1、 1 专题专题 16 16 全等三角形判定和性质问题全等三角形判定和性质问题 1全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2全等三角形的表示 全等用符号“”表示，读作“全等于” 。如ABCDEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF” 。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 4三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS” ） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
2、全等（可简写成“角边角”或“ASA” ） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS” ） 。 5直角三角形全等的判定： HL 定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ） 【例题【例题 1】 （2019贵贵州省安顺市州省安顺市）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列 一个条件后，仍无法判定ABCDEF 的是（ ） AAD BACDF CABED DBFEC 【解答】选项 A、添加AD 不能判定ABCDEF，故本选项正确； 选项 B、添加 ACDF 可用 AAS 进行判定，故本
3、选项错误； 选项 C、添加 ABDE 可用 AAS 进行判定，故本选项错误； 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 选项 D、添加 BFEC 可得出 BCEF，然后可用 ASA 进行判定，故本选项错误 故选：A 【例题【例题 2】 （2019黑龙江省齐齐哈尔市）黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在 ABC 和 DEF 中，BE，BFCE，点 B、F、 C、 E 在同一条直线上， 若使 ABCDEF， 则还需添加的一个条件是 _ （只填一个即可） 【答案】ABDE 【解析】添加 ABDE； BFCE， BCEF， 在 ABC 和 DEF 中， ABCDEF（SAS）
4、 【例题【例题 3】 （2019铜仁铜仁）如图，ABAC，ABAC，ADAE，且ABDACE 求证：BDCE 【答案】见解析。 【解析】证明：ABAC，ADAE， BAE+CAE90 ，BAE+BAD90 ， CAEBAD 又 ABAC，ABDACE， ABDACE（ASA） BDCE 3 一、选择题一、选择题 1. (2019广东）广东） 如图， 正方形 ABCD 的边长为 4， 延长 CB 至 E 使 EB=2， 以 EB 为边在上方作正方形 EFGB， 延长 FG 交 DC 于 M，连接 AM、AF，H 为 AD 的中点，连接 FH 分别与 AB.AM 交于点 N、K则下列结论： ANH
5、GNF；AFN=HFG；FN=2NK；S AFN : S ADM =1 : 4其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】AH=GF=2，ANH=GNF，AHN=GFN， ANHGNF（AAS） ，正确； 由得 AN=GN=1，NGFG，NA 不垂直于 AF，FN 不是AFG 的角平分线 AFNHFG，错误；由 AKHMKF，且 AH:MF=1:3，KH:KF=1:3，又FN=HN， K 为 NH 的中点，即 FN=2NK，正确；S AFN = 2 1 AN FG=1，S ADM = 2 1 DM AD=4，S AFN : S ADM =1 : 4，正确
6、. 2.（2019 广西池河）广西池河）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，BECF，则图中与AEB 相 等的角的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】根据正方形的性质，利用 SAS 即可证明ABEBCF，再根据全等三角形的性质可得BFC 专题典型训练题 专题典型训练题 4 AEB，进一步得到BFCABF，从而求解 证明：四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABBC，ABEBCF90， 在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（SAS） ， BFCAEB， BFCABF， 故图中与AEB 相等的角的个数是 2 3.（2019湖北天门湖北天
7、门）如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦 ADOC，直线 CD 交 BA 的延长线于 点 E，连接 BD下列结论：CD 是O 的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其 中正确结论的个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】A 【解析】连结 DO AB 为O 的直径，BC 为O 的切线， CBO90， ADOC， DAOCOB，ADOCOD 又OAOD， DAOADO， CODCOB 5 在COD 和COB 中， CODCOB（SAS） ， CDOCBO90 又点 D 在O 上， CD 是O 的切线；故正确， CODCOB， CDCB， ODOB， CO
8、 垂直平分 DB， 即 CODB，故正确； AB 为O 的直径，DC 为O 的切线， EDOADB90， EDA+ADOBDO+ADO90， ADEBDO， ODOB， ODBOBD， EDADBE， EE， EDAEBD，故正确； EDOEBC90， EE， EODECB， ， ODOB， EDBCBOBE，故正确。 6 4.（2019湖北孝感湖北孝感）如图，正方形 ABCD 中，点 E.F 分别在边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G若 BC4， DEAF1，则 GF 的长为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】证明BCECDF（SAS） ，得CBEDCF，所以CGE90，根
9、据等角的余弦可得 CG 的 长，可得结论 正方形 ABCD 中，BC4， BCCDAD4，BCECDF90， AFDE1， DFCE3， BECF5， 在BCE 和CDF 中， ， BCECDF（SAS） ， CBEDCF， CBE+CEBECG+CEB90CGE， cosCBEcosECG， 7 ，CG， GFCFCG5 5.（2019山东省山东省滨州市滨州市）如图，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD 40， 连接 AC， BD 交于点 M， 连接 OM 下列结论： ACBD； AMB40； OM 平分BOC； MO 平分BMC其中正确的个数为（ ） A4 B
10、3 C2 D1 【答案】B 【解析】由 SAS 证明AOCBOD 得出OCAODB，ACBD，正确； 由全等三角形的性质得出OACOBD，由三角形的外角性质得：AMB+OACAOB+OBD，得 出AMBAOB40，正确； 作OGMC于G， OHMB于H， 如图所示： 则OGCOHD90， 由AAS证明OCGODH （AAS） ， 得出 OGOH，由角平分线的判定方法得出 MO 平分BMC，正确；即可得出结论 AOBCOD40， AOB+AODCOD+AOD， 即AOCBOD， 在AOC 和BOD 中， AOCBOD（SAS） ， OCAODB，ACBD，正确； OACOBD， 由三角形的外角性
11、质得：AMB+OACAOB+OBD， AMBAOB40，正确； 作 OGMC 于 G，OHMB 于 H，如图所示： 则OGCOHD90， 8 在OCG 和ODH 中， OCGODH（AAS） ， OGOH， MO 平分BMC，正确； 正确的个数有 3 个。 6.（2019河南河南）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90 ，AD4，BC3分别以点 A，C 为圆心， 大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O若点 O 是 AC 的中点， 则 CD 的长为（ ） A2 B4 C3 D 故选：A 【解析】连接 FC，根据基本作图，可得 OE 垂
12、直平分 AC，由垂直平分线的性质得出 AFFC再根据 ASA 证明 FOABOC，那么 AFBC3，等量代换得到 FCAF3，利用线段的和差关系求出 FDAD AF1然后在直角 FDC 中利用勾股定理求出 CD 的长 如图，连接 FC，则 AFFC ADBC， FAOBCO 在 FOA 与 BOC 中， 9 ， FOABOC（ASA） ， AFBC3， FCAF3，FDADAF431 在 FDC 中，D90 ， CD2+DF2FC2， CD2+1232， CD2 故选：A 7 （ （2019山东临沂山东临沂）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DEFE，FCAB，若 AB4，
13、CF3， 则 BD 的长是（ ） A0.5 B1 C1.5 D2 【答案】B 【解析】 根据平行线的性质， 得出AFCE， ADEF， 根据全等三角形的判定， 得出 ADECFE， 根据全等三角形的性质，得出 ADCF，根据 AB4，CF3，即可求线段 DB 的长 CFAB， AFCE，ADEF， 10 在 ADE 和 FCE 中， ADECFE（AAS） ， ADCF3， AB4， DBABAD431 二、填空题二、填空题 8.(2019 四川成都）四川成都）如图，在 ABC 中，AB=AC，点 D，E 都在边 BC 上，BAD=CAE，若 BD=9，则 CE 的长为 . 【答案】9 【解析
14、】 此题考察的是全等三角形的性质和判定， 因为 ABC 是等腰三角形， 所以有 AB=AC， BAD=CAE， ABD=ACE，所以 ABD ACE(ASA)，所以 BD=二次，EC=9. 9.（2019湖南邵阳湖南邵阳）如图，已知 ADAE，请你添加一个条件，使得ADCAEB，你添加的条件 是 （不添加任何字母和辅助线） 【答案】ABAC 或ADCAEB 或ABEACD。 【解析】 根据图形可知证明ADCAEB 已经具备了一个公共角和一对相等边， 因此可以利用 ASA.SAS、 AAS 证明两三角形全等 AA，ADAE， 可以添加 ABAC，此时满足 SAS； 11 添加条件ADCAEB，此
15、时满足 ASA； 添加条件ABEACD，此时满足 AAS， 故答案为 ABAC 或ADCAEB 或ABEACD。 10.（2019天津天津）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 12，E 是边 CD 上一点，连接 AE，折叠该纸片，使点 A落在AE上的G点， 并使折痕经过点B， 得到折痕BF， 点F在AD上， 若DE=5， 则GE的长为 . 【答案】 13 49 【解析】因为四边形ABCD是正方形，易得AFBDEA，AF=DE=5，则BF=13. 又易知AFHBFA，所以 AHAF BABF ，即AH= 13 60 ，AH=2AH= 13 120 ，由勾股定理得AE=13， GE=AE-AG=
16、 13 49 11. （2019广东省广州市）广东省广州市） 如图， 正方形 ABCD 的边长为 a， 点 E 在边 AB 上运动 （不与点 A， B 重合） ， DAM 45 ，点 F 在射线 AM 上，且 AFBE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG，则下列结论： ECF45 ； AEG 的周长为（1+）a；BE2+DG2EG2； EAF 的面积的最大值a2 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 故答案为 【解析】如图 1 中，在 BC 上截取 BHBE，连接 EH BEBH，EBH90 ， EHBE，AFBE，AFEH， 12 DAMEHB45 ，BAD90 ，
17、 FAEEHC135 ， BABC，BEBH，AEHC， FAEEHC（SAS） ， EFEC，AEFECH， ECH+CEB90 ， AEF+CEB90 ，FEC90 ， ECFEFC45 ，故正确， 如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DHBE，则 CBECDH（SAS） ， ECBDCH，ECHBCD90 ，ECGGCH45 ， CGCG，CECH， GCEGCH（SAS） ，EGGH， GHDG+DH，DHBE， EGBE+DG，故错误， AEG 的周长AE+EG+AGAG+GHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故错误， 设 BEx，则 AEax，AFx， S AEF
18、（ax） xx2+ax（x2ax+a2a2）（xa）2+a2， 0， xa 时， AEF 的面积的最大值为a2故正确， 故答案为 12 （ （2019山东临沂山东临沂）如图，在 ABC 中，ACB120 ，BC4，D 为 AB 的中点，DCBC，则 ABC 的面积是 13 【答案】8 【解析】 根据垂直的定义得到BCD90 ， 得到长 CD 到 H 使 DHCD， 由线段中点的定义得到 ADBD， 根据全等三角形的性质得到 AHBC4，HBCD90 ，求得 CD2，于是得到结论 DCBC， BCD90 ， ACB120 ，ACD30 ， 延长 CD 到 H 使 DHCD， D 为 AB 的中点
19、， ADBD， 在 ADH 与 BCD 中， ADHBCD（SAS） ， AHBC4，HBCD90 ， ACH30 ， CHAH4， CD2， ABC 的面积2S BCD2 4 28， 故答案为：8 三、解答题三、解答题 13.（2019湖南长沙湖南长沙）如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 DECF，AF 与 BE 相交于点 G （1）求证：BEAF； 14 （2）若 AB4，DE1，求 AG 的长 【答案】见解析。 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握 正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键 （1）证明：四
20、边形 ABCD 是正方形， BAEADF90，ABADCD， DECF， AEDF， 在BAE 和ADF 中， BAEADF（SAS） ， BEAF； （2）解：由（1）得：BAEADF， EBAFAD， GAE+AEG90， AGE90， AB4，DE1， AE3， BE5， 在 RtABE 中，ABAEBEAG， AG 14.（2019湖南怀化湖南怀化）已知：如图，在ABCD 中，AEBC，CFAD，E，F 分别为垂足 （1）求证：ABECDF； 15 （2）求证：四边形 AECF 是矩形 【答案】见解析。 【解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BD，ABCD，ADBC，
21、 AEBC，CFAD， AEBAECCFDAFC90， 在ABE 和CDF 中， ABECDF（AAS） ； （2）证明：ADBC， EAFAEB90， EAFAECAFC90， 四边形 AECF 是矩形 15.（2019湖南岳阳）湖南岳阳）如图所示，在菱形 ABCD 中，点 E.F 分别为 AD.CD 边上的点，DEDF， 求证：12 【答案】见解析。 【解析】由菱形的性质得出 ADCD，由 SAS 证明ADFCDE，即可得出结论 证明：四边形 ABCD 是菱形， ADCD， 在ADF 和CDE 中， ADFCDE（SAS） ， 16 12 16.（2019甘肃）甘肃）如图，在正方形 ABC
22、D 中，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，过点 A 作 AGED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G （1）证明：ADGDCE； （2）连接 BF，证明：ABFB 【解析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注 意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形 （1）四边形 ABCD 是正方形， ADGC90，ADDC， 又AGDE， DAG+ADF90CDE+ADF， DAGCDE， ADGDCE（ASA） ； （2）如图所示，延长 DE 交 AB 的延长线于 H， E 是 BC 的中点， BECE， 又CHBE90，DECHE
23、B， DCEHBE（ASA） ， BHDCAB， 即 B 是 AH 的中点， 又AFH90， RtAFH 中，BFAHAB 17 17.（2019 山东枣庄）山东枣庄）在ABC 中，BAC90，ABAC，ADBC 于点 D （1）如图 1，点 M，N 分别在 AD，AB 上，且BMN90，当AMN30，AB2 时，求线段 AM 的 长； （2）如图 2，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且EDF90，求证：BEAF； （3）如图 3，点 M 在 AD 的延长线上，点 N 在 AC 上，且BMN90，求证：AB+ANAM 【答案】见解析。 【解析】 （1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质
24、得到 ADBDDC，求出MBD30，根 据勾股定理计算即可； BAC90，ABAC，ADBC， ADBDDC，ABCACB45，BADCAD45， AB2， ADBDDC， AMN30， BMD180903060， MBD30， BM2DM， 由勾股定理得，BM2DM2BD2，即（2DM）2DM2（）2， 解得，DM， 18 AMADDM； （2）证明：ADBC，EDF90， BDEADF， 在BDE 和ADF 中， ， BDEADF（ASA） BEAF； （3）证明：过点 M 作 MEBC 交 AB 的延长线于 E， AME90， 则 AEAM，E45， MEMA， AME90，BMN90，
25、 BMEAMN， 在BME 和AMN 中， ， BMEAMN（ASA） ， BEAN， AB+ANAB+BEAEAM 18.（2019河北河北）如图， ABC 和 ADE 中，ABAD6，BCDE，BD30 ，边 AD 与边 BC 交 于点 P（不与点 B，C 重合） ，点 B，E 在 AD 异侧，I 为 APC 的内心 （1）求证：BADCAE； （2）设 APx，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； 19 （ 3 ） 当ABAC时 ， AIC 的 取 值 范 围 为m AIC n， 分 别 直 接 写 出m ， n的 值 【答案】见解析。 【解析】 （1）在 ABC 和 A
26、DE 中， （如图 1） ABCADE（SAS） BACDAE 即BAD+DACDAC+CAE BADCAE （2）AD6，APx， PD6x 当 ADBC 时，APAB3 最小，即 PD633 为 PD 的最大值 （3）如图 2，设BAP，则APC+30 ， ABAC BAC90 ，PCA60 ，PAC90 ， I 为 APC 的内心 AI、CI 分别平分PAC，PCA， IACPAC，ICAPCA AIC180 （IAC+ICA） 180 （PAC+PCA） 180 （90 +60 ）+105 090 ， 105 +105 150 ，即 105 AIC150 ， 20 m105，n150 19.（2019江苏无锡）江苏无锡）如图，在 ABC 中，ABAC，点 D、E 分别在 AB、AC 上，BDCE，BE、CD 相交 于点 O （1）求证： DBCECB； （2）求证：OBOC 【答案】见解析。 【解析】 （1）根据等腰三角形的性质得到ECBDBC 根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 证明：ABAC， ECBDBC， 在 DBC 与 ECB 中， DBCECB（SAS） ； （2）根据全等三角形的性质得到DCBEBC 根据等腰三角形的判定定理即可得到 OBOC 证明：由（1）知 DBCECB， DCBEBC， OBOC