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专题13 几何中的最值与定值问题 -突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(教师版)

1、 1 【类型综述】 线段和差的最值问题,常见的有两类: 第一类问题是“两点之间,线段最短” 两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是 “两点之间,线段最短”结合“垂线段最短” 【方法揭秘】 两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图 1) 三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对 称轴“反射镜面”(如图 2) 两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值 就是第三边的长如图 3,PA

2、 与 PB 的差的最大值就是 AB,此时点 P 在 AB 的延长线上,即 P 来源: 解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题 图 1 图 2 图 3 如图 4,正方形 ABCD 的边长为 4,AE 平分BAC 交 BC 于 E点 P 在 AE 上,点 Q 在 AB 上,那么BPQ 周长的最小值是多少呢? 如果把这个问题看作“牛喝水”问题,AE 是河流,但是点 Q 不确定啊 第一步,应用“两点之间,线段最短”如图 5,设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F,那么此刻 PFPQ 的 最小值是线段 FQ 第二步,应用“垂线段最短”如图 6,在点 Q 运动过程中,

3、FQ 的最小值是垂线段 FH 这样,因为点 B 和河流是确定的,所以点 F 是确定的,于是垂线段 FH 也是确定的 2 图 4 图 5 图 6 【典例分析】 例 1 如图 1,二次函数 ya(x22mx3m2)(其中 a、m 是常数,且 a0,m0)的图像与 x 轴分别交于 A、B(点 A 位于点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C(0,3),点 D 在二次函数的图像上,CD/AB,联结 AD过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E,AB 平分DAE (1)用含 m 的式子表示 a; (2)求证: AD AE 为定值; (3)设该二次函数的图像的顶点为 F探索:在 x 轴的负半轴上

4、是否存在点 G,联结 GF,以线段 GF、AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在, 只要找出一个满足要求的点 G 即可, 并用含 m 的代 数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由 图 1 思路点拨 1不算不知道,一算真奇妙通过二次函数解析式的变形,写出点 A、B、F 的坐标后,点 D 的坐标也可 以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的 2在计算的过程中,第(1)题的结论 2 1 a m 及其变形 2 1am 反复用到 3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数(5,3,4) ,因此过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的交点,就是要求的点 G 满

5、分解答 3 (1)将 C(0,3)代入 ya(x22mx3m2),得33am2因此 2 1 a m 所以 am(x3m)1结合 2 1 a m ,于是得到 x4m 当 x4m 时,ya(xm)(x3m)5am25所以点 E 的坐标为(4m, 5) 所以 3 5 ADDD AEEE 图 2 图 3 (3)如图 3,由 E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4), 可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点,就是符合条件的点 G 证明如下:作 FFx 轴于 F,那么 4 3 GFFF ADDD 因此 534 AEADGF 所

6、以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形 此时 GF4m所以 GO3m,点 G 的坐标为(3m, 0) 考点伸展 第(3)题中的点 G 的另一种情况,就是 GF 为直角三角形的斜边 此时 5334 AEADGF 因此34GFm 4 所以( 341)GOm此时(34 ,0)G mm 例 2 如图 1,已知抛物线的方程 C1: 1 (2)()yxxm m (m0)与 x 轴交于点 B、C,与 y 轴交于点 E, 且点 B 在点 C 的左侧 (1)若抛物线 C1 过点 M(2, 2),求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求BCE 的面积; (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找

7、一点 H,使得 BHEH 最小,求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似?若存 在,求 m 的值;若不存在,请说明理由 图 1 思路点拨 1第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当 H 落在线段 EC 上时,BHEH 最小 2第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线 BF,作CBFEBC45 ,或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于 m 的方程 满分解答 设对称轴与 x 轴的交点为 P,那么 HPEO CPCO 因此 2 34 HP 解得 3 2 HP 所以点

8、 H 的坐标为 3 (1, ) 2 5 由 2 BCCE BF,得 2 22 (4)4 (2)4 mm mm m 整理,得 016此方程无解 图 2 图 3 图 4 如图 4,作CBF45 交抛物线于 F,过点 F 作 FFx 轴于 F, 由于EBCCBF,所以 BEBC BCBF ,即 2 BCBE BF时,BCEBFC 在 RtBFF中,由 FFBF,得 1 (2)()2xxmx m 解得 x2m所以 F(2 ,0)m所以 BF2m2, 2(22)BFm 由 2 BCBE BF,得 2 (2)2 22(22)mm解得22 2m 综合、,符合题意的 m 为2 2 2 考点伸展 第(4)题也可

9、以这样求 BF 的长: 在求得点 F、F 的坐标后,根据两点间的距离公式求 BF 的长 例 3 如图 1,抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线 l 是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; 6 图 1 思路点拨 第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小 满分解答 当点 P 落在线段 BC 上时,PAPC 最小,PAC 的周长最小 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H 由 BHPH BOCO ,BOCO,得 PHBH2

10、 所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2 考点伸展 在直线 l 上是否存在点 M,使MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点 M 的坐标;若不 存在,请说明理由 7 如图 5,当 CMCA 时,CM2CA2解方程 1(m3)210,得 m0 或 6 当 M(1, 6)时,M、A、C 三点共线,所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5 例 4 如图 1,已知 A、B 是线段 MN 上的两点,4MN,1MA,1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M, 以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M、N 两点重合成一点 C,构成ABC,设xAB (1)求 x 的取值范

11、围; (2)若ABC 为直角三角形,求 x 的值; (3)探究:ABC 的最大面积? 图 1 思路点拨 1根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组,可以求得 x 的取值范围 2分类讨论直角三角形 ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确定直角三角形的存在性 3把ABC 的面积 S 的问题,转化为 S2的问题AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论,分 CD 在三角 8 形内部和外部两种情况 满分解答 (1)在ABC 中,1AC,xAB ,xBC 3,所以 .31 ,31 xx xx 解得21 x 边平方,得 22222 112)3(hhxxhx 整理,得

12、431 2 xhx 两边平方,得 16249)1 ( 222 xxhx整理,得16248 222 xxhx 所以462 4 1 2222 xxhxS 2 1 ) 2 3 (2 2 x( 4 2 3 x ) 当 2 3 x时(满足 4 2 3 x ) , 2 S取最大值 2 1 ,从而 S 取最大值 2 2 图 2 图 3 如图 3,若点 D 在线段 MA 上,则xhhx 222 1)3( 同理可得,462 4 1 2222 xxhxS 2 1 ) 2 3 (2 2 x( 4 1 3 x) 易知此时 2 2 S 综合得,ABC 的最大面积为 2 2 考点伸展 9 第(3)题解无理方程比较烦琐,迂

13、回一下可以避免烦琐的运算:设aAD , 来源:+网 例如在图 2 中,由 2222 BDBCADAC 列方程 222 )()3(1axxa 整理,得 x x a 43 所以 2 1a 2 2 2 1624843 1 x xx x x 因此462)1 ( 4 1 2222 xxaxS 例 5 如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 yax22ax3a(a0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,经过点 A 的直线 l:ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且 CD4AC (1)直接写出点 A 的坐标,并求直线 l 的函数表达式(其中 k、b 用含

14、a 的式子表示) ; (2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点,若ACE 的面积的最大值为 5 4 ,求 a 的值; (3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点,点 Q 在抛物线上,以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩 形?若能,求出点 P 的坐标;若不能,请说明理由 图 1 备用图 思路点拨 1过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F,那么AEF 与CEF 是共底的两个三角形 2以 AD 为分类标准讨论矩形,当 AD 为边时,AD 与 QP 平行且相等,对角线 APQD;当 AD 为对角线 时,AD 与 PQ 互相平分且相等 满分解答 (1)由 yax22ax3aa(x1)(x

15、3),得 A(1, 0) 由 CD4AC,得 xD4所以 D(4, 5a) 由 A(1, 0)、D(4, 5a),得直线 l 的函数表达式为 yaxa 10 由 yDyAyPyQ,得 yP26a所以 P(1, 26a) 由 AP2QD2,得 22(26a)282(16a)2 整理,得 7a21所以 7 7 a 此时 P 26 7 (1) 7 , 如图 3,如果 AD 为矩形的对角线,那么 AD 与 PQ 互相平分且相等 由 xDxAxPxQ,得 xQ2所以 Q(2,3a) 由 yDyAyPyQ,得 yP8a所以 P(1, 8a) 由 AD2PQ2,得 52(5a)212(11a)2 整理,得

16、4a21所以 1 2 a 此时 P(14), 图 1 图 2 图 3 考点伸展 第(3)题也可以这样解设 P(1,n) 如图 2,当 AD 时矩形的边时,QPD90 ,所以 AMDN MDNP ,即 55 53 an a 11 解得 2 35a n a 所以 P 2 35 (1,) a a 所以 Q 3 ( 4,) a 将 Q 3 ( 4,) a 代入 ya(x1)(x3),得 3 21a a 所以 7 7 a 如图 3,当 AD 为矩形的对角线时,先求得 Q(2,3a) 由AQD90 ,得 AGQK GQKD ,即 32 335 a aa 解得 1 2 a 【变式训练】 1如图,已知,以为圆

17、心,长为半径作 , 是上一个动点,直线交 轴于 点, 则面积的最大值是( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 当直线 AN 与B 相切时,AOM 面积的最大设 BM=x,由切割线定理表示出 MN,可证明BNM AOM,根据相似三角形的性质可求得 x,然后求得AOM 面积 【详解】 当直线 AN 与B 相切时,AOM 面积的最大 连接 AB、BN, 在 RtAOB 和 RtANB 中 12 RtAOBRtANB, AN=AO=2, 解得 x= , SAOM= 故选 B 2如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,其中 AB=4,AOC=120 ,P 为O 上的动点,连 AP,取

18、 AP 中点 Q,连 CQ,则线段 CQ 的最大值为( ) A3 B1+ C1+3 D1+ 【答案】D 【解析】 【分析】 如图,连接 OQ,作 CHAB 于 H首先证明点 Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的K,连接 CK,当点 Q 在 CK 的延长线上时,CQ 的值最大,利用勾股定理求出 CK 即可解决问题. 【详解】 解:如图,连接 OQ,作 CHAB 于 H 13 AQ=QP, OQPA, AQO=90 , 点 Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的K,连接 CK, 3如图,矩形 ABCD 中,AB4,AD3,P 是边 CD 上一点,将ADP 沿直线 AP 对折,得到APQ当 射线 BQ 交

19、线段 CD 于点 F 时,DF 的最大值是( ) A3 B2 C47 D45 【答案】C 14 【解析】 4如图,由两个长为 ,宽为 的全等矩形叠合而得到四边形,则四边形面积的最大值是( ) A15 B16 C19 D20 【答案】A 【解析】 如图 1,作 AEBC 于 E,AFCD 于 F, , ADBC,ABCD, 四边形 ABCD 是平行四边形, 两个矩形的宽都是 3, 15 AE=AF=3, S 四边形 ABCD=AEBC=AFCD, BC=CD, 平行四边形 ABCD 是菱形。 如图 2, , 5如图,在菱形 ABCD 中,AB=6,A=135 ,点 P是菱形内部一点,且满足,则

20、PC+PD 的最小值为( ) A B C6 D 【答案】B 【解析】分析:在 BC 上截取点 E使 CE= BC=2,过点 E作 EF/AD,交 AD于点 F, 由可 知点 P线段 EF 上,作 C与 C 关于 EF对称,连接 DC,则 DC的长即是 PC+PD的最小值. 详解:在 BC 上截取点 E使 CE= BC=2,过点 E 作 EF/AD,交 AD 于点 F, 16 当点 P 在线段 EF 上是时,. 6如图,在 ABC 中,ABAC5,BC6,ADBC 于 D,点 E,F 分别在 AD,AB 是,则 BEEF 的 最小值是 A4 B4.8 C5 D5.4 【答案】B 【解析】作 F关

21、于 AD 的对称点 M,连接 BM 交 AD于 E,连接 EF,过 B 作 BNAC于 N,已知 ABAC5, BC6,ADBC于 D,根据等腰三角形的三线合一的性质可得 BD=CD=3,AD平分BAC,即可得点 M在 AC 上,在 RtABD 中,由勾股定理求得 AD=4,所以,由此求得 BN=4.8, 再由点 F关于 AD 的对称点 M 可得 EF=EM,所以 BE+EF=BE+EM=BM,根据垂线段最短得出:BMBN,即 BE+EF4.8 ,即 BE+EF 的最小值是 4.8,故选 B. 17 7在 RtABC 中,ACB=90 ,AC=4,BC=8,D,E 是 AB 和 BC 上的动点

22、,连接 CD,DE 则 CD+DE 的最小值为( ) A8 B C D 【答案】D 【解析】 【分析】 根据轴对称的性质,可得 C的对称点 C,然后过 C作垂线可得 CE,再根据垂线段最短可知 CD+DE最短, 再利用直角三角形的性质求得 CC的长,继而得知CCEABC,利用相似三角形的对应边成比例,求 出答案. 【详解】 过 C作 C 关于 AB 的对称点 C,然后过 C作 CEBC,垂足为 E,交 AB于 D,则 CE=CD+DE=CD+DE 最短, AC=4,BC=8 AB= CF= = 18 二、解答题 8问题发现: ( ) 如图,中, 点 是边上任意一点, 则的最小值为_ ( )如图

23、,矩形中,点 、点 分别在、上,求的最小值 ( )如图,矩形中,点 是边上一点,且,点 是边上的任意一点, 把沿翻折,点 的对应点为点 ,连接、,四边形的面积是否存在最小值,若存在,求 这个最小值及此时的长度;若不存在,请说明理由 【答案】(1) ;(2) 的最小值为.(3) 【解析】试题分析: (1)根据两种不同方法求面积公式求解; (2)作 关于的对称点 ,过 作的垂线, 垂足为 ,求的长即可;(3) 连接,则,则点 的 轨迹为以 为圆心, 为半径的一段弧过 作的垂线,与 交于点 ,垂足为 ,由求得 GM的值,再由 求解即可. 19 试题解析: ( )从 到距离最小即为过 作的垂线,垂足为

24、 , , , ( )作 关于的对称点 ,过 作的垂线,垂足为 ,且与交于 , 则的最小值为的长, 设与交于 ,则, ,且, , , 来源: , 即的最小值为 ( )连接,则, 20 , , 9问题提出:如图 1,在 RtABC 中,ACB=90 ,CB=4,CA=6,C 半径为 2,P 为圆上一动点,连结 AP、BP,求 AP+ BP 的最小值 (1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图 2,连接 CP,在 CB 上取点 D,使 CD=1, 则有,又PCD=BCP,PCDBCP,PD= BP,AP+ BP=AP+PD 请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+ BP 的最小值

25、为 (2)自主探索:在“问题提出”的条件不变的情况下, AP+BP 的最小值为 (3)拓展延伸:已知扇形 COD 中,COD=90 ,OC=6,OA=3,OB=5,点 P 是上一点,求 2PA+PB 的 最小值 21 【答案】 (1); (2); (3)13 【解析】 试题分析: (1)连结 AD,最短为 AD=; (2)连接 CP,在 CA 上取点 D,使 CD ,则有 ,可证PCDACP,得到 PD AP,故 AP BPBPPD,从而 APBP 的最小值为 BD; (3)延长 OA 到点 E,使 CE6,连接 PE、OP,可证OAPOPE,得到 EP2PA,得到 2PAPB EPPB,当

26、E、P、B 三点共线时,得到最小值 试题解析: (1)连结 AD,最短为 AD=; (2)连接 CP,在 CA 上取点 D,使 CD ,则有 ,又PCDACP,PCDACP, ,PD AP, APBPBPPD, APBP 的最小值为 BD=; 考点:圆的综合题 22 10已知二次函数 y=x2+2bx+c(b、c 为常数) ()当 b=1,c=3 时,求二次函数在2x2 上的最小值; ()当 c=3 时,求二次函数在 0 x4 上的最小值; ()当 c=4b2时,若在自变量 x 的值满足 2bx2b+3 的情况下,与其对应的函数值 y 的最小值为 21,求 此时二次函数的解析式 【答案】 ()

27、4()3,b2+3;8b+19()y=x2+x+7,b=(舍)或 b=(舍)b= 或 b=2,此时二次函数的解析式为 y=x2+x+7 或 y=x24x+16 【解析】 ()把 b=2,c=3 代入函数解析式,求二次函数的最小值; ()根据当 c=5时,若在函数值 y=l 的情况下,只有一个自变量 x的值与其对应,得到 x2+bx+5=1有两个 相等是实数根,求此时二次函数的解析式; ()当 c=b2时,写出解析式,分三种情况减小讨论即可 ()当 c=4b2时,二次函数的解析式为 y=x2+2bx+4b2,它的开口向上,对称轴为 x=b 的抛物线, 若b2b,即 b0 时,在自变量 x 的值满

28、足 2bx2b+3 的情况下,与其对应的函数值 y 随 x 增大而增 大, 当 x=2b 时,y=(2b)2+2b 2b+(2b)2=12b2为最小值, 12b2=21,b= 或 b=(舍)二次函数的解析式为 y=x2+x+7, 若 2bb2b+3,即1b0, 当 x=b 时,代入 y=x2+2bx+4b2,得 y 最小值为 3b2, 3b2=21b= (舍)或 b=(舍) , 若b2b+3,即 b1,在自变量 x 的值满足 2bx2b+3 的情况下,与其对应的函数值 y 随 x 增大而 减小, 当 x=2b+3 时,代入二次函数的解析式为 y=x2+2bx+4b2中,得 y 最小值为 12b

29、2+18b+9, 23 12b2+18b+9=21,b=2 或 b= (舍) ,二次函数的解析式为 y=x24x+16 综上所述,b=或 b=2,此时二次函数的解析式为 y=x2+ x+7 或 y=x24x+16 “点睛”本题考查了二次函数的最值: 当 a0时, 抛物线在对称轴左侧, y随 x的增大而减少; 在对称轴右侧, y随 x 的增大而增大,因为图象有最低点,所以函数有最小值,当 x= 2 b a 时,y= 2 4 4 acb a ;当 a0时, 抛物线在对称轴左侧,y随 x 的增大而增大;在对称轴右侧,y随 x 的增大而减少,因为图象有最高点,所 以函数有最大值,当 x= 2 b a

30、时,y= 2 4 4 acb a ;确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当 自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函 数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值 11已知四边形 ABCD,ADBC,ABBC,AD=1,AB=2,BC=3 (1)如图 1,若 P 为 AB 边上一点以 PD,PC 为边作平行四边形 PCQD,请问对角线 PQ 的长是否存在最小 值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由 (2)若 P 为 AB 边上任意一点,延长 PD 到 E,使 DE=PD,再以 PE,PC 为边作平行四边形 PCQE,

31、请问 对角线 PQ 的长是否也存在最小值?如果存在,请直接写出最小值,如果不存在,请说明理由 (3)如图 2,若 P 为直线 DC 上任意一点,延长 PA 到 E,使 AE=AP,以 PE、PB 为边作平行四边形 PBQE, 请问对角线 PQ 的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由 【答案】 (1)存在,理由见解析,当 PQAB 时,PQ 的长最 小,即为 4 (2)存在,理由见解析, 当 PQAB 时,PQ 的长最小,即为 5 (3)存在,理由见解析,最小值为13 【解析】试题分析: (1)在平行四边形 PCQD中,设对角线 PQ 与 DC相交于点 G,则 G 是

32、 DC的中点,过 点 Q 作 QHBC,交 BC的延长线于 H,使得 RtADPRtHCQ,进而求出最小值; 24 (2)设 PQ 与 DC相交于点 G,作 QHBC,交 BC的延长线于 H,可得 RtADPRtHCQ,进而求出最 小值; (3)设 PQ 与 AB 相交于点 G,由平行线分线段成比例定理可得 1 22 DGPD GCPD .作 QHPD,交 CB 的延 长线于 H,过点 C 作 CKCD,交 QH 的延长线于 K,可证ADPBHQ, 从而 1 2 ADPA BHBQ .过点 D 作 DMBC 于 M,则四边形 ABND 是矩形,可求DCM=45 ,从而求出 CD、 CK 的值,

33、可知当 D 与 P 重合时的 PQ 长就是 PQ 的最小值. 解: (1)存在,理由如下: 在ADP 和HCQ 中, ADPHCQ(AAS) , AD=HC, 来源:Zxxk.Com AD=1,BC=3, BH=4, 当 PQAB 时,PQ 的长最 小,即为 4 25 (2)存在,理由如下: 作 QHBC,交 BC 的延长线于 H, 同(2)得:ADP=QCH, RtADPRtHCQ, =, CH=2, BH=BC+CH=3+2=5, 当 PQAB 时,PQ 的长最小,即为 5 (3)存在,理由如下: 如图 4,设 PQ 与 AB 相交于点 G, 26 四边形 PBQE 是平行四边形, PEB

34、Q,PE=BQ, , AE=PA, BQ=2PA, = 过点 D 作 DMBC 于 M, 则四边形 ABND 是矩形, BM=AD=1,DM=AB=2 CM=BCBM=31=2=DM, DCM=45 , KCH=45 , CK=CHcos45=5=, 在 RtCDM 中,CD=2, CKCD, 当 PQCD 时,PQ 的长最小,但是,P 点已经不在 CD 上了,到延长线上了, 当 D 与 P 重合时的 PQ 长就是 PQ 的最小值, 此时 Q 与 H 重合,PQ=HD= 27 最小值为 12 (1) 【问题】如图1,点A为线段BC外一动点,且BC a, 6AB 当点A位于_时线 段AC的长取得

35、最大值,且最大值为_(用含a、b的式子表示) (2) 【应用】点A为线段B除外一动点,且3BC , 1AB 如图2所示,分别以AB、AC为边, 作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD、BE 请找出图中与BE相等的线段,并说明理由 直接写出线段BE长的最大值 (3) 【拓展】如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为2,0,点B的坐标为5,0,点P为线段 AB外一动点, 且2PA , PMPB , 90BPM请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的 坐标 【答案】 (1)CB延长线上, ab; (2)BEDC;4(3)3 2 2 ; 22, 2P 【解析】 (1)当三点不共线时,三角形两边

36、之和大于第三边,即ACab; 当A在CB延长线上时, ACab; 当A在线段CB上时, ACab 故当A在CB延长线上时, AC取得最大值,且为ab 28 (2) 依题意得ADAB , ACAE, 利用等边三角形每个角都是60和角的关系得CADEAB , 最后根据边角边定理证明CADEAB, 从而推出DCBE 因为DCBE,所以线段DC的最大值即BE的最大值 根据三角形两边之和大于第三边,所以DC最大时即B、C、D三点共线, 得到DC的最大值为4BCDBBCAB, 故BE的最大值为4 由(1)可知,当点N在BA的延长线上时, NB取得最大值, 又因为NBAM,所以此时AM取得最大值 如图 2,

37、点N在BA的延长线上时,过点P作PEx轴于点E 在Rt APN中,由勾股定理得 222 222 2ANPAPNPAPA , 所以 2 23AMNBANAB 因为PAPN, 90APN,所以NPA是等腰直角三角形, 又因为PEAN,所以 1 2 2 PEAEAN, 又因为点2,0A, 所以 22OEOAAE , 所以点P坐标为22, 2 29 13如图,已知中,边上的高,四边形 为内接矩形 当矩形是正方形时,求正方形的边长 设,矩形的面积为 ,求 关于 的函数关系式,当 为何值时 有最大值,并求出最大值 【答案】 (1); (2),当时 有最大值,并求出最大值 【解析】 【分析】 见解析. 【详

38、解】 解:设,则, 四边形为矩形, , , , 当矩形是正方形时, , 30 解得:; 【点睛】 利用相似的性质求解是解题的关键. 14 如图, 抛物线与坐标轴相交于 、三点,是线段 上一动点 (端点除外) , 过 作, 交于点 ,连接 直接写出 、 、 的坐标; 求抛物线的对称轴和顶点坐标; 求面积的最大值, 并判断当的面积取最大值时, 以、为邻边的平行四边形是否为菱形 【答案】 (1)、对称轴是直线,顶点坐标是 (3)以、为 邻边的平行四边形不是菱形 【解析】 【分析】 (1)设 y=0,解一元二次方程即可求出 A和 B 的坐标,设 x=0,则可求出 C的坐标 31 (2)抛物线:,所以抛

39、物线的对称轴是直线 x=1,顶点坐标是(1, ) (3)设 P(x,0) (2x4) ,由 PDAC,可得到关于 PD 的比例式,由此得到 PD 和 x 的关系,再求 出 C 到 PD的距离(即 P到 AC的距离) ,利用三角形的面积公式可得到 S和 x 的函数关系,利用函数的性 质即可求出三角形面积的最大值,进而得到 x 的值,所以 PD可求,而 PAPD,所以 PA、PD为邻边的平行 四边形不是菱形 【详解】 (3)设 P(x,0) (2x4) PDAC,解得: C 到 PD 的 距 离 ( 即 P 到 AC 的 距 离 ) :, PCD 的 面 积 ,PCD 面积的最大值为 3, 当PC

40、D 的面积取最大值时,x=1,PA=4x=3,因为 PAPD,所以以 PA、PD 为邻边的平行四边形不是菱形 【点睛】 本题考查了二次函数和坐标轴的交点问题、平行线分线段成比例定理、特殊角的锐角三角形函数值、二次 函数的最值问题以及菱形的判定,题目的综合性较强,难度中等 15如图,抛物线过 O、A、B 三点,A(4,0)B(1,-3) ,P 为抛物线上一点,过点 P 的直线 y=x+m 与对 称轴交于点 Q. (1)直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数,并求出抛物线的解析式. (2)当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时,过点 C(2,2)的直线 AC 与直线 PQ 交于点 D,求: PD+DQ

41、 的最大 值;PD.DQ 的最大值. 32 【答案】 (1)直线 PQ与 x轴所夹锐角的度数为 45 ,抛物线的解析式为 y=x -4x;(2) PD+DQ的最大值为 6;PD DQ的最大值为 18. 【解析】 【分析】 (1)根据直线的解析式求得直线 PQ与 x 轴所夹锐角的度数,根据抛物线过 O、A、B 三点可求得解析式; (2) 过点 C作 CHx轴交直线 PQ于点 H, 可得CHQ 是等腰三角形, 进而得出 ADPH, 得出 DQ=DH, 从而得出 PD+DQ=PH,过 P 点作 PMCH 于点 M,则PMH 是等腰直角三角形,得出 PH=PM,因为当 PM 最大时,PH最大,通过求得

42、 PM 的最大值,从而求得 PH的最大值; 由可知:PD+PH6,设 PD=a,则 DQ6-a ,得出 PDDQa(6-a)=-a2+6a=-(a-3 )2+18, 当点 P 在抛物线的顶点时,a=3,得出 PDDQ18 【详解】 (1)对于直线 y=x+m, k=10, 直线 PQ与 x 轴所夹锐角的度数为 45 , 抛物线抛物线经过点 O, 设抛物线的解析式为 y=ax +bx,把 A(4,0)B(1,-3)代入得 ,解得, 抛物线的解析式为 y=x -4x. 33 则PMH 为等腰直角三角形, PH=PM, 当 PM 最大时,PH最大, 当点 P 在抛物线顶点处时 PM 取最大值,此时

43、PM=6, PH的最大值为 6,即 PD+DQ 的最大值为 6; 由可知 PD+DQ6, 设 PD=a,则 DQ6-a. 设点 P 的坐标为(n,n -4n), 设 AC的解析式为 y=kx+b, 将点 A和点 C的坐标代入得,解得, 则直线 AC的解析式为 y=-x+4, 如图所示,延长 PM 交 AC于点 N, 34 PD=a=PN=4-n-(n -4n)=- (n -3n-4)=- (n- ) + , 又-0,0n0,可知 214 2 m 不符合题意 214 2 m 20.如图,在平面直角坐标系中,抛物线1 2 bxaxy交y轴于点A,交x轴正半轴于点)0 , 4(B,与过A 点的直线相

44、交于另一点) 2 5 , 3(D,过点D作xDC 轴,垂足为C. 44 (1)求抛物线的表达式; (2)点P在线段OC上(不与点O、C重合) ,过P作xPN 轴,交直线AD于M,交抛物线于点N, 连接CM,求PCM面积的最大值; (3)若P是x轴正半轴上的一动点,设OP的长为,是否存在,使以点NDCM、为顶点的四边形是 平行四边形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.来源:Z&X&X&K 【答案】(1) 2 311 1 44 yxx ; (2)当 m= 1 2 时, 25 = 16 S最大 ; (3)当 9201 6 t 时,以点 NDCM、为顶点的四边形是平行四边形. 【解析】 试题解析

45、: (1)把点)0 , 4(B,) 2 5 , 3(D代入抛物线1 2 bxaxy可得, 01641 5 931 2 ab ab 解得, 3 4 11 4 a b 45 2 311 1 44 yxx ; (2) 2 311 1 44 yxx , A(0,1). 设直线 AD 的表达式为y=kx+b, 把 A(0,1),) 2 5 , 3(D代入得, 1 5 3 2 b kb ,解得, 1 1 2 b b , 1 1 2 yx 设 p xm (0m3) , MP= 1 1 2 m ym , 3 CD xx , PC=3 CP xxm, 1 11 (1)(3)(2)(3) 2 24 MCP Smmmm , 二次函数的顶点坐标为( 1 25 , 2 16 ) 即当 m= 1 2 时, 25 = 16 S最大 ; (3)存在. 方程无解; 46 MN=CD= 5 2 , 2 395 442 tt, 解得 1 9201 6 t (舍去) , 2 9201 6 t ; 综上所述,当 9201 6 t 时,以点NDCM、为顶点的四边形是平行四边形.