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本文(专题09 一元二次方程及其应用(教师版) 备战2020中考数学复习点拨(共34讲))为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

专题09 一元二次方程及其应用(教师版) 备战2020中考数学复习点拨(共34讲)

1、 1 专题专题 09 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 1 定义: 等号两边都是整式, 只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的方程, 叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a0)。其中 ax2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一 次项系数;c 是常数项。 3. 一元二次方程的根:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。 4.一元二次方程的解法 有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 (1)直接开方法。 适用形式:x2=p、(x+n)2=p 或(mx+n)2=p。

2、(2)配方法。套用公式 a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2,配方法解一元二次方程的一般步骤是: 化简把方程化为一般形式,并把二次项系数化为 1; 移项把常数项移项到等号的右边; 配方两边同时加上 b2,把左边配成 x2+2bx+b2的形式,并写成完全平方的形式; 开方,即降次; 解一次方程。 (3)公式法。 当 b2-4ac0 时,方程 ax2+bx+c=0 的实数根可写为: a acbb x 2 4 2 的形式,这个式子叫做一元二次方 程 ax2+bx+c=0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 b2-4ac0 时,方程有两个不相等的实数根。 a

3、 acbb x 2 4 2 1 , a acbb x 2 4 2 2 b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根。 a b xx 2 21 专题知识回顾专题知识回顾 2 b2-4ac0 时,方程无实数根。 定义:b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式,通常用字母 表示,即 =b2-4ac。 (4)因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解 一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(0 2 acbxax的两个实数根是 21 xx, 那么 a b xx 21 ,

4、 a c xx 21 。 也就是说, 对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反 数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤 第 1 步:审题。认真读题,分析题中各个量之间的关系。 第 2 步:设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第 3 步:列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第 4 步:解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第 5 步:检验。检验所求得的根是否满足题意。 第 6 步:答。 【例题【例题 1】 (2019 安徽安徽)解方程:解方程: (x1)24 【答案】x13,x2

5、1 【解析】此题主要考查了直接开平方法,解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数 项移项等号的右边,化成 x2a(a0)的形式,利用数的开方直接求解 (1)用直接开方法求一元二次方 程的解的类型有:x2a(a0) ;ax2b(a,b 同号且 a0) ; (x+a)2b(b0) ;a(x+b)2c(a,c 同号 且 a0) 法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为 1,再开平方取正负,分开求得方程解” (2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点 利用直接开平方法,方程两边直接开平方即可 两边直接开平方得:x1 2, x12 或 x12, 解得:x13,x2

6、1 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 【例题【例题 2】(2019 山西)山西)一元二次方程014 2 xx配方后可化为( ) A.3)2( 2 x B.5)2( 2 x C.3)2( 2 x D.5)2( 2 x 【答案】D 【解析】 222 410,(44)4 10,(2)5xxxxx ,故选 D。 【例题【例题 3】 (】 (2019 年山东省威海市)年山东省威海市)一元二次方程 3x242x 的解是 【答案】x1,x2 【解析】直接利用公式法解方程得出答案 3x242x 3x2+2x40, 则 b24ac44 3 (4)520, 故 x, 解得:x1,x2 【例题【例题 4

7、】 (】 (2019 年江苏省扬州市)年江苏省扬州市)一元二次方程 x(x2)x2 的根是 【答案】1 或 2 【解析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可 x(x2)x2, x(x2)(x2)0, (x2) (x1)0, x20,x10, x12,x21 【例题【例题 5】 (】 (2019 北京市)北京市) 关于 x 的方程 2 2210 xxm 有实数根,且 m 为正整数,求 m 的值及此时方 程的根 【答案】m=1,此方程的根为 12 1xx 【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式 2 40bac进而求出 m 的范围;结合 m 的值为正整数,求 出 m 的值,

8、进而得到一元二次方程求解即可. 关于 x 的方程 2 2210 xxm 有实数根, 4 2 2 424 121484880bacmmm 1m 又m 为正整数,m=1, 此时方程为 2 210 xx 解得根为 12 1xx, m=1,此方程的根为 12 1xx 【例题【例题6】(】(2019四川泸州)四川泸州) 已知x1, x2是一元二次方程x2x40的两实根, 则 (x1+4)(x2+4) 的值是 【答案】16 【解析】考查一元二次方程根与系数的关系 x1,x2是一元二次方程 x2x40 的两实根, x1+x21,x1x24, (x1+4) (x2+4) x1x2+4x1+4x2+16 x1x

9、2+4(x1+x2)+16 4+4 1+16 4+4+16 16 【例题【例题 7】 (2019 安徽安徽)据国家统计局数据, 2018 年全年国内生产总值为 90.3 万亿, 比 2017 年增长 6.6% 假 设国内生产总值的年增长率保持不变,则国内生产总值首次突破 100 万亿的年份是( ) A2019 年 B2020 年 C2021 年 D2022 年 【答案】B 【解析】根据题意分别求出 2019 年全年国内生产总值、2020 年全年国内生产总值,得到答案2019 年全 年国内生产总值为:90.3 (1+6.6%)96.2598(万亿) , 2020 年全年国内生产总值为:96.25

10、98 (1+6.6%)102.6(万亿) , 国内生产总值首次突破 100 万亿的年份是 2020 年。 一、选择题一、选择题 1.( 2019 甘肃省兰州市甘肃省兰州市) x1 是关于的一元二次方程 x2+ax+2b0 的解,则 2a+4b( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 专题典型训练题 专题典型训练题 5 【答案】A 【解析】将 x1 代入方程 x2+ax+2b0,得 a+2b1, 2a+4b2(a+2b)2 (1)2. 2.(2019湖南怀化)湖南怀化)一元二次方程 x2+2x+10 的解是( ) Ax11,x21 Bx1x21 Cx1x21 Dx11,x22 【答案】C

11、【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 利用完全平方公式变形,从而得出方程的解 x2+2x+10, (x+1)20, 则 x+10, 解得 x1x21, 3.(2019浙江金华)浙江金华)用配方法解方程 x 2-6x-8=0 时,配方结果正确的是( ) A. (x-3)2=17 B. (x-3)2=14 C. (x-6)2=44 D. (x-3)2=1 【答案】 A 【解析】配方法解一元二次方程 x2-6x-8=0, x2-6x+9=8+9, (x-3)2=17.

12、 4. (2019 湖北咸宁)湖北咸宁)若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有实数根,则实数 m 的取值范围是( ) Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【答案】 【解析】关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有实数根, (2)24m0, 解得:m1 5.(2019内蒙古包头市内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4, 且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0 的两根,则 m 的值是( ) A. 34 B.30 C.30 或 34 D.30 或 36 【答案】A. 6 【解析】分两种情况讨论: 若 4 为等腰三角形底边长,则 a,b 是两腰, 方程 x2-12

13、x+m+2=0 有两个相等实根, =(-12)2-4 1 (m+2)=136-4m=0, m=34. 此时方程为 x2-12x+36=0,解得 x1=x2=6. 三边为 6,6,4,满足三边关系,符合题意. 若 4 为等腰三角形腰长,则 a,b 中有一条边也为 4, 方程 x2-12x+m+2=0 有一根为 4. 42-12 4+m+2=0, 解得,m=30. 此时方程为 x2-12x+32=0,解得 x1=4,x2=8. 三边为 4,4,8,不满足三边关系,故舍去. 综上,m 的值为 34. 6. (2019山东省聊城市)山东省聊城市) 若关于 x 的一元二次方程 (k2) x22kx+k6

14、 有实数根, 则 k 的取值范围为 ( ) Ak0 B k0 且 k2 Ck Dk且 k2 【答案】D 【解析】考点是一元二次方程的定义以及根的判别式。根据二次项系数非零结合根的判别式0,即可得 出关于 k 的一元一次不等式组,解之即可得出 k 的取值范围 (k2)x22kx+k60, 关于 x 的一元二次方程(k2)x22kx+k6 有实数根, , 解得:k且 k2 7. (2019 湖北仙桃)湖北仙桃)若方程 x22x40 的两个实数根为 ,则 2+2的值为( ) A12 B10 C4 D4 【答案】A 【解析】方程 x22x40 的两个实数根为 , 7 +2,4, 2+2(+)224+8

15、12 8. (2019江苏泰州)江苏泰州)方程 2x2+6x10 的两根为 x1 、x2 则 x1+x2等于( ) A6 B6 C3 D3 【答案】C 【解析】根据根与系数的关系即可求出答案 由于0, x1+x23, 9.(2019 山东淄博)山东淄博)若 x1+x23,x12+x225,则以 x1,x2为根的一元二次方程是( ) Ax23x+20 Bx2+3x20 Cx2+3x+20 Dx23x20 【答案】A 【解析】 本题考查了根与系数的关系: 若 x1, x2是一元二次方程 ax2+bx+c0 (a0) 的两根时, x1+x2, x1x2利用完全平方公式计算出 x1x22,然后根据根与

16、系数的关系写出以 x1,x2为根的一元二次方程 x12+x225, (x1+x2)22x1x25, 而 x1+x23, 92x1x25, x1x22, 以 x1,x2为根的一元二次方程为 x23x+20 10. (2019广东)广东)已知 x1.x2是一元二次方程了 x22x=0 的两个实数根,下列结论错误的是( ) Ax1x2 Bx122x1=0 Cx1+x2=2 Dx1 x2=2 【答案】D 【解析】因式分解 x(x-2)=0,解得两个根分别为 0 和 2,代入选项排除法. 11.(2019广西贵港)广西贵港)若 , 是关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的两实根,且+, 则 m 等

17、于( ) A2 B3 C2 D3 【答案】B 【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到 +2,m,再化简+,代入可求解; 8 , 是关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的两实根, +2,m, +, m3 12 ( (2019浙江宁波)浙江宁波)能说明命题“关于 x 的方程 x24x+m0 一定有实数根”是假命题的反例为( ) Am1 Bm0 Cm4 Dm5 【答案】D 【解析】 利用 m5 使方程 x24x+m0 没有实数解, 从而可把 m5 作为说明命题“关于 x 的方程 x24x+m 0 一定有实数根”是假命题的反例 当 m5 时,方程变形为 x24x+m50, 因为(4)24 5

18、0, 所以方程没有实数解, 所以 m5 可作为说明命题“关于 x 的方程 x24x+m0 一定有实数根”是假命题的反例 13.(2019黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨)某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元,则平均每次 降价的百分率为( ) A20% B40% C18% D36% 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题,按照公式 a(1x)2b 对照参数位置代入值即可,公式的记忆与运用是本题的解题关键 设降价的百分率为 x 根据题意可列方程为 25(1x)216 解方程得,(舍) 每次降价得百分率为 20% 14. (2019湖南衡阳

19、)湖南衡阳)国家实施”精准扶贫“政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路某地区 2016 年底 有贫困人口 9 万人,通过社会各界的努力,2018 年底贫困人口减少至 1 万人设 2016 年底至 2018 年底该 地区贫困人口的年平均下降率为 x,根据题意列方程得( ) A9(12x)1 B9(1x)21 C9(1+2x)1 D9(1+x)21 【答案】B 【解析】等量关系为:2016 年贫困人口 (1下降率)22018 年贫困人口,把相关数值代入计算即可 设这两年全省贫困人口的年平均下降率为 x,根据题意得: 9 二、填空题二、填空题 15. (2019 湖北十堰)湖北十堰)对于实数 a,b

20、,定义运算“”如下:ab(a+b)2(ab)2若(m+2)(m 3)24,则 m 【答案】3 或 4 【解析】根据题意得(m+2)+(m3)2(m+2)(m3)224, (2m1)2490, (2m1+7) (2m17)0, 2m1+70 或 2m170, 所以 m13,m24 16. (2019 吉林长春)吉林长春)一元二次方程 x2-3x+1=0 根的判别式的值为 . 【答案】5 【解析】a=1,b=-3,c=1, =b2-4ac=(-3)2-4 1 1=5 17.(2019 吉林省)吉林省)若关于 x 的一元二次方程(x+3)2=c 有实数根,则 c 的值可以为 (写出一个即可) 【答案

21、】答案不唯一,例如 5, (c0 时方程都有实数根) 【解析】c0 时方程都有实数根 18.(2019 年湖北省荆门市)年湖北省荆门市)已知 x1,x2是关于 x 的方程 x2+(3k+1)x+2k2+10 的两个不相等实数根,且 满足(x11) (x21)8k2,则 k 的值为 【答案】1 【解析】根据根与系数的关系结合(x11) (x21)8k2,可得出关于 k 的一元二次方程,解之即可得出 k 的值,根据方程的系数结合根的判别式0,可得出关于 k 的一元二次不等式,解之即可得出 k 的取值 范围,进而即可确定 k 值,此题得解 x1,x2是关于 x 的方程 x2+(3k+1)x+2k2+

22、10 的两个实数根, x1+x2(3k+1) ,x1x22k2+1 (x11) (x21)8k2,即 x1x2(x1+x2)+18k2, 2k2+1+3k+1+18k2, 整理,得:2k2k10, 解得:k1,k21 关于 x 的方程 x2+(3k+1)x+2k2+10 的两个不相等实数根, 10 (3k+1)24 1 (2k2+1)0, 解得:k32或 k3+2, k1 19. (2019 广西桂林)广西桂林)一元二次方程(3)(2)0 xx的根是 【答案】 1 3x , 2 2x 【解析】解一元二次方程因式分解法 30 x 或20 x ,所以 1 3x , 2 2x 故答案为 1 3x ,

23、 2 2x 20. (2019年四川省遂宁市)年四川省遂宁市) 若关于x的方程x22x+k0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围为 【答案】k1 【解析】本题考查了根的判别式,要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系: (1)0方程有两个不相等的实数根; (2)0方程有两个相等的实数根; (3)0方程没有实数根 利用根的判别式进行计算,令0 即可得到关于 k 的不等式,解答即可 关于 x 的方程 x22x+k0 有两个不相等的实数根, 0, 即 44k0, k1 21.(2019 年江西省)年江西省)设 x1,x2是一元二次方程 x2x10 的两根,则 x1+x2+x1x2 【答案】0 【解

24、析】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0(a0)的根与系数的关系:若方程两个为 x1,x2,则 x1+x2 ,x1x2直接根据根与系数的关系求解 x1、x2是方程 x2x10 的两根, x1+x21,x1 x21, x1+x2+x1x2110 22.(2019 年四川省攀枝花市)年四川省攀枝花市)已知 x1,x2是方程 x22x10 的两根,则 x12+x22 【答案】6 【解析】根据根与系数的关系变形后求解 11 x1、x2是方程 x22x10 的两根, x1+x22,x1 x21, x12+x22(x1+x2)22x1x2222 (1)6 23.(2019 年四川省成都市)年四川省成

25、都市)已知 x1,x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k10 的两个实数根,且 x12+x22 x1x213,则 k 的值为 【答案】-2 【解析】根据“x1,x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k10 的两个实数根,且 x12+x22x1x213”,结合根 与系数的关系,列出关于 k 的一元一次方程,解之即可 根据题意得:x1+x22,x1x2k1, +x1x2 3x1x2 43(k1)13 24.(2019 年甘肃省天水市)年甘肃省天水市)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元,到 2018 年人均年收入达

26、到 39200 元则该地区居民年人均收入平均增长率 为 (用百分数表示) 【答案】40% 【解析】根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率,本题得以解决 设该地区居民年人均收入平均增长率为 x, 20000(1+x)239200, 解得,x10.4,x22.4(舍去) , 该地区居民年人均收入平均增长率为 40% 25.(2019 年四川省宜宾市)年四川省宜宾市)某产品每件的生产成本为 50 元,原定销售价 65 元,经市场预测,从现在开始 的第一季度销售价格将下降 10%,第二季度又将回升 5%若要使半年以后的销售利润不变,设每个季度平 均降低成本的百分率为 x

27、,根据题意可列方程是 【答案】65 (110%) (1+5%)50(1x)26550 【解析】设每个季度平均降低成本的百分率为 x,根据利润售价成本价结合半年以后的销售利润为(65 50)元,即可得出关于 x 的一元二次方程,此题得解 设每个季度平均降低成本的百分率为 x, 12 依题意,得:65 (110%) (1+5%)50(1x)26550 26.(2019 年江苏省连云港市)年江苏省连云港市)已知关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2c0 有两个相等的实数根,则+c 的值等于 【答案】2 【解析】根据“关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2c0 有两个相等的实数根”,结合根的判

28、别式公式,得到 关于 a 和 c 的等式,整理后即可得到的答案 根据题意得: 44a(2c)0, 整理得:4ac8a4, 4a(c2)4, 方程 ax2+2x+2c0 是一元二次方程, a0, 等式两边同时除以 4a 得:c2, 则+c2 27.(2019 年浙江省嘉兴市)年浙江省嘉兴市)在 x2+ +40 的括号中添加一个关于 x 的一次项,使方程有两个相等的实数 根 【答案】 4x 【解析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式,利用一元二次方程根的判别式(b24ac)可以判 断方程的根的情况:一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系:当0 时,方程有两个不相等的实 数根;当0 时,方程有两

29、个相等的实数根;当0 时,方程无实数根,但有 2 个共轭复根上 述结论反过来也成立 要使方程有两个相等的实数根,即0,则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可 要使方程有两个相等的实数根,则b24acb2160 得 b 4 故一次项为 4x 28.(2019 年山东省枣庄市)年山东省枣庄市)已知关于 x 的方程 ax2+2x30 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围 是 【答案】a且 a0 13 【分析】由方程有两个不相等的实数根,则运用一元二次方程 ax2+bx+c0(a0)的根的判别式是 b24ac 0 即可进行解答 【解答】解:由关于 x 的方程 ax2+2x30 有两个不相等的实数

30、根 得b24ac4+4 3a0, 解得 a 则 a且 a0 三、解答题三、解答题 29.(2019 年浙江省绍兴市)年浙江省绍兴市)x 为何值时,两个代数式 x2+1,4x+1 的值相等? 【答案】x10,x24 【解析】考查了实数的运算,因式分解法解一元二次方程因式分解法就是先把方程的右边化为 0,再把左 边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为 0,这就能得到两个一元 一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学 转化思想) 利用题意得到 x2+14x+1,利用因式分解法解方程即可 x2+14x+1, x24x

31、0, x(x4)0, x10,x24 30. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化)已知关于 x 的方程 kx23x+10 有实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)若该方程有两个实数根,分别为 x1和 x2,当 x1+x2+x1x24 时,求 k 的值. 【答案】见解析。 【解析】根据根的判别式列出不等式,即可求得 k 的范围;由根与系数的关系,得到方程,即可解得 k 的值. (1)当k0时,方程是一元一次方程,有实数根,符合题意;当k0时,方程是一元二次方程,由题意得94k0, k 9 4 ,综上所述,k 的取值范围是 k 9 4 . (2)x1和 x2是该方程的两个实数根,x1+x2 3

32、 k ,x1x2 1 k ,x1+x2+x1x24, 3 k + 1 k 4,解得 k1,经检验,k 1 是原分式方程的解,且 1 9 4 ,k 的值为 1. 14 31. ( 2019 湖北十堰)湖北十堰)已知于 x 的元二次方程 x26x+2a+50 有两个不相等的实数根 x1,x2 (1)求 a 的取值范围; (2)若 x12+x22x1x230,且 a 为整数,求 a 的值 【答案】(1)a2 (2)a 的值为1,0,1 【解析】根据根的判别式,可得到关于 a 的不等式,则可求得 a 的取值范围; 由根与系数的关系,用 a 表示出两根积、两根和,由已知条件可得到关于 a 的不等式,则可

33、求得 a 的取值 范围,再求其值即可 (1)关于 x 的一元二次方程 x26x+2a+50 有两个不相等的实数根 x1,x2, 0,即(6)24(2a+5)0, 解得 a2; (2)由根与系数的关系知:x1+x26,x1x22a+5, x1,x2满足 x12+x22x1x230, (x1+x2)23x1x230, 363(2a+5)30, a 3 2,a 为整数, a 的值为1,0,1 32. (2019 湖北孝感)湖北孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x22(a1)x+a2a20 有两个不相等的实数根 x1, x2 (1)若 a 为正整数,求 a 的值; (2)若 x1,x2满足 x12+

34、x22x1x216,求 a 的值 【答案】(1)a1,2 (2)a1 【解析】根据关于 x 的一元二次方程 x22(a1)x+a2a20 有两个不相等的实数根,得到 2(a1)24(a2a2)0,于是得到结论; 根据 x1+x22(a1) ,x1x2a2a2,代入 x12+x22x1x216,解方程即可得到结论 (1)关于 x 的一元二次方程 x22(a1)x+a2a20 有两个不相等的实数根, 2(a1)24(a2a2)0, 解得:a3, a 为正整数, a1,2; 15 (2)x1+x22(a1) ,x1x2a2a2, x12+x22x1x216, (x1+x2)2x1x216, 2(a1

35、)23(a2a2)16, 解得:a11,a26, a3, a1 33.(2019 江苏徐州)江苏徐州)如图所示,有一块矩形硬纸板,长 30cm,宽 20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形, 然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子 的侧面积为 200cm2? 【答案】5 【解析】根据题目给定的相等关系,列出一元二次方程,解这个方程取舍后得出实际问题的解. 设剪去的小正方形的边长为 xcm, 则根据题意有:(30-2x)(20-2x)=200,解得 x1=5,x2=20, 当 x=20 时,20-2x0,所以 x=5. 所以,当剪去小正方形的

36、边长为 5cm 时,长方体盒子的底面积为 200cm2. 34.(2019湖南衡阳)湖南衡阳)关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 (1)求 k 的取值范围; (2)如果 k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m1)x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一个相 同的根,求此时 m 的值 【答案】见解析。 【解析】 (1)根据题意得(3)24k0, 解得 k; (2)k 的最大整数为 2, 16 方程 x23x+k0 变形为 x23x+20,解得 x11,x22, 一元二次方程(m1)x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一个相同的根, 当 x1 时,m1+1+m3

37、0,解得 m; 当 x2 时,4(m1)+2+m30,解得 m1, 而 m10, m 的值为 35. (2019广西贵港)广西贵港)为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万册增加到 7.2 万册 (1)求这两年藏书的年均增长率; (2)经统计知:中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%,在这两年新增加的图书中, 中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到 2018 年底中外古典名著的册数占藏 书总量的百分之几? 【答案】见解析。 【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以得到这两年藏书的年

38、均增长率; 根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著,从而可以求得到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总 量的百分之几 (1)设这两年藏书的年均增长率是 x, 5(1+x)27.2, 解得,x10.2,x22.2(舍去) , 答:这两年藏书的年均增长率是 20%; (2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有(7.25) 20%0.44(万册) , 到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是: 100%10%, 答:到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10% 36. (2019湖南长沙)湖南长沙)近日,长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ,

39、鼓励教师参 与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益 课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次 (1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率; (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次? 17 【答案】见解析。 【解析】设增长率为 x,根据“第一批公益课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次”可列方 程求解;用 2.42 (1+增长率) ,计算即可求解 (1)设增长率为 x,根据题意,得 2(1+x)22.42, 解得 x12.1(舍去) ,x20.11

40、0% 答:增长率为 10% (2)2.42(1+0.1)2.662(万人) 答:第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次 37. (2019湖南邵阳)湖南邵阳) 2019 年 1 月 14 日, 国新办举行新闻发布会, 海关总署新闻发言人李魁文在会上指出: 在 2018 年,我国进出口规模创历史新高,全年外贸进出口总值为 30 万亿元人民币有望继续保持全球货 物贸易第一大国地位预计 2020 年我国外贸进出口总值将达 36.3 万亿元人民币求这两年我国外贸进出口 总值的年平均增长率 【答案】10% 【解析】根据 a(1x)2b 增长率公式建立方程 30(1+x)236.3,解方程即可 设

41、平均增长率为 x,根据题意列方程得 30(1+x)236.3 解得 x10.1,x22.1(舍) 答:我国外贸进出口总值得年平均增长率为 10% 38.(2019湖北黄石)湖北黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x26x+(4m+1)0 有实数根 (1)求 m 的取值范围; (2)若该方程的两个实数根为 x1.x2,且|x1x2|4,求 m 的值 【答案】见解析。 【解析】根据方程的系数结合根的判别式0,即可得出关于 m 的一元一次不等式,解之即可得出 m 的取 值范围;由根与系数的关系可得出 x1+x26,x1x24m+1,结合|x1x2|4 可得出关于 m 的一元一次方程, 解之即可得出

42、m 的值 (1)关于 x 的一元二次方程 x26x+(4m+1)0 有实数根, (6)24 1 (4m+1)0, 解得:m2 18 (2)方程 x26x+(4m+1)0 的两个实数根为 x1.x2, x1+x26,x1x24m+1, (x1x2)2(x1+x2)24x1x242,即 3216m16, 解得:m1 39. (2019南京)南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造如图,原广场长 50m,宽 40m,要求扩充后的矩形 广场长与宽的比为 3:2扩充区域的扩建费用每平方米 30 元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺 设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元,扩充后

43、广场的长和宽应分别是多少米? 【答案】扩充后广场的长为 90m,宽为 60m 【解析】 设扩充后广场的长为 3xm, 宽为 2xm, 根据矩形的面积公式和总价单价 数量列出方程并解答 设 扩充后广场的长为 3xm,宽为 2xm, 依题意得:3x2x100+30(3x2x50 40)642000 解得 x130,x230(舍去) 所以 3x90,2x60 40. (2019山东省德州市山东省德州市 )习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋 养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计,第一个月进 馆 128 人次,进馆人次逐月增加,

44、到第三个月末累计进馆 608 人次,若进馆人次的月平均增长率相同 (1)求进馆人次的月平均增长率; (2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次,在进馆人次的月平均增长率 不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由 【答案】见解析。 【解析】一元二次方程应用。先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次,再根据第一个月的进馆人次 加第二和第三个月的进馆人次等于 608,列方程求解;根据所计算出的月平均增长率,计算出第四个月的进 馆人次,再与 500 比较大小即可 (1)设进馆人次的月平均增长率为 x,则由题意得: 128+128(1+x)+128(1+x)2608 19 化简得:4x2+12x70 (2x1) (2x+7)0, x0.550%或 x3.5(舍) 答:进馆人次的月平均增长率为 50% (2)进馆人次的月平均增长率为 50%, 第四个月的进馆人次为:128(1+50%)3128432500 答:校图书馆能接纳第四个月的进馆人次