1、 1 专题专题 06 一元一次方程及其应用一元一次方程及其应用 知识点知识点 1：一元一次方程的概念：一元一次方程的概念 1.一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数，a,b 是已知数，且 a0)。 要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是 1 次； （3）整式方程 注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。 2.方程的解： 判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等 知识点知识点 2：一元一次方程的解法：一元一次方程的解法 1.方程的同解原理（也叫等式的基本性质） 性质 1：等式的两边
2、都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 性质 2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零） ，所得结果仍是等式。 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。 2.解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数， 依据等式基本性质 2， 注意防止漏乘 （尤其整数项） ， 注意添括号。 （2）去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。 （3）移项 把含有未知数的项都移到方程的一边， 其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)， 依据等式基本性质 1， 移
3、项要变号，不移不变号。 （4）合并同类项 专题知识回顾专题知识回顾 2 把方程化成 axb(a0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。 （5）系数化为 1 在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 xb/a ,依据等式基本性质 2，计算要仔细，分子分母勿颠 倒。 要点诠释： 理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: a0 时，方程有唯一解 xb/a ； a=0，b=0 时，方程有无数个解； a=0，b0 时，方程无解。 知识点知识点 3：列一元一次方程解应用题：列一元一次方程解应用题 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤： （1）审审题：认真审题，
4、弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。 （2）设设出未知数：根据提问，巧设未知数 （3）列列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。 （4）解解方程：解所列的方程，求出未知数的值 （5）答检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际， 检验后写出答案，注意带上单位。 2.常见的一些等量关系 （1）行程问题： 距离=速度 时间 （2）工程问题： 工作量=工效 工时 （3）比率问题： 部分=全体 比率 （4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； （5）商品价格问题： 售价=定价 折 10 1 ，利润=售价-成本， %100
5、 成本 成本售价 利润率； （6）周长、面积、体积问题：C圆=2R，S圆=R2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a， S正方形=a2，S环形=(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=R2h ，V圆锥= 3 1 R2h. 知识点知识点 4：方程与整式、等式的区别：方程与整式、等式的区别 （1）从概念来看： 整式：单项式和多项式统称整式。 3 等式： 用等号来表示相等关系的式子叫做等式。 如 2+3=5， mnnm 等都叫做等式， 而像3a+2b， 3 m2n 不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。 方程：含有未知数的等式叫做方程。如 5x311。理解方
6、程的概念必须明确两点：是等式；含有未知 数。两者缺一不可。 （2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用 运算符号连接起来，不含有等号。 （3）从是否含有未知量来看：等式必含有“”，但不一定含有未知量；方程既含有“”，又必须含有未知 数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。 【例题【例题 1】 （经典题）】 （经典题）解方程： 【答案】x= 【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，从而得到方程的解 左右同乘 12 可得：32x（x1）=8（x1） ， 化简可得：3x+3=8x8， 移
7、项可得：5x=11， 解可得 x= 故原方程的解为 x= 【例题【例题 2】 （】 （2019杭州）杭州）已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵，男生每人种 3 棵树，女生每人种 2 棵树，设 男生有 x 人，则（ ） A2x+3（72x）30 B3x+2（72x）30 C2x+3（30 x）72 D3x+2（30 x）72 【答案】D 【解析】设男生有 x 人，则女生（30 x）人，根据题意可得： 3x+2（30 x）72 【例题【例题 3】 （】 （2019张家界）张家界） 田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析
8、4 田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只 知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步 【答案】12 【解析】设长为 x 步，宽为（60 x）步， x（60 x）864， 解得，x136，x224（舍去） ， 当 x36 时，60 x24， 长比宽多：362412（步） 【例题【例题 4】 （】 （2019湖北黄石）湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章算术 ）意思是： 同样时间段内， 走路快的人能走 100 步， 走路慢的人只能走 60 步 假定两者步长相等， 据此回答以下问题：
9、 （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走 路慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少 步？ （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200 步，请问走路快的人 走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】 （1）当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步 （2）走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人 【解析】 （1）设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步，
10、走路慢的人只能走 60 步列方程求解即可。 由题意得 x：600100：60 x1000 1000600100300 所以当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步 （2）设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人 只能走 60 步，及追及问题可列方程求解 由题意得 y200+y y500 所以走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人 5 一、选择题一、选择题 1.（2019贵州毕节）贵州毕节）如果 3ab2m 1 与 9abm+1是同类项，那么 m 等于（ ） A2 B1 C1 D0 【答案】A 【解析】根
11、据同类项的定义得出 m 的方程解答即可 根据题意可得：2m1m+1， 解得：m2 2.（2019湖南怀化）湖南怀化）一元一次方程 x20 的解是（ ） Ax2 Bx2 Cx0 Dx1 【答案】A 【解析】直接利用一元一次方程的解法得出答案 x20， 解得：x2 3.（2018 江苏无锡）江苏无锡）林地 108 公顷，旱地 54 公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林 地面积的 20%，设把 x 公顷旱地改为林地，则可列方程( ) A. 5420% 108x B. 5420%108xx C. 5420% 162x D. 10820% 54xx 【答案】B. 【解析】根据题意，旱地
12、改为林地后，旱地面积为54x公顷，林地面积为108x公顷，等量关系为“旱地 占林地面积的 20%”，即5420%108xx. 故选 B. 4 （ （2018 湖南长沙）湖南长沙）某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母， 为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套 设安排 x 名工人生产螺钉， 则下面所列方程正确的是 （ ） A2 1000（26x）=800 x B1000（13x）=800 x C1000（26x）=2 800 x D1000（26x）=800 x 【答案】C 专题典型训练题 专题典型训练题 6 【解析】题目已经设出安排
13、 x 名工人生产螺钉，则（26x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母 的个数是螺钉个数的 2 倍从而得出等量关系，就可以列出方程由题意得 1000（26x）=2 800 x，故 C 答案正确。 5 （ （2019襄阳）襄阳） 九章算术是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人 出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，所列方程 正确的是（ ） A5x457x3 B5x+457x+3 C D 【答案】B 【解析】设合伙人数为 x 人， 依题意，得：5x+457x+3 二、填空题二、填空题 6.（经典题
14、）（经典题）方程 （12x）= （3x+1）的解为_. 【答案】x= 【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，从而得到方程的解 7（12x）=3 2（3x+1） 7+14x=18x+6 4x=13 x= 7.（2019 贵州黔西南州）贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促 销该商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元 【答案】2000 【解析】一元一次方程的应用。 设这种商品的进价是 x 元， 由题意，得（1+40%）x 0.82240 解得 x2000 8.（2019 湖南
15、湘西）湖南湘西）若关于 x 的方程 3xkx+20 的解为 2，则 k 的值为 【答案】4 【解析】考查一元一次方程的解 7 关于 x 的方程 3xkx+20 的解为 2， 3 22k+20， 解得：k4 9 （ （2018 福建）福建）一件服装的标价为 300 元，打八折销售后可获利 60 元，则该件服装的成本价是 元 【答案】180 【解析】设该件服装的成本价是 x 元根据“利润=标价 折扣进价”即可得出关于 x 的一元一次方程，解 方程即可得出结论 设该件服装的成本价是 x 元， 依题意得：300 x=60， 解得：x=180 该件服装的成本价是 180 元 10.（2018 武汉）武汉
16、）某商品的进价为每件 100 元，按标价打八折售出后每件可获利 20 元，则该商品的标价为 每件 元 【答案】150 【解析】考点是一元一次方程的应用设该商品的标价为每件为 x 元，根据八折出售可获利 20 元，可得出 方程：80%x100=20，再解答即可 解得：x=150 答：该商品的标价为每件 150 元 11.（2019 贵州省毕节市）贵州省毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促 销该商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元 【答案】2000. 【解析】一元一次方程的应用。 设这种商品的进价是 x 元，根据提价之
17、后打八折，售价为 2240 元，列方程解答即可 由题意得， （1+40%）x 0.82240 解得：x2000 12.（2019湖南株洲）湖南株洲） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者 行一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速 度快的人走 100 步，速度慢的人只走 60 步，现速度慢的人先走 100 步，速度快的人去追赶，则速度快的 人要走 步才能追到速度慢的人 8 【答案】250 【解析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为 t，根据二者的速度差 时间路程，即可求出 t 值，再将 其代入路程速度 时间，即可
18、求出结论 根据题意得： （10060）t100， 解得：t2.5， 100t100 2.5250 所以走路快的人要走 250 步才能追上走路慢的人 13.（2019贵州毕节）贵州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该 商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元 【答案】2000 【解析】设这种商品的进价是 x 元，根据提价之后打八折，售价为 2240 元，列方程解答即可 由题意得， （1+40%）x 0.82240 解得：x2000 14.（2019湖南湘西州）湖南湘西州）若关于 x 的方程 3xkx+20 的解为 2，
19、则 k 的值为 【答案】4 【解析】关于 x 的方程 3xkx+20 的解为 2， 3 22k+20， 解得：k4 15.（2019湖南岳阳）湖南岳阳）我国古代的数学名著九章算术中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织 五尺问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺问每日各织多少 布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺 【答案】 【解析】设第一天织布 x 尺，则第二天织布 2x 尺，第三天织布 4x 尺，第四天织布 8x 尺，第五天织布 16x 尺，根据题意可得： x+2x+4x+8x+16x5， 解得：x， 即该女子第一天织布尺 三、解
20、答题三、解答题 9 16.（经典题）解方程（经典题）解方程 （1）4x=3（2x） ； （2） 【答案】见解析。 【解析】 （1）去括号得：4x=63x， 移项得：x+3x=64， 合并得：2x=2， 系数化为 1 得：x=1 （2）去分母得：5（x1）2（x+1）=2， 去括号得：5x52x2=2， 移项得：5x2x=2+5+2， 合并得：3x=9， 系数化 1 得：x=3 17 （经典题） （经典题）解方程 （1）4（x1）3（20 x）=5（x2） ； （2）x=2 【答案】见解析。 【解析】 （1）去括号得：4x460+3x=5x10 移项得：4x+3x5x=4+6010 合并得：2x
21、=54 系数化为 1 得：x=27； （2）去分母得：6x3（x1）=122（x+2） 去括号得：6x3x+3=122x4 移项得：6x3x+2x=1243 合并得：5x=5 系数化为 1 得：x=1 18.（2019湖南岳阳）湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放 40 年地方改革创新 40 案例据 了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地 1200 亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改 10 造土地面积多 600 亩 （1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？ （2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面
22、积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 【答案】见解析。 【解析】 （1）设改造土地面积是 x 亩，则复耕土地面积是（600+x）亩根据“复耕土地面积+改造土地面积 1200 亩”列出方程并解答； 由题意，得 x+（600+x）1200,解得 x300 则 600+x900 所以改造土地面积是 300 亩，则复耕土地面积是 900 亩。 （2）设休闲小广场总面积是 y 亩，则花卉园总面积是（300y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园 总面积的”列出不等式并解答 由题意，得 y（300y） 解得 y75 故休闲小广场总面积最多为 75 亩 所以休闲小广场总面积最多为 75
23、 亩 19.（2019甘肃）甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个 问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车， 每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，问共有多少人，多少 辆车？ 【答案】共有 39 人，15 辆车 【解析】设共有 x 人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果 根据题意得：+2， 去分母得：2x+123x27，解得：x39， 15， 则共有 39 人，15 辆车 20 （ （2019张家界）张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，
24、已知甲种树苗每棵 30 元，乙种树苗每棵 20 元， 11 且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的 2 倍少 40 棵，购买两种树苗的总金额为 9000 元 （1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？ （2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共 10 棵，总费用不超过 230 元，求可能的购买方 案？ 【答案】见解析。 【解析】 （1）设购买甲种树苗 x 棵，购买乙种树苗（2x40）棵， 由题意可得，30 x+20（2x40）9000， 70 x9800，x140， 购买甲种树苗 140 棵，乙种树苗 240 棵。 （2）设购买甲树苗 y 棵。乙树苗（10-y）棵， 根据题意得：30y+20（10
25、-y）230 10y30 y3 购买方案 2：购买甲树苗 2 棵，乙树苗 8 棵； 购买方案 3：购买甲树苗 1 棵，乙树苗 9 棵； 购买方案 4：购买甲树苗 0 棵，乙树苗 10 棵。 21.(2019 安徽安徽)为实施乡村振兴战略， 解决某山区老百姓出行难的问题， 当地政府决定修建一条高速公路 其 中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工甲工程队独立工作 2 天后，乙工程队 加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米，按此 速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【答案】甲乙两个工程队还需联合工作 10 天 【解析】设甲工程队每天掘进 x 米，则乙工程队每天掘进（x2）米根据“甲工程队独立工作 2 天后，乙 工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米”列出方程，然后求工作时间 由题意，得 2x+（x+x2）26， 解得 x7， 所以乙工程队每天掘进 5 米， （天） 所以甲乙两个工程队还需联合工作 10 天