1、 1 专题专题 09 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 1 定义： 等号两边都是整式， 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的方程， 叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一 次项系数；c 是常数项。 3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。 4.一元二次方程的解法 有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 （1）直接开方法。 适用形式：x2=p、(x+n)2=p 或(mx+n)2=p。
2、（2）配方法。套用公式 a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： 化简把方程化为一般形式，并把二次项系数化为 1； 移项把常数项移项到等号的右边； 配方两边同时加上 b2，把左边配成 x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； 开方，即降次； 解一次方程。 （3）公式法。 当 b2-4ac0 时，方程 ax2+bx+c=0 的实数根可写为： a acbb x 2 4 2 的形式，这个式子叫做一元二次方 程 ax2+bx+c=0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根。 a
3、 acbb x 2 4 2 1 ， a acbb x 2 4 2 2 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根。 a b xx 2 21 专题知识回顾专题知识回顾 2 b2-4ac0 时，方程无实数根。 定义：b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用字母 表示，即 =b2-4ac。 （4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解 一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(0 2 acbxax的两个实数根是 21 xx， 那么 a b xx 21 ，
4、 a c xx 21 。 也就是说， 对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反 数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤 第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第 3 步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第 4 步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第 5 步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第 6 步：答。 【例题【例题 1】 (2019 安徽安徽)解方程：解方程： （x1）24 【答案】x13，x2
5、1 【解析】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数 项移项等号的右边，化成 x2a（a0）的形式，利用数的开方直接求解 （1）用直接开方法求一元二次方 程的解的类型有：x2a（a0） ；ax2b（a，b 同号且 a0） ； （x+a）2b（b0） ；a（x+b）2c（a，c 同号 且 a0） 法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解” （2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点 利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可 两边直接开平方得：x1 2， x12 或 x12， 解得：x13，x2
6、1 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 【例题【例题 2】(2019 山西）山西）一元二次方程014 2 xx配方后可化为（ ） A.3)2( 2 x B.5)2( 2 x C.3)2( 2 x D.5)2( 2 x 【答案】D 【解析】 222 410,(44)4 10,(2)5xxxxx ，故选 D。 【例题【例题 3】 （】 （2019 年山东省威海市）年山东省威海市）一元二次方程 3x242x 的解是 【答案】x1，x2 【解析】直接利用公式法解方程得出答案 3x242x 3x2+2x40， 则 b24ac44 3 （4）520， 故 x， 解得：x1，x2 【例题【例题 4
7、】 （】 （2019 年江苏省扬州市）年江苏省扬州市）一元二次方程 x（x2）x2 的根是 【答案】1 或 2 【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 x（x2）x2， x（x2）（x2）0， （x2） （x1）0， x20，x10， x12，x21 【例题【例题 5】 （】 （2019 北京市）北京市） 关于 x 的方程 2 2210 xxm 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方 程的根 【答案】m=1，此方程的根为 12 1xx 【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式 2 40bac进而求出 m 的范围；结合 m 的值为正整数，求 出 m 的值，
8、进而得到一元二次方程求解即可. 关于 x 的方程 2 2210 xxm 有实数根， 4 2 2 424 121484880bacmmm 1m 又m 为正整数，m=1， 此时方程为 2 210 xx 解得根为 12 1xx， m=1，此方程的根为 12 1xx 【例题【例题6】（】（2019四川泸州）四川泸州） 已知x1， x2是一元二次方程x2x40的两实根， 则 （x1+4）（x2+4） 的值是 【答案】16 【解析】考查一元二次方程根与系数的关系 x1，x2是一元二次方程 x2x40 的两实根， x1+x21，x1x24， （x1+4） （x2+4） x1x2+4x1+4x2+16 x1x
9、2+4（x1+x2）+16 4+4 1+16 4+4+16 16 【例题【例题 7】 (2019 安徽安徽)据国家统计局数据， 2018 年全年国内生产总值为 90.3 万亿， 比 2017 年增长 6.6% 假 设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破 100 万亿的年份是（ ） A2019 年 B2020 年 C2021 年 D2022 年 【答案】B 【解析】根据题意分别求出 2019 年全年国内生产总值、2020 年全年国内生产总值，得到答案2019 年全 年国内生产总值为：90.3 （1+6.6%）96.2598（万亿） ， 2020 年全年国内生产总值为：96.25
10、98 （1+6.6%）102.6（万亿） ， 国内生产总值首次突破 100 万亿的年份是 2020 年。 一、选择题一、选择题 1.( 2019 甘肃省兰州市甘肃省兰州市) x1 是关于的一元二次方程 x2+ax+2b0 的解，则 2a+4b（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 专题典型训练题 专题典型训练题 5 【答案】A 【解析】将 x1 代入方程 x2+ax+2b0，得 a+2b1， 2a+4b2（a+2b）2 （1）2. 2.（2019湖南怀化）湖南怀化）一元二次方程 x2+2x+10 的解是（ ） Ax11，x21 Bx1x21 Cx1x21 Dx11，x22 【答案】C
11、【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 利用完全平方公式变形，从而得出方程的解 x2+2x+10， （x+1）20， 则 x+10， 解得 x1x21， 3.（2019浙江金华）浙江金华）用配方法解方程 x 2-6x-8=0 时，配方结果正确的是（ ） A. (x-3)2=17 B. (x-3)2=14 C. （x-6)2=44 D. (x-3）2=1 【答案】 A 【解析】配方法解一元二次方程 x2-6x-8=0， x2-6x+9=8+9， （x-3）2=17.
12、 4. （2019 湖北咸宁）湖北咸宁）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【答案】 【解析】关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有实数根， （2）24m0， 解得：m1 5.(2019内蒙古包头市内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4， 且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0 的两根，则 m 的值是（ ） A. 34 B.30 C.30 或 34 D.30 或 36 【答案】A. 6 【解析】分两种情况讨论： 若 4 为等腰三角形底边长，则 a，b 是两腰， 方程 x2-12
13、x+m+2=0 有两个相等实根， =(-12)2-4 1 (m+2)=136-4m=0, m=34. 此时方程为 x2-12x+36=0，解得 x1=x2=6. 三边为 6，6，4，满足三边关系，符合题意. 若 4 为等腰三角形腰长，则 a，b 中有一条边也为 4， 方程 x2-12x+m+2=0 有一根为 4. 42-12 4+m+2=0， 解得，m=30. 此时方程为 x2-12x+32=0，解得 x1=4，x2=8. 三边为 4，4，8，不满足三边关系，故舍去. 综上，m 的值为 34. 6. （2019山东省聊城市）山东省聊城市） 若关于 x 的一元二次方程 （k2） x22kx+k6
14、 有实数根， 则 k 的取值范围为 （ ） Ak0 B k0 且 k2 Ck Dk且 k2 【答案】D 【解析】考点是一元二次方程的定义以及根的判别式。根据二次项系数非零结合根的判别式0，即可得 出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出 k 的取值范围 （k2）x22kx+k60， 关于 x 的一元二次方程（k2）x22kx+k6 有实数根， ， 解得：k且 k2 7. （2019 湖北仙桃）湖北仙桃）若方程 x22x40 的两个实数根为 ，则 2+2的值为（ ） A12 B10 C4 D4 【答案】A 【解析】方程 x22x40 的两个实数根为 ， 7 +2，4， 2+2（+）224+8
15、12 8. （2019江苏泰州）江苏泰州）方程 2x2+6x10 的两根为 x1 、x2 则 x1+x2等于（ ） A6 B6 C3 D3 【答案】C 【解析】根据根与系数的关系即可求出答案 由于0， x1+x23， 9.（2019 山东淄博）山东淄博）若 x1+x23，x12+x225，则以 x1，x2为根的一元二次方程是（ ） Ax23x+20 Bx2+3x20 Cx2+3x+20 Dx23x20 【答案】A 【解析】 本题考查了根与系数的关系： 若 x1， x2是一元二次方程 ax2+bx+c0 （a0） 的两根时， x1+x2， x1x2利用完全平方公式计算出 x1x22，然后根据根与
16、系数的关系写出以 x1，x2为根的一元二次方程 x12+x225， （x1+x2）22x1x25， 而 x1+x23， 92x1x25， x1x22， 以 x1，x2为根的一元二次方程为 x23x+20 10. （2019广东）广东）已知 x1.x2是一元二次方程了 x22x=0 的两个实数根，下列结论错误的是（ ） Ax1x2 Bx122x1=0 Cx1+x2=2 Dx1 x2=2 【答案】D 【解析】因式分解 x（x-2）=0，解得两个根分别为 0 和 2，代入选项排除法. 11.（2019广西贵港）广西贵港）若 ， 是关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的两实根，且+， 则 m 等
17、于（ ） A2 B3 C2 D3 【答案】B 【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到 +2，m，再化简+，代入可求解； 8 ， 是关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的两实根， +2，m， +， m3 12 （ （2019浙江宁波）浙江宁波）能说明命题“关于 x 的方程 x24x+m0 一定有实数根”是假命题的反例为（ ） Am1 Bm0 Cm4 Dm5 【答案】D 【解析】 利用 m5 使方程 x24x+m0 没有实数解， 从而可把 m5 作为说明命题“关于 x 的方程 x24x+m 0 一定有实数根”是假命题的反例 当 m5 时，方程变形为 x24x+m50， 因为（4）24 5
18、0， 所以方程没有实数解， 所以 m5 可作为说明命题“关于 x 的方程 x24x+m0 一定有实数根”是假命题的反例 13.（2019黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，则平均每次 降价的百分率为（ ） A20% B40% C18% D36% 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式 a（1x）2b 对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键 设降价的百分率为 x 根据题意可列方程为 25（1x）216 解方程得，（舍） 每次降价得百分率为 20% 14. （2019湖南衡阳
19、）湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区 2016 年底 有贫困人口 9 万人，通过社会各界的努力，2018 年底贫困人口减少至 1 万人设 2016 年底至 2018 年底该 地区贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意列方程得（ ） A9（12x）1 B9（1x）21 C9（1+2x）1 D9（1+x）21 【答案】B 【解析】等量关系为：2016 年贫困人口 （1下降率）22018 年贫困人口，把相关数值代入计算即可 设这两年全省贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意得： 9 二、填空题二、填空题 15. （2019 湖北十堰）湖北十堰）对于实数 a，b
20、，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m 3）24，则 m 【答案】3 或 4 【解析】根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224， （2m1）2490， （2m1+7） （2m17）0， 2m1+70 或 2m170， 所以 m13，m24 16. （2019 吉林长春）吉林长春）一元二次方程 x2-3x+1=0 根的判别式的值为 . 【答案】5 【解析】a=1，b=-3，c=1， =b2-4ac=(-3)2-4 1 1=5 17.（2019 吉林省）吉林省）若关于 x 的一元二次方程（x+3)2=c 有实数根，则 c 的值可以为 （写出一个即可） 【答案
21、】答案不唯一，例如 5， （c0 时方程都有实数根） 【解析】c0 时方程都有实数根 18.（2019 年湖北省荆门市）年湖北省荆门市）已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2+（3k+1）x+2k2+10 的两个不相等实数根，且 满足（x11） （x21）8k2，则 k 的值为 【答案】1 【解析】根据根与系数的关系结合（x11） （x21）8k2，可得出关于 k 的一元二次方程，解之即可得出 k 的值，根据方程的系数结合根的判别式0，可得出关于 k 的一元二次不等式，解之即可得出 k 的取值 范围，进而即可确定 k 值，此题得解 x1，x2是关于 x 的方程 x2+（3k+1）x+2k2+
22、10 的两个实数根， x1+x2（3k+1） ，x1x22k2+1 （x11） （x21）8k2，即 x1x2（x1+x2）+18k2， 2k2+1+3k+1+18k2， 整理，得：2k2k10， 解得：k1，k21 关于 x 的方程 x2+（3k+1）x+2k2+10 的两个不相等实数根， 10 （3k+1）24 1 （2k2+1）0， 解得：k32或 k3+2， k1 19. （2019 广西桂林）广西桂林）一元二次方程(3)(2)0 xx的根是 【答案】 1 3x ， 2 2x 【解析】解一元二次方程因式分解法 30 x 或20 x ，所以 1 3x ， 2 2x 故答案为 1 3x ，
23、 2 2x 20. （2019年四川省遂宁市）年四川省遂宁市） 若关于x的方程x22x+k0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围为 【答案】k1 【解析】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 利用根的判别式进行计算，令0 即可得到关于 k 的不等式，解答即可 关于 x 的方程 x22x+k0 有两个不相等的实数根， 0， 即 44k0， k1 21.（2019 年江西省）年江西省）设 x1，x2是一元二次方程 x2x10 的两根，则 x1+x2+x1x2 【答案】0 【解
24、析】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x2，则 x1+x2 ，x1x2直接根据根与系数的关系求解 x1、x2是方程 x2x10 的两根， x1+x21，x1 x21， x1+x2+x1x2110 22.（2019 年四川省攀枝花市）年四川省攀枝花市）已知 x1，x2是方程 x22x10 的两根，则 x12+x22 【答案】6 【解析】根据根与系数的关系变形后求解 11 x1、x2是方程 x22x10 的两根， x1+x22，x1 x21， x12+x22（x1+x2）22x1x2222 （1）6 23.（2019 年四川省成都市）年四川省成
25、都市）已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k10 的两个实数根，且 x12+x22 x1x213，则 k 的值为 【答案】-2 【解析】根据“x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k10 的两个实数根，且 x12+x22x1x213”，结合根 与系数的关系，列出关于 k 的一元一次方程，解之即可 根据题意得：x1+x22，x1x2k1， +x1x2 3x1x2 43（k1）13 24.（2019 年甘肃省天水市）年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元，到 2018 年人均年收入达
26、到 39200 元则该地区居民年人均收入平均增长率 为 （用百分数表示） 【答案】40% 【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决 设该地区居民年人均收入平均增长率为 x， 20000（1+x）239200， 解得，x10.4，x22.4（舍去） ， 该地区居民年人均收入平均增长率为 40% 25.（2019 年四川省宜宾市）年四川省宜宾市）某产品每件的生产成本为 50 元，原定销售价 65 元，经市场预测，从现在开始 的第一季度销售价格将下降 10%，第二季度又将回升 5%若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平 均降低成本的百分率为 x
27、，根据题意可列方程是 【答案】65 （110%） （1+5%）50（1x）26550 【解析】设每个季度平均降低成本的百分率为 x，根据利润售价成本价结合半年以后的销售利润为（65 50）元，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 设每个季度平均降低成本的百分率为 x， 12 依题意，得：65 （110%） （1+5%）50（1x）26550 26.（2019 年江苏省连云港市）年江苏省连云港市）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2c0 有两个相等的实数根，则+c 的值等于 【答案】2 【解析】根据“关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2c0 有两个相等的实数根”，结合根的判
28、别式公式，得到 关于 a 和 c 的等式，整理后即可得到的答案 根据题意得： 44a（2c）0， 整理得：4ac8a4， 4a（c2）4， 方程 ax2+2x+2c0 是一元二次方程， a0， 等式两边同时除以 4a 得：c2， 则+c2 27.（2019 年浙江省嘉兴市）年浙江省嘉兴市）在 x2+ +40 的括号中添加一个关于 x 的一次项，使方程有两个相等的实数 根 【答案】 4x 【解析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（b24ac）可以判 断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实 数根；当0 时，方程有两
29、个相等的实数根；当0 时，方程无实数根，但有 2 个共轭复根上 述结论反过来也成立 要使方程有两个相等的实数根，即0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可 要使方程有两个相等的实数根，则b24acb2160 得 b 4 故一次项为 4x 28.（2019 年山东省枣庄市）年山东省枣庄市）已知关于 x 的方程 ax2+2x30 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围 是 【答案】a且 a0 13 【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式是 b24ac 0 即可进行解答 【解答】解：由关于 x 的方程 ax2+2x30 有两个不相等的实数
30、根 得b24ac4+4 3a0， 解得 a 则 a且 a0 三、解答题三、解答题 29.（2019 年浙江省绍兴市）年浙江省绍兴市）x 为何值时，两个代数式 x2+1，4x+1 的值相等？ 【答案】x10，x24 【解析】考查了实数的运算，因式分解法解一元二次方程因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左 边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元 一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学 转化思想） 利用题意得到 x2+14x+1，利用因式分解法解方程即可 x2+14x+1， x24x
31、0， x（x4）0， x10，x24 30. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化)已知关于 x 的方程 kx23x+10 有实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)若该方程有两个实数根,分别为 x1和 x2,当 x1+x2+x1x24 时,求 k 的值. 【答案】见解析。 【解析】根据根的判别式列出不等式,即可求得 k 的范围;由根与系数的关系,得到方程,即可解得 k 的值. (1)当k0时,方程是一元一次方程,有实数根,符合题意;当k0时,方程是一元二次方程,由题意得94k0, k 9 4 ,综上所述,k 的取值范围是 k 9 4 . (2)x1和 x2是该方程的两个实数根,x1+x2 3
32、 k ,x1x2 1 k ,x1+x2+x1x24, 3 k + 1 k 4,解得 k1,经检验,k 1 是原分式方程的解,且 1 9 4 ,k 的值为 1. 14 31. （ 2019 湖北十堰）湖北十堰）已知于 x 的元二次方程 x26x+2a+50 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求 a 的取值范围； （2）若 x12+x22x1x230，且 a 为整数，求 a 的值 【答案】（1）a2 （2）a 的值为1，0，1 【解析】根据根的判别式，可得到关于 a 的不等式，则可求得 a 的取值范围； 由根与系数的关系，用 a 表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于 a 的不等式，则可
33、求得 a 的取值 范围，再求其值即可 （1）关于 x 的一元二次方程 x26x+2a+50 有两个不相等的实数根 x1，x2， 0，即（6）24（2a+5）0， 解得 a2； （2）由根与系数的关系知：x1+x26，x1x22a+5， x1，x2满足 x12+x22x1x230， （x1+x2）23x1x230， 363（2a+5）30， a 3 2，a 为整数， a 的值为1，0，1 32. （2019 湖北孝感）湖北孝感）已知关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根 x1， x2 （1）若 a 为正整数，求 a 的值； （2）若 x1，x2满足 x12+
34、x22x1x216，求 a 的值 【答案】（1）a1，2 （2）a1 【解析】根据关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根，得到 2（a1）24（a2a2）0，于是得到结论； 根据 x1+x22（a1） ，x1x2a2a2，代入 x12+x22x1x216，解方程即可得到结论 （1）关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根， 2（a1）24（a2a2）0， 解得：a3， a 为正整数， a1，2； 15 （2）x1+x22（a1） ，x1x2a2a2， x12+x22x1x216， （x1+x2）2x1x216， 2（a1
35、）23（a2a2）16， 解得：a11，a26， a3， a1 33.（2019 江苏徐州）江苏徐州）如图所示，有一块矩形硬纸板，长 30cm,宽 20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形， 然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子 的侧面积为 200cm2？ 【答案】5 【解析】根据题目给定的相等关系，列出一元二次方程，解这个方程取舍后得出实际问题的解. 设剪去的小正方形的边长为 xcm， 则根据题意有：(30-2x)(20-2x)=200，解得 x1=5，x2=20， 当 x=20 时，20-2x0，所以 x=5. 所以，当剪去小正方形的
36、边长为 5cm 时，长方体盒子的底面积为 200cm2. 34.（2019湖南衡阳）湖南衡阳）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一个相 同的根，求此时 m 的值 【答案】见解析。 【解析】 （1）根据题意得（3）24k0， 解得 k； （2）k 的最大整数为 2， 16 方程 x23x+k0 变形为 x23x+20，解得 x11，x22， 一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一个相同的根， 当 x1 时，m1+1+m3
37、0，解得 m； 当 x2 时，4（m1）+2+m30，解得 m1， 而 m10， m 的值为 35. （2019广西贵港）广西贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万册增加到 7.2 万册 （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年新增加的图书中， 中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到 2018 年底中外古典名著的册数占藏 书总量的百分之几？ 【答案】见解析。 【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年
38、均增长率； 根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总 量的百分之几 （1）设这两年藏书的年均增长率是 x， 5（1+x）27.2， 解得，x10.2，x22.2（舍去） ， 答：这两年藏书的年均增长率是 20%； （2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.25） 20%0.44（万册） ， 到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是： 100%10%， 答：到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10% 36. （2019湖南长沙）湖南长沙）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ，
39、鼓励教师参 与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益 课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次 （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 17 【答案】见解析。 【解析】设增长率为 x，根据“第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次”可列方 程求解；用 2.42 （1+增长率） ，计算即可求解 （1）设增长率为 x，根据题意，得 2（1+x）22.42， 解得 x12.1（舍去） ，x20.11
40、0% 答：增长率为 10% （2）2.42（1+0.1）2.662（万人） 答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次 37. （2019湖南邵阳）湖南邵阳） 2019 年 1 月 14 日， 国新办举行新闻发布会， 海关总署新闻发言人李魁文在会上指出： 在 2018 年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为 30 万亿元人民币有望继续保持全球货 物贸易第一大国地位预计 2020 年我国外贸进出口总值将达 36.3 万亿元人民币求这两年我国外贸进出口 总值的年平均增长率 【答案】10% 【解析】根据 a（1x）2b 增长率公式建立方程 30（1+x）236.3，解方程即可 设
41、平均增长率为 x，根据题意列方程得 30（1+x）236.3 解得 x10.1，x22.1（舍） 答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为 10% 38.（2019湖北黄石）湖北黄石）已知关于 x 的一元二次方程 x26x+（4m+1）0 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为 x1.x2，且|x1x2|4，求 m 的值 【答案】见解析。 【解析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取 值范围；由根与系数的关系可得出 x1+x26，x1x24m+1，结合|x1x2|4 可得出关于 m 的一元一次方程， 解之即可得出
42、m 的值 （1）关于 x 的一元二次方程 x26x+（4m+1）0 有实数根， （6）24 1 （4m+1）0， 解得：m2 18 （2）方程 x26x+（4m+1）0 的两个实数根为 x1.x2， x1+x26，x1x24m+1， （x1x2）2（x1+x2）24x1x242，即 3216m16， 解得：m1 39. （2019南京）南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形 广场长与宽的比为 3：2扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺 设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后
43、广场的长和宽应分别是多少米？ 【答案】扩充后广场的长为 90m，宽为 60m 【解析】 设扩充后广场的长为 3xm， 宽为 2xm， 根据矩形的面积公式和总价单价 数量列出方程并解答 设 扩充后广场的长为 3xm，宽为 2xm， 依题意得：3x2x100+30（3x2x50 40）642000 解得 x130，x230（舍去） 所以 3x90，2x60 40. （2019山东省德州市山东省德州市 ）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋 养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进 馆 128 人次，进馆人次逐月增加，
44、到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同 （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率 不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由 【答案】见解析。 【解析】一元二次方程应用。先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次 加第二和第三个月的进馆人次等于 608，列方程求解；根据所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进 馆人次，再与 500 比较大小即可 （1）设进馆人次的月平均增长率为 x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2608 19 化简得：4x2+12x70 （2x1） （2x+7）0， x0.550%或 x3.5（舍） 答：进馆人次的月平均增长率为 50% （2）进馆人次的月平均增长率为 50%， 第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3128432500 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次