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2020-2021学年福建省福州市闽侯县九年级上期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年福建省福州市闽侯县九年级(上)期中数学试卷学年福建省福州市闽侯县九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 4 分,共分,共 40 分;每小题只有一个正确的选项分;每小题只有一个正确的选项.) 1下列图形中,是中心对称图形的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) Ax2+3x+20 Bx2+x+20 C (x+1)2+20 D3(x1)220 3将二次函数 yx2+2x+3 通过配方可化为 ya(xh)2+k 的形式,结果为( ) Ay(x+1)2+2 By(x1)2+2 Cy(x+1)22 Dy

2、(x1)22 4如图,点 A,B,C 在O 上,ACB38,则AOB 等于( ) A52 B68 C76 D86 5对于二次函数 y(x2)2+3 的图象,下列说法正确的是( ) A对称轴是 x2 B开口向下 C与 x 轴有两个交点 D顶点坐标是(2,3) 6一件商品的原价是 300 元, 经过两次提价后的价格为 363 元 如果每次提价的百分率都是 x, 根据题意, 下面列出的方程正确的是( ) A300(12x)363 B300(1+x)363 C300(1x)2363 D300(1+x)2363 7如图,AB 是O 的直径,O 为圆心,C 是O 上的点,D 是上的点,若D120,则BOC

3、 的大 小为( ) A60 B55 C58 D40 8 矩形ABCD的一条对角线长为5, 边AB的长是方程x26x+80的一个根, 则矩形ABCD的面积为 ( ) A12 B20 C2 D12 或 2 9如图,在平面直角坐标系 xOy 中,ABC 顶点的横、纵坐标都是整数若将ABC 以某点为旋转中心, 旋转得到ABC,则旋转中心的坐标是( ) A (1,1) B (1,1) C (0,0) D (1,2) 10当1k3 时,则直线 yk 与函数 y交点个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 4 分,共分,共 24 分分.) 11点 P(1,3

4、)关于原点对称的点的坐标是 12方程 x(x1)0 的根是 13若二次函数 y2(x1)2+1 的图象先向左平移 2 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,得到函数的 解析式为 14已知ACB 中,ACB90,以 AB 为直径作O,则点 C 在O (填内、上或外) 15已知抛物线 y(xm)2+n 与 x 轴交于点(1,0) , (4,0) ,则关于 x 的一元二次方程(xm3)2+n 0 的解是 16如图,在 RtABC 中,C90,AC3,BC4,点 F 在边 AC 上,并且 CF1,点 E 为边 BC 上 的动点,将CEF 沿直线 EF 翻折,点 C 落在点 P 处,连接 BP,则线段

5、 BP 长的最小值是 三、解答题(共三、解答题(共 86 分)分) 17 (8 分)解方程:x23x40 18 (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2+4x+m20 有两个相等的实数根,求 m 的值及方程的根 19 (8 分)已知二次函数 y0.5x2+bx+c 中的 x,y 满足下表: x 2 1 0 1 2 3 4 y 2.5 0 1.5 2 1.5 0 2.5 (1)求这个二次函数的解析式; (2)利用上表,在平面直角坐标系画出这条抛物线; (3)直接写出,当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大 20 (8 分)如图,正方形 OABC 点 A,C 分别在 x,y 轴的正半轴上,

6、将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30得正方形 OABC,BA与 CB 相交于点 D,连接 OD (1)求证:OADOCD(提示: “HL” ) ; (2)若 OD4,求正方形 OABC 的边长 21 (8 分)如图,AB 是O 的直径,点 C 在O 上,半径 ODAC,DEAB 于点 E,交弦 AC 于点 F, 连接 BD,AD, (1)若ABD25,求DAC 的度数(提示:半径 ODAC,可根据垂径定理解题) ; (2)求证:DFAF 22 (10 分)已知:如图,在ACB 中,ACB90,ACBC,直线 l 经过点 A,BDl 于点 D,连接 CD (1)证明 A,C,B,D 四

7、个点在同一个圆上并画出圆(提示:取 AB 中点 O) ; (2)求证:ADC45 (3)以点 C 为旋转中心,把CDB 逆时针方向旋转 90,画出旋转后的图形 23 (10 分) 如图, 一段长为 45m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园, 墙长为 27m, 设花园的面积为 sm2, 平行于墙的边为 xm若 x 不小于 17m, (1)求出 s 关于 x 的函数关系式; (2)求 s 的最大值与最小值 24 (12 分)已知如图,O 的直径 BC4,点 P 是射线 BD 上的一个动点 (1)如图 1,求 BD 的长; (2)如图 1,若 PB8,连接 PC,求证 PC 为O 的切线; (3)如

8、图 2,连接 AP,点 P 在运动过程中,求 AP+PB 的最小值 25 (14 分)已知直线 l:y1x1,抛物线 c:y2(xh)2+k (1)若 h0,k1,求直线 l 与抛物线 c 的交点坐标; (2)若 k1 时,求当 x(可用含 h 的代数式表示)为何值时,y2y1; (3)若 kh2+1,设直线 l 与 x,y 轴与分别交于点 A,B,抛物线 c 的顶点为 P,当点 A,B,P 三点构 成的三角形是直角三角形时,请直接写出点 P 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 4 分,共分,共 40 分;每小题只有一个正确的选项分;每小题只有一

9、个正确的选项.) 1下列图形中,是中心对称图形的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解:第一个图形是中心对称图形; 第二个图形不是中心对称图形; 第三个图形是中心对称图形; 第四个图形不是中心对称图形 故共 2 个中心对称图形 故选:B 2下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) Ax2+3x+20 Bx2+x+20 C (x+1)2+20 D3(x1)220 【分析】根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根,从而可以解答本题 【解答】解:Ax2+3x+20 中3241230,有两个不相等实数根; Bx2+x+20 中124(

10、1)290,有两个不相等实数根; C (x+1)2+20 中2241380,没有实数根; D.3(x1)220 中(6)2431240,有两个不相等实数根; 故选:C 3将二次函数 yx2+2x+3 通过配方可化为 ya(xh)2+k 的形式,结果为( ) Ay(x+1)2+2 By(x1)2+2 Cy(x+1)22 Dy(x1)22 【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式 【解答】解:yx2+2x+3(x2+2x+1)+2(x+1)2+2, 即 y(x+1)2+2 故选:A 4如图,点 A,B,C 在O 上,ACB38,则AOB 等于( ) A52 B68 C

11、76 D86 【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案 【解答】解:ACB38, AOB2ACB76 故选:C 5对于二次函数 y(x2)2+3 的图象,下列说法正确的是( ) A对称轴是 x2 B开口向下 C与 x 轴有两个交点 D顶点坐标是(2,3) 【分析】根据函数的表达式即可求解 【解答】解:A由函数表达式知,抛物线的对称轴为 x2,故 A 错误,不符合题意; Ba10,故抛物线开口向上,故 B 错误,不符合题意; C令 y(x2)2+30,该方程无解,故 C 错误,不符合题意; D抛物线的顶点为(2,3) ,故 D 正确,符合题意, 故选:D 6一件商品的原价是 300 元, 经过两次

12、提价后的价格为 363 元 如果每次提价的百分率都是 x, 根据题意, 下面列出的方程正确的是( ) A300(12x)363 B300(1+x)363 C300(1x)2363 D300(1+x)2363 【分析】设平均每次提价的百分率为 x,根据原价为 300 元,表示出第一次提价后的价钱为 300(1+x) 元,然后再根据价钱为 300(1+x)元,表示出第二次提价的价钱为 300(1+x)2元,根据两次提价后的 价钱为 363 元,列出关于 x 的方程 【解答】解:设平均每次提价的百分率为 x, 根据题意得:300(1+x)2363, 故选:D 7如图,AB 是O 的直径,O 为圆心,

13、C 是O 上的点,D 是上的点,若D120,则BOC 的大 小为( ) A60 B55 C58 D40 【分析】 利用圆内接四边形对角互补可得B 的度数, 然后再判定COB 是等边三角形, 进而可得答案 【解答】解:D120, B60, COBO, COB 是等边三角形, COB60, 故选:A 8 矩形ABCD的一条对角线长为5, 边AB的长是方程x26x+80的一个根, 则矩形ABCD的面积为 ( ) A12 B20 C2 D12 或 2 【分析】根据题意,先求出方程的解,根据勾股定理确定出矩形的边长,再求面积 【解答】解:边 AB 的长是方程 x26x+80 的一个根, x26x+80,

14、 (x2) (x4)0, 解得 x12,x24, 当AB2时, 利用勾股定理可求得相邻的边为, 此时矩形ABCD的面积为22; 当 AB4 时,利用勾股定理可求得相邻的边为3,此时矩形 ABCD 的面积为 3412; 故选:D 9如图,在平面直角坐标系 xOy 中,ABC 顶点的横、纵坐标都是整数若将ABC 以某点为旋转中心, 旋转得到ABC,则旋转中心的坐标是( ) A (1,1) B (1,1) C (0,0) D (1,2) 【分析】对应点连线的垂直平分线的交点即为所求 【解答】解:如图点 O即为所求O(1,1) 故选:A 10当1k3 时,则直线 yk 与函数 y交点个数有( ) A1

15、 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】 (1)画出函数 y的图象,根据图象即可求得结论 【解答】解:画出函数 y的图象如图: 由图象可知,直线 yk 与函数 y交点个数有 4 个, 故选:D 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 4 分,共分,共 24 分分.) 11点 P(1,3)关于原点对称的点的坐标是 (1,3) 【分析】根据关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数可知:点 P(1,3)关于原点的对称 点的坐标 【解答】解:关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数, 点 P(1,3)关于原点的对称点的坐标为(1,3) 故答案为: (1,3) 12方程 x(x1)0 的根是

16、x10,x21 【分析】原方程可直接运用因式分解法求解 【解答】解:x(x1)0, x0 或 x10, 解得:x10,x21 故答案为 x10,x21 13若二次函数 y2(x1)2+1 的图象先向左平移 2 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,得到函数的 解析式为 y2(x+1)21 【分析】直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答 【解答】解:将抛物线 y2(x1)2+1 向左平移 2 个单位,再向下平移 2 个单位得到 y2(x1+2) 2+12故得到抛物线的解析式为 y2(x+1)21 故答案为:y2(x+1)21 14已知ACB 中,ACB90,以 AB 为直径作O,则点 C

17、 在O 上 (填内、上或外) 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可得到 OAOBOC,即可证得结论 【解答】解:AB 为直径作O, OAOB, O 是直角三角形斜边 AB 的中点, OAOBOC, 点 C 在O 上, 故答案为:上 15已知抛物线 y(xm)2+n 与 x 轴交于点(1,0) , (4,0) ,则关于 x 的一元二次方程(xm3)2+n 0 的解是 x14,x27 【分析】将抛物线 y(xm)2+n 向右平移 3 个单位得到 y(xm3)2+n,则平移后的抛物线与 x 轴的交点为(4,0) 、 (7,0) ,即可求解 【解答】解:抛物线 y(xm)2+n 与 x 轴交于点(

18、1,0) , (4,0) , 将抛物线 y(xm)2+n 向右平移 3 个单位得到 y(xm3)2+n, 则平移后的抛物线与 x 轴的交点为(4,0) 、 (7,0) , 故一元二次方程(xm3)2+n0 的解是 x14,x27, 故答案为 x14,x27 16如图,在 RtABC 中,C90,AC3,BC4,点 F 在边 AC 上,并且 CF1,点 E 为边 BC 上 的动点,将CEF 沿直线 EF 翻折,点 C 落在点 P 处,连接 BP,则线段 BP 长的最小值是 1 【分析】连接 BF,由勾股定理可求 BF 的长,由折叠的性质可得 CFPF1,可得点 P 在以点 F 为半 径,CF 为

19、半径的圆上,则当点 P 在 BF 的延长线上时,BP 有最小值,即可求解 【解答】解:如图,连接 BF, CF1,BC4, BF, 将CEF 沿直线 EF 翻折,点 C 落在点 P 处, CFPF1, 点 P 在以点 F 为半径,CF 为半径的圆上, 当点 P 在 BF 的延长线上时,BP 有最小值, BP 的最小值为1, 故答案为:1 三、解答题(共三、解答题(共 86 分)分) 17 (8 分)解方程:x23x40 【分析】利用因式分解法解方程 【解答】解: (x4) (x+1)0, x40 或 x+10, 所以 x14,x21 18 (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2+4x+m

20、20 有两个相等的实数根,求 m 的值及方程的根 【分析】根据0 时,方程有两个相等的两个实数根列出方程,解方程求出 m,利用因式分解法解方 程求出方程的根 【解答】解:一元二次方程 x2+4x+m20 有两个相等的实数根, b24ac4241(m2)244m0, 解得,m6, x24x+40, (x2)20, x1x22 19 (8 分)已知二次函数 y0.5x2+bx+c 中的 x,y 满足下表: x 2 1 0 1 2 3 4 y 2.5 0 1.5 2 1.5 0 2.5 (1)求这个二次函数的解析式; (2)利用上表,在平面直角坐标系画出这条抛物线; (3)直接写出,当 x 取何值时

21、,y 随 x 的增大而增大 【分析】 (1)利用待定系数法求二次函数的解析式 (2)描点、连线画出图象即可; (3)根据图象即可求得 【解答】解: (1)把点(1,0) , (0,1.5)分别代入 y0.5x2+bx+c 中,得 , 解得, 这个二次函数的关系式为:y0.5x2x1.5 (2)描点、连线画出函数图象如图: (3)由图象可知,当 x1 时,y 随 x 的增大而增大 20 (8 分)如图,正方形 OABC 点 A,C 分别在 x,y 轴的正半轴上,将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30得正方形 OABC,BA与 CB 相交于点 D,连接 OD (1)求证:OADOCD(提示

22、: “HL” ) ; (2)若 OD4,求正方形 OABC 的边长 【分析】 (1)利用 JL 证明三角形全等即可 (2)证明COD30,利用直角三角形 30 度角的性质求出 CD,再利用勾股定理求出 OC 即可 【解答】 (1)证明:四边形 OABC 是正方形, OAOC,OCD90, OAOA, OCOA, OCDA90,ODOD, RtOADRtOCD(HL) (2)解:AOA30,AOC90, COA60, RtOADRtOCD(HL) , AODCOD30, OD4, CDOD2, OC2, 正方形 OABC 的边长为 2 21 (8 分)如图,AB 是O 的直径,点 C 在O 上,

23、半径 ODAC,DEAB 于点 E,交弦 AC 于点 F, 连接 BD,AD, (1)若ABD25,求DAC 的度数(提示:半径 ODAC,可根据垂径定理解题) ; (2)求证:DFAF 【分析】 (1)利用圆周角定理可得ADB90,然后再计算出DAO 的度数,再利用直角三角形的性 质可得答案; (2)利用直角三角形的性质推出DACADE,然后再利用等角对等边可得结论 【解答】 (1)解:AB 是O 的直径, ADB90, ABD25, DAB65,DOA50, ODAC, EAF40, DAC654025; (2)证明:DEAB 于点 E, DEO90, EDB+B90, ADB90, AD

24、E+BDE90, BADE, ODAC, , BDAC, DACADE, AFDF 22 (10 分)已知:如图,在ACB 中,ACB90,ACBC,直线 l 经过点 A,BDl 于点 D,连接 CD (1)证明 A,C,B,D 四个点在同一个圆上并画出圆(提示:取 AB 中点 O) ; (2)求证:ADC45 (3)以点 C 为旋转中心,把CDB 逆时针方向旋转 90,画出旋转后的图形 【分析】 (1)取 AB 的中点 O,连接 OC,OD,只要证明 OAOBODOC 即可; (2)根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可证得结论; (3)利用旋转的性质得出得出对应点位置进而得出答案 【解答】

25、(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OD,OC ACBADB90,OBOA, OAOBODOC, A,B,C,D 四个点在同一个圆上; (2)证明:在ACB 中,ACB90,ACBC, ABC45, ADCABC45; (3)如图所示:ACD,即为所求 23 (10 分) 如图, 一段长为 45m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园, 墙长为 27m, 设花园的面积为 sm2, 平行于墙的边为 xm若 x 不小于 17m, (1)求出 s 关于 x 的函数关系式; (2)求 s 的最大值与最小值 【分析】 (1)由于平行于墙的边为 xm,则垂直于墙的一面长为(45x)m,由面积公式写出 S

26、与 x 的 函数关系式,进而求出 x 的取值范围; (2)根据二次函数的性质,即可求得当 x 取何值时,这个花园的面积有最大值,最大值是多少,根据|27 |17|,得到 x17 时,S 最小,把 x17 代入解析式求出最小值 【解答】解: (1)平行于墙的边为 xm,矩形菜园的面积为 ym2 则垂直于墙的一面长为(45x)m, 根据题意得:Sx(45x)x2+x(17x27) ; (2)Sx2+x(x245)(x)2+(17x27) , 17x27,a0, 当 xm 时,S 取得最大值,此时 Sm2, |27|17|, x17m 时,S 取得最小值,此时 Sm2, 答:s 的最大值是m2,最小

27、值是m2 24 (12 分)已知如图,O 的直径 BC4,点 P 是射线 BD 上的一个动点 (1)如图 1,求 BD 的长; (2)如图 1,若 PB8,连接 PC,求证 PC 为O 的切线; (3)如图 2,连接 AP,点 P 在运动过程中,求 AP+PB 的最小值 【分析】 (1)在 RtBOH 中,BHBOcosDBC23,则 BD2BH6; (2)证明 PB2CB2+PC2,即可求解; (3)过点 A 作 AHBC 交 BD 于点 P,则点 P 为所求点,进而求解 【解答】解: (1)BC 是直径,则、均为 60的弧, 则DBC30,连接 OA 交 BD 于点 H, BC4,则 BO

28、CO2, 在 RtBOH 中,BHBOcosDBC23, 则 BD2BH6; (2)在 RtBCD 中,BC4,DBC30,则 CDCB2, PDPBBD862, 在 RtCDP 中,PC2CD2+PD24+(2)216, 在BCP 中,BC2(4)248,BP264, 则 PB2CB2+PC2, 故BPC 为直角三角形,故 PCCB, 故 PC 为O 的切线; (3)过点 A 作 AHBC 交 BD 于点 P, 在 RtPBH 中,DBC30,则 PHPB, 即 AP+PBAP+PHAH 为最小, 、均为 60的弧,则ABO60, 而 AOBO, 故ABO 为边长为 2的等边三角形, 则 A

29、HABsin6023, 即 AP+PB 的最小值为 3 25 (14 分)已知直线 l:y1x1,抛物线 c:y2(xh)2+k (1)若 h0,k1,求直线 l 与抛物线 c 的交点坐标; (2)若 k1 时,求当 x(可用含 h 的代数式表示)为何值时,y2y1; (3)若 kh2+1,设直线 l 与 x,y 轴与分别交于点 A,B,抛物线 c 的顶点为 P,当点 A,B,P 三点构 成的三角形是直角三角形时,请直接写出点 P 的坐标 【分析】 (1)若 h0,k1,则 y2x21,联立两个函数表达式并整理得 x2x0,即可求解; (2)联立 y1x1 和 y2(xh)21 并整理得:x2

30、(2h+1)x+h20,解得 x, 由抛物线的表达式知,抛物线开口向上,即可求解; (3)由抛物线的表达式知,抛物线的顶点坐标 P(h,h2+1) ,即点 P 在抛物线 yx2+1 上,如下图,画 出过点 AB 的圆和抛物线的图象,利用数形结合的方法即可求解 【解答】解: (1)若 h0,k1,则 y2x21 联立两个函数表达式并整理得:x2x0,解得 x0 或 1, 故交点坐标为(0,1)和(1,0) ; (2)联立 y1x1 和 y2(xh)21 并整理得:x2(2h+1)x+h20, 解得 x, 由抛物线的表达式知,抛物线开口向上, 则当 x或 x时,y2y1; (3)由抛物线的表达式知,抛物线的顶点坐标为 P(h,h2+1) , 即点 P 在抛物线 yx2+1 上, 如下图,画出过点 A、B、O 的圆和抛物线的图象, 当PAB 为直角时, 从图象看,点 P 的坐标为(0,1) ; 当ABP 为直角时, 从图象看,直线 PB 不可能与 yx2+1 相交,故点 P不存在; 当ABP为直角时, 则 ABOP四点共圆, 则点 P是抛物线与圆的交点, 从图象看,抛物线和圆不可能相交,故点 P不存在, 故点 P 的坐标为(0,1)