1、20212021 年中考数学一轮专题训练：菱形性质与判定综合（二）年中考数学一轮专题训练：菱形性质与判定综合（二） 1如图，在ABCD中，点E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD （1）求证：ADECBF； （2）若ADB90，求证：四边形BFDE为菱形 2如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EFAC，EF与AB的延长线交于点E，与CD 的延长线交于点F 求证：四边形AECF是菱形 3如图，在ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AECG，AHCF （1）求证：AEHCGF； （2）若EG平分HEF，求证：四边形EFGH是菱形 4如图，
2、在ABC中，ABC90，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF2DE （1）求证：四边形BCFE是平行四边形； （2）当ACB60时，求证：四边形BCFE是菱形 5如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F连接AF， CE，EF平分AEC （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若DAC60，AC2，求四边形AFCE的面积 6如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平 行四边形ECFG，如图 1 所示 （1）证明平行四边形ECFG是菱形； （2）若ABC120，连结BG、C
3、G、DG，如图 2 所示， 求证：DGCBGE； 求BDG的度数； （3）若ABC90，AB8，AD14，M是EF的中点，如图 3 所示，求DM的长 7如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，过点D作EDAC，两线相交于 点E （1）求证：四边形AODE是菱形； （2）连接BE，交AC于点F若BEED于点E，求AOD的度数 8如图，四边形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由 9如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，若AB5，AC8，BD6
4、 （1）求证：平行四边形ABCD是菱形 （2）四边形ABCD的面积 10已知：如图，在ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CFBA交PQ 于点F，连接AF （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AD3，AE5，则求菱形AECF的面积 参考答案参考答案 1证明：（1）在ABCD中，ADBC，ABCD，AC， E、F分别为边AB、CD的中点， AEAB，CFDC， AECF， 在ADE和CBF中， ， ADECBF（SAS）； （2）ABCD，AECF， BEDF， 又ABCD， BEDF， 四边形BEDF是平行四边形， ADB90， 点E为边AB的中点， D
5、EEBAB， 四边形BFDE为菱形 2证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，OAOC， AEOCFO， 在AOE和COF中 ， AOECOF（AAS）， OEOF， EFAC，OEOF， AC与EF互相垂直平分， 四边形AECF是菱形 3证明：（1）四边形ABCD是平行四边形， AC 在AEH与CGF中， AEHCGF （2）四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD，BD AECG，AHCF， EBDG，HDBF BEFDGH EFHG 又AEHCGF， EHGF 四边形HEFG为平行四边形 EHFG， HEGFGE EG平分HEF， HEGFEG， FGEFEG， EFGF，
6、 EFGH是菱形 4（1）证明：DE为AB，AC中点 DE为ABC的中位线，DEBC， DEBC， 即EFBC， EFBC， 四边形BCEF为平行四边形 （2）四边形BCEF为平行四边形， ACB60， BCCEBE， 四边形BCFE是菱形 5（1）证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC，AOCO， AEFCFE， 在AOE和COF中， AOECOF（AAS）， OFOE， AOCO， 四边形AFCE是平行四边形； EF平分AEC， AEFCEF， CFECEF， CECF， 四边形AFCE是菱形； （2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形， ACEF，AOCOAC1， AOE90， D
7、AC60， AEO30， OEAO， EF2OE2， 四边形AFCE的面积ACEF222 6解：（1）证明： AF平分BAD， BAFDAF， 四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD， DAFCEF，BAFCFE， CEFCFE， CECF， 又四边形ECFG是平行四边形， 四边形ECFG为菱形； （2）四边形ABCD是平行四边形， ABDC，ABDC，ADBC， ABC120， BCD60，BCF120 由（1）知，四边形CEGF是菱形， CEGE，BCGBCF60， CGGECE，DCG120， EGDF， BEG120DCG， AE是BAD的平分线， DAEBAE， ADBC，
8、 DAEAEB， BAEAEB， ABBE， BECD， DGCBGE（SAS）； DGCBGE， BGDG，BGEDGC， BGDCGE， CGGECE， CEG是等边三角形， CGE60， BGD60， BGDG， BDG是等边三角形， BDG60； （3）方法一：如图 3 中，连接BM，MC， ABC90，四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是矩形， 又由（1）可知四边形ECFG为菱形， ECF90， 四边形ECFG为正方形 BAFDAF， BEABDC， M为EF中点， CEMECM45， BEMDCM135， 在BME和DMC中， ， BMEDMC（SAS）， MBMD， D
9、MCBME BMDBME+EMDDMC+EMD90， BMD是等腰直角三角形 AB8，AD14， BD2， DMBD 方法二：过M作MHDF于H， ABC90，四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是矩形， 又由（1）可知四边形ECFG为菱形， ECF90， 四边形ECFG为正方形， CEF45， AEBCEF45， BEAB8， CECF1486， MHCE，EMFM， CHFHCF3， MHCE3， DH11， DM 7（1）证明：AEBD，EDAC， 四边形AODE是平行四边形， 四边形ABCD是矩形， OAOCAC，OBODBD，ACBD， OAOCOD， 四边形AODE是菱形；
10、 （2）解：连接OE，如图所示： 由（1）得：四边形AODE是菱形， AEOBOA， AEBD， 四边形AEOB是平行四边形， BEED，EDAC， BEAC， 四边形AEOB是菱形， AEABOB， ABOBOA， AOB是等边三角形， AOB60， AOD18060120 8解：（1）ABCD，CEAD， 四边形AECD为平行四边形，23， 又AC平分BAD， 12， 13， ADDC， 四边形AECD是菱形； （2）直角三角形 理由：AEEC 24， AEEB， EBEC， 5B， 又因为三角形内角和为 180， 2+4+5+B180， ACB4+590， ACB为直角三角形 9证明：（
11、1）四边形ABCD是平行四边形， AOAC，BOBD， AC8，BD6， AO4，BO3， 32+4252， AO2+BO2AB2， AOB90， ACBD； 四边形ABCD是平行四边形， 平行四边形ABCD是菱形； （2）四边形ABCD的面积为：ACBD8624 10证明：（1）CFAB， DCFDAE， PQ垂直平分AC， CDAD， 在CDF和AED中 ， CDFAED， AECF， 四边形AECF是平行四边形， PQ垂平分AC， AECE， 四边形AECF是菱形； （2）四边形AECF是菱形， ADE是直角三角形， AD3，AE5， DE4， AC2AD6，EF2DE8， 菱形AECF的面积为ACEF24