1、 1 专题专题 01 有理数的运算有理数的运算 1有理数：整数和分数统称有理数 正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数） 正分数和负分数统称为分数 理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有 限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 2相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是 0； (2)相反数的和为 0 a+b=0 a、b 互为相反数. 3.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上 表示某数的点离开原点的距离；
2、(2) 绝对值可表示为： )0a (a )0a (0 )0a (a a或 )0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 4.有理数比大小： （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比 0 大，负数永远比 0 小； （3）正 数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的 数大； （6）大数-小数 0，小数-大数 0. 5.互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a0，那么a的倒数是 a 1 ；若 ab=1 a、 b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互为负倒数. 6有理数加法的运算律： （
3、1）加法的交换律：a+b=b+a ； （2）加法的结合律： （a+b）+c=a+（b+c）. 7有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+（-b）. 8.有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 专题知识回顾专题知识回顾 2 9.有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba； （2）乘法的结合律： （ab）c=a（bc） ； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . 10有理数除法法则：除以一个数等于乘以
4、这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0 a . 11有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 注意：当 n 为正奇数时: (-a) n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当 n 为正偶数时: (-a) n =an 或 (a-b)n=(b-a)n . 12乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 13科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a10 n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫 科学记数法. 14.近似数的精确
5、位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 15.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 16.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 【例题【例题 1 1】 （】 （20192019江苏苏州）江苏苏州）5 的相反数是（ ） A 1 5 B 1 5 C5 D5 【答案】D 【解析】考察相反数的定义，简单题型.5 的相反是为5。 【例题【例题 2 2】 （】 （20192019广东省广州市）广东省广州市）|6|（ ） A6 B6 C D 【答案】B 【解析】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身
6、；一个负数的绝对值是 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 它的相反数；0 的绝对值是 0 根据负数的绝对值等于它的相反数解答 6 的绝对值是|6|6 【例题【例题 3 3】 （】 （20192019湖南株洲）湖南株洲）3 的倒数是（ ） A B C3 D3 【答案】A 【解析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 3（）1， 3 的倒数是 【例题【例题 4 4】 （台湾）】 （台湾）算式 743369741370 之值为何？( ) A3 B2 C2 D3 【答案】A 【解析】根据乘法分配律，可简便运算，根据有理数的减法，可得答案 原式743(3701)741
7、370370(743741)74337027433 【例题【例题 5 5】 （】 （20192019湖北孝感）湖北孝感）中国“神威太湖之光”计算机最高运行速度为 1250 000 000 亿次/秒，将数 1250 000 000 用科学记数法可表示为 【答案】1.2510 9 【解析】科学记数法的表示形式为a10 n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定n的值时，要看把原 数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n是 正数；当原数的绝对值小于 1 时，n是负数 将数 1250 000 000 用科学记数法可表示为 1.2510 9 【例题
8、【例题 6 6】 （经典题）】 （经典题）按照要求，用四舍五入法表示数。 （1）1.804（精确到 0.01） （2）0.0158（精确到 0.001） 【答案】 （1）1.80（2）0.016 【解析】精确到 0.01，意思就是把这个数保留到小数点后两位，关键要看小数点后第三位要等于大于 5 就 把小数点后面第二位进 1。小数点后第三位要小于 5，小数点后面第二位不变。精确到 0.001，意思就是把 这个数保留到小数点后三位，关键要看小数点后第四位要等于大于 5 就把小数点后面第三位进 1。小数点后 第四位要小于 5，小数点后面第三位不变。 4 （1）1.804（精确到 0.01）=1.80
9、 （2）0.0158（精确到 0.001）=0.016 一、选择题一、选择题 1.1.（20192019铜仁）铜仁）2019 的相反数是（ ） A B C|2019| D2019 【答案】D 【解析】2019 的相反数是2019 2.2.（20192019广西贺州）广西贺州）2 的绝对值是（ ） A2 B2 C D 【答案】B 【解析】根据绝对值的定义，可直接得出2 的绝对值 |2|2 3.3.（20192019山东省德州市山东省德州市 ）的倒数是（ ） A2 B C2 D1 【答案】A 【解析】根据倒数的定义求解即可 的到数是2 4.4.（20192019广西贺州）广西贺州）某图书馆现在有图
10、书约 985000 册，数据 985000 用科学记数法可表示为（ ） A98510 3 B98.510 4 C9.8510 5 D0.98510 6 【答案】C 【解析】科学记数法的表示形式为a10 n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定n的值是易错点，由 于 985000 有 6 位，所以可以确定n615 9850009.8510 5 5.5.（20192019广西贺州广西贺州）计算+的结果是（ ） A B C D 【答案】B 专题典型训练题 专题典型训练题 5 【解析】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计 算把每个分数写成两个分数之差
11、的一半，然后再进行简便运算 原式 二、填空题二、填空题 6.(20196.(2019 四川成都）四川成都）若1m与-2 互为相反数，则m的值为 . 【答案】1 【解析】此题考察的是相反数的代数意义，互为相反数的两个数和为 0. 所以 m+1+(-2)0，所以 m1 7.7.（20192019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）将数 6260000 用科学记数法表示为 【答案】6.2610 6 【解析】科学记数法的表示形式为a10 n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定n的值时，要看把原 数变成a时， 小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值1 时，n是正数； 当原数的
12、绝对值1 时，n是负数 6260000 用科学记数法可表示为 6.2610 6 8.8.（20192019广东）广东）计算 2019 0+( 3 1 ) 1=_ 【答案】4 【解析】零指数幂和负指数幂的运算 原式=1+3=4 9.9.（20192019广西贵港）广西贵港）有理数 9 的相反数是 【答案】9 【解析】根据相反数的求法即可得解；9 的相反数是9 10.10.（20192019湖南邵阳）湖南邵阳）的相反数是 【答案】 【解析】根据相反数的意义，即可求解。 的相反数是 。 6 11.11.（20192019山东省德州市山东省德州市 ）|x3|3x，则 x 的取值范围是 【答案】x3；
13、【解析】根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以 3x0，即可求解； 【解答】解：3x0， x3，故答案为 x3。 12.12.（20192019江苏无锡）江苏无锡）2019 年 6 月 29 日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约 20000000 人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为 人次 【答案】210 7 【解析】科学记数法的表示形式为a10 n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定n的值时，要看把原 数变成a时， 小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值1 时，n是正数； 当原数的绝对值1 时，n是负数 将 20000000 用科
14、学记数法表示为：210 7 13.13.（20192019山东省聊城市）山东省聊城市）计算： （） 【答案】 【解析】有理数的混合运算 。先计算括号内的减法，同时将除法转化为乘法，再约分即可得 原式（） 14.14.（20192019 贵州省安顺市贵州省安顺市）若实数a、b满足|a+1|+0，则a+b 【答案】1 【解析】|a+1|+0， ， 解得a1，b2， a+b1+21 15. (201915. (2019黑龙江绥化黑龙江绥化) )某年一月份,哈尔滨市的平均气温约为20,绥化市的平均气温约为23,则两地 的温差为_. 【答案】【答案】3 【解析】【解析】20(23)3 16.16.（20
15、192019 湖北咸宁）湖北咸宁）有一列数，按一定规律排列成 1，2，4，8，16，32，其中某三个相邻数 的积是 4 12，则这三个数的和是 7 【答案】【答案】384 【解析】【解析】一列数为 1，2，4，8，16，32， 这列数的第n个数可以表示为（2） n1， 其中某三个相邻数的积是 4 12， 设这三个相邻的数为（2） n1、 （2）n、 （2）n+1， 则（2） n1 （2）n （2）n+1412， 即（2） 3n（22）12， （2） 3n224， 3n24， 解得，n8， 这三个数的和是： （2） 7+（2）8+（2）9（2）7（12+4）（128）3384 三、解答题三、解答
16、题 17.17.（20192019河北省）河北省）有个填写运算符号的游戏：在“1269”中的每个内，填入+，中的 某一个（可重复使用） ，然后计算结果 （1）计算：1+269； （2）若 12696，请推算内的符号； （3）在“1269”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数 【答案】见解析。 【解析】 （1）1+269 369 39 12； （2）12696， 1696， 396， 内的符号是“” ； （3）这个最小数是20， 理由：在“1269”的内填入符号后，使计算所得数最小， 126 的结果是负数即可， 8 126 的最小值是 12611， 1269 的最小值是11920
17、， 这个最小数是20 18.18.（20182018 大连）大连）某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自 O 地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10、-3、+4、+2、-8、+13、-2、 +12、+8、+5 （1）问收工时距 O 地多远？ （2）若每千米耗油 0.2 升，从 O 地出发到收工时共耗油多少升？ 【答案】 （1）41 千米 （2）13.4 【解析】10-3+4+2-8+13-2+12+8+5=41 把各数的绝对值相加=10+3+4+2+8+13+2+12+8+5=67 670.2=13.4(升) 19.19.（20182018 齐齐哈尔模拟题）齐齐哈尔模拟题）计算： 121 ()24 234 【答案】【答案】- -2 2 【解析】【解析】利用乘法对加法的分配律可以快速准确地解答本题. 原式 121 24 234 12 16 6 2