1、 1 专题专题 12 12 二次函数二次函数 1二次函数的概念：一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a0，a、b、 c 为常数)， 则称 y 为 x 的二次函数。抛物线)0,( 2 acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。 2.二次函数 y=ax 2 +bx+c(a0)的图像与性质 （1）对称轴： 2 b x a （2）顶点坐标： 2 4 (,) 24 bacb aa （3）与 y 轴交点坐标（0，c） （4）增减性： 当 a0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而减小；对称轴右边，y 随 x 增大而增大； 当 a0 时，抛物线的开口向上；当 a
2、0 时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与 x 轴有两个交点； 2 4bac=0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 x 轴有一个交点； 2 4bac0),点F(0,p),直线l:yp,已知抛物线上的点到点F的距离与到 直线 l 的距离相等,过点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,AA1l,BB1l,垂足分别为 A1,B1,连接 A1F,B1F,A1O,B1O,若 A1Fa,B1Fb,则A1OB1的面积_(只用 a,b 表示). 【答案】【答案】 4 ab 【解析】【解析】先由边相等得到A1FB190,进而得到 A1B1的长度,由等面积法得到点 F 到 A1B1的
3、距离,进而得 到A1OB1的高,求出三角形面积. 设Ax,则B180 x,由题可知,AA1AF,BB1BF,所以AFA1 180 2 x ,BFB1 2 x ,所以 A1FB190,所以A1FB1是直角三角形,A1B1 22 ab,所以点F到A1B1的距离为 22 ab ab ,因为点F(0,p), 直线 l:yp,A1OB1的高为 22 2 ab ab ,所以A1OB1的面积 1 2 22 ab 22 2 ab ab 4 ab 10.（2019 江苏镇江）江苏镇江）已知抛物线 yax24ax4a1（a0）过点 A(m，3)，B(n，3)两点，若线段 AB 的 长不大于 4，则代数式 a2a1
4、 的最小值是 【答案答案】 7 4 【解析】【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段 AB 的长不大于 4，求出 a 的取值范围，再利 用二次函数的增减性求代数式 a2a1 的最小值 yax24ax4a1a(x2)21， 该抛物线的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线 x2 9 抛物线过点 A(m，3)，B(n，3)两点， 当 y3 时，a(x2)213，(x2)2 2 a ，当 a0 时，x2 2 a A(2 2 a ，3)，B(2 2 a ，3) AB2 2 a 线段 AB 的长不大于 4， 2 2 a 4 a 1 2 a2a1(a 1 2 )2 3 4 ， 当 a 1 2 ，
5、(a2a1)min(a 1 2 )2 3 4 7 4 11.（2019 江苏镇江）江苏镇江）已知抛物线 2 441(0)yaxaxaa过点( ,3)A m，( ,3)B n两点，若线段AB的长不 大于 4，则代数式 2 1aa的最小值是 【答案】【答案】 7 4 【解析】【解析】抛物线 2 441(0)yaxaxaa过点( ,3)A m，( ,3)B n两点， 4 2 22 mna a 线段AB的长不大于 4， 41 3a 1 2 a 2 1aa的最小值为： 2 117 ( )1 224 ； 故答案为 7 4 12.（2019 内蒙古赤峰）内蒙古赤峰）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象
6、如图所示，下列结论：b0；ab+c 0；一元二次方程 ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；当 x1 或 x3 时，y0上述 结论中正确的是 （填上所有正确结论的序号） 10 【答案】【答案】 【解析】【解析】由图可知，对称轴 x1，与 x 轴的一个交点为（3，0） ， b2a，与 x 轴另一个交点（1，0） ， a0， b0； 错误； 当 x1 时，y0， ab+c0； 正确； 一元二次方程 ax2+bx+c+10 可以看作函数 yax2+bx+c 与 y1 的交点， 由图象可知函数 yax2+bx+c 与 y1 有两个不同的交点， 一元二次方程 ax2+bx+c+10（a0）
7、有两个不相等的实数根； 正确； 由图象可知，y0 时，x1 或 x3 正确； 故答案为 三、解答题三、解答题 13.（2019 北京市）北京市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 1 yaxbx a =+- 与y轴交于点 A，将点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在抛物线上 （1）求点 B 的坐标（用含a的式子表示） ； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点 11 ( ,) 2 P a - ， (2,2)Q 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 11 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析解析】先求出 A 点的坐标为 1 0, a ，由平移
8、规律求得点 B 的坐标；由 A、B 两点的纵坐标相同，得 A、 B 为对称点进而求出抛物线对称轴方程；根据 a 的符号分类讨论分析解答即可. （1）当 x=0 时，抛物线 2 11 yaxbx aa =+-=-； 抛物线与 y 轴交点 A 点的坐标为 1 0, a ， 由点 A 向右平移 2 个单位长度得点 B 的坐标为 1 2, a ；即 1 (2,)B a -. （2）由 A 1 0, a 、 B 1 2, a 两点的纵坐标相同， 得 A、 B 为对称点.抛物线对称轴方程为 02 1 2 x ； 即 直线1x =. （3）当0a 时， 1 0 a . 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物
9、线不可能同时经过点 A 和点 P；也 不可 能同时经过点 B 和点 Q，所以线段 PQ 和抛物线没有交点. 当0a 时， 1 0 a . 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点 A 和点 P；但当点 Q 在点 B 上方或与点 B 重合时，抛物线与线段 PQ 恰好有一个公共点，此时 1 2 a ，即 1 2 a . 综上所述：当 1 2 a 时，抛物线与线段 PQ 恰好有一个公共点. 14.14.（20192019 辽宁本溪）辽宁本溪）工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批 发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件） （x为正整数）之间满
10、足如图所示的函数关系. （1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若一次性批发量不超过 60 件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析解析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用. 认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；根据利润=（售价-成本） 12 件数，列出利润的表达式，求出最值 （1）当 0 x20 且x为整数时，y=40； 当 20 x60 且x为整数时，y=- 1 2 x+50； 当x60 且x为整数时，y=20； （2）设所获利润w（元）， 当 0 x20 且x为
11、整数时，y=40， w=(40-16)20=480 元， 当 0 x20 且x为整数时，y=40， 当 20 x60 且x为整数时，y=- 1 2 x+50， w=(y-16)x=(- 1 2 x+50-16)x， w=- 1 2 x 2+34x， w=- 1 2 （x-34） 2+578， - 1 2 0， 当x=34 时，w最大，最大值为 578 元 答：一次批发 34 件时所获利润最大，最大利润是 578 元 15 （ （2019湘潭）湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品 品牌小亮调查了一家湘潭特产店 A、B 两种湘莲礼盒一个月的销售情
12、况，A 种湘莲礼盒进价 72 元/盒，售 价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为 2800 元，平均每天的总利润为 1280 元 （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒若 B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当 A 种 湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？ 【答案】见解析。 13 【解析】根据题意，可设平均每天销售 A 礼盒 x 盒，B 种礼盒为 y 盒，列二元一次方程组即可解题；根据题 意，可设 A 种礼盒
13、降价 m 元/盒，则 A 种礼盒的销售量为：（10+）盒，再列出关系式即可 （1）根据题意，可设平均每天销售 A 礼盒 x 盒，B 种礼盒为 y 盒， 则有，解得 故该店平均每天销售 A 礼盒 10 盒，B 种礼盒为 20 盒 （2）设 A 种湘莲礼盒降价 m 元/盒，利润为 W 元，依题意 总利润 W（120m72）（10+）+800 化简得 Wm2+6m+1280（m9）2+1307 a0 当 m9 时，取得最大值为 1307， 故当 A 种湘莲礼盒降价 9 元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元 16. （2019 广西省贵港市）广西省贵港市）如图，已知抛物线
14、 2 yaxbxc的顶点为(4,3)A，与y轴相交于点(0, 5)B， 对称轴为直线l，点M是线段AB的中点 （1）求抛物线的表达式； （2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式； （3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求 P，Q两点的坐标 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析】【解析】 函数表达式为： 2 (4)3ya x， 将点B坐标代入上式， 即可求解；(4,3)A、(0, 5)B， 则点(2, 1)M， 设直线AB的表达式为：5ykx， 将点A坐标代入上式， 即可求解； 分当AM是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种
15、情况，分别求解即可 14 （1）函数表达式为： 2 (4)3ya x， 将点B坐标代入上式并解得： 1 2 a ， 故抛物线的表达式为： 2 1 45 2 yxx ； （2）(4,3)A、(0, 5)B，则点(2, 1)M， 设直线AB的表达式为：5ykx， 将点A坐标代入上式得：345k，解得：2k ， 故直线AB的表达式为：25yx； （3）设点(4, )Qs、点 2 1 ( ,45) 2 P mmm， 当AM是平行四边形的一条边时， 点A向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到M， 同样点 2 1 ( ,45) 2 P mmm向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到(4, )Qs， 即：24m ， 2 1 454 2 mms， 解得：6m ，3s ， 故点P、Q的坐标分别为(6,1)、(4, 3)； 当AM是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m， 2 1 3 145 2 mms ， 解得：2m ，1s ， 故点P、Q的坐标分别为(2,1)、(4,1)； 故点P、Q的坐标分别为(6,1)或(2,1)、(4, 3)或(4,1)