1、2020-2021 学年福建省福州市闽侯县九年级（上）期中数学试卷学年福建省福州市闽侯县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分；每小题只有一个正确的选项分；每小题只有一个正确的选项.） 1下列图形中，是中心对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） Ax2+3x+20 Bx2+x+20 C （x+1）2+20 D3（x1）220 3将二次函数 yx2+2x+3 通过配方可化为 ya（xh）2+k 的形式，结果为（ ） Ay（x+1）2+2 By（x1）2+2 Cy（x+1）22 Dy
2、（x1）22 4如图，点 A，B，C 在O 上，ACB38，则AOB 等于（ ） A52 B68 C76 D86 5对于二次函数 y（x2）2+3 的图象，下列说法正确的是（ ） A对称轴是 x2 B开口向下 C与 x 轴有两个交点 D顶点坐标是（2，3） 6一件商品的原价是 300 元， 经过两次提价后的价格为 363 元 如果每次提价的百分率都是 x， 根据题意， 下面列出的方程正确的是（ ） A300（12x）363 B300（1+x）363 C300（1x）2363 D300（1+x）2363 7如图，AB 是O 的直径，O 为圆心，C 是O 上的点，D 是上的点，若D120，则BOC
3、 的大 小为（ ） A60 B55 C58 D40 8 矩形ABCD的一条对角线长为5， 边AB的长是方程x26x+80的一个根， 则矩形ABCD的面积为 （ ） A12 B20 C2 D12 或 2 9如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 顶点的横、纵坐标都是整数若将ABC 以某点为旋转中心， 旋转得到ABC，则旋转中心的坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （0，0） D （1，2） 10当1k3 时，则直线 yk 与函数 y交点个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分分.） 11点 P（1，3
4、）关于原点对称的点的坐标是 12方程 x（x1）0 的根是 13若二次函数 y2（x1）2+1 的图象先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到函数的 解析式为 14已知ACB 中，ACB90，以 AB 为直径作O，则点 C 在O （填内、上或外） 15已知抛物线 y（xm）2+n 与 x 轴交于点（1，0） ， （4，0） ，则关于 x 的一元二次方程（xm3）2+n 0 的解是 16如图，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 F 在边 AC 上，并且 CF1，点 E 为边 BC 上 的动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，连接 BP，则线段
5、 BP 长的最小值是 三、解答题（共三、解答题（共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x23x40 18 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+4x+m20 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根 19 （8 分）已知二次函数 y0.5x2+bx+c 中的 x，y 满足下表： x 2 1 0 1 2 3 4 y 2.5 0 1.5 2 1.5 0 2.5 （1）求这个二次函数的解析式； （2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线； （3）直接写出，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大 20 （8 分）如图，正方形 OABC 点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上，
6、将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30得正方形 OABC，BA与 CB 相交于点 D，连接 OD （1）求证：OADOCD（提示： “HL” ） ； （2）若 OD4，求正方形 OABC 的边长 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，半径 ODAC，DEAB 于点 E，交弦 AC 于点 F， 连接 BD，AD， （1）若ABD25，求DAC 的度数（提示：半径 ODAC，可根据垂径定理解题） ； （2）求证：DFAF 22 （10 分）已知：如图，在ACB 中，ACB90，ACBC，直线 l 经过点 A，BDl 于点 D，连接 CD （1）证明 A，C，B，D 四
7、个点在同一个圆上并画出圆（提示：取 AB 中点 O） ； （2）求证：ADC45 （3）以点 C 为旋转中心，把CDB 逆时针方向旋转 90，画出旋转后的图形 23 （10 分） 如图， 一段长为 45m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园， 墙长为 27m， 设花园的面积为 sm2， 平行于墙的边为 xm若 x 不小于 17m， （1）求出 s 关于 x 的函数关系式； （2）求 s 的最大值与最小值 24 （12 分）已知如图，O 的直径 BC4，点 P 是射线 BD 上的一个动点 （1）如图 1，求 BD 的长； （2）如图 1，若 PB8，连接 PC，求证 PC 为O 的切线； （3）如
8、图 2，连接 AP，点 P 在运动过程中，求 AP+PB 的最小值 25 （14 分）已知直线 l：y1x1，抛物线 c：y2（xh）2+k （1）若 h0，k1，求直线 l 与抛物线 c 的交点坐标； （2）若 k1 时，求当 x（可用含 h 的代数式表示）为何值时，y2y1； （3）若 kh2+1，设直线 l 与 x，y 轴与分别交于点 A，B，抛物线 c 的顶点为 P，当点 A，B，P 三点构 成的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分；每小题只有一个正确的选项分；每小题只有一
9、个正确的选项.） 1下列图形中，是中心对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：第一个图形是中心对称图形； 第二个图形不是中心对称图形； 第三个图形是中心对称图形； 第四个图形不是中心对称图形 故共 2 个中心对称图形 故选：B 2下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） Ax2+3x+20 Bx2+x+20 C （x+1）2+20 D3（x1）220 【分析】根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题 【解答】解：Ax2+3x+20 中3241230，有两个不相等实数根； Bx2+x+20 中124（
10、1）290，有两个不相等实数根； C （x+1）2+20 中2241380，没有实数根； D.3（x1）220 中（6）2431240，有两个不相等实数根； 故选：C 3将二次函数 yx2+2x+3 通过配方可化为 ya（xh）2+k 的形式，结果为（ ） Ay（x+1）2+2 By（x1）2+2 Cy（x+1）22 Dy（x1）22 【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式 【解答】解：yx2+2x+3（x2+2x+1）+2（x+1）2+2， 即 y（x+1）2+2 故选：A 4如图，点 A，B，C 在O 上，ACB38，则AOB 等于（ ） A52 B68 C
11、76 D86 【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案 【解答】解：ACB38， AOB2ACB76 故选：C 5对于二次函数 y（x2）2+3 的图象，下列说法正确的是（ ） A对称轴是 x2 B开口向下 C与 x 轴有两个交点 D顶点坐标是（2，3） 【分析】根据函数的表达式即可求解 【解答】解：A由函数表达式知，抛物线的对称轴为 x2，故 A 错误，不符合题意； Ba10，故抛物线开口向上，故 B 错误，不符合题意； C令 y（x2）2+30，该方程无解，故 C 错误，不符合题意； D抛物线的顶点为（2，3） ，故 D 正确，符合题意， 故选：D 6一件商品的原价是 300 元， 经过两次
12、提价后的价格为 363 元 如果每次提价的百分率都是 x， 根据题意， 下面列出的方程正确的是（ ） A300（12x）363 B300（1+x）363 C300（1x）2363 D300（1+x）2363 【分析】设平均每次提价的百分率为 x，根据原价为 300 元，表示出第一次提价后的价钱为 300（1+x） 元，然后再根据价钱为 300（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为 300（1+x）2元，根据两次提价后的 价钱为 363 元，列出关于 x 的方程 【解答】解：设平均每次提价的百分率为 x， 根据题意得：300（1+x）2363， 故选：D 7如图，AB 是O 的直径，O 为圆心，
13、C 是O 上的点，D 是上的点，若D120，则BOC 的大 小为（ ） A60 B55 C58 D40 【分析】 利用圆内接四边形对角互补可得B 的度数， 然后再判定COB 是等边三角形， 进而可得答案 【解答】解：D120， B60， COBO， COB 是等边三角形， COB60， 故选：A 8 矩形ABCD的一条对角线长为5， 边AB的长是方程x26x+80的一个根， 则矩形ABCD的面积为 （ ） A12 B20 C2 D12 或 2 【分析】根据题意，先求出方程的解，根据勾股定理确定出矩形的边长，再求面积 【解答】解：边 AB 的长是方程 x26x+80 的一个根， x26x+80，
14、 （x2） （x4）0， 解得 x12，x24， 当AB2时， 利用勾股定理可求得相邻的边为， 此时矩形ABCD的面积为22； 当 AB4 时，利用勾股定理可求得相邻的边为3，此时矩形 ABCD 的面积为 3412； 故选：D 9如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 顶点的横、纵坐标都是整数若将ABC 以某点为旋转中心， 旋转得到ABC，则旋转中心的坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （0，0） D （1，2） 【分析】对应点连线的垂直平分线的交点即为所求 【解答】解：如图点 O即为所求O（1，1） 故选：A 10当1k3 时，则直线 yk 与函数 y交点个数有（ ） A1
15、 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】 （1）画出函数 y的图象，根据图象即可求得结论 【解答】解：画出函数 y的图象如图： 由图象可知，直线 yk 与函数 y交点个数有 4 个， 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分分.） 11点 P（1，3）关于原点对称的点的坐标是 （1，3） 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点 P（1，3）关于原点的对称 点的坐标 【解答】解：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， 点 P（1，3）关于原点的对称点的坐标为（1，3） 故答案为： （1，3） 12方程 x（x1）0 的根是
16、x10，x21 【分析】原方程可直接运用因式分解法求解 【解答】解：x（x1）0， x0 或 x10， 解得：x10，x21 故答案为 x10，x21 13若二次函数 y2（x1）2+1 的图象先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到函数的 解析式为 y2（x+1）21 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答 【解答】解：将抛物线 y2（x1）2+1 向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位得到 y2（x1+2） 2+12故得到抛物线的解析式为 y2（x+1）21 故答案为：y2（x+1）21 14已知ACB 中，ACB90，以 AB 为直径作O，则点 C
17、 在O 上 （填内、上或外） 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可得到 OAOBOC，即可证得结论 【解答】解：AB 为直径作O， OAOB， O 是直角三角形斜边 AB 的中点， OAOBOC， 点 C 在O 上， 故答案为：上 15已知抛物线 y（xm）2+n 与 x 轴交于点（1，0） ， （4，0） ，则关于 x 的一元二次方程（xm3）2+n 0 的解是 x14，x27 【分析】将抛物线 y（xm）2+n 向右平移 3 个单位得到 y（xm3）2+n，则平移后的抛物线与 x 轴的交点为（4，0） 、 （7，0） ，即可求解 【解答】解：抛物线 y（xm）2+n 与 x 轴交于点（
18、1，0） ， （4，0） ， 将抛物线 y（xm）2+n 向右平移 3 个单位得到 y（xm3）2+n， 则平移后的抛物线与 x 轴的交点为（4，0） 、 （7，0） ， 故一元二次方程（xm3）2+n0 的解是 x14，x27， 故答案为 x14，x27 16如图，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 F 在边 AC 上，并且 CF1，点 E 为边 BC 上 的动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，连接 BP，则线段 BP 长的最小值是 1 【分析】连接 BF，由勾股定理可求 BF 的长，由折叠的性质可得 CFPF1，可得点 P 在以点 F 为半 径，CF 为
19、半径的圆上，则当点 P 在 BF 的延长线上时，BP 有最小值，即可求解 【解答】解：如图，连接 BF， CF1，BC4， BF， 将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处， CFPF1， 点 P 在以点 F 为半径，CF 为半径的圆上， 当点 P 在 BF 的延长线上时，BP 有最小值， BP 的最小值为1， 故答案为：1 三、解答题（共三、解答题（共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x23x40 【分析】利用因式分解法解方程 【解答】解： （x4） （x+1）0， x40 或 x+10， 所以 x14，x21 18 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+4x+m
20、20 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根 【分析】根据0 时，方程有两个相等的两个实数根列出方程，解方程求出 m，利用因式分解法解方 程求出方程的根 【解答】解：一元二次方程 x2+4x+m20 有两个相等的实数根， b24ac4241（m2）244m0， 解得，m6， x24x+40， （x2）20， x1x22 19 （8 分）已知二次函数 y0.5x2+bx+c 中的 x，y 满足下表： x 2 1 0 1 2 3 4 y 2.5 0 1.5 2 1.5 0 2.5 （1）求这个二次函数的解析式； （2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线； （3）直接写出，当 x 取何值时
21、，y 随 x 的增大而增大 【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式 （2）描点、连线画出图象即可； （3）根据图象即可求得 【解答】解： （1）把点（1，0） ， （0，1.5）分别代入 y0.5x2+bx+c 中，得 ， 解得， 这个二次函数的关系式为：y0.5x2x1.5 （2）描点、连线画出函数图象如图： （3）由图象可知，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 20 （8 分）如图，正方形 OABC 点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30得正方形 OABC，BA与 CB 相交于点 D，连接 OD （1）求证：OADOCD（提示
22、： “HL” ） ； （2）若 OD4，求正方形 OABC 的边长 【分析】 （1）利用 JL 证明三角形全等即可 （2）证明COD30，利用直角三角形 30 度角的性质求出 CD，再利用勾股定理求出 OC 即可 【解答】 （1）证明：四边形 OABC 是正方形， OAOC，OCD90， OAOA， OCOA， OCDA90，ODOD， RtOADRtOCD（HL） （2）解：AOA30，AOC90， COA60， RtOADRtOCD（HL） ， AODCOD30， OD4， CDOD2， OC2， 正方形 OABC 的边长为 2 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，
23、半径 ODAC，DEAB 于点 E，交弦 AC 于点 F， 连接 BD，AD， （1）若ABD25，求DAC 的度数（提示：半径 ODAC，可根据垂径定理解题） ； （2）求证：DFAF 【分析】 （1）利用圆周角定理可得ADB90，然后再计算出DAO 的度数，再利用直角三角形的性 质可得答案； （2）利用直角三角形的性质推出DACADE，然后再利用等角对等边可得结论 【解答】 （1）解：AB 是O 的直径， ADB90， ABD25， DAB65，DOA50， ODAC， EAF40， DAC654025； （2）证明：DEAB 于点 E， DEO90， EDB+B90， ADB90， AD
24、E+BDE90， BADE， ODAC， ， BDAC， DACADE， AFDF 22 （10 分）已知：如图，在ACB 中，ACB90，ACBC，直线 l 经过点 A，BDl 于点 D，连接 CD （1）证明 A，C，B，D 四个点在同一个圆上并画出圆（提示：取 AB 中点 O） ； （2）求证：ADC45 （3）以点 C 为旋转中心，把CDB 逆时针方向旋转 90，画出旋转后的图形 【分析】 （1）取 AB 的中点 O，连接 OC，OD，只要证明 OAOBODOC 即可； （2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可证得结论； （3）利用旋转的性质得出得出对应点位置进而得出答案 【解答】
25、（1）证明：取 AB 的中点 O，连接 OD，OC ACBADB90，OBOA， OAOBODOC， A，B，C，D 四个点在同一个圆上； （2）证明：在ACB 中，ACB90，ACBC， ABC45， ADCABC45； （3）如图所示：ACD，即为所求 23 （10 分） 如图， 一段长为 45m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园， 墙长为 27m， 设花园的面积为 sm2， 平行于墙的边为 xm若 x 不小于 17m， （1）求出 s 关于 x 的函数关系式； （2）求 s 的最大值与最小值 【分析】 （1）由于平行于墙的边为 xm，则垂直于墙的一面长为（45x）m，由面积公式写出 S
26、与 x 的 函数关系式，进而求出 x 的取值范围； （2）根据二次函数的性质，即可求得当 x 取何值时，这个花园的面积有最大值，最大值是多少，根据|27 |17|，得到 x17 时，S 最小，把 x17 代入解析式求出最小值 【解答】解： （1）平行于墙的边为 xm，矩形菜园的面积为 ym2 则垂直于墙的一面长为（45x）m， 根据题意得：Sx（45x）x2+x（17x27） ； （2）Sx2+x（x245）（x）2+（17x27） ， 17x27，a0， 当 xm 时，S 取得最大值，此时 Sm2， |27|17|， x17m 时，S 取得最小值，此时 Sm2， 答：s 的最大值是m2，最小
27、值是m2 24 （12 分）已知如图，O 的直径 BC4，点 P 是射线 BD 上的一个动点 （1）如图 1，求 BD 的长； （2）如图 1，若 PB8，连接 PC，求证 PC 为O 的切线； （3）如图 2，连接 AP，点 P 在运动过程中，求 AP+PB 的最小值 【分析】 （1）在 RtBOH 中，BHBOcosDBC23，则 BD2BH6； （2）证明 PB2CB2+PC2，即可求解； （3）过点 A 作 AHBC 交 BD 于点 P，则点 P 为所求点，进而求解 【解答】解： （1）BC 是直径，则、均为 60的弧， 则DBC30，连接 OA 交 BD 于点 H， BC4，则 BO
28、CO2， 在 RtBOH 中，BHBOcosDBC23， 则 BD2BH6； （2）在 RtBCD 中，BC4，DBC30，则 CDCB2， PDPBBD862， 在 RtCDP 中，PC2CD2+PD24+（2）216， 在BCP 中，BC2（4）248，BP264， 则 PB2CB2+PC2， 故BPC 为直角三角形，故 PCCB， 故 PC 为O 的切线； （3）过点 A 作 AHBC 交 BD 于点 P， 在 RtPBH 中，DBC30，则 PHPB， 即 AP+PBAP+PHAH 为最小， 、均为 60的弧，则ABO60， 而 AOBO， 故ABO 为边长为 2的等边三角形， 则 A
29、HABsin6023， 即 AP+PB 的最小值为 3 25 （14 分）已知直线 l：y1x1，抛物线 c：y2（xh）2+k （1）若 h0，k1，求直线 l 与抛物线 c 的交点坐标； （2）若 k1 时，求当 x（可用含 h 的代数式表示）为何值时，y2y1； （3）若 kh2+1，设直线 l 与 x，y 轴与分别交于点 A，B，抛物线 c 的顶点为 P，当点 A，B，P 三点构 成的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）若 h0，k1，则 y2x21，联立两个函数表达式并整理得 x2x0，即可求解； （2）联立 y1x1 和 y2（xh）21 并整理得：x2
30、（2h+1）x+h20，解得 x， 由抛物线的表达式知，抛物线开口向上，即可求解； （3）由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标 P（h，h2+1） ，即点 P 在抛物线 yx2+1 上，如下图，画 出过点 AB 的圆和抛物线的图象，利用数形结合的方法即可求解 【解答】解： （1）若 h0，k1，则 y2x21 联立两个函数表达式并整理得：x2x0，解得 x0 或 1， 故交点坐标为（0，1）和（1，0） ； （2）联立 y1x1 和 y2（xh）21 并整理得：x2（2h+1）x+h20， 解得 x， 由抛物线的表达式知，抛物线开口向上， 则当 x或 x时，y2y1； （3）由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为 P（h，h2+1） ， 即点 P 在抛物线 yx2+1 上， 如下图，画出过点 A、B、O 的圆和抛物线的图象， 当PAB 为直角时， 从图象看，点 P 的坐标为（0，1） ； 当ABP 为直角时， 从图象看，直线 PB 不可能与 yx2+1 相交，故点 P不存在； 当ABP为直角时， 则 ABOP四点共圆， 则点 P是抛物线与圆的交点， 从图象看，抛物线和圆不可能相交，故点 P不存在， 故点 P 的坐标为（0，1）