1、2021 中考数学专题训练中考数学专题训练：锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道小题） 1. 如图，在 ABC 中，CA=CB=4，cosC=1 4，则 sinB 的值为 ( ) A.10 2 B.15 3 C. 6 4 D.10 4 2. 如图，平面直角坐标系中，P 经过三点 A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点 D 是P 上的一 动点，当点 D 到弦 OB 的距离最大时，tanBOD 的值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3. (2019山东威海)如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点已知
2、坡角 为20，山高BC=2千米用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是 A B C D 4. (2019湖南长沙3 分)如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60方向，距离灯塔 60nmile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45方向上的 B 处， 这时轮船 B 与小岛 A 的距离是 A303nmile B60nmile C120nmile D(30+303)nmile 5. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公大楼顶端 A 测得旗杆 顶端 E 的俯角 是 45 ，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC
3、是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12米， 梯坎坡度i1 3， 则大楼AB的高度约为(精确到0.1米， 参考数据： 21.41， 31.73， 62.45)( ) A. 30.6 B. 32.1 C. 37.9 D. 39.4 6. （2020 咸宁）如图，在矩形ABCD中，2AB ， 2 5BC ，E是BC的中点，将ABE沿 直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则cos ECF的值为（ ） A. 2 3 B. 10 4 C. 5 3 D. 2 5 5 7. (2019江苏苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教 学楼水平距离为18 3m的地面上， 若测角
4、仪的高度为1.5 m， 测得教学楼的顶部A处的仰角为30o， 则教学楼的高度是 A55.5m B54m C19.5m D18m 8. 如图，在 ABC 中，ABAC，BC12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D.设 BDx，tanACBy，则( ) A. xy23 B. 2xy29 C. 3xy215 D. 4xy221 9. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆 PA 的高度与拉绳 PB 的长 度相等，小明将 PB 拉到 PB的位置，测得PBC(BC 为水平线)，测角仪 BD 的高度为 1 米，则旗杆 PA 的高度为( ) A. 1 1si
5、n B. 1 1sin C. 1 1cos D. 1 1cos 10. (2019浙江温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆 AB 的 长为 30 C D A B A 9 5sin 米 B 9 5cos 米 C 5 9sin 米 D 5 9cos 米 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题）道小题） 11. 已知 ，均为锐角，且满足|sin1 2| （tan1）20，则_ 12. 如图是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图所示的几何图形，已知 BCBD15 cm， CBD40 ， 则点B到CD的距离为_cm(参考数据： sin200.342，
6、 cos200.940，sin400.643，cos400.766.结果精确到 0.1 cm，可用科学计算器) 13. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯 A 射出的边缘光线 AB，AC 与地 面 MN 所夹的锐角分别为 8 和 10 ，大灯 A 与地面的距离为 1 m，则该车大灯照亮的宽度 BC 是_m(不考虑其他因素，参考数据：sin8 4 25，tan8 1 7，sin10 9 10，tan10 5 28) 14. 如图， 航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30 ， 测得底部 C 的俯角为 60 ， 此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 90
7、米，那么该建筑物的高度 BC 约为_ 米(精确到 1 米，参考数据： 31.73) 15. (2019浙江宁波)如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 A 处有一 艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60 方向的 B 处，则此时这艘船与哨所 的距离 OB 约为_米(精确到 1 米，参考数据： 2 1.414，3 1.732) 16. （2020 杭州）如图，已知AB是 O 的直径，BC与 O 相切于点B，连接AC，OC若 1 sin 3 BAC ，则tan BOC_ 17. (2019 浙江舟山)如图， 在ABC中， 若A=45 ， AC2BC2 5 5
8、 AB2， 则tanC=_ 18. （2020 苏州）如图，已知MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别 交OM、ON于点A、B， 再分别以点A、B为圆心， 大于 1 2 AB长为半径画弧， 两弧交于点C， 画射线OC.过点A作ADON，交射线OC于点D，过点D作DEOC，交ON于点E.设 10OA，12DE ，则sinMON_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 19. 如图， 在 Rt ABC 中， ACB=90 ， AC=BC=3， 点 D 在边 AC 上， 且 AD=2CD， DEAB， 垂足为点 E，连接 CE，求: (1)线段 BE 的长
9、; (2)ECB 的正切值. C B O A 20. 如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度AOB 为 40 时，车门是否会撞到 墙？请说明理由(参考数据：sin400.64；cos400.77；tan400.54) 21. 如图，在 Rt ABC 中，C=90 ，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G. (1)求证:BC 是O 的切线; (2)设 AB=x，AF=y，试用含
10、 x，y 的代数式表示线段 AD 的长; (3)若 BE=8，sinB= 5 13，求 DG 的长. 22. 如图，O 是 ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是 AC 中点，直线 OD 与O 相交于 E，F 两点，P 是O 外一点，且 P 在直线 OD 上，连接 PA，PC，AF，满足PCA=ABC. (1)求证:PA 是O 的切线; (2)证明:EF2=4OD OP; (3)若 BC=8，tanAFP=2 3，求 DE 的长. 23. (2019湖南常德)图 1 是一种淋浴喷头，图 2 是图 1 的示意图，若用支架把喷头固定在点 A 处，手柄长 AB=25cm，AB 与墙壁 DD的夹角DA
11、B=37，喷出的水流 BC 与 AB 形成的夹角 ABC=72 ， 现在住户要求： 当人站在E处淋浴时， 水流正好喷洒在人体的C处， 且使DE=50cm， CE=130cm问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(参考数据：sin370.60， cos370.80，tan370.75，sin720.95，cos720.31，tan723.08，sin350.57，cos350.82， tan350.70) 24. 如图，AB 为O 的直径，P 点为半径 OA 上异于点 O 和点 A 的一个点，过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD，连接 AD，作 BEAB，OE/AD 交 BE 于 E
12、点，连接 AE、DE，AE 交 CD 于 点 F. (1)求证：DE 为O 的切线； (2)若O 的半径为 3，sinADP1 3，求 AD； (3)请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明 答案答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道小题） 1. 【答案】【答案】D 解析过点 A 作 ADBC 于点 D， cosC=1 4，AC=4，CD=1， BD=3，AD=42-12=15. 在 Rt ABD 中，AB=(15)2+ 32=26， sinB= = 15 26= 10 4 ，故选 D. 2. 【答案】【答案】B 解析如图所示，当点 D 到弦 OB 的距离最大时
13、，DEOB 于 E 点，且 D，E，P 三点共线.连接 AB，由题意可知 AB 为P 的直径，A(8，0)，OA=8，B(0，6)，OB=6， OE=BE=1 2OB=3，在 Rt AOB 中，AB= 2 + 2=10，BP=1 2AB= 1 2 10=5，在 Rt PEB 中，PE=2-2=4， DE=EP+DP=4+5=9，tanDOB= = 9 3=3，故选 B. 3. 【答案】【答案】A 【解析】 在ABC中， sinA=sin20= BC AB ， AB= sin20 BC = 2 sin20 ， 按键顺序为： 2sin20=， 故选 A 4. 【答案】【答案】D 【解析】过 C 作
14、 CDAB 于 D 点，ACD=30，BCD=45，AC=60 在 RtACD 中，cosACD= CD AC ，CD=ACcosACD=60 3 2 =303 在 RtDCB 中，BCD=B=45，CD=BD=303，AB=AD+BD=30+30 3 所以此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是(30+303)nmile故选 D 5. 【答案】【答案】D 【解析】如解图，设 AB 与 DC 的延长线交于点 G，过点 E 作 EFAB 于点 F， 过点 B 作 BHED 于点 H， 则可得四边形 GDEF 为矩形 在 RtBCG 中， BC12， iBCBG CG 3 3 ，BCG30 ，B
15、G6，CG6 3，BFFGBGDEBG1569， AEF45 ， AFEFDGCGCD6 320， ABBFAF9206 339.4(米) 6. 【答案】【答案】C 【解析】本题考查了余弦的定义、等腰三角形的性质上、矩形的性质和折叠的性质，由折叠可 得：AB=AF=2，BE=EF，AEB=AEF，点E是BC中点，2 5BC ，BE=CE=EF=5， EFC=ECF，AE= 2 2 253，BEF=AEB+AEF=EFC+ECF，ECF= AEB，cos ECF=cos AEB= 5 3 BE AE ，因此本题选C 7. 【答案】【答案】C 【解析】过D作DEAB交AB于E，18 3DEBC，在
16、RtADE中，tan30 AE DE o ， 3 18 318(m) 3 AE， 18 1.519.5(m)AB ，故选 C 8. 【答案】【答案】B 【解析】 连接 DE， 过点 A 作 AFBC， 垂足为 F， 过 E 作 EGBC， 垂足为 G.AB AC，AFBC，BC12，BFFC6，又E 是 AC 的中点，EGBC，EGAF，CG FG1 2CF3，在 Rt CEG 中，tanC EG CG，EGCG tanC3y；DGBFFGBD 63x9x，HD 是 BE 的垂直平分线，BDDEx，在 Rt EGD 中，由勾股定 理得，ED2DG2EG2，x2(9x)2(3y)2，化简整理得，
17、2xy29. 9. 【答案】【答案】A 【解析】在 RtPCB中，sinPC PB，PCPBsin，又BDAC1， 则 PBsin1PA，而 PBPA，PA 1 1sin. 10. 【答案】【答案】B 【解析】如图，作 ADBC 于点 D，则 BD 3 2 0.3 9 5 ， cos BD AB ，cos 9 5 AB ，解得 AB 9 5cos 米， 故选 B 30 C D A B E 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题）道小题） 11. 【答案】【答案】75 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于 是它们都为零根据题意，得|sin1 2|0，
18、（tan1）20，则 sin 1 2，tan 1， 又因为 、 均为锐角，则 30 ，45 ，所以 30 45 75 . 12. 【答案】【答案】14.1 【解析】如解图 ，过点 B 作 BECD 于点 E，BCBD15 cm，CBD 40 ，CBE20 ，在 RtCBE 中，BEBC cosCBE150.94014.1(cm) 13. 【答案】【答案】1.4 【解析】如解图，作 ADMN 于点 D，由题意得，AD1 m，ABD8 ， ACD10 ， ADCADB90 ， BD AD tan8 1 1 7 7 m， CD AD tan10 1 5 28 28 5 5.6 m， BCBDCD75
19、.61.4 m. 14. 【答案】【答案】208 【解析】在 RtABD 中，BDAD tanBAD90 tan3030 3，在 Rt ACD 中，CDAD tanCAD90 tan6090 3，BCBDCD30 390 3120 3 208(米) 15. 【答案】【答案】567 【解析】如图，设线段 AB 交 y 轴于 C， 在直角OAC 中，ACO=CAO=45 ，则 AC=OC OA=400 米，OC=OAcos45 =400 2 2 2002(米) 在直角OBC 中，COB=60 ，OC=200 2米， 200 2 1 cos60 2 OC OB 400 2 567(米) 故答案为：5
20、67 16. 【答案】【答案】 2 2 【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与O相切于点B，所以AB BC，所以ABC90 在RtABC中，因为sinBAC 1 3 ，所以 BC AC 1 3 设BCx，则 AC3x在RtABC中，由勾股定理得直径AB 22 ACBC 22 (3 ) xx2 2x，所以半径 OB2x在RtOBC中，tanBOC BC OB 2 x x 2 2 ，因此本题答案为 2 2 17. 【答案】【答案】 5 【解析】如图，过 B 作 BDAC 于 D， A=45 ，ABD=A=45 ，AD=BD ADB=CDB=90 ，AB2=AD2+DB2=2B
21、D2，BC2=DC2+BD2， AC2BC2=(AD+DC)2(DC2+BD2) =AD2+DC2+2ADDCDC2BD2 =2ADDC =2BDDC， AC2BC2 5 5 AB2，2BDDC 5 5 2BD2， DC 5 5 BD， tan5 5 5 BDBD C DC BD 故答案为:5 18. 【答案】【答案】【答案】 24 25 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 19. 【答案】【答案】 解:(1)AD=2CD，AC=3，AD=2， 在 Rt ABC 中，ACB=90 ，AC=BC=3， A=B=45 ，AB=2+ 2=32+ 32=32， DEAB，A
22、ED=90 ， AE=AD cos45 =2 2 2 =2， BE=AB-AE=32 2=22， 即线段 BE 的长为 22. (2)过点 E 作 EHBC，垂足为点 H，如图所示. 在 Rt BEH 中， EHB=90 ，B=45 ， EH=BH=BE cos45 =22 2 2 =2， BC=3，CH=1， 在 Rt CHE 中，tanECB= =2， 即ECB 的正切值为 2. 20. 【答案】【答案】 【思路分析】本题是一道锐角三角形函数的实际应用问题，关键是从实际问题抽象出数学模 型本题车门是否会碰到墙？实际上就是求点 A 到直线 OB 的距离，所以过点 A 作 ACOB 于点 C，
23、在 Rt AOC 中，利用锐角三角函数关系，可求得 AC 的长，与 0.8 米比较就可得出结 论 解图 解：如解图，过点 A 作 OB 的垂线，垂足为 C，在 Rt AOC 中，sinAOCAC AO，(3 分) ACAO sin40 1.2 0.640.768. 0.7680.8， 车门不会碰到墙(8 分) 21. 【答案】【答案】 解析(1)连接 OD，根据同圆半径相等及角平分线条件得到DAC=ODA，得 ODAC，切 线得证;(2)连接 EF，DF，根据直径所对圆周角为直角，证明AFE=90 ，可得 EFBC，因此 B=AEF，再利用同弧所对圆周角相等可得B=ADF，从而证明 ABDAD
24、F，可得 AD 与 AB，AF 的关系;(3)根据AEF=B，利用三角函数，分别在 Rt DOB 和 Rt AFE 中求 出半径和 AF，代入(2)的结论中，求出 AD，再利用两角对应相等，证明 OGDFGA，再 利用对应边成比例，求出 DGAG 的值，即可求得 DG 的长. 解:(1)证明:连接 OD， OA=OD， OAD=ODA， AD 平分BAC， OAD=DAC， DAC=ODA， ODAC， ODB=C=90 ，ODBC. OD 为O 的半径，BC 是O 的切线. (2)连接 EF，DF.AE 为O 的直径， AFE=90 ，AFE=C=90 ， EFBC，B=AEF. ADF=A
25、EF，B=ADF. 又OAD=DAC， ABDADF， = ，AD 2=AB AF，AD=. (3)设O 半径为 r， 在 Rt DOB 中，sinB= = 5 13， :8= 5 13，解得 r=5，AE=10. 在 Rt AFE 中，sinAEF=sinB= ， AF=105 13= 50 13， AD=18 50 13= 3013 13 . ODA=DAC，DGO=AGF， OGDFGA， = = 13 10， -= 13 10， DG=30 23 13. 22. 【答案】【答案】 解:(1)因为点 D 是 AC 中点，所以 ODAC，所以 PA=PC，所以PCA=PAC，因为 AB 是
26、 O 的直径， 所以ACB=90 ，所以ABC+BAC=90 ， 因为PCA=ABC，所以PAC=ABC， 所以PAC+BAC=90 ，所以 PAAB，所以 PA 是O 的切线. (2)因为PAO=ADO=90 ，AOD=POA，所以 PAOADO，所以 = ， 所以 AO2=OD OP， 所以 EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD OP. (3)因为 tanAFP=2 3，所以设 AD=2x， 则 FD=3x， 连接 AE，易证 ADEFDA， 所以 = = 2 3， 所以 ED=2 3AD= 4 3x， 所以 EF=13 3 x，EO=13 6 x，DO=5 6x， 在 ABC
27、中，DO 为中位线， 所以 DO=1 2BC=4， 所以5 6x=4，x= 24 5 ，所以 ED=4 3x= 32 5 . 23. 【答案】【答案】 过点 B 作 BGDD 于点 G，延长 EC、GB 交于点 F， AB=25，DE=50，sin37 = GB AB ，cos37 = GA AB ， GB250.60=15，GA250.80=20，BF=5015=35， ABC=72 ，DAB=37，GBA=53 ， CBF=55 ，BCF=35 ， tan35 = BF CF ，CF 35 0.70 =50，FE=50+130=180， GD=FE=180，AD=18020=160， 安装
28、师傅应将支架固定在离地面 160cm 的位置 24. 【答案】【答案】 (1)证明：如解图，连接 OD， OAOD， OADODA， OEAD， OADBOE，DOEODA， BOEDOE， 在 BOE 和 DOE 中， OBOD BOEDOE OEOE ， BOEDOE(SAS)， ODEOBE， BEAB， OBE90 ， ODE90 ， OD 为O 的半径， DE 为O 的切线； (2)解：如解图，连接 BD， AB 为O 的直径， ADB90 ， ABDBAD90 ， ABCD， ADPBAD90 ， ABDADP， sinABDAD ABsinADP 1 3， O 的半径为 3， AB=6， AD1 3AB2； 解图 (3)解：猜想 PFFD， 证明：CDAB，BEAB， CDBE， APFABE， PF BE AP AB， PFAP BE AB ， 在 APD 和 OBE 中， APDOBE PADBOE ， APDOBE， PD BE AP OB， PDAP BE OB ， AB2OB， PF1 2PD， PFFD.