1、 1 专题专题 11 一次函数一次函数 1一次函数的定义 一般地，形如 ykxb （k，b是常数，且 0k ）的函数，叫做一次函数，其中 x 是自变量。 2一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。 3一次函数的性质： （1）当 k0 时，图象主要经过第一、三象限；此时，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0 时，直线交 y 轴于正半轴； （4）当 b0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0 时， 向上平移；当 b0 时，向下平移） 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【例题【例题 1】 （】 （2019 贵州省毕
2、节市）贵州省毕节市）已知一次函数 ykx+b（k，b 为常数，k0）的图象经过一、三、四象限， 则下列结论正确的是（ ） Akb0 Bkb0 Ck+b0 Dk+b0 【答案】【答案】B 【解析】【解析】ykx+b 的图象经过一、三、四象限，k0，b0，kb0；故选：B 【例题【例题 2】 （2019江苏无锡）江苏无锡）已知一次函数 ykx+b 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 3kxb0 的解集 为 【答案】x2 【解析】直接利用图象把（6，0）代入，进而得出 k，b 之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答 案 图象过（6，0） ，则 06k+b， 则 b6k， 故 3kxb3kx6k
3、0， k0， x20， 解得：x2 【例题【例题 3】 （】 （2019上海）上海）在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知一次函数的图象平行于直线 yx，且经 过点 A（2，3） ，与 x 轴交于点 B （1）求这个一次函数的解析式； （2）设点 C 在 y 轴上，当 ACBC 时，求点 C 的坐标 3 【答案】 （1）一次函数的解析式为 yx+2； （2）点 C 的坐标是（0，） 【解析】设一次函数的解析式为 ykx+b，解方程即可得到结论； 求得一次函数的图形与 x 轴的解得为 B（4，0） ，根据两点间的距离公式即可得到结论 （1）设一次函数的解析式为：ykx+b， 一次函数的图象
4、平行于直线 yx， k， 一次函数的图象经过点 A（2，3） ， 3+b， b2， 一次函数的解析式为 yx+2； （2）由 yx+2，令 y0，得x+20， x4， 一次函数的图形与 x 轴的解得为 B（4，0） ， 点 C 在 y 轴上， 设点 C 的坐标为（0，y） ， ACBC， ， y， 4 经检验：y是原方程的根， 点 C 的坐标是（0，） 一一、选择题选择题 1.（2019江苏扬州）江苏扬州）若点 P 在一次函数4xy的图像上，则点 P 一定不在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】坐标系中，一次函数4xy经过第一、二、四象限，
5、所以不经过第三象限。 2.（2019 广西河池）广西河池）函数2yx的图象不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】【答案】B 【解析】【解析】一次函数2yx，10k ，函数图象经过第一三象限， 20b ，函数图象与y轴负半轴相交， 函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限故选：B 3.（2019 年陕西省）年陕西省）对于正比例函数2yx ，当自变量 x 的值增加 1 时，函数 y 的值增加（ ） A2 B2 C 1 3 D 1 3 【答案】A 【解析】因为正比例函数2yx ，所以当自变量 x 的值增加 1 时，函数 y 的值减少 2，故，当自变量 x 的 值增加
6、1 时，函数 y 的值增加2 4.（2019 年陕西省）年陕西省）已知一次函数ykxb的图象经过点 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy，且 21 1xx 时 21 2yy，则 k 等于（ ） A1 B2 C1 D2 专题典型训练题 专题典型训练题 5 【答案】D 【解析】因为一次函数ykxb的图象经过点 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy，所以 11 ykxb， 22 ykxb， 因为当 21 1xx 时， 21 2yy， 所以当 21 1xx 时， 21 2kxbkxb， 即 11 (1)2kxbkxb ， 解得2k 5.（2019 广西桂林）广西桂林）如图，四边
7、形ABCD的顶点坐标分别为( 4,0)A ，( 2, 1)B ，(3,0)C，(0,3)D，当过 点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为( ) A 116 105 yx B 21 33 yx C1yx D 53 42 yx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由( 4,0)A ，( 2, 1)B ，(3,0)C，(0,3)D， 7AC，3DO ， 四边形ABCD分成面积 11 (| 3)7414 22 B ACy ， 可求CD的直线解析式为3yx ， 设过B的直线l为ykxb， 将点B代入解析式得21ykxk， 直线CD与该直线的交点为 42 ( 1 k
8、 k ， 51) 1 k k ， 直线21ykxk与x轴的交点为 12 ( k k ，0)， 11251 7(3)(1) 21 kk kk ， 5 4 k或0k ， 5 4 k， 直线解析式为 53 42 yx 6.（2019 广西梧州）广西梧州）直线31yx向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是( ) A33yx B32yx C32yx D31yx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】直线31yx向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是：31231yxx 7.（2019 湖南邵阳）湖南邵阳）一次函数 111 yk xb的图象 1 l如图所示，将直线 1 l向下平移若干个单位后得直线 2 l
9、， 2 l 6 的函数表达式为 222 yk xb下列说法中错误的是( ) A 12 kk B 12 bb C 12 bb D当5x 时， 12 yy 【答案】【答案】B 【解析】【解析】将直线 1 l向下平移若干个单位后得直线 2 l， 直线 1/ / l直线 2 l， 12 kk， 直线 1 l向下平移若干个单位后得直线 2 l， 12 bb， 当5x 时， 12 yy 8.（2019浙江杭州）浙江杭州）已知一次函数 y1ax+b 和 y2bx+a（ab） ，函数 y1和 y2的图象可能是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】根据直线判断出 a、b 的符号，然后根据 a、b 的符号判
10、断出直线经过的象限即可，做出判 断 A.由可知：a0，b0 直线经过一、二、三象限，故 A 正确； 7 B.由可知：a0，b0 直线经过一、二、三象限，故 B 错误； C.由可知：a0，b0 直线经过一、二、四象限，交点不对，故 C 错误； D.由可知：a0，b0， 直线经过二、三、四象限，故 D 错误 二二、填空题填空题 9.（2019贵阳贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数 yk1x+b1与 yk2x+b2的图象如图所示，则关于 x，y 的方 程组的解是 【答案】 【解析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解 一次函数 yk1x+b1与 yk2x+b2的图象的交点坐标为（2
11、，1） ， 关于 x，y 的方程组的解是 10.（2019 贵州黔西南州）贵州黔西南州）如图所示，一次函数 yax+b（a、b 为常数，且 a0）的图象经过点 A（4，1） ， 则不等式 ax+b1 的解集为 【答案】【答案】x4 8 【解析】【解析】函数 yax+b 的图象如图所示，图象经过点 A（4，1） ，且函数值 y 随 x 的增大而增大， 故不等式 ax+b1 的解集是 x4 11.（2019 湖南郴州）湖南郴州）某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示： 日期 1 2 3 4 数量（瓶） 120 125 130 135 观察此表，利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店
12、销售纯净水的数量约为 瓶 【答案】【答案】150 【解析】【解析】这是一个一次函数模型，设 ykx+b，则有 + = 120 2 + = 125， 解得 = 5 = 115， y5x+115， 当 x7 时，y150， 预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶。 12.（2019 山东东营）山东东营）如图，在平面直角坐标系中，函数y= 3 3 x 和 y=3x 的图象分别为直线 l1，l2，过 l1 上的点 A1（1， 3 3 ）作 x 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 y 轴的垂线交 l1于点 A3，过点 A3作 x 轴的垂 线交 l2于点 A4，依次进行下去，
13、则点 A2019的横坐标为_ 【答案】【答案】31009 【解析解析】从简单的入手，分别求出 A2到 A9的横坐标，找出循环，依此规律结合 2019=5044+3 即可找出 9 点 A2019的坐标 当 x=1 时，y=3x=3，A2（1，3） ；当 y= 3 3 x=3，x=3，A3（3，3） ；当 x=3 时，y=3x=33，A4（3，33） ；当 y= 3 3 x=33时，x=9，A5（9，33） ；同理可得 A6（9， 93） ， A7（27， 93） ， A8（27， 273） ， A9（81， 273） ， ， A4n+1（32n， 32n 3 3 ） ， A4n+2（32n，32
14、n3） ，A4n+3（32n+1，32n+1 3 3 ） ，A4n+4（32n+1，32n+13） ， （n 为自然数） 2019=5044+3，点 A2019的横坐标为32 504+1= 31009 13.（2019 辽宁本溪）辽宁本溪）函数 y=5x 的图象经过的象限是 . 【答案】【答案】一、三. 【解析】【解析】函数 y=5x 的图象经过一三象限， 故答案为一、三. 14.（2019 江苏徐州江苏徐州）函数 yx1 的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 在 x 轴上，若ABC 为 等腰三角形，则满足条件的点 C 共有_个. 【答案】【答案】4 【解析】【解析】本题解答
15、时要分类讨论.作 AB 的垂直平分线，交于坐标原点，OAB 为等腰三角形；以 B 为圆心 BA 长为半径交 x 轴于 C2，C2AB 为等腰三角形，以 A 为圆心，AB 长为半径，交 x 轴于 C3，C4，则C3AB， C4AB 为等腰三角形，所以满足条件的 C 点的有 4 个. 三三、解答题解答题 y x C3C4 A O 10 15.（2019河北河北）长为 300m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和图 2，当队伍排尾行进到 位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 2v（m/s） ，当甲 返回排尾后， 他及队伍均停止行进
16、设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t （s） ， 排头与 O 的距离为 S头（m） （1）当 v2 时，解答： 求 S头与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） ； 当甲赶到排头位置时，求 S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S甲（m） ， 求 S甲与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为 T（s） ，求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围） ，并写出队伍在此 过程中行进的路程 【答案】见解析。 【解析】 （1）排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s） ，则排头也离开原排头 t（s） ， S头2t+300 甲
17、从排尾赶到排头的时间为 300 （2vv）300 v300 2150 s， 此时 S头2t+300600 m 甲返回时间为： （t150）s S甲S头S甲回2 150+3004（t150）4t+1200； 因此，S头与 t 的函数关系式为 S头2t+300，当甲赶到排头位置时，求 S 的值为 600m，在甲从排头返回到 排尾过程中，S甲与 t 的函数关系式为 S甲4t+1200 （2）Tt追及+t返回+， 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为： v （T150）v （150）400150v； 因此 T 与 v 的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为（400150v）m 16.（
18、2019河南河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 11 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元 （1）求 A，B 两种奖品的单价； （2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的请设计出最省钱的 购买方案，并说明理由 【答案】见解析。 【解析】 （1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元， 根据题意，得 ， ， A 的单价 30 元，B 的单价 15 元； （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30z）个，购买奖品的花费为 W 元，
19、由题意可知，z（30z） ， z， W30z+15（30z）450+15z， 当 z8 时，W 有最小值为 570 元， 即购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少。 17.（2019浙江湖州）浙江湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距 2400 米甲从小区步行去学 校，出发 10 分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行 走回学校已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快 5 米设甲步行的时间为 x（分） ，图 1 中线段 OA 和折线 BCD 分别表示甲、乙离开小区的路程 y（米）与甲步行时间 x（分）的函数关系的图象
20、；图 2 表示甲、乙两人之间的距离 s（米）与甲步行时间 x（分）的函数关系的图象（不完整） 根据图 1 和图 2 中所给信息，解答下列问题： （1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程； （2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； （3）在图 2 中，画出当 25x30 时 s 关于 x 的函数的大致图象 （温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） 12 【答案】见解析。 【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思 想解答 （1）由图可得， 甲步行的速度为：2400 3080（米/分） ， 乙出发时甲离开小区的路程是 10
21、80800（米） ， 答：甲步行的速度是 80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是 800 米； （2）设直线 OA 的解析式为 ykx， 30k2800，得 k80， 直线 OA 的解析式为 y80 x， 当 x18 时，y80 181440， 则乙骑自行车的速度为：1440 （1810）180（米/分） ， 乙骑自行车的时间为：251015（分钟） ， 乙骑自行车的路程为：180 152700（米） ， 当 x25 时，甲走过的路程为：80 252000（米） ， 乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：27002000700（米） ， 答：乙骑自行车的速度是 180 米/分，乙到达还车点时
22、甲、乙两人之间的距离是 700 米； （3）乙步行的速度为：80575（米/分） ， 乙到达学校用的时间为：25+（27002400） 7529（分） ， 当 25x30 时 s 关于 x 的函数的大致图象如右图所示 13 18.（2019 北京市）北京市） 在平面直角坐标系xOy中，直线 l： 10ykxk与直线xk，直线yk 分别交 于点 A，B，直线xk与直线y k 交于点C （1）求直线l与y轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记线段ABBCCA，围成的区域（不含边界）为W 当2k 时，结合函数图象，求区域W内的整点个数； 若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围 【答
23、案】见解析。【答案】见解析。 【解析解析】 （1）当0 x 时，由 101ykxk；直线l与y轴的交点坐标为0,1. （2）如下图，当 k=2 时，直线l： 21yx ，把2x 代入直线l，则 5y .2,5A ； 把 2y 代入直线l， 221x 3 2 x ， 3 , 2 2 B . 2, 2C. 画出函数 21yx 的图象及直线 2x ，直线2y 组成的区域， 显然区域中整数点有（0，-1） 、 （0，0） 、 （1，-1） 、 （1，0） 、 （1，1） 、 （1，2） ；显然区域W内的整点个数有 6 个. 由类似分析图象知区域W内没有整点时有10k 或2k . 19. （2019 黑
24、龙江省龙东地区）小明放学后从学校回家，出发 5 分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷 14 忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明小强出发 10 分钟时，小明才想起没拿数学作 业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇两人离学校的路程 y（米）与小强所用时间 t（分钟）之 间的函数图象如图所示 （1）求函数图象中 a 的值； （2）求小强的速度； （3）求线段 AB 的函数解析式，并写出自变量的取值范围 【答案】见解析。 【解析】对于（1） ，结合图象，全面、仔细分析运动对象和运动过程， （0,300）这个点的含义是：小明出发 5 分钟时，离学校 300 米，此时小强出发.由此可
25、知小明离开学校后的速度.点 A（10，a）的含义是：小强出 发 10 分钟后，小明离学校 a 米，此时小明运动的时间为 10+5=15 分钟，结合以上两个条件，可以求出 a 的 值；对于（2） ，小强出发 12 分钟后与小明相遇，此时小明运动了 15+2=17 分钟，其中最后两分钟是折返后 的行程，由此可计算出两人相遇地点与学校之间的距离，再根据小强运动到相遇地点所用的时间，即可计 算出小强的速度；对于（3） ，先确定点 B 的坐标，再根据待定系数法即可求出线段 AB 的函数解析式. 【解题过程】 （1）a= 300 (105) 5 =900 （2）小明的速度为 300 5=60（米/分） 小
26、强的速度为（900-60 2） 12=65（米/分） （3）由题意得 B（12,780） 设 AB 所在直线的解析式为 y=kx+b(k0), 把 A（10,900） ，B（12,780）代入得： 10900 12780 kb kb ，解得 60 1500 k b ， 线段 AB 的解析式为 y=-60 x+1500，(10 x12) 20.（2019贵贵州省安顺市州省安顺市）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价 格销售， 为了让顾客得到更大的实惠， 现决定降价销售， 已知这种干果销售量 y （千元） 与每千元降价 x （元） （0 x20）之间满足
27、一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； x分钟 B A 12100 300 a y（米） 15 （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】见解析。 【解析】 （1）设一次函数解析式为：ykx+b 当 x2，y120；当 x4，y140； ， 解得：， y 与 x 之间的函数关系式为 y10 x+100； （2）由题意得： （6040 x） （10 x+100）2090， 整理得：x210 x+90， 解得：x11x29， 让顾客得到更大的实惠， x9， 答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元 21
28、 （ （2019衢州）衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 A（a，b） ，B（c，d） ，若点 T（x，y）满足 x ，y那么称点 T 是点 A，B 的融合点 例如：A（1，8） ，B（4，2） ，当点 T（x，y）满足 x1，y2 时，则点 T（1，2） 是点 A，B 的融合点 （1）已知点 A（1，5） ，B（7，7） ，C（2，4） ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点 （2）如图，点 D（3，0） ，点 E（t，2t+3）是直线 l 上任意一点，点 T（x，y）是点 D，E 的融合点 试确定 y 与 x 的关系式 若直线 ET 交 x 轴于点 H当DTH 为直角三角形时，求
29、点 E 的坐标 16 【答案】见解析。 【解析】x（1+7）2，y（5+7）4，即可求解； 由题意得：x（t+3） ，y（2t+3） ，即可求解；分DTH90、TDH90、HTD90 三种情况，分别求解即可 （1）x（1+7）2，y（5+7）4， 故点 C 是点 A、B 的融合点； （2）由题意得：x（t+3） ，y（2t+3） ， 则 t3x3， 则 y（6x6+3）2x1； 当DHT90时，如图 1 所示， 设 T（m，2m1） ，则点 E（m，2m+3） ， 由点 T 是点 D，E 的融合点得：m， 解得：m，即点 E（，6） ； 当TDH90时，如图 2 所示， 17 则点 T（3，5） ， 由点 T 是点 D，E 的融合点得：点 E（6，15） ； 当HTD90时，该情况不存在； 故点 E（，6）或（6，15）