1、2020-2021 学年山东省济宁市金乡县八年级（上）期中数学试卷学年山东省济宁市金乡县八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求求. 1赵师傅在做完门框后，为防止变形，按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的 AB，CD 两 根木条） ，其中运用的几何原理是（ ） A两点之间线段最短 B三角形两边之和大于第三边 C垂线段最短 D三角形的稳定性 2下列四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的是（ ） A B
2、C D 3一个正多边形的内角和比外角和多 360，则该正多边形的边数是（ ） A5 B6 C7 D8 4如图，在ABC 中，AB8，AC5，AD 为中线，则ABD 与ACD 的周长之差为（ ） A2 B3 C4 D5 5在下列条件中：A+BC，A：B：C1：2：3，A90B，AB C，A2B3C 中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 6如图，将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 的外部时，测量得170，2 152，则A 为（ ） A40 B42 C30 D52 7如图，ABCAEF，ABAE，BE，则对于结论：其中
3、正确的是（ ） ACAF， FABEAB， EFBC， EABFAC， A B C D 8若 a，b，c 是ABC 三边的长，化简：|a+bc|+|bac|cab|（ ） Aa+bc Bba+c Cab+c D2ab+c 9如图，ABC 中，B60，C50，点 D 是 BC 上任一点，点 E 和点 F 分别是点 D 关于 AB 和 AC 的对称点，连接 AE 和 AF，则EAF 的度数是（ ） A140 B135 C120 D100 10如图，在 RtABC 中，C90，A60，AB12cm，若点 P 从点 B 出发以 2cm/s 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 出发以 1cm/s 的
4、速度向点 C 运动，设 P、Q 分别从点 B、A 同时出发，运动的时间为 （ ）s 时，APQ 是直角三角形 A2.4 B3 C2.4 或 3 D3 或 4.8 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分. 11已知点 P（2，4） ，则点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是 12将一副三角板如图放置，则图中的1 13如图，在 RtABC 与 RtDCB 中，已知AD90，若利用“HL”证明 RtABCRtDCB， 你添加的条件是 （不添加字母和辅助线） 14已知：AD、AE 分别是ABC 的高，中线，BE6，CD4，则 DE 的长为 1
5、5如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 18，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于点 E，F若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 题，满分题，满分 55 分分.解答应写出文字说明、证明过程或推演过程解答应写出文字说明、证明过程或推演过程. 16 （6 分）如图，ABCD，EFG 的顶点 F，G 分别落在直线 AB，CD 上，GE 交 AB 于点 H，GE 平分 FGD若EFG90，EFH20，求EHB 的度数 17 （6 分）如图，点 P 是MON 中一点，PA
6、OM 于点 A，PBON 于点 B，连接 AB，PABPBA求 证：OP 平分MON 18 （6 分）在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，在棋盘中有 A（1，1） 、O（0，0） 、B（1，0）三个棋 子若在其它格点位置再添加一个棋子 C，使 A、O、B、C 四个棋子成为一个轴对称图形 （1）请在下列三个图形中分别标出一个 C 点位置后，画出该图形的对称轴； （2）请在每个图形中直接写出相应的棋子 C 的坐标 19 （8 分）如图，已知点 B，E，C，F 在一条直线上，ABDF，ACDE，AD （1）求证：ACDE； （2）若 BF13，EC5，求 BC 的长 20 （8 分）如图，在ABC 中
7、，已知 ABAC，MN 是 AB 的垂直平分线，垂足为点 N，交 AC 于点 M，连 接 MB （1）若ABC65，求：NMA 的度数 （2）若 AB10cm，MBC 的周长是 18cm求：BC 的长度 21 （10 分）问题情境：如图 1，在直角三角形 ABC 中，BAC90，ADBC 于点 D，可知：BAD C（不需要证明） ； 特例探究：如图 2，MAN90，射线 AE 在这个角的内部，点 B、C 在MAN 的边 AM、AN 上，且 ABAC，CFAE 于点 F，BDAE 于点 D求证：ABDCAF； 归纳证明：如图 3，点 B，C 在MAN 的边 AM、AN 上，点 E，F 在MAN
8、内部的射线 AD 上，1、 2 分别是ABE、CAF 的外角已知 ABAC，12BAC求证：ABECAF； 拓展应用：如图 4，在ABC 中，ABAC，ABBC点 D 在边 BC 上，CD2BD，点 E、F 在线段 AD 上，12BAC若ABC 的面积为 18，求：ABE 与CDF 的面积之和 22 （11 分）如图，ABC 中，ABBCAC12cm，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角 形的边运动，已知点 M 的速度为 1cm/s，点 N 的速度为 2cm/s当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时 停止运动 （1）点 M、N 运动几秒时，M、N 两点重合？ （2）点
9、 M、N 运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3） 当点 M、 N 在 BC 边上运动时， 能否得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN？如存在， 请求出此时 M、 N 运动的时间 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求求. 1赵师傅在做完门框后，为防止变形，按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的 AB，CD 两 根木条） ，其中运用的几何原理是（ ） A两点之间线段最短 B三角形两边之
10、和大于第三边 C垂线段最短 D三角形的稳定性 【分析】利用三角形的稳定性进行解答即可 【解答】解：按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的 AB，CD 两根木条） ，其中运用的 几何原理是三角形的稳定性， 故选：D 2下列四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的是（ ） A B C D 【分析】根据三角形高的画法知，过点 B 作 AC 边上的高，垂足为 E，其中线段 BE 是ABC 的高，再 结合图形进行判断 【解答】解：线段 BE 是ABC 的高的图是选项 D 故选：D 3一个正多边形的内角和比外角和多 360，则该正多边形的边数是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】根据一个正多
11、边形的内角和比外角和多 360，结合多边形的内角和定理和外角和定理可列方 程，解方程可求解 【解答】解：设该正多边形的边数为 n， 由题意得（n2）180360360， 解得 n6， 答：该正多边形的边数为 6 故选：B 4如图，在ABC 中，AB8，AC5，AD 为中线，则ABD 与ACD 的周长之差为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到ABD 的周长和ADC 的周长的差就是 AB 与 AC 的差 【解答】解：AD 为中线， BDCD， 则 CABDCACD （AB+AD+BD）（AC+AD+CD） AB+AD+BDACADCD ABAC 85 3， 故选：
12、B 5在下列条件中：A+BC，A：B：C1：2：3，A90B，AB C，A2B3C 中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案 【解答】解：因为A+BC，则 2C180，C90，所以ABC 是直角三角形； 因为A：B：C1：2：3，设Ax，则 x+2x+3x180，x30，C30390，所以 ABC 是直角三角形； 因为A90B， 所以A+B90， 则C1809090， 所以ABC 是直角三角形； 因为ABC，所以A+B+CC+C+C180，则C90，所以ABC 是直角三角形； 因为 3C2
13、BA，A+B+CA+A+A180，A，所以ABC 为钝角三角形 所以能确定ABC 是直角三角形的有共 4 个， 故选：C 6如图，将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 的外部时，测量得170，2 152，则A 为（ ） A40 B42 C30 D52 【分析】利用四边形的内角和定理求出B+C，再利用三角形的内角和定理可得结果 【解答】解：170，2152， B+C3601236070152138， A180（B+C）18013842， 故选：B 7如图，ABCAEF，ABAE，BE，则对于结论：其中正确的是（ ） ACAF， FABEAB， EFBC， EABF
14、AC， A B C D 【分析】根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等可得 ACAF，EFCB，EAF BAC，再利用等式的性质可得EABFAC 【解答】解：ABCAEF， ACAF，EFCB，EAFBAC， EAFBAFBACBAF， EABFAC， 正确的是， 故选：B 8若 a，b，c 是ABC 三边的长，化简：|a+bc|+|bac|cab|（ ） Aa+bc Bba+c Cab+c D2ab+c 【分析】根据三角形的三边关系判断出 a+bc，bac 及 cab 的符号，再去绝对值符号，合并同 类项即可 【解答】解：a、b、c 是ABC 的三边的长， a+bc0，bac0，
15、cab0， 原式a+bcb+a+c+cabab+c 故选：C 9如图，ABC 中，B60，C50，点 D 是 BC 上任一点，点 E 和点 F 分别是点 D 关于 AB 和 AC 的对称点，连接 AE 和 AF，则EAF 的度数是（ ） A140 B135 C120 D100 【分析】利用轴对称的性质解答即可 【解答】解：如图，D 点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F， EABBAD，FACCAD， B60，C50， BACBAD+DAC180605070， EAF2BAC140， 故选：A 10如图，在 RtABC 中，C90，A60，AB12cm，若点 P 从点 B 出发以
16、2cm/s 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 出发以 1cm/s 的速度向点 C 运动，设 P、Q 分别从点 B、A 同时出发，运动的时间为 （ ）s 时，APQ 是直角三角形 A2.4 B3 C2.4 或 3 D3 或 4.8 【分析】根据题意分两种情况进行解答，即PQA90或QPA90时，分别表示 RtAPQ 的两边 的长，再根据直角三角形的边角关系求解即可 【解答】解：设运动的时间为 t 秒，则 BP2t 厘米，AQt 厘米， 当PQA90时，如图 1 所示， 在 RtAPQ 中，PQA90，A60，AP（122t）cm， cosA， ， 解得 t3， 经检验 t3 是方程的解，
17、所以 t3； 当QPA90时，如图 2 所示， 在 RtAPQ 中，QPA90，A60，AP（122t）cm， cosA， ， 解得 t4.8 经检验 t4.8 是方程的解， 所以 t4.8； 综上所述，运动的时间为 3 秒或 4.8 秒， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分. 11已知点 P（2，4） ，则点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是 （2，4） 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出答案 【解答】解：点 P（2，4） ， 点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是（2，4） 故答案为： （2，4） 12将一
18、副三角板如图放置，则图中的1 75 【分析】先用三角形内角和定理求出角 4 的度数，即可得出结论 【解答】解：由题意得：260，345， 根据三角形的内角和得， 41802375， 1475， 故答案为：75 13如图，在 RtABC 与 RtDCB 中，已知AD90，若利用“HL”证明 RtABCRtDCB， 你添加的条件是 ABDC（答案不唯一） （不添加字母和辅助线） 【分析】 根据： 斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等， 使 RtABCRtDCB， 添加的条件是： ABDC 【解答】解：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等， 在 RtABC 与 RtDCB 中， 已知AD90
19、， 使 RtABCRtDCB， 添加的条件是： ABDC 故答案为：ABDC（答案不唯一） 14已知：AD、AE 分别是ABC 的高，中线，BE6，CD4，则 DE 的长为 2 或 10 【分析】分ABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况解答即可 【解答】解：当ABC 是锐角三角形时，如图 1， AD、AE 分别是ABC 的高，中线，BE6，CD4， ECBE6， EDECDC642， 当ABC 是钝角三角形时，如图 2， AD、AE 分别是ABC 的高，中线，BE6，CD4， ECBE6， EDEC+DC6+410， 故答案为：2 或 10 15如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为
20、4，面积是 18，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于点 E，F若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为 11 【分析】连接 AD，由于ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 ADBC，再根据三角形的面积 公式求出 AD 的长，再再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A，故 AD 的长为 CM+MD 的最小值，由此即可得出结论 【解答】解：连接 AD， ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， ADBC， SABCBCAD4AD18，解得 AD9， EF 是线段
21、 AC 的垂直平分线， 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A， CMAM， CD+CM+DMCD+AM+DM， AM+DMAD， AD 的长为 CM+MD 的最小值， CDM 的周长最短（CM+MD）+CDAD+BC9+49+211 故答案为 11 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 题，满分题，满分 55 分分.解答应写出文字说明、证明过程或推演过程解答应写出文字说明、证明过程或推演过程. 16 （6 分）如图，ABCD，EFG 的顶点 F，G 分别落在直线 AB，CD 上，GE 交 AB 于点 H，GE 平分 FGD若EFG90，EFH20，求EHB 的度数 【分析】首先计算
22、出HFG 的度数，再根据平行线的性质可得FGD 的度数和EHBEGD，再利用 角平分线的性质可得答案 【解答】解：EFG90，EFH20， HFG70， ABCD FGD18070110， GE 平分FGD， EGDFGD55， ABCD， EHBEGD55 17 （6 分）如图，点 P 是MON 中一点，PAOM 于点 A，PBON 于点 B，连接 AB，PABPBA求 证：OP 平分MON 【分析】先根据等腰三角形的判定得到 PAPB，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到距离 【解答】证明：PABPBA， PAPB， PAOM 于点 A，PBON 于点 B， OP 平分MON 18 （6
23、 分）在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，在棋盘中有 A（1，1） 、O（0，0） 、B（1，0）三个棋 子若在其它格点位置再添加一个棋子 C，使 A、O、B、C 四个棋子成为一个轴对称图形 （1）请在下列三个图形中分别标出一个 C 点位置后，画出该图形的对称轴； （2）请在每个图形中直接写出相应的棋子 C 的坐标 【分析】 （1）直接利用轴对称图形的性质得出对称轴位置； （2）直接利用（1）中图形得出 C 点坐标 【解答】解： （1）作图：如图所示每个图中各画一条对称轴即可 （2）C 点坐标： （1，2） ， （2，1） ， （1，1） ， （0，1）写其中任意三个即可 19 （8 分）如图，
24、已知点 B，E，C，F 在一条直线上，ABDF，ACDE，AD （1）求证：ACDE； （2）若 BF13，EC5，求 BC 的长 【分析】 （1）首先证明ABCDFE 可得ACEDEF，进而可得 ACDE； （2）根据ABCDFE 可得 BCEF，利用等式的性质可得 EBCF，再由 BF13，EC5 进而可得 EB 的长，然后可得答案 【解答】 （1）证明：在ABC 和DFE 中， ABCDFE（SAS） ， ACEDEF， ACDE； （2）解：ABCDFE， BCEF， CBECEFEC， EBCF， BF13，EC5， EB4， CB4+59 20 （8 分）如图，在ABC 中，已知
25、ABAC，MN 是 AB 的垂直平分线，垂足为点 N，交 AC 于点 M，连 接 MB （1）若ABC65，求：NMA 的度数 （2）若 AB10cm，MBC 的周长是 18cm求：BC 的长度 【分析】 （1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得 AMBM，再根据等腰三角形的性质即 可求解； （2）根据垂直平分线的性质得 AMBM，MBC 的周长是 18cmACAB10cm，即可求 BC 的长度 【解答】解： （1）ABAC， ABCC ABC65， C65， A180ABCC180656550， MN 是 AB 的垂直平分线， AMBM，ANM90 NMA90A905040 （2）
26、MBC 的周长是 18cm， BM+MC+BC18， MN 是 AB 的垂直平分线， AMBM， AM+MC+BC18（cm） ， AC+BC8（cm） ， BC18AC18108（cm） BC 的长度为 8cm 21 （10 分）问题情境：如图 1，在直角三角形 ABC 中，BAC90，ADBC 于点 D，可知：BAD C（不需要证明） ； 特例探究：如图 2，MAN90，射线 AE 在这个角的内部，点 B、C 在MAN 的边 AM、AN 上，且 ABAC，CFAE 于点 F，BDAE 于点 D求证：ABDCAF； 归纳证明：如图 3，点 B，C 在MAN 的边 AM、AN 上，点 E，F
27、在MAN 内部的射线 AD 上，1、 2 分别是ABE、CAF 的外角已知 ABAC，12BAC求证：ABECAF； 拓展应用：如图 4，在ABC 中，ABAC，ABBC点 D 在边 BC 上，CD2BD，点 E、F 在线段 AD 上，12BAC若ABC 的面积为 18，求：ABE 与CDF 的面积之和 【分析】 （1） 根据图， 求出BDAAFC90， ABDCAF，根据 AAS 证两三角形全等即可； （2）根据图，运用三角形外角性质求出ABECAF，BAEFCA，根据 ASA 证两三角形全等 即可； （3）根据图，由 CD2BD，ABC 的面积为 18，可求出ACD 的面积为 12，根据A
28、BECAF， 得出ABE 与CDF 的面积之和等于ACD 的面积，据此即可得出答案 【解答】 （1）证明：如图， CFAE，BDAE，MAN90， BDAAFC90， ABD+BAD90，ABD+CAF90， ABDCAF， 在ABD 和CAF 中， ， ABDCAF（AAS） ； （2）证明：如图， 12BAC，1BAE+ABE，BACBAE+CAF，2ACF+CAF， ABECAF，BAEACF， 在ABE 和CAF 中， ， ABECAF（ASA） ； （3）解：ABC 的面积为 18，CD2BD， ACD 的面积是：1812， 由（2）可得ABECAF， 即ABE 的面积CAF 的面积
29、， ABE 与CDF 的面积之和等于ACF 与CDF 的面积之和，即等于ACD 的面积是 12 22 （11 分）如图，ABC 中，ABBCAC12cm，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角 形的边运动，已知点 M 的速度为 1cm/s，点 N 的速度为 2cm/s当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时 停止运动 （1）点 M、N 运动几秒时，M、N 两点重合？ （2）点 M、N 运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3） 当点 M、 N 在 BC 边上运动时， 能否得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN？如存在， 请求出此时 M、 N 运动的时间 【分析】 （1
30、）首先设点 M、N 运动 x 秒后，M、N 两点重合，表示出 M，N 的运动路程，N 的运动路程 比 M 的运动路程多 12cm，列出方程求解即可； （2）根据题意设点 M、N 运动 t 秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出 AM，AN 的长，由于A 等于 60，所以只要 AMAN 三角形 ANM 就是等边三角形； （3）首先假设AMN 是等腰三角形，可证出ACMABN，可得 CMBN，设出运动时间，表示出 CM，NB，NM 的长，列出方程，可解出未知数的值 【解答】解： （1）设点 M、N 运动 x 秒时，M、N 两点重合， x1+122x， 解得：x12； （2）设点 M、N 运动 t
31、 秒时，可得到等边三角形AMN，如图， AMt1t，ANABBN122t， 三角形AMN 是等边三角形， t122t， 解得 t4， 点 M、N 运动 4 秒时，可得到等边三角形AMN （3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，可以得到以 MN 为底边的等腰三角形， 由（1）知 12 秒时 M、N 两点重合，恰好在 C 处， 如图，假设AMN 是等腰三角形， ANAM， AMNANM， AMCANB， ABBCAC， ACB 是等边三角形， CB， 在ACM 和ABN 中， ， ACMABN（AAS） ， CMBN， 设当点 M、N 在 BC 边上运动时，M、N 运动的时间 y 秒时，AMN 是等腰三角形， CMy12，NB362y，CMNB， y12362y， 解得：y16故假设成立 当点 M、N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN，此时 M、N 运动的时间为 16 秒