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2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级上期中考试数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级(上)期中数学试卷学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A等边三角形 B平行四边形 C圆 D五角星 2下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( ) A2x26x+10 B3x2x50 Cx2+x0 Dx24x+40 3 把二次函数的图象向右平移 2 个单位后, 再向上平移 3 个单位, 所得的函数图象的顶点是 ( ) A (2,3) B (2,3) C (3,2) D (2,3) 4如图,在ABC

2、 中,C90,AC4,BC3,将ABC 绕点 A 逆时针旋转,使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处,点 B 落在点 D 处,则 B、D 两点间的距离为( ) A B2 C3 D2 5如图,AB 是O 的弦,AO 的延长线交过点 B 的O 的切线于点 C,如果ABO30,则C 的度数 是( ) A70 B45 C30 D20 6如图,在长 70m,宽 40m 的矩形花园中,欲修宽度相等的观赏路(阴影部分) ,要使观赏路面积占总面 积的,则路宽 xm 应满足的方程是( ) A (40 x) (70 x)400 B (402x) (703x)400 C (40 x) (70 x)2400 D (

3、402x) (703x)2400 7在同一坐标系中,一次函数 ymx+n2与二次函数 yx2+m 的图象可能是( ) A B C D 8关于 x 的方程 ax2x+10 有实数根,则 a 的取值范围是( ) Aa且 a0 Ba Ca且 a0 Da 9如图,ABC 中,BAC60,ABC45,AB2,D 是线段 BC 上的一个动点,以 AD 为直 径画圆 O 分别交 AB,AC 于 E,F,连接 EF,则线段 EF 长度的最小值为( ) A1 B C D2 10如图,已知二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于点 A(1,0) ,与 y 轴的交点 B 在(0, 2)和(0,1)之

4、间(不包括这两点) ,对称轴为直线 x1下列结论:abc0;4a+2b+c0; 4acb216a;bc其中正确结论个数( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题(每题二、填空题(每题 3 分,共分,共 21 分)分) 11已知 x1 是一元二次方程(m2)x2+4xm20 的一个根,则 m 的值是 12若二次函数 yx23x+2m 的最小值是 2,则 m 13一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径 OA1m,水面宽 AB1.2m,某天下雨后,水管水面 上升了 0.2m,则此时排水管水面宽 CD 等于 m 14设 A(1,y1) ,B(0,y2) ,C(2,y3)是抛物线 y

5、x2+2a 上的三点,则 y1,y2,y3由小到大关系 为 15已知(x2+y2) (x2+y25)6,则 x2+y2 16已知O 的直径 CD10,AB 是O 的弦,ABCD,垂足为 M,且 AB8,则 AC 的长为 17如图,将边长为 1 的正三角形 OAP 沿 x 轴正方向连续翻转 2020 次,点 P 依次落在点 P1,P2,P3, P2020的位置,则点 P2020的横坐标为 三、解答题(满分三、解答题(满分 69 分)分) 18 (10 分)解方程: (1)x2+6x20 (2) (2x1)2x(3x+2)7 19 (7 分)研究所在研究某种流感病毒发现,若一人携带此病毒,未进行有

6、效隔离,经过两轮传染后共有 169 人患病(假设每轮每人传染的人数相同) ,求: (1)每轮传染中平均每个人传染了几个人? (2)如果这些病毒携带者,未进行有效隔离,按照这样的传染速度,第三轮传染后,共有多少人患病? 20 (8 分)如图,已知抛物线的顶点为 A(1,4) ,抛物线与 y 轴交于点 B(0,3) ,与 x 轴交于 C、D 两点, 点 P 是 x 轴上的一个动点 (1)求此抛物线的解析式; (2)当 PA+PB 的值最小时,求点 P 的坐标 21 (8 分)AB 是O 的弦,D 为半径 OA 的中点,过 D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E,交O 于点 F,且 CE CB (1

7、)求证:BC 是O 的切线; (2)连接 AF,BF,求ABF 的度数 22 (10 分)在“万众创业、大众创新”的新时代下,大学毕业生小张响应国家号召,开办了家饰品店,该 店购进一种今年新上市的饰品进行销售,饰品的进价为每件 40 元,售价为每件 60 元,每月可卖出 300 件市场调查反映:售价每下降 1 元每月要多卖 20 件,为了获得更大的利润且让利给顾客,现将饰品售 价降价 x(元/件) (且 x 为整数) ,每月饰品销量为 y(件) ,月利润为 w(元) (1)写出 y 与 x 之间的函数解析式; (2)如何确定销售价格才能使月利润最大?求最大月利润; (3)为了使每月利润等于 6

8、000 元时,应如何确定销售价格 23 (12 分)如图 1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置,其中C90,BE 30 (1)操作发现 如图 2,固定ABC,使DEC 绕点 C 旋转,当点 D 恰好落在 AB 边上时,填空: 线段 DE 与 AC 的位置关系是 ; 设BDC 的面积为 S1,AEC 的面积为 S2,则 S1与 S2的数量关系是 (2)猜想论证 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时,小明猜想(1)中 S1与 S2的数量关系仍然成立,并尝试分 别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高,请你证明小明的猜想 (3)拓展探究 已知ABC60,

9、点 D 是角平分线上一点,BDCD4,DEAB 交 BC 于点 E(如图 4) 若在射线 BA 上存在点 F,使 SDCFSBDE,请直接写出相应的 BF 的长 24 (14 分)综合与探究 如图,抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,OA2,OC6,连接 AC 和 BC (1)求抛物线的解析式; (2)点 E 是第四象限内抛物线上的动点,连接 CE 和 BE若设 E 点的横坐标为 t,则请你求出BCE 面积 S 与 t 之间存在怎样的函数关系; (3)若点 M 是 x 轴上的动点,在抛物线的对称轴上是否存在点 N,使以点 A、C、M、N 为顶点的四边

10、 形是平行四边形?若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A等边三角形 B平行四边形 C圆 D五角星 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解:A、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; B、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意; C、圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意; D、五角星是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;

11、故选:C 2下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( ) A2x26x+10 B3x2x50 Cx2+x0 Dx24x+40 【分析】由根的判别式为b24ac,挨个计算四个选项中的值,由此即可得出结论 【解答】解:A、b24ac(6)2421280, 该方程有两个不相等的实数根; B、b24ac(1)243(5)610, 该方程有两个不相等的实数根; C、b24ac1241010, 该方程有两个不相等的实数根; D、b24ac(4)24140, 该方程有两个相等的实数根 故选:D 3 把二次函数的图象向右平移 2 个单位后, 再向上平移 3 个单位, 所得的函数图象的顶点是 ( ) A (2,

12、3) B (2,3) C (3,2) D (2,3) 【分析】利用平移规律求平移后的顶点坐标即可 【解答】解:二次函数, 原抛物线的顶点为(0,0) , 把二次函数的图象向右平移 2 个单位后,再向上平移 3 个单位, 新抛物线的顶点为(2,3) , 故选:A 4如图,在ABC 中,C90,AC4,BC3,将ABC 绕点 A 逆时针旋转,使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处,点 B 落在点 D 处,则 B、D 两点间的距离为( ) A B2 C3 D2 【分析】通过勾股定理计算出 AB 长度,利用旋转性质求出各对应线段长度,利用勾股定理求出 B、D 两 点间的距离 【解答】解:连接 BD

13、在ABC 中,C90,AC4,BC3, AB5, 将ABC 绕点 A 逆时针旋转,使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处,点 B 落在点 D 处, AE4,DE3, BE1, 在 RtBED 中, BD 故选:A 5如图,AB 是O 的弦,AO 的延长线交过点 B 的O 的切线于点 C,如果ABO30,则C 的度数 是( ) A70 B45 C30 D20 【分析】由 BC 是O 的切线,OB 是O 的半径,得到OBC90,根据等腰三角形的性质得到A ABO30,由外角的性质得到BOC60,即可求得C30 【解答】解:BC 是O 的切线,OB 是O 的半径, OBC90, OAOB, AAB

14、O30, BOC60, C30 故选:C 6如图,在长 70m,宽 40m 的矩形花园中,欲修宽度相等的观赏路(阴影部分) ,要使观赏路面积占总面 积的,则路宽 xm 应满足的方程是( ) A (40 x) (70 x)400 B (402x) (703x)400 C (40 x) (70 x)2400 D (402x) (703x)2400 【分析】根据题意和图形中的数据可以列出相应的一元二次方程,从而可以解答本题 【解答】解:由图可得, (402x) (703x)4070(1) , 即(402x) (703x)2400, 故选:D 7在同一坐标系中,一次函数 ymx+n2与二次函数 yx2

15、+m 的图象可能是( ) A B C D 【分析】 本题可先由一次函数 ymx+n2图象得到字母系数的正负, 再与二次函数 yx2+m 的图象相比 较看是否一致 【解答】解:A、由直线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知,n20,错误; B、由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上可知,m0,由直线可知,m0,错误; C、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知,m0,由直线可知,m0,错误; D、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知,m0,由直线可知,m0,正确, 故选:D 8关于 x 的方程 ax2x+10 有实数根,则 a 的取值范围是( ) Aa且 a0 Ba

16、Ca且 a0 Da 【分析】分为两种情况:当 a0,a0,根据已知得出0,求出即可 【解答】解:分为两种情况:当 a0 时,x+10, 解得:x1; 当 a0 时,关于 x 的方程 ax2x+10 有实数根, (1)24a114a0, 解得:a, 故选:B 9如图,ABC 中,BAC60,ABC45,AB2,D 是线段 BC 上的一个动点,以 AD 为直 径画圆 O 分别交 AB,AC 于 E,F,连接 EF,则线段 EF 长度的最小值为( ) A1 B C D2 【分析】由垂线段的性质可知,当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时,直径 AD 最短,此时线段 EF2EH 20EsinEOH2

17、0Esin60,因此当半径 OE 最短时,EF 最短,连接 OE,OF,过 O 点作 OHEF, 垂足为 H,在 RtADB 中,解直角三角形求直径 AD,由圆周角定理可知EOHEOFBAC 60,在 RtEOH 中,解直角三角形求 EH,由垂径定理可知 EF2EH 【解答】解:由垂线段的性质可知,当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时,直径 AD 最短, 如图,连接 OE,OF,过 O 点作 OHEF,垂足为 H, 则 EHFH, 在 RtADB 中,ABC45,AB2, ADBDAB2,即此时圆的直径为 2, OE1, 由圆周角定理可知EOHEOFBAC60, 在 RtEOH 中,EHO

18、EsinEOH1, 由垂径定理可知 EF2EH 故选:C 10如图,已知二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于点 A(1,0) ,与 y 轴的交点 B 在(0, 2)和(0,1)之间(不包括这两点) ,对称轴为直线 x1下列结论:abc0;4a+2b+c0; 4acb216a;bc其中正确结论个数( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据对称轴为直线 x1 及图象开口向下可判断出 a、b、c 的符号,从而判断;根据对称轴得 到函数图象经过(3,0) ,则得的判断;根据图象经过(1,0)可得到 a、b、c 之间的关系,从而 对作判断; 从图象与 y 轴的交点

19、B 在 (0, 2) 和 (0, 1) 之间可以判断 c 的大小得出的正误 【解答】解:函数开口方向向上, a0; 对称轴在 y 轴右侧, a、b 异号,b0, 抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴, c0, abc0, 故正确; 图象与 x 轴交于点 A(1,0) ,对称轴为直线 x1, 图象与 x 轴的另一个交点为(3,0) , 当 x2 时,y0, 4a+2b+c0, 故错误; 解法一:由图象知:抛物线与 x 轴有两个交点, b24ac0, 4acb20, 16a0, 4acb216a; 解法二:图象与 x 轴交于点 A(1,0) , 当 x1 时,y(1)2a+b(1)+c0, ab+

20、c0,即 abc,cba, 对称轴为直线 x1, 1,即 b2a, cba(2a)a3a, 4acb24a (3a)(2a)216a20, 16a0, 4acb216a, 故正确 图象与 y 轴的交点 B 在(0,2)和(0,1)之间, 2c1 23a1, a; 故正确 a0, bc0,即 bc; 故正确; 正确结论为:,有 4 个, 故选:C 二、填空题(每题二、填空题(每题 3 分,共分,共 21 分)分) 11已知 x1 是一元二次方程(m2)x2+4xm20 的一个根,则 m 的值是 1 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即把 x1 代

21、入方程求解可得 m 的值 【解答】解:把 x1 代入方程(m2)x2+4xm20 得到(m2)+4m20, 解得:m1 或 m2, m20 m1, 故答案为:1 12若二次函数 yx23x+2m 的最小值是 2,则 m 【分析】利用配方法将二次函数方程 yx23x+2m 转化为顶点式方程,然后求该函数的最小值即可 【解答】解:由 yx23x+2m,得 y(x)2+2m, y最小2m2, 解得,m; 故答案是: 13一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径 OA1m,水面宽 AB1.2m,某天下雨后,水管水面 上升了 0.2m,则此时排水管水面宽 CD 等于 1.6 m 【分析】先根据勾股定理

22、求出 OE 的长,再根据垂径定理求出 CF 的长,即可得出结论 【解答】解:如图: AB1.2m,OEAB,OA1m, OE0.8m, 水管水面上升了 0.2m, OF0.80.20.6m, CFm, CD1.6m 故答案为:1.6 14设 A(1,y1) ,B(0,y2) ,C(2,y3)是抛物线 yx2+2a 上的三点,则 y1,y2,y3由小到大关系 为 y3y1y2 【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴,然后根据二次函数的性质,通过三点与 对称轴距离的远近来比较函数值的大小 【解答】解:yx2+2a, 抛物线开口向下,对称轴为 y 轴, 而 B(0,y2)在对称轴上,

23、A(1,y1)到对称轴的距离比 C(2,y3)近, y3y1y2 故答案为:y3y1y2 15已知(x2+y2) (x2+y25)6,则 x2+y2 6 【分析】 设 x2+y2m, 把原方程转化为含 m 的一元二次方程, 先用因式分解法求解, 再确定 x2+y2的值 【解答】解:设 x2+y2m,原方程可变形为:m(m5)6, 即 m25m60 (m6) (m+1)0, 解得 m16,m21 mx2+y20, x2+y26 故答案为:6 16 已知O的直径CD10, AB是O的弦, ABCD, 垂足为M, 且AB8, 则AC的长为 【分析】连结 OA,由 ABCD,根据垂径定理得到 AM4,

24、再根据勾股定理计算出 OM3,然后分类 讨论:当如图 1 时,CM8;当如图 2 时,CM2,再利用勾股定理分别计算即可 【解答】解:连结 OA, ABCD, AMBMAB84, 在 RtOAM 中,OA5, OM3, 当如图 1 时,CMOC+OM5+38, 在 RtACM 中,AC4; 当如图 2 时,CMOCOM532, 在 RtACM 中,AC2 故答案为 4或 2 17如图,将边长为 1 的正三角形 OAP 沿 x 轴正方向连续翻转 2020 次,点 P 依次落在点 P1,P2,P3, P2020的位置,则点 P2020的横坐标为 2020 【分析】根据图形的翻转,分别得出 P1、P

25、2、P3的横坐标,再根据规律即可得出各个点的横坐标 【解答】解:观察图形结合翻转的方法可以得出 P1、P2的横坐标是 1,P3的横坐标是 2.5,P4、P5的横 坐标是 4,P6的横坐标是 5.5依此类推下去, 因为 20193673, (6731)3+2.52018.5,所以 P2019的横坐标为 2018.5P2019、P2020的横坐标 是 2020 故答案为:2020 三、解答题(满分三、解答题(满分 69 分)分) 18 (10 分)解方程: (1)x2+6x20 (2) (2x1)2x(3x+2)7 【分析】 (1)方程利用配方法求出解即可; (2)方程整理后,利用分解因式分解法求

26、出解即可 【解答】解: (1)方程整理得:x2+6x2, 配方得:x2+6x+911,即(x+3)211, 开方得:x+3, 解得:x13+,x23; (2)方程整理得:x26x+80, 分解因式得: (x2) (x4)0, 可得 x20 或 x40, 解得:x12,x24 19 (7 分)研究所在研究某种流感病毒发现,若一人携带此病毒,未进行有效隔离,经过两轮传染后共有 169 人患病(假设每轮每人传染的人数相同) ,求: (1)每轮传染中平均每个人传染了几个人? (2)如果这些病毒携带者,未进行有效隔离,按照这样的传染速度,第三轮传染后,共有多少人患病? 【分析】 (1)设每轮传染中平均每

27、个人传染了 x 个人,根据“若一人携带此病毒,未进行有效隔离,经 过两轮传染后共有 169 人患病” ,即可得出关于 x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论; (2)利用经过三轮传染后患病的人数经过两轮传染后患病的人数(1+12) ,即可求出结论 【解答】解: (1)设每轮传染中平均每个人传染了 x 个人, 依题意,得:1+x+x(x+1)169, 解得:x112,x214(不合题意,舍去) 答:每轮传染中平均每个人传染了 12 个人 (2)169(1+12)2197(人) 答:按照这样的传染速度,第三轮传染后,共有 2197 人患病 20 (8 分)如图,已知抛物线的顶点为 A(1,4

28、) ,抛物线与 y 轴交于点 B(0,3) ,与 x 轴交于 C、D 两点, 点 P 是 x 轴上的一个动点 (1)求此抛物线的解析式; (2)当 PA+PB 的值最小时,求点 P 的坐标 【分析】 (1)设抛物线顶点式解析式 ya(x1)2+4,然后把点 B 的坐标代入求出 a 的值,即可得解; (2) 先求出点 B 关于 x 轴的对称点 B的坐标, 连接 AB与 x 轴相交, 根据轴对称确定最短路线问题, 交点即为所求的点 P,然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线 AB的解析式,再求出与 x 轴的 交点即可 【解答】解: (1)抛物线的顶点为 A(1,4) , 设抛物线的解析式 ya

29、(x1)2+4, 把点 B(0,3)代入得,a+43, 解得 a1, 抛物线的解析式为 y(x1)2+4; (2)点 B 关于 x 轴的对称点 B的坐标为(0,3) , 由轴对称确定最短路线问题,连接 AB与 x 轴的交点即为点 P, 设直线 AB的解析式为 ykx+b(k0) , 则, 解得, 直线 AB的解析式为 y7x3, 令 y0,则 7x30, 解得 x, 所以,当 PA+PB 的值最小时的点 P 的坐标为(,0) 21 (8 分)AB 是O 的弦,D 为半径 OA 的中点,过 D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E,交O 于点 F,且 CE CB (1)求证:BC 是O 的切线;

30、(2)连接 AF,BF,求ABF 的度数 【分析】 (1)连接 OB,有圆的半径相等和已知条件证明OBC90即可证明 BC 是O 的切线; (2)连接 OF,AF,BF,首先证明OAF 是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所 对圆心角的一半即可求出ABF 的度数; 【解答】 (1)证明:连接 OB OBOA,CECB, AOBA,CEBABC 又CDOA A+AEDA+CEB90 OBA+ABC90 OBBC BC 是O 的切线 (2)解:连接 OF,AF,BF, DADO,CDOA, AFOF, OAOF, OAF 是等边三角形, AOF60 ABFAOF30 22 (10 分

31、)在“万众创业、大众创新”的新时代下,大学毕业生小张响应国家号召,开办了家饰品店,该 店购进一种今年新上市的饰品进行销售,饰品的进价为每件 40 元,售价为每件 60 元,每月可卖出 300 件市场调查反映:售价每下降 1 元每月要多卖 20 件,为了获得更大的利润且让利给顾客,现将饰品售 价降价 x(元/件) (且 x 为整数) ,每月饰品销量为 y(件) ,月利润为 w(元) (1)写出 y 与 x 之间的函数解析式; (2)如何确定销售价格才能使月利润最大?求最大月利润; (3)为了使每月利润等于 6000 元时,应如何确定销售价格 【分析】 (1)由售价每下降 1 元每月要多卖 20

32、件,可得 y 与 x 之间的函数解析式; (2)由月利润单件利润数量,可得 w 与 x 的函数解析式,由二次函数的性质可求解; (3)将 w6000 代入解析式,解方程可求解 【解答】解: (1)由题意可得:y300+20 x; (2)由题意可得:w(20 x) (300+20 x)20(x2.5)2+6125, 由题意可知 x 应取整数,当 x2 或 3 元时,w 有最大值, 让利给顾客, x3 即当售价为 57 元时,利润最大, 最大利润为 6120 元; (3)由题意,令 w6000,即, 解得 x10(舍去) ,x25, 故将销售价格为 55 元,才能使每月利润等于 6000 元 23

33、 (12 分)如图 1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置,其中C90,BE 30 (1)操作发现 如图 2,固定ABC,使DEC 绕点 C 旋转,当点 D 恰好落在 AB 边上时,填空: 线段 DE 与 AC 的位置关系是 DEAC ; 设BDC 的面积为 S1,AEC 的面积为 S2,则 S1与 S2的数量关系是 S1S2 (2)猜想论证 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时,小明猜想(1)中 S1与 S2的数量关系仍然成立,并尝试分 别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高,请你证明小明的猜想 (3)拓展探究 已知ABC60,点 D 是角平分线

34、上一点,BDCD4,DEAB 交 BC 于点 E(如图 4) 若在射线 BA 上存在点 F,使 SDCFSBDE,请直接写出相应的 BF 的长 【分析】 (1)根据旋转的性质可得 ACCD,然后求出ACD 是等边三角形,根据等边三角形的性质 可得ACD60,然后根据内错角相等,两直线平行解答; 根据等边三角形的性质可得 ACAD,再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 ACAB, 然后求出 ACBD, 再根据等边三角形的性质求出点 C 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离, 然后根据等底等高的三角形的面积相等解答; (2)根据旋转的性质可得 BCCE,ACCD,再求出A

35、CNDCM,然后利用“角角边”证明ACN 和DCM 全等, 根据全等三角形对应边相等可得 ANDM, 然后利用等底等高的三角形的面积相等证明; (3)过点 D 作 DF1BE,求出四边形 BEDF1是菱形,根据菱形的对边相等可得 BEDF1,然后根据等 底等高的三角形的面积相等可知点 F1为所求的点,过点 D 作 DF2BD,求出F1DF260,从而得 到DF1F2是等边三角形,然后求出 DF1DF2,再求出CDF1CDF2,利用“边角边”证明CDF1 和CDF2全等,根据全等三角形的面积相等可得点 F2也是所求的点,然后在等腰BDE 中求出 BE 的 长,即可得解 【解答】解: (1)DEC

36、 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上, ACCD, BAC90B903060, ACD 是等边三角形, ACD60, 又CDEBAC60, ACDCDE, DEAC; B30,C90, CDACAB, BDADAC, 根据等边三角形的性质,ACD 的边 AC、AD 上的高相等, BDC 的面积和AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等) , 即 S1S2; 故答案为:DEAC;S1S2; (2)如图,DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到, BCCE,ACCD, ACN+BCN90,DCM+BCN1809090, ACNDCM, 在ACN 和DCM 中, , ACNDCM(AAS

37、) , ANDM, BDC 的面积和AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等) , 即 S1S2; (3)如图,过点 D 作 DF1BE,易求四边形 BEDF1是菱形, 所以 BEDF1,且 BE、DF1上的高相等, 此时 SDCF1SBDE; 过点 D 作 DF2BD, ABC60,F1DBE, F2F1DABC60, BF1DF1,F1BDABC30,F2DB90, F1DF2ABC60, DF1F2是等边三角形, DF1DF2, BDCD,ABC60,点 D 是角平分线上一点, DBCDCB6030, CDF1180BCD18030150, CDF236015060150, CDF

38、1CDF2, 在CDF1和CDF2中, , CDF1CDF2(SAS) , 点 F2也是所求的点, ABC60,点 D 是角平分线上一点,DEAB, DBCBDEABD6030, 又BD4, BE4cos302, BF1,BF2BF1+F1F2+, 故 BF 的长为或 24 (14 分)综合与探究 如图,抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,OA2,OC6,连接 AC 和 BC (1)求抛物线的解析式; (2)点 E 是第四象限内抛物线上的动点,连接 CE 和 BE若设 E 点的横坐标为 t,则请你求出BCE 面积 S 与 t 之间存在怎样的函数关系;

39、 (3)若点 M 是 x 轴上的动点,在抛物线的对称轴上是否存在点 N,使以点 A、C、M、N 为顶点的四边 形是平行四边形?若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)用待定系数法即可求解; (2)由 SSHEB+SHECEHOB,即可求解; (3)分 AC 是边、AC 是对角线利用图形的平移的性质和中点公式即可求解 【解答】解: (1)OA2,OC6,则点 A、C 的坐标分别为(2,0) 、 (0,6) , 将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得,解得, 故抛物线的表达式为 yx2x6; (2)令 yx2x60,解得 x2 和 3,故点 B(3,0) ,则函数的

40、对称轴为 x, 由点 B、C 的坐标得,直线 BC 的表达式为 y2x6, 过点 E 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H, 设点 E(t,t2t6) ,则点 H(t,2t6) , 则 SSHEB+SHECEHOB3(2t6t2+t+6)t2+t; (3)存在,理由: 设点 M(x,0) ,点 N(,m) , 当 AC 是边时, 点 A 向右平移 2 个单位向下平移 6 个单位得到点 C,同样点 M(N)向右平移 2 个单位向下平移 6 个单 位得到点 N(M) , 即 x2,解得 x1.5 或 2.5; 当 AC 是对角线时, 由中点公式得:(2+0)(x+) ,解得 x2.5, 故点 E 的坐标为(1.5,0)或(2.5,0)或(2.5,0)