2 答：内切圆半径为 2 20（8 分）2019 年 12 月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一 种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：戴 口罩；勤洗手；少出门；重隔离；捂口鼻；谨慎吃某公司为了解员工对
22、防护措施的了解程 度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每 名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图 （1）本次共调查了 60 名员工，条形统计图中m 20 ； （2）若该公可共有员工 1000 名，请你估计不了解防护措施的人数； （3）在调查中，发现有 4 名员工对防护措施很了解，其中有 3 名男员工、1 名女员工若准备从他们中 随机抽取 2 名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率 解：（1）本次调查的员工总人数为 2440%60（名）， 条形统计图中m60（12+24+4）20，
23、故答案为：60，20； （2）估计不了解防护措施的人数为 1000200（名）； （3）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 女 男 1 男 2 男 3 女 女，男 女，男 女，男 男 1 男，女 男，男 男，男 男 2 男，女 男，男 男，男 男 3 男，女 男，男 男，男 由表格可知，从 4 名学生中，随机抽取 2 名学生，共有 12 种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中 正好是 1 名男生和 1 名女生的情况有 6 种， 所以恰好抽中一男一女的概率为 21（8 分）如图，等腰 RtABC中，A45，ABC90，点D在AC上，将ABD绕点B沿顺时针 方向旋转 90后，得到CBE （1）
24、求DCE的度数； （2）若AB4，CD3AD，求DE的长 解：（1）ABC为等腰直角三角形， BADBCD45， 由旋转的性质可知BADBCE45， DCEBCE+BCA45+4590； （2）BABC，ABC90， ， CD3AD， ， 由旋转的性质可知： ADEC， 22（9 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+5 和y2x的图象相交于点A，反比例函数y 的图象经过点A （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数yx+5 的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为B，连接OB，求ABO的面 积 解：（1）联立yx+5和y2x并解得：，故点A（2，4）， 将点A的坐标代入反比例函数
25、表达式得：4，解得：k8， 故反比例函数表达式为：y； （2）联立并解得：x2 或8， 当x8 时，yx+51，故点B（8，1）， 设yx+5 交x轴于点C， 令y0，则x+50， x10， C（10，0）， 过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N， 则SAOBSAOCSBOCOCAMOCBN 23（9 分）如图，在 RtABC中，ACB90，D为AB边上的一点，以AD为直径的O交BC于点E， 过点C作CGAB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EPAB交AB于点P，EADDEB （1）求证：BC是O的切线； （2）求证：CEEP； （3）若CG12，AC15，求四边形CFPE的面积 【解
26、答】证明：（1）连接OE， OEOD， OEDADE， AD是直径， AED90， EAD+ADE90， 又DEBEAD， DEB+OED90， BEO90， OEBC， BC是O的切线 （2）BEOACB90， ACOE， CAEOEA， OAOE， EAOAEO， CAEEAO， AE为CAB的角平分线， 又EPAB，ACB90， CEEP； （3）连接PF， CG12，AC15， AG9， CAEEAP， AECAFGCFE， CFCE， CEEP， CFPE， CGAB，EPAB， CFEP， 四边形CFPE是平行四边形， 又CFPF， 四边形CFPE是菱形， CFEPCEPF， CA
27、EEAP，EPAACE90，CEEP， ACEAPE（AAS）， APAC15， PGAPAG1596， PF 2FG2+GP2， CF 2（12CF）2+36， CF， 四边形CFPE的面积CFGP645 24（10 分）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当axb，函数值y满足myn，且满足n mk（ba），则称此函数为“k属和合函数”例如：正比例函数y2x，当 1x3 时，6y 2，则2（6）k（31），求得：k2，所以函数y2x为“2 属和合函数” （1）一次函数yax1（a0，1x3）为“1 属和合函数”，求a的值 （2）反比例函数（k0，axb，且 0ab）是“k属和合函数”，
28、且，请求出a 2+b2 的值； （3）已知二次函数y3x 2+6ax+a2+2a，当1x1 时，y 是“k属和合函数”，求k的取值范围 解：（1）当 0 时， 1x3， 3a1ya1， 函数yax1（1x3）为“1 属和合函数”， （a1）（3a1）1（31）， a1， （2）反比例函数y， k0， 在每一象限内，y随x的增大而减小， 当axb且 0ab是“k属和合函数”， k（ba）， ab1， a+b， a 2+b2（a+b）22ab202022018； （3）二次函数y3x 2+6ax+a2+2a 的对称轴为直线xa， 当1x1 时，y是“k属和合函数”， 当x1 时，ya 24a3，
29、当x1 时，ya 2+8a3， 当xa时，y4a 2+2a， 如图 1，当a1 时， 当x1 时，有ymaxa 24a3， 当x1 时，有ymina 2+8a3， （a 24a3）（a2+8a3）2k， k6a， k6； 如图 2，当1a0 时， 当xa时，有ymax4a 2+2a， 当x1 时，有ymina 2+8a3， （4a 2+2a）（a2+8a3）2k， k（a1） 2， k6； 如图 3，当 0a1 时， 当xa时，有ymax4a 2+2a， 当x1 时，有ymina 24a3 （4a 2+2a）（a24a3）2k， k（a+1） 2， k6； 如图 4，当a1 时， 当x1 时，
30、有ymaxa 2+8a3， 当x1 时，有ymina 24a3， （a 2+8a3）（a24a3）2k， k6a， k6； 综上，k的取值范围为k 25（10 分）如图 1，二次函数yax 22ax3a（a0）的图象与 x轴交于A、B两点（点A在点B的右 侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D （1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）； （2）若以AD为直径的圆经过点C 求抛物线的函数关系式； 如图 2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将OBE绕平面内某一点旋转 180，得到PMN（点P、 M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MFx轴于点F，若线段MF：BF1：2，
31、 求点M、N的坐标； 点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图 3，求点Q的坐 标 解：（1）yax 22ax3aa（x1）24a， D（1，4a） （2）以AD为直径的圆经过点C， ACD为直角三角形，且ACD90； 由yax 22ax3aa（x3）（x+1）知，A（3，0）、B（1，0）、C（0，3a），则： AC 2（03）2+（3a0）29a2+9、CD2（01）2+（3a+4a）2a2+1、AD2（31）2+（0+4a）2 16a 2+4 由勾股定理得：AC 2+CD2AD2，即：9a2+9+a2+116a2+4， 化简，得：a 21，由 a0，得
32、：a1 即，抛物线的解析式：yx 2+2x+3 将OBE绕平面内某一点旋转 180得到PMN， PMx轴，且PMOB1； 设M（x，x 2+2x+3），则 OFx，MFx 2+2x+3，BFOF+OBx+1； MF：BF1：2，即BF2MF， 2（x 2+2x+3）x+1，化简，得：2x23x50 解得：x11、x2 M（，）、N（，） 设Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CHQD于H，如右图； 设Q（1，b），则QD4b，QB 2QG2（1+1）2+（b0）2b2+4； C（0，3）、D（1，4）， CHDH1，即CHD是等腰直角三角形， QGD也是等腰直角三角形，即：QD 22QG2； 代入数据，得： （4b） 22（b2+4），化简，得：b2+8b80， 解得：b42； 即点Q的坐标为（1，4+2）或（1，42）