1、2021 中考数学专题训练：圆的有关性质中考数学专题训练：圆的有关性质 一、选择题一、选择题 1. 如图， 线段 AB 经过O 的圆心， AC， BD 分别与O 相切于点 C， D.若 AC=BD=4， A=45 ， 则圆弧 CD 的长度为 ( ) A. B.2 C.22 D.4 2. 如图，在O 中，若 C 是AB 的中点，A50 ，则BOC 的度数是( ) A40 B45 C50 D60 3. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为 5 的圆内有一点 P(0，3)，那么经过点 P 的所有弦中，最短的弦的长为( ) A4 B5 C8 D10 4. 如图，AB 是O 的直径，点 C，D，E
2、 在O 上若AED20 ，则BCD 的度数为( ) A100 B110 C115 D120 5. 如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E.若 AB8，AE1，则弦 CD 的长是( ) A. 7 B2 7 C6 D8 6. 在O 中，M 为AB 的中点，则下列结论正确的是( ) AAB2AM BAB2AM CAB2AM DAB 与 2AM 的大小关系不能确定 7. 如图，将半径为 6 的O 沿 AB 折叠，AB 与垂直于 AB 的半径 OC 交于点 D，且 CD2OD， 则折痕 AB 的长为( ) A4 2 B8 2 C6 D6 3 8. 如图， 在O 内有折线 OABC， 其中 OA
3、8， AB12， AB60 ， 则 BC 的长为( ) A19 B16 C18 D20 9. 如图，等边三角形 ABC 的边长为 8，以 BC 上一点 O 为圆心的圆分别与边 AB，AC 相切， 则O 的半径为( ) A2 3 B3 C4 D4 3 10. (2019仙桃)如图，AB 为的直径，BC 为的切线，弦 ADOC，直线 CD 交的 BA 延长线于点 E，连接 BD下列结论：CD 是的切线； 其中正确结论的个数有 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题二、填空题 11. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为 100 cm，下雨前水面宽为 60 cm，一场大雨过后， 水面宽为
4、 80 cm，则水位上升了 cm. 12. 如图 0，A，B 是O 上的两点，AB10，P 是O 上的动点(点 P 与 A，B 两点不重合)， 连接 AP，PB，过点 O 分别作 OEAP 于点 E，OFPB 于点 F，则 EF_ OO OCODB EDAEBD ED BCBO BE 13. 如图， 在 ABC 中， ABAC10， 以 AB 为直径的O 与 BC 交于点 D， 与 AC 交于点 E， 连接 OD，BE，它们交于点 M，且 MD2，则 BE 的长为_. 14. 如图，AB，CD 是半径为 5 的O 的两条弦，AB8，CD6，MN 是O 的直径，AB MN 于点 E，CDMN 于
5、点 F，P 为 EF 上的任意一点，则 PAPC 的最小值为_ 15. 在 Rt ABC 中，C90 ，BC3，AC4，点 P 在以点 C 为圆心，5 为半径的圆上，连 接 PA，PB.若 PB4，则 PA 的长为_ 三、解答题三、解答题 16. 如图，在ABC中，以AB为直径的O分别与BC，AC相交于点D，E，BDCD，过点D作 O的切线交边AC于点F. (1)求证：DFAC； (2)若O的半径为5，CDF30 ，求BD 的长(结果保留) 17. 如图，O的直径AB4，C为O上一点，AC2.过点C作O的切线DC，P点为优弧CBA 上一动点(不与A、C重合) (1)求APC与ACD的度数； (
6、2)当点P移动到劣弧CB 的中点时，求证：四边形OBPC是菱形； (3)当PC为O的直径时，求证：APC与ABC全等 18. 已知平面直角坐标系中两定点 A(1, 0)、B(4, 0)，抛物线 yax2bx2（a0）过点 A、 B，顶点为 C，点 P(m, n)（n0）为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）当APB 为钝角时，求 m 的取值范围； （3）若 m 3 2 ，当APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t（0t 5 2 ）个单位，点 C、 P 平移后对应的点分别记为 C、P，是否存在 t，使得顺次首尾连接 A、B、P、C所构成的多 边形的周长最短？若存
7、在，求 t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由 答案答案 一、选择题一、选择题 1. 【答案】【答案】B 解析连接 CO，DO，因为 AC，BD 分别与O 相切于 C，D， 所以ACO=BDO=90 ，所以AOC=A=45 ，所以 CO=AC=4， 因为 AC=BD，CO=DO，所以 OD=BD，所以DOB=B=45 ， 所以DOC=180 -DOB-AOC=180 -45 -45 =90 ，=2，故选 B. 2. 【答案】【答案】A 解析 A50 ，OAOB， BA50 ， AOB180 50 50 80 . C 是AB 的中点， BOC1 2AOB40 . 故选 A. 3.
8、【答案】【答案】C 解析 过点 P 作弦 ABOP，连接 OB，如图 则 PBAP，AB2BP2 OB2OP2. 再过点 P 任作一条弦 MN，过点 O 作 OGMN 于点 G，连接 ON. 则 MN2GN2 ON2OG2. OPOG，OBON，MNAB， AB 是O 中的过点 P 最短的弦 在 RtOPB 中，PO3，OB5，由勾股定理，得 PB4，则 AB2PB8. 4. 【答案】【答案】B 解析 连接 AC.AB 为O 的直径，ACB90 .AED20 ，ACD 20 ，BCDACBACD110 .故选 B. 5. 【答案】【答案】B 解析 连接 OC， 则 OC4， OE3.在 Rt
9、OCE 中， CE OC2OE24232 7.因为 ABCD，所以 CD2CE2 7. 6. 【答案】【答案】C 解析 如图，M 为AB 的中点，AMBM. AMBMAB， AB2AM.故选 C. 7. 【答案】【答案】B 解析 如图，延长 CO 交 AB 于点 E，连接 OB.CEAB，AB2BE.OC 6，CD2OD，CD4，OD2，OB6.由折叠的性质可得 DE1 2 (6 24)4， OEDEOD422.在 RtOEB 中，BE OB2OE262224 2， AB8 2.故选 B. 8. 【答案】【答案】D 解析 如图，延长 AO 交 BC 于点 D，过点 O 作 OEBC 于点 E.
10、AB 60 ，DAB 是等边三角形，ADDBAB12，ADBA60 ， ODADOA1284.在Rt ODE中， DOE90 ADB30 ， DE1 2OD2， BEDBDE12210.由垂径定理，知 BC2BE20. 9. 【答案】【答案】A 解析 如图，设O 与 AC 的切点为 E， 连接 AO，OE. 等边三角形 ABC 的边长为 8， AC8，CBAC60 . O 分别与边 AB，AC 相切， OEC90 ，BAOCAO1 2BAC30 ， AOC90 ，OC1 2AC4. 在 Rt OCE 中，OEC90 ，C60 ， COE30 ，CE1 2OC2，OE2 3， O 的半径为 2
11、3. 10. 【答案】【答案】A 【解析】如图，连接 为的直径，为的切线， ， 又， 在和中， 又点在上，是的切线，故正确， ， ，垂直平分，即，故正确； 为的直径，为的切线， ， ， ，故正确； ， ， ，故正确，故选 A DO ABOBCO90CBO AD OCDAOCOBADOCOD OAODDAOADOCODCOB CODCOB COCO CODCOB ODOB CODCOB90CDOCBO DOCDO CODCOBCDCB ODOBCODBCODB ABODCO90EDOADB 90EDAADOBDOADOADEBDO ODOBODBOBDEDADBE EE EDAEBD 90EDO
12、EBCEE EODECB EDOD BEBC ODOB ED BCBO BE 二、填空题二、填空题 11. 【答案】【答案】10 或 70 解析作 ODAB 于 C，OD 交O 于点 D，连接 OB. 由垂径定理得:BC=1 2AB=30 cm. 在 Rt OBC 中，OC=2-2=40(cm). 当水位上升到圆心以下且水面宽 80 cm 时， 圆心到水面距离=502-402=30(cm)， 水面上升的高度为:40-30=10(cm). 当水位上升到圆心以上且水面宽 80 cm 时，水面上升的高度为:40+30=70(cm). 综上可得，水面上升的高度为 10 cm 或 70 cm. 故答案为
13、 10 或 70. 12. 【答案】【答案】5 解析 OE 过圆心且与 PA 垂直， PEEA. 同理 PFFB，EF 是 PAB 的中位线， EF1 2AB5. 13. 【答案】【答案】8 解析 连接 AD，如图所示 以 AB 为直径的O 与 BC 交于点 D，与 AC 交于点 E， AEBADB90 ，即 ADBC. 又ABAC， BDCD. 又OAOB，ODAC， ODBE，BMEM， CE2MD4， AEACCE6， BE AB2AE2 102628. 14. 【答案】【答案】7 2 解析 如图，连接 OB，OC，BC，则 BC 的长即为 PAPC 的最小值过点 C 作 CHAB 于点
14、 H，则四边形 EFCH 为矩形， CHEF，EHCF.根据垂径定理，得 BE1 2AB4，CF 1 2CD3， OE OB2BE2 52423，OFOC2CF2 52324， CHEFOEOF347，BHBEEHBECF437. 在 RtBCH 中，由勾股定理，得 BC7 2，则 PAPC 的最小值为 7 2. 15. 【答案】【答案】3 或 73 解析 如图，连接 CP，PB 的延长线交C 于点 P. PC5，BC3，PB4， BC2PB2PC2， CPB 为直角三角形，且CBP90 ， 即 CBPB，PBPB4. ACB90 ，PBAC. 又PBAC4， 四边形 ACBP 为平行四边形
15、又ACB90 ，ACBP 为矩形， PABC3. 在 Rt APP中，PA3，PP8， PA 8232 73. 综上所述，PA 的长为 3 或 73. 三、解答题三、解答题 16. 【答案】【答案】 (1)证明：如解图，连接OD，(1分) DF是O的切线，D为切点， 解图 ODDF， ODF90 ，(2分) BDCD，OAOB， OD是ABC的中位线，(3分) ODAC， CFDODF90 ， DFAC.(4分) (2)解：CDF30 ， 由(1)得ODF90 ， ODB180 CDFODF60 ， OBOD， OBD是等边三角形，(7分) BOD60 ， lBD nR 180 60 5 18
16、0 5 3.(8分) 17. 【答案】【答案】 (1)解：解：AC2，OAOBOC1 2AB2， ACOAOC， ACO为等边三角形， AOCACOOAC60 ， APC1 2AOC30 ， 又DC与O相切于点C， OCDC， DCO90 ， ACDDCOACO90 60 30 ； 解图 (2)证明：证明：如解图，连接PB，OP， AB为直径，AOC60 ， COB120 ， 当点P移动到CB 的中点时，COPPOB60 ， COP和BOP都为等边三角形， OCCPOBPB， 四边形OBPC为菱形； (3)证明：证明：CP与AB都为O的直径， CAPACB90 ， 在Rt ABC与Rt CPA
17、中， ABCP ACAC， Rt ABCRt CPA(HL) 18. 【答案】【答案】 （1）因为抛物线 yax2bx2 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(4, 0)两点， 所以 ya(x1)(x4)ax23ax4a 所以4a2，b3a所以 1 2 a ， 3 2 b 所以 22 131325 2() 22228 yxxx。 顶点为 325 ( ,) 28 C （2）如图 1，设抛物线与 y 轴的交点为 D 图 1 由 A(1, 0)、B(4, 0)、D(0,2)，可知 OAOD ODOB 所以AODDOB因此ADODBO 由于DBO 与BDO 互余，所以ADO 与BDO 也互余 于是可得A
18、DB90因此以 AB 为直径的圆经过点 D 当点 P 在 x 轴下方圆的内部时，APB 为钝角，此时1m0，或 3m4 （3）若 m 3 2 ，当APB 为直角时，点 P 与点 D 关于抛物线的对称轴对称，因此点 P 的坐标 为(3,2) 如图 2，由于点 A、B、P、C 是确定的，BB、PC、PC 平行且相等，所以 A、B、P、C四点 所构成的四边形中，AB 和 PC的长是确定的 如图 3，以 PC、PB 为邻边构造平行四边形 CPBB，以直线 25 8 y 为对称轴作点 B的对称 点 B，联结 AB，那么 ACPB 的长最小值就是线段 AB。 如图 4，线段 AB与直线 25 8 y 的交
19、点，就是四边形周长最小时点 C的位置 如图 2，点 P(3,2)先向左平移 3 2 个单位，再向下平移 9 8 个单位得到点 325 ( ,) 28 C， 如图 3，点 B(4, 0) 先向左平移 3 2 个单位，再向下平移 9 8 个单位得到点 59 ( ,) 28 B 所以点 B的坐标为 541 ( ,) 28 如图 4，由 AEAF C EB F ，得 2541 88 5 1 1 2 C x 解得 93 82 C x 由于 39315 28241 ，所以抛物线向左平移了 15 41 个单位 图 2 图 3 图 4 第（2）题不可回避要证明ADB90，也可以根据勾股定理的逆定理证明 由 A(1, 0)、B(4, 0)、D(0,2)，得 AB225，AD25， BD220 所以 AB2AD2BD2所以ADB90 第（3）题的运算量实在是太大了，很容易折磨同学们的自信 求点 B的坐标，我们用了坐标平移的方法，比较简便 求点 C的坐标，我们用了相似比的方法，回避了待定系数法更为繁琐的计算过程