1、2020-2021 学年浙江省绍兴市越城区八年级（上）期中数学试卷学年浙江省绍兴市越城区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 题，共题，共 30 分）分） 1下列标志中是轴对称图形的有几个（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 2如果ABC 的三个顶点 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，那么下列条件中，不能判断ABC 是直角三 角形的是（ ） AA15，B75 BA：B：C1：2：3 Ca，b，c Da6，b10，c12 3设表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体按质量从大到 小的顺序为（ ） A B C D 4用反证法证明
2、命题“一个三角形中至多有一个角是直角” ，应先假设这个三角形中（ ） A至少有两个角是直角 B没有直角 C至少有一个角是直角 D有一个角是钝角，一个角是直角 54 根小木棒的长度分别为 2cm，3cm，4cm 和 5cm用其中 3 根搭三角形，可以搭出不同三角形的个数是 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6如图所示，已知ABC（ACABBC） ，用尺规在线段 BC 上确定一点 P，使得 PA+PCBC，则符合要 求的作图痕迹是（ ） A以 B 为圆心，BA 长为半径画弧交 BC 于点 P B作 AC 中垂线交 BC 于点 P C以 C 为圆心，CA 长为半径画弧交 BC 于点 P
3、 D作 AB 中垂线交 BC 于 P 7如图，ADBCBA，那么1 与2 之间的关系是（ ） A122 B21+2180 C1+32180 D312180 8如图，在ABC 中，BAC90，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE 于点 H，下面说法不正确的是（ ） AABE 的面积BCE 的面积 BAFGAGF CBHCH DFAG2ACF 9某台球桌为如图所示的长方形 ABCD，小球从 A 沿 45角击出，恰好经过 5 次碰撞到达 B 处则 AB： BC 等于（ ） A1：2 B2：3 C2：5 D3：5 10如图，已知每个小方格的边长为 1，A，B
4、两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点 C，使ABC 为等腰三角形，则这样的顶点 C 有（ ） A8 个 B7 个 C6 个 D5 个 二、填空题（共二、填空题（共 6 题，共题，共 18 分）分） 11在ABC 中，已知A60，B80，则C 是 12RtABC 中ABC90，斜边 AC10cm，D 为斜边上的中点，斜边上的中线 BD 13等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则这个等腰三角形的周长为 14已知方程组的解满足 x+y0，则 m 的取值范围是 15如图，在ABC 中，已知点 D，E，F 分别为边 BC，AD，CE 的中点，且ABC 的面积等于 4cm2，则 阴影部分图形面积等于
5、 cm2 16如图，BF 平分ABD，CE 平分ACD，BF 与 CE 交于 G，若BDCm，BGCn，则A 的 度数为 （用 m，n 表示） 三、解答题（三、解答题（17 题题 8 分，分，18、19、20 题各题各 6 分，分，21、22 题题 8 分，分，23 题题 10 分）分） 17 （4 分）解不等式 2x114（x3）+3，并把它的解集在数轴上表示出来 18 （4 分）已知关于 x 的不等式（m1）x6，两边同除以 m1，得 x，试化简：|m1|2m| 19 （6 分）先填空，后作图： （1）到一个角的两边距离相等的点在它的 上； （2）到线段两端点距离相等的点在它的 上； （3
6、）如图，两条公路 AB 与 CB，C、D 是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等 而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置 P（不写作法，保留作图痕迹） 20 （6 分）在ABC 中，ABAC，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AEAF，BF 与 CE 相交于点 P， （1）求证：ABFACE； （2）求证：PBPC 21 （6 分）如图所示，A、B 两块试验田相距 200 米，C 为水源地，AC160m，BC120m，为了方便灌溉， 现有两种方案修筑水渠 甲方案：从水源地 C 直接修筑两条水渠分别到 A、B； 乙方案；过点 C 作 AB 的垂线，垂足
7、为 H，先从水源地 C 修筑一条水渠到 AB 所在直线上的 H 处，再从 H 分别向 A、B 进行修筑 （1）请判断ABC 的形状（要求写出推理过程） ； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明 22 （8 分）已知，如图，ABC 中，C90，AB10，AC8，BD 为ABC 的角平分线交 AC 于 D， 过点 D 作 DE 垂直 AB 于点 E， （1）求 BC 的长； （2）求 AE 的长； （3）求 BD 的长 23 （8 分）如图，在ABC 中，AD 是ABC 的高线，CE 是ABC 的角平分线，它们相交于点 P （1）若B40，AEC75，求证：ABBC； （2）
8、若BAC90，AP 为AEC 边 EC 上中线，求B 的度数 24 （10 分）方法呈现 （1）如图，ABC 中，AD 为中线，已知 AB3，AC5，求中线 AD 长的取值范围 解决此问题可以用如下方法： 延长 AD 至点 E，使 DEAD，连结 CE，则易证DECDAB，得到 ECAB3，则可得 ACCE AEAC+CE，从而可得中线 AD 长的取值范围是 探究应用 （2） 如图， 在四边形 ABCD 中， ABCD， 点 E 是 BC 的中点， 若 AE 是BAD 的平分线， 试判断 AB， AD，DC 之间的等量关系，并写出完整的证明过程 （3）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，A
9、F 与 DC 的延长线交于点 F，点 E 是 BC 的中点，若 AE 是BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 题，共题，共 30 分）分） 1下列标志中是轴对称图形的有几个（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 【解答】解：标志中是轴对称图形的为： 故选：B 2如果ABC 的三个顶点 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，那么下列条件中，不能判断ABC 是直角三 角形的是（ ） AA15
10、，B75 BA：B：C1：2：3 Ca，b，c Da6，b10，c12 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可 【解答】解： A、由条件可得A+B15+7590，C90，故ABC 为直角三角形； B、B、设Ax，B2x，C3x， x+2x+3x180， 解得：x30， 则 3x90， 是直角三角形，故此选项不合题意； C、由条件可得到 a2+b2c2，满足勾股定理的逆定理，故ABC 是直角三角形； D、由条件有 a2+b2c2，不满足勾股定理的逆定理，故ABC 不是直角三角形； 故选：D 3设表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体按质量从大到
11、 小的顺序为（ ） A B C D 【分析】通过一图知道二图知道2，进而求出三种物体质量从大到小的顺序 【解答】解：通过一图知道二图知道2，所以，即 故选：A 4用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角” ，应先假设这个三角形中（ ） A至少有两个角是直角 B没有直角 C至少有一个角是直角 D有一个角是钝角，一个角是直角 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断 【解答】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角” ，应先假设这个三角形中有两个角是直 角 故选：A 54 根小木棒的长度分别为 2cm，3cm，4cm 和 5cm用其中 3 根搭三角形，可以搭出不同三角形的个数是 （
12、） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】先写出不同的分组，再根据三角形的任意两边之和大于第三边对各组数据进行判断即可得解 【解答】解：任取 3 根可以有一下几组： 2cm，3cm，4cm，能够组成三角形， 2cm，3cm，5cm， 2+35， 不能组成三角形； 2cm，4cm，5cm， 能组成三角形， 3cm，4cm，5cm， 能组成三角形， 可以搭出不同的三角形 3 个 故选：C 6如图所示，已知ABC（ACABBC） ，用尺规在线段 BC 上确定一点 P，使得 PA+PCBC，则符合要 求的作图痕迹是（ ） A以 B 为圆心，BA 长为半径画弧交 BC 于点 P B作 AC 中
13、垂线交 BC 于点 P C以 C 为圆心，CA 长为半径画弧交 BC 于点 P D作 AB 中垂线交 BC 于 P 【分析】 利用 PA+PCBC 得到 PAPB， 根据线段垂直平分线的性质， 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， 于是要作 AB 的垂直平分线交 BC 于 P，然后对各选项进行判断 【解答】解：要使 PA+PCBC，则 PAPB，所以要作 AB 的垂直平分线交 BC 于 P 故选：D 7如图，ADBCBA，那么1 与2 之间的关系是（ ） A122 B21+2180 C1+32180 D312180 【分析】由已知条件可得到2B，1BCA，在ABC 中，由1+ACB+B180
14、，可推出 结论 【解答】解：ABBC， 1BCA， ABAD， B2， 1+B+ACB180， 21+2180 故选：B 8如图，在ABC 中，BAC90，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE 于点 H，下面说法不正确的是（ ） AABE 的面积BCE 的面积 BAFGAGF CBHCH DFAG2ACF 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断 A；根据三角形内角和定理求出ABCCAD， 根据三角形的外角性质即可推出 B；根据等腰三角形的判定判断 C；根据三角形内角和定理求出FAG ACD，根据角平分线定义即可判断 D 【解答】解：BE 是中线
15、， AECE， ABE 的面积BCE 的面积（等底等高的三角形的面积相等） ，故 A 正确； CF 是角平分线， ACFBCF， AD 为高， ADC90， BAC90， ABC+ACB90，ACB+CAD90， ABCCAD， AFGABC+BCF，AGFCAD+ACF， AFGAGF，故 B 正确； AD 为高， ADB90， BAC90， ABC+ACB90，ABC+BAD90， ACBBAD， CF 是ACB 的平分线， ACB2ACF， BAD2ACF， 即FAG2ACF，故 D 正确； 根据已知条件不能推出HBCHCB，即不能推出 BHCH，故 C 错误； 故选：C 9某台球桌为如
16、图所示的长方形 ABCD，小球从 A 沿 45角击出，恰好经过 5 次碰撞到达 B 处则 AB： BC 等于（ ） A1：2 B2：3 C2：5 D3：5 【分析】根据题意画出图形，再根据轴对称的性质求出矩形的长与宽的比值即可 【解答】解：先作出长方形 ABCD，小球从 A 沿 45 度射出，到 BC 的点 E，ABBE 从 E 点沿于 BC 成 45 度角射出，到 AC 边的 F 点，AEEF 从 F 点沿于 AD 成 45 度角射出，到 CD 边的 G 点，DFDG 从 G 沿于 DC 成 45 度角射出，到 BC 边的 H 点，HF 垂直于 ADGCCH 从 H 点沿于 CB 成 45
17、度角射出，到 AC 边的 M 点，EM 垂直于 AD， 从 M 点沿于 CA 成 45 度角射出，到 B 点， 看图是 2 个半以 AB 为边长的正方形， 所以 1：2.52：5 故选：C 10如图，已知每个小方格的边长为 1，A，B 两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点 C，使ABC 为等腰三角形，则这样的顶点 C 有（ ） A8 个 B7 个 C6 个 D5 个 【分析】分 AB 为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点 C 的个数 【解答】解：当 AB 为底时，作 AB 的垂直平分线，可找出格点 C 的个数有 5 个， 当 AB 为腰时，分别以 A、B 点为顶点，以 AB 为半
18、径作弧，可找出格点 C 的个数有 3 个； 这样的顶点 C 有 8 个 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 6 题，共题，共 18 分）分） 11在ABC 中，已知A60，B80，则C 是 40 【分析】根据三角形内角和定理计算即可 【解答】解：A60，B80， C180608040， 故答案为：40 12RtABC 中ABC90，斜边 AC10cm，D 为斜边上的中点，斜边上的中线 BD 5cm 【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解 【解答】解：BDAC105（cm） 故答案是：5cm 13等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则这个等腰三角形的周长为
19、 20 【分析】根据题意，要分情况讨论：4 是腰；4 是底必须符合三角形三边的关系，任意两边之和 大于第三边 【解答】解：若 4 是腰，则另一腰也是 4，底是 8，但是 4+48，故不构成三角形，舍去 若 4 是底，则腰是 8，8 4+88，符合条件成立 故周长为：4+8+820 故答案为：20 14已知方程组的解满足 x+y0，则 m 的取值范围是 m1 【分析】方程组两方程相加表示出 x+y，代入 x+y0 即可求出 m 的范围 【解答】解：， +得：3（x+y）3+3m，即 x+y1+m， 代入 x+y0 得：1+m0， 解得：m1 故答案为：m1 15如图，在ABC 中，已知点 D，E
20、，F 分别为边 BC，AD，CE 的中点，且ABC 的面积等于 4cm2，则 阴影部分图形面积等于 1 cm2 【分析】因为点 F 是 CE 的中点，所以BEF 的底是BEC 的底的一半，BEF 高等于BEC 的高；同 理，D、E、分别是 BC、AD 的中点，可得EBC 的面积是ABC 面积的一半；利用三角形的等积变换 可解答 【解答】解：如图，点 F 是 CE 的中点， BEF 的底是 EF，BEC 的底是 EC，即 EFEC，而高相等， SBEFSBEC， E 是 AD 的中点， SBDESABD，SCDESACD， SEBCSABC， SBEFSABC，且 SABC4cm2， SBEF1
21、cm2， 即阴影部分的面积为 1cm2 故答案为 1 16如图，BF 平分ABD，CE 平分ACD，BF 与 CE 交于 G，若BDCm，BGCn，则A 的 度数为 2nm （用 m，n 表示） 【分析】根据三角形内角和定理可求得DBC+DCB 的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平 分线的定义可求得ABC+ACB 的度数，从而不难求得A 的度数 【解答】解：连接 BC BDCm， DBC+DCB180m， BGCn， GBC+GCB180n， BF 是ABD 的平分线，CE 是ACD 的平分线， GBD+GCDABD+ACD180n180+mmn， ABC+ACB180m+2（mn）18
22、0+m2n， A180（180+m2n）2nm 故答案为：2nm 三、解答题（三、解答题（17 题题 8 分，分，18、19、20 题各题各 6 分，分，21、22 题题 8 分，分，23 题题 10 分）分） 17 （4 分）解不等式 2x114（x3）+3，并把它的解集在数轴上表示出来 【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成 1，再在数轴上表示出解集即可 【解答】解：2x114（x3）+3， 2x114x12+3， 2x4x12+3+11， 2x2， x1， 把解集表示在数轴上为： 18 （4 分）已知关于 x 的不等式（m1）x6，两边同除以 m1，得 x，试化简：|m1|2m| 【
23、分析】首先根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得 m10， 所以 m1；然后判断出 2m 的正负，求出|m1|2m|的值是多少即可 【解答】解：因为（m1）x6，两边同除以 m1，得 x， 所以 m10，m1， 所以 2m0， 所以|m1|2m| （1m）（2m） 1m2+m 1 19 （6 分）先填空，后作图： （1）到一个角的两边距离相等的点在它的 角平分线 上； （2）到线段两端点距离相等的点在它的 垂直平分线 上； （3）如图，两条公路 AB 与 CB，C、D 是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等 而且还要使它到两条公路的距离也相等，用
24、尺规作图画出菜市场的位置 P（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】 （1）直接利用角平分线的性质分析得出答案； （2）直接利用线段垂直平分线的性质分析得出答案； （3）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法画出符合题意的图形即可 【解答】解： （1）到一个角的两边距离相等的点在它的角平分线上； 故答案为：角平分线； （2）到线段两端点距离相等的点在它的垂直平分线上； 故答案为：垂直平分线； （3）如图所示：点 P 即为所求 20 （6 分）在ABC 中，ABAC，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AEAF，BF 与 CE 相交于点 P， （1）求证：ABFACE； （2）求证：PBPC
25、 【分析】 （1）根据 AEAF，ABAC，AA 即可证明三角形全等； （2）根据（1）结论可证ABFACE，即可证明PBCPCB，即可解题 【解答】证明： （1）在ABF 和ACE 中， ， ABFACE（SAS） ； （2）ABAC， ABCACB， ABFACE， ABFACE， PBCPCB， BPCP 21 （6 分）如图所示，A、B 两块试验田相距 200 米，C 为水源地，AC160m，BC120m，为了方便灌溉， 现有两种方案修筑水渠 甲方案：从水源地 C 直接修筑两条水渠分别到 A、B； 乙方案；过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 H，先从水源地 C 修筑一条水渠到 AB 所
26、在直线上的 H 处，再从 H 分别向 A、B 进行修筑 （1）请判断ABC 的形状（要求写出推理过程） ； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明 【分析】 （1）由勾股定理的逆定理即可得出ABC 是直角三角形； （2）由ABC 的面积求出 CH，得出 AC+BCCH+AH+BH，即可得出结果 【解答】解： （1）ABC 是直角三角形；理由如下： AC2+BC21602+120240000，AB2200240000， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，ACB90； （2）甲方案所修的水渠较短；理由如下： ABC 是直角三角形， ABC 的面积ABCHACBC，
27、CH96（m） ， CHAB， AHC90， AH128（m） ， BHABAH72m， AC+BC160m+120m280m，CH+AH+BH96m+200m296m， AC+BCCH+AH+BH， 甲方案所修的水渠较短 22 （8 分）已知，如图，ABC 中，C90，AB10，AC8，BD 为ABC 的角平分线交 AC 于 D， 过点 D 作 DE 垂直 AB 于点 E， （1）求 BC 的长； （2）求 AE 的长； （3）求 BD 的长 【分析】 （1）在 RtABC 中，直接利用勾股定理即可求出 BC 的长； （2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 CDDE，再利用“HL”证
28、明 RtBCD 和 RtBED 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BEBC，再根据 AEABBE 计算即可得解； （3）设 CDDEx，利用勾股定理列式求出 x，再利用勾股定理列式计算即可求出 BD 【解答】解： （1）C90，AB10，AC8， BC6； （2）BD 为ABC 的角平分线，DEAB， CDDE， 在 RtBCD 和 RtBED 中， ， RtBCDRtBED（HL） ， BEBC6， AEABBE1064； （3）设 CDDEx，则 AD8x， 在 RtADE 中，AE2+DE2AD2， 即 42+x2（8x）2， 解得 x3， 所以，CDDE3， 在 RtBCD 中，BD
29、3 23 （8 分）如图，在ABC 中，AD 是ABC 的高线，CE 是ABC 的角平分线，它们相交于点 P （1）若B40，AEC75，求证：ABBC； （2）若BAC90，AP 为AEC 边 EC 上中线，求B 的度数 【分析】 （1）求出BAC，BCA 的度数即可判断； （2）首先证明PACPCAPCD30，推出BAD60即可解决问题； 【解答】 （1）证明：B40，AEC75， ECBAECB35， CE 平分ACB， ACB2BCE70， BAC180BACB180407070， BACBCA， ABAC （2）BAC90，AP 是AEC 边 EC 上的中线， APPC， PACPC
30、A， CE 是ACB 的平分线， PACPCAPCD， ADC90， PACPCAPCD90330， BAD60， ADB90， B906030 24 （10 分）方法呈现 （1）如图，ABC 中，AD 为中线，已知 AB3，AC5，求中线 AD 长的取值范围 解决此问题可以用如下方法： 延长 AD 至点 E，使 DEAD，连结 CE，则易证DECDAB，得到 ECAB3，则可得 ACCE AEAC+CE，从而可得中线 AD 长的取值范围是 1AD4 探究应用 （2） 如图， 在四边形 ABCD 中， ABCD， 点 E 是 BC 的中点， 若 AE 是BAD 的平分线， 试判断 AB， AD
31、，DC 之间的等量关系，并写出完整的证明过程 （3）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AF 与 DC 的延长线交于点 F，点 E 是 BC 的中点，若 AE 是BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）由已知得出 ACCEAEAC+CE，即 54AE5+3，据此可得答案； （2）如图，延长 AE，DC 交于点 F，先证ABEFEC 得 CFAB，再由 AE 是BAD 的平分线知 BAFFAD，从而得FADF，据此知 ADDF，结合 DC+CFDF 可得答案； （3）如图，延长 AE，DF 交于点 G，同（2）可得：AFFG，ABEGEC，据此知 ABCG，继 而得出答案 【解答】解： （1）由题意知 ACCEAEAC+CE，即 54AE5+3， 1AD4， 故答案为：1AD4； （2）如图，延长 AE，DC 交于点 F， ABCD， BAFF， 在ABE 和FCE 中 CEBE，BAFF，AEBFEC， ABEFEC（AAS） ， CFAB， AE 是BAD 的平分线， BAFFAD， FADF， ADDF， DC+CFDF， DC+ABAD （3）如图，延长 AE，DF 交于点 G， 同（2）可得：AFFG，ABEGEC， ABCG， AF+CFAB