1、 1 专题专题 08 分式方程及其应用分式方程及其应用 1分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。 （1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); （2）按解整式方程的步骤求出未知数的值; （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方 程的根。 【例题【例题 1】 （2019湖北孝感湖北孝感）方程的解为 【答案】x1 【解析】解一个分式方程时，可按照“一去（去分母） 、二解（解整式方程） 、三检验（检查求出的根是否是 增根）”的步骤求
2、出方程的解即可注意：解分式方程时，最后一步的验根很关键观察可得方程最简公分 母为 2x（x+3） 去分母，转化为整式方程求解结果要检验两边同时乘 2x（x+3） ，得 x+34x， 解得 x1 经检验 x1 是原分式方程的根 【例题【例题 2】（】（2019 黑龙东地区）黑龙东地区） 已知关于 x 的分式方程 2 1 3 xm x 的解是非正数， 则 m 的取值范围是 （ ） Am3 Bm3 Cm3 Dm3 【答案】A 【解析】知识点是分式方程的增根。 由 2 1 3 xm x 得 x=m-3， 方程的解是非正数， 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 m-3
3、0，m3. 当 x-3=0 即 x=3 时，3=m-3，m=6， m=6 不在 m3 内，m3.故选 A. 【例题【例题 3】 （】 （2019广东省广州市）广东省广州市）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8 个，甲做 120 个所 用的时间与乙做 150 个所用的时间相等，设甲每小时做 x 个零件，下列方程正确的是（ ） A B C D 【答案】 【解析】设甲每小时做 x 个零件，根据甲做 120 个所用的时间与乙做 150 个所用的时间相等得出方程解答 即可 设甲每小时做 x 个零件，可得： 【例题【例题 4】 （】 （2019四川自贡）四川自贡）解方程：1 【答案】x2 【
4、解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 去分母得：x22x+2x2x， 解得：x2， 检验：当 x2 时，方程左右两边相等， 所以 x2 是原方程的解 【例题【例题 5】 （】 （2019江苏扬州）江苏扬州）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，甲乙两工程队承担河道 整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道 1500 米，甲工程队整治 3600 米所用的时间与乙工程队整治 2400 米所用时间相等。甲工程队每天整治河道多少米？ 【答案】甲工程队每天整治河道 900 米. 【解析】解设甲工程队每天整治河道 xm，则乙工程队每天整
5、治（1500-x）m 由题意得：， 解得：x=900 经检验的 x=900 是该方程的解。 3 一、选择题一、选择题 1.（2019黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）方程的解为（ ） Ax Bx Cx Dx 【答案】C 【解析】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键 将分式方程化为，即可求解 x；同时要进行验根即可求解。 ， ， 2x9x3， x； 将检验 x是方程的根， 方程的解为 x 2.（2019 山东淄博）山东淄博）解分式方程2 时，去分母变形正确的是（ ） A1+x12（x2） B1x12（x2） C1+x1+2（2x） D1x12（x2） 【答案】D 【解析】分式方
6、程去分母转化为整式方程，即可得到结果 去分母得：1x12（x2） 3.（2019广西贵港）广西贵港）若分式的值等于 0，则 x 的值为（ ） A 1 B0 C1 D1 【答案】D 【解析】化简分式x10 即可求解。 x10， 专题典型训练题 专题典型训练题 4 x1； 经检验：x1 是原分式方程的解。 4.（2019 辽宁本溪）辽宁本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃 圾分类.用 360 万元购买甲型机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为 140 万元.若设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，所列方程正确的是 A.
7、 360480 140 xx B. 360480 140 xx C. 360480 140 xx D. 360480 140 xx 【答案】【答案】A. 【解析】【解析】本题考查了分式方程的应用，设甲种型号机器人每台的价格是 x 万元，根据“用 360 万元购买甲型 机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于 x 的分式方程 设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，可得： 360480 140 xx 5. （2019湖北湖北十堰十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成现还有 6000 米的钢轨需要铺设， 为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设 20 米，就能提
8、前 15 天完成任务设原计划每天铺 设钢轨 x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A15 B15 C20 D20 【答案】A 【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程 设原计划每天铺设钢轨 x 米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设 20 米，就能提前 15 天完成任务可 列方程 设原计划每天铺设钢轨 x 米，可得： 6. （2019山东省济宁市山东省济宁市 ） 世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设， “孔夫子家”自此有了 5G 网络 5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比 4G
9、网络快 45 秒，求 这两种网络的峰值速率设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是（ ） A45 B45 5 C45 D45 【答案】A 【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用 5G 网络比 4G 网络快 45 秒得出等式进而得出答案 设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是： 45 7.（2019江苏苏州）江苏苏州）小明 5 元买售价相同的软面笔记本，小丽用 24 元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱 恰好用完） ，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记 本每本售价为x元，根据题意可列出的方程
10、为（ ） A 1524 3xx B15 24 3xx C 1524 3xx D 1524 3xx 【答案】A 【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量 1524 3xx 二、填空题二、填空题 8.（2019甘肃）甘肃）分式方程的解为 【答案】x 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 去分母得：3x+65x+5， 解得：x， 经检验 x是分式方程的解 9.（2019山东省滨州市）山东省滨州市）方程+1的解是 【答案】x1 【解析】本题考查了解分式方程 （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化
11、为整式方程求 解， （2）解分式方程一定注意要验根 去分母，得 x3+x23， 移项、合并，得 2x2， 解得 x1， 6 检验：当 x1 时，x20， 所以，原方程的解为 x1 10.（2019山东省德州市）山东省德州市）方程1 的解为 【答案】x4 【解析】根据分式方程的解法，先将式子通分化简为1，最后验证根的情况，进而求解。 1， 1， 1， 1， x+13， x4， 经检验 x4 是原方程的根。 11.（2019湖北黄石）湖北黄石）分式方程：1 的解为 【答案】x1 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 去分母得：4xx24x
12、，即 x23x40， 解得：x4 或 x1， 经检验 x4 是增根，分式方程的解为 x1 12.（2019 四川巴中）四川巴中）若关于 x 的分式方程+2m 有增根，则 m 的值为 【答案】1 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母 x 20，得到 x2，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的值 方程两边都乘 x2，得 x2m2m（x2） 原方程有增根， 最简公分母 x20， 解得 x2， 7 当 x2 时，m1 故 m 的值是 1 13.（2019江苏宿迁）江苏宿迁）关于 x 的分式方程+1 的解为正数，则 a 的取值范围是 【答案】a5
13、且 a3 【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出 a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的 条件分析得出答案 去分母得：1a+2x2， 解得：x5a， 5a0， 解得：a5， 当 x5a2 时，a3 不合题意， 故 a5 且 a3 14.（2019贵贵州省安顺市州省安顺市）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达 36 万千克，为了满足市场 需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 9 万千克， 种植亩数减少了 20 亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为 x 万千克， 则改良后平均每亩产量为
14、1.5x 万千克，根据题意列方程为 【答案】 20 【解析】设原计划平均亩产量为 x 万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x 万千克， 依题意，得：20 故答案为：20 15. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化)甲乙两辆汽车同时从 A 地出发,开往相距 200km 的 B 地,甲,乙两车的速度之比是 4:5, 结果乙车比甲车早 30 分钟到达 B 地,则甲车速度为_km/h. 【答案】【答案】80 【解析】【解析】分式方程的应用。 设甲车速度为 4x,乙车速度为 5x,根据题意得: 2002001 452xx , 解之,得 x20,甲车速度为 4x80. 三、解答题三、解答题 8 16.（2
15、019 广西梧州）广西梧州）解方程： 2 26 1 22 x xx 【答案】 3x 是分式方程的解 【解析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案正确去分母、检验是解题关键 方程两边同乘以(2)x得： 2 226xx， 则 2 60 xx， (2)(3)0 xx， 解得： 1 2x ， 2 3x ， 检验：当2x 时，20 x ，故2x 不是方程的根， 3x 是分式方程的解 17.（2019湖北天门）湖北天门）解分式方程： 【答案】见解析。 【解析】去分母化分式方程为整式方程，解之求得 x 的值，再检验即可得 两边都乘以（x+1） （x1） ，得：2（x+1）5， 解得：x， 检验：当 x时，
16、（x+1） （x1）0， 原分式方程的解为 x 18.（2019 贵州省毕节市）贵州省毕节市）解方程：1 3 22 x x 3 1 x x 【答案】见解析。 【解析】观察可得最简公分母是 2（x+1） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 去分母得， 2x+2（x3）6x， x+56x， 解得，x1 经检验：x1 是原方程的解 19.（2019 年陕西省）年陕西省）解分式方程： 22 2 11 x xx 【答案】 2 3 x 9 【解析】去分母，解整式方程，检验根的情况，回答问题 22 2 11 x xx 22 2 11 x xx 方程两边同乘(1)x，得 22(1)2xx
17、 解得 2 3 x 检验：当 2 3 x 时，(1)0 x，所以 2 3 x 是原分式方程的解 所以原分式方程的解为 2 3 x 20.(2019黑龙江大庆黑龙江大庆)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划 生产 450 台机器所需时间相同,求该工厂原来平均每天生产多少台机器? 【答案】见解析。 【解析】由已知列出分式方程,解之可得. 设原来每天生产 x 台机器,则现在每天生产(x+50)台, 根据题意得: 450600 50 xx , 解之,得 x150, 经检验,x150 是原分式方程的解.答:该工厂原来平均每天生产 150 台机器. 21.（20
18、19 吉林长春）吉林长春）为建国 70 周年献礼，某灯具厂计划加工 9000 套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加 工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 5 天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量. 【答案】300 套 【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 x 套，则实际每天加工彩灯的数量为 1.2x 套， 由题意得： 90009000 5 1.2xx ， 解得：x=300， 经检验，x=300 是原方程的解，且符合题意。 22.（2019湖南衡阳）湖南衡阳）某商店购进 A、B 两种商品，购买 1 个 A 商品比购买 1 个 B 商品多花 10 元，并且花 10 费
19、 300 元购买 A 商品和花费 100 元购买 B 商品的数量相等 （1）求购买一个 A 商品和一个 B 商品各需要多少元； （2）商店准备购买 A、B 两种商品共 80 个，若 A 商品的数量不少于 B 商品数量的 4 倍，并且购买 A、B 商 品的总费用不低于 1000 元且不高于 1050 元，那么商店有哪几种购买方案？ 【答案】见解析。 【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正 确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 （1）设购买一个 B 商品需要 x 元，则购买一个 A 商品需要（x+10）元，
20、 依题意，得：， 解得：x5， 经检验，x5 是原方程的解，且符合题意， x+1015 答：购买一个 A 商品需要 15 元，购买一个 B 商品需要 5 元 （2）设购买 B 商品 m 个，则购买 A 商品（80m）个， 依题意，得：， 解得：15m16 m 为整数，m15 或 16 商店有 2 种购买方案，方案：购进 A 商品 65 个、B 商品 15 个； 方案：购进 A 商品 64 个、B 商品 16 个 23.（2019 湖南湘西）湖南湘西）列方程解应用题： 某列车平均提速 80km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶 300km，提速后比提速前多行驶 200km，求该 列车提速前的平均速度 【答案】该列车提速前的平均速度为 120km/h 【解析】设该列车提速前的平均速度为 xkm/h，则提速后的平均速度为（x+80）km/h，根据时间路程 速 度结合提速前行驶 300km 和提速后行驶 500km（300+200）所用时间相等，即可得出关于 x 的分式方程，解 之经检验后即可得出结论 设该列车提速前的平均速度为 xkm/h，则提速后的平均速度为（x+80）km/h， 11 依题意，得：300 = 300+200 +80 ， 解得：x120， 经检验，x120 是原方程的解，且符合题意