1、 1 专题专题 18 解直角三角形问题解直角三角形问题 一、勾股定理一、勾股定理 1勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a 2b2=c2。 2勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a 2b2=c2。 ，那么这个三角形是直角三角形。 3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。 4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它 的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5. 直角三角形的性质： (1)直角三角形的两锐角互余； (2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； (3)直角三角形中
2、 30角所对直角边等于斜边的一半； (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 6.直角三角形的判定： (1)有一个角等于 90的三角形是直角三角形 (2) 两锐角互余的三角形是直角三角形 (3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形 (4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 二、锐角三角函数二、锐角三角函数 1.各种锐角三角函数的定义 （1）正弦：在ABC 中，C=90把锐角 A 的对边与斜边的比值叫做A 的正弦，记作 sinA A的对边 斜边 （2） 余弦： 在ABC 中， C=90， 把锐角 A 的邻边与斜边比值的叫做A 的余弦， 记作 cosA A的邻边 斜
3、边 （3） 正切： 在ABC中， C=90， 把锐角 A的对边与邻边的比值叫做A 的正切， 记作 tanA A的对边 A的邻边 2.特殊值的三角函数： 专题知识回顾专题知识回顾 2 sin cos tan cot 0 0 1 0 不存在 3030 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 4545 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 6060 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 9090 1 1 0 0 不存在 0 0 三、仰角、俯角、坡度概念三、仰角、俯角、坡度概念 1仰角仰角：视线在水平线上方的角； 2俯角俯角：视线在水平线下方的角。 3坡度坡度( (坡比
4、坡比) )：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l 。把坡面与 水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tan h i l 。 四、各锐角三角函数之间的关系四、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A) tanA=cot(90A)，cotA=tan(90A) （2）平方关系 1cossin 22 AA （3）倒数关系 tanAtan(90A)=1 （4）弦切关系 tanA= A A cos sin 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 :ih l h l 3 【例题【例题 1 1】 （】 （2019201
5、9湖北省鄂州市）湖北省鄂州市）如图，已知线段AB4，O是AB的中点，直线l经过点O，160，P 点是直线l上一点，当APB为直角三角形时，则BP 【答案】2 或 2或 2 【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a 2+b2 c 2 分APB90、PAB90、PBA90三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可 AOOB2， 当BP2 时，APB90， 当PAB90时，AOP60， APOAtanAOP2， BP2， 当PBA90时，AOP60， BPOBtan12， 故答案为：2 或 2或 2 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 4
6、 【例题【例题 2 2】 （】 （20192019湖南长沙）湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东 60方向，距离灯塔 60nmile的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东 45方向上的B处，这时轮船B与小岛A的 距离是（ ） A30nmile B60nmile C120nmile D （30+30）nmile 【答案】D 【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解 直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 过点C作CDAB，则在RtACD中易得AD的长，再在直角BCD中求出BD，相加可得AB的长 过C作CDAB于D
7、点， ACD30，BCD45，AC60 在RtACD中，cosACD， CDACcosACD6030 在RtDCB中，BCDB45， CDBD30， ABAD+BD30+30 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile 【例题【例题 3 3】 （】 （20192019江苏连云港）江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为 25 海里在某时 5 刻， 哨所A与哨所B同时发现一走私船， 其位置C位于哨所A北偏东 53的方向上， 位于哨所B南偏东 37 的方向上 （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2） 若观察哨所A发现走私船从C处以 16海里/
8、小时的速度向正东方向逃窜， 并立即派缉私艇沿北偏东76 的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截 （结果保留根号） （参考数据：sin37cos53，cos37sin53，tan37，tan764） 【答案】 （1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为 15 海里； （2）当缉私艇的速度为 6海里/小时时，恰好在D处成功拦截 【解析】 （1）先根据三角形内角和定理求出ACB90，再解RtABC，利用正弦函数定义得出AC即可； 在ABC中，ACB180BBAC180375390 在RtABC中，sinB， ACABsin372515（海里） 答：观察哨所A与走私船所在的位置C
9、的距离为 15 海里； （2）过点C作CMAB于点M，易知，D.C.M在一条直线上解RtAMC，求出CM、AM解RtAMD中，求 出DM、AD，得出CD设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可 过点C作CMAB于点M，由题意易知，D.C.M在一条直线上 在RtAMC中，CMACsinCAM1512， AMACcosCAM159 在RtAMD中，tanDAM， DMAMtan769436， AD9， 6 CDDMCM361224 设缉私艇的速度为x海里/小时，则有， 解得x6 经检验，x6是原方程的解 答：当缉私艇的速度为 6海
10、里/小时时，恰好在D处成功拦截 一、选择题一、选择题 1 1 （ （20192019渝北区）渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（ ） A1，2 B1，3，4 C2，3，6 D4，5，6 【答案】A 【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可 A.1 2+（ ） 222，故是直角三角形，故此选项正确； B.1 2+3242，故不是直角三角形，故此选项错误； C.2 2+3262，故不是直角三角形，故此选项错误； D.4 2+5262，故不是直角三角形，故此选项错误 2 2 （ （20192019巴南区）巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角
11、形三条边长的一组数据是（ ） A， B3 2，42，52 C D0.3，0.4，0.5 【答案】D 【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可 A.（） 2+（ ） 2（ ） 2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； 专题典型训练题 专题典型训练题 7 B.（3 2）2+（42）2（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； C.（） 2+（ ） 2（ ） 2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； D.0.03 2+0.0420.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。 3.3.（20192019 广西省贵港市）
12、广西省贵港市）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为ABC （图中阴影部分） ，若45ACB，则重叠部分的面积为( ) A 2 2 2cm B 2 2 3cm C 2 4cm D 2 4 2cm 【答案】【答案】A 【解析】【解析】过B作BDAC于D，则90BDC，依据勾股定理得出BC的长，进而得到重叠部分的面积 如图，过B作BDAC于D，则90BDC， 45ACB， 45CBD，2BDCDcm，Rt BCD中， 22 222 2()BCcm， 重叠部分的面积为 1 2 222 2() 2 cm，故选：A 4.4.（20192019 贵州省毕节市）贵州省毕节市）
13、如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB1，EC2，那么正方形ABCD的面 积为（ ） A3 B3 C5 D5 8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】勾股定理 四边形ABCD是正方形，B90，BC 2EC2EB222123， 正方形ABCD的面积BC 23故选：B 5 5 （ （20192019南岸区）南岸区）如图，在 RtABC中，A90，C30，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC 于点E，若ED3，则AC的长为（ ） A3 B3 C6 D9 【答案】D 【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DCDB，DEBC，求出BDDC2DE3，根据直角三角形的性质 计算即可 DE是线段BC的垂
14、直平分线， DCDB，DEBC， C30， BDDC2DE3， DBCC30， 在ABC中，A90，C30， ABC60， ABD603030， ADBD3， ACDC+AD9 6 6 （ （20192019西藏）西藏）如图，在O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在O上，E22.5，AB2，则半径 OB等于（ ） 9 A1 B C2 D2 【答案】B 【解析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出ODB是等腰直角三角形，进而得出答案 半径OC弦AB于点D， ， EBOC22.5， BOD45， ODB是等腰直角三角形， AB2， DBOD1， 则半径OB等于： 7.7.（20192019江苏苏州
15、）江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水 平距离为18 3m的地面上，若测角仪的高度为1.5 m，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o，则教学楼的高度是（ ） A55.5 m B54m C19.5 m D18m 【答案】C 【解析】考察30o角的三角函数值，中等偏易题目 过D作DEAB交AB于E， 30 C D A B 18 3DEBC 10 在RtADEV中，tan30 AE DE o 3 18 318m 3 AE 18 1.519.5mAB 8.8.（20192019湖南长沙）湖南长沙）如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，
16、D是线段BE上的一个动点， 则CD+BD的最小值是（ ） A2 B4 C5 D10 【答案】B 【解析】如图，作DHAB于H，CMAB于M由tanA2，设AEa，BE2a，利用勾股定理构建方 程求出a，再证明DHBD，推出CD+BDCD+DH，由垂线段最短即可解决问题 如图，作DHAB于H，CMAB于M BEAC， 30 C D A B E 11 ABE90， tanA2，设AEa，BE2a， 则有：100a 2+4a2， a 220， a2或2（舍弃） ， BE2a4， ABAC，BEAC，CMAC， CMBE4（等腰三角形两腰上的高相等） ） DBHABE，BHDBEA， sinDBH，
17、DHBD， CD+BDCD+DH， CD+DHCM， CD+BD4， CD+BD的最小值为 4 二、填空题二、填空题 9.9.（20192019贵州安顺）贵州安顺）如图，在RtABC中，BAC90，且BA3，AC4，点D是斜边BC上的一个动 点，过点D分别作DMAB于点M，DNAC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 【答案】 【解析】BAC90，且BA3，AC4， BC5， DMAB，DNAC， 12 DMADNABAC90， 四边形DMAN是矩形， MNAD， 当ADBC时，AD的值最小， 此时，ABC的面积ABACBCAD， AD， MN的最小值为 。 10. 10. （2019201
18、9 贵州省毕节市）贵州省毕节市） 三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点C在FD的 延长线上， 点B在ED上，ABCF， FACB90， E45， A60，AC10， 则CD的长度是 【答案】【答案】1553 【解析】考查【解析】考查含 30 度角的直角三角形；勾股定理 过点B作BMFD于点M， 在ACB中，ACB90，A60，AC10， ABC30，BC10tan6010 3， ABCF， BMBCsin30103 1 2 53， CMBCcos3015， 在EFD中，F90，E45， EDF45， MDBM5 3， CDCMMD155 3 13 故答案是：1553 11.
19、 (201911. (2019 海南海南) )如图,将 RtABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转(090)得到 AE,直角边 AC 绕点 A 逆时针旋转(090)得到 AF,连接 EF,若 AB3,AC2,且+B,则 EF_. 【答案】13 【解析】+B,EAFBAC+B90,AEF 是直角三角形,且 AEAB3,AFAC2,EF 22 AEAF13 12.12.（20192019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）如图将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到ABC,其中点 A与 A 是对应点,点 B 与 B 是对应点,点 B落在边 AC 上,连接 AB,若ACB=45,AC=3,BC=2,则 AB
20、 的长为 【答案】【答案】 ：13 【解析】【解析】将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC， ACAC3，ACBACA45 ACB90 AB 22 BCA C13 13.13.（20192019 山东东营）山东东营）已知等腰三角形的底角是 30，腰长为 23，则它的周长是_ 【答案】【答案】64 3+ 【解析】【解析】如图，过A作ADBC于D，则ADBADC90， 14 ABAC23，B30，AD 1 2 AB3， 由勾股定理得：BD 22 33（2） （）3， 同理CD3，BC6， ABC的周长为BC+AB+AC6+23+236+43 14.14.（20192019浙江宁波）浙江宁波）如图，某海
21、防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的A处有一艘船向正东 方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为 米 （精确到 1 米，参考数据：1.414，1.732） 【答案】456 【解析】考查了解直角三角形的应用方向角的问题此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题， 将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想 通过解直角OAC求得OC的长度，然后通过解直角OBC求得OB的长度即可 如图，设线段AB交y轴于C， 在直角OAC中，ACOCAO45，则ACOC OA400 米， OCOAcos45400200（米） 在直角
22、OBC中，COB60，OC200米， OB400456（米） 故答案是：456 15 15.15.（20192019海南省）海南省）如图，将RtABC的斜边AB绕点A顺时针旋转（090）得到AE，直角边 AC绕点A逆时针旋转（090） 得到AF， 连结EF 若AB3，AC2， 且+B， 则EF 【答案】 【解析】由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2，由勾股定理可求EF的长 由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2， B+BAC90，且+B， BAC+90 EAF90 EF 1616 （ （20192019山东临沂）山东临沂）如图，在ABC中，ACB120，BC4，D为AB的中点，DCBC，则A
23、BC的面 积是 【答案】8 【解析】根据垂直的定义得到BCD90，得到长CD到H使DHCD，由线段中点的定义得到ADBD，根 据全等三角形的性质得到AHBC4，HBCD90，求得CD2，于是得到结论 DCBC， BCD90， 16 ACB120，ACD30， 延长CD到H使DHCD， D为AB的中点，ADBD， 在ADH与BCD中， ADHBCD（SAS） ， AHBC4，HBCD90， ACH30， CHAH4，CD2， ABC的面积2SBCD2428， 故答案为：8 三、解答题三、解答题 17.17.（20192019 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区）如图，在ABC中，ABBC，ADB
24、C于点D，BEAC于点E，AD与BE交于 点F，BHAB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H （1）如图所示，若ABC30，求证：DFBH 3 3 BD； （2）如图所示，若ABC45，如图所示，若ABC60（点M与点D重合） ，猜想线段DF，BH， BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明 图 图 图 H F MD E B A C H F M E D B A C F D(M) E H A B C 17 【答案】见解析。 【解析】条件中有等腰三角形 ABC，故考虑用等腰三角形的性质；条件中有 30角，且有 ADBC，故可以 找到与 BD 有关的 3 3 的数量关
25、系，即AD 3 3 BD；条件中有中点，故考虑构造全等三角形.结合以上信息， 再结合问题中的 DF,BH 两条线段，因此连接 CF，问题可解.对于图和图，可仿照（1）的思路求解. （1）证明：连接 CF，AB=BC，ABC=30，BAC=ACB=75. ADBC，ADB=90，BAD=60，DAC=15 AB=BC，BEAC，BE 垂直平分 AC，AF=CF， ACF=DAC=15，BCF=75-15=60， BHAB，ABC=30，CBH=60，CBH=BCF=60. 在BHM 和CFM 中，CBH=BCF，BM=CM，BMH=CMF，BHMCFM， BH=CF,BH=AF，AD=DF+AF
26、=DF+BH.在 RtADB 中，ABC=30，AD= 3 3 BD, DFBH 3 3 BD. （2）图猜想结论：DFBHBD； 图猜想结论：DFBH3BD 18.18.（20192019 广西池河）广西池河）如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东 60方向上，向东前进 120m到达C点，测得A在北偏东 30方向上，求河的宽度（精确到 0.1m） 参考数据：1.414， 1.732 【答案】见解析。 【解析】过点A作AD直线BC，垂足为点D，在RtABD和RtACD中，通过解直角三角形可求出BD，CD 的长，结合BCBDCD120，即可求出AD的长 H F MD E B A C
27、 18 过点A作AD直线BC，垂足为点D，如图所示 在RtABD中，tanBAD， BDADtan60AD； 在RtACD中，tanCAD， CDADtan30AD BCBDCDAD120， AD103.9 河的宽度为 103.9 米 19. 19. （20192019湖南怀化）湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处 一棵柳树位于北偏东 60方向，他以每秒 1.5 米的速度沿着河岸向东步行 40 秒后到达C处，此时测得柳树 位于北偏东 30方向，试计算此段河面的宽度 【答案】这条河的宽度为 30米 【解析】如图，作AD于BC于 D 由题意可知：BC1
28、.54060 米，ABD30，ACD60， BACACDABC30， ABCBAC， BCAC60 米 在RtACD中，ADACsin606030（米） 答：这条河的宽度为 30米 19 20.20.（20192019 四川巴中）四川巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直某校 “数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东 65方向， 另测得BC414m，AB300m， 求出点D到AB的距离（参考数据sin650.91，cos650.42， tan652.14） 【答案】点D到AB的距离是 214m 【解析】本
29、题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确根据三角函数列方程是解题 的关键 如图，过点D作DEAB于E，过D作DFBC于F，则四边形EBFD是矩形， 设DEx， 在RtADE中，AED90， tanDAE， AE， BE300， 又BFDEx， CF414x， 20 在RtCDF中，DFC90，DCF45， DFCF414x， 又BECF， 即：300414x， 解得：x214 21.21.（20192019湖北省荆门市）湖北省荆门市）如图，已知平行四边形ABCD中，AB5，BC3，AC2 （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求证：BDBC 【答案】见解析。 【解析】本题
30、主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合 性较强 （1）作CEAB交AB的延长线于点E，如图： 设BEx，CEh 在RtCEB中：x 2+h29 在RtCEA中： （5+x） 2+h252 联立解得：x，h 平行四边形ABCD的面积ABh12； （2）作DFAB，垂足为F DFACEB90 平行四边形ABCD ADBC，ADBC DAFCBE 21 又DFACEB90，ADBC ADFBCE（AAS） AFBE，BF5，DFCE 在RtDFB中：BD 2DF2+BF2（ ） 2+（ ） 216 BD4 BC3，DC5 CD 2DB2+BC2 BDBC 22
31、.22.（20192019 广东深圳）广东深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度 BC，AD=600 米，ADBC，施工队站在点 D 处看 向 B， 测得仰角 45， 再由 D 走到 E 处测量， DEAC， DE=500 米， 测得仰角为 53， 求隧道 BC 长. （sin53 5 4 ，cos53 5 3 ，tan53 3 4 ）. 【答案】隧道 BC 的长度为 700 米 【解析】【解析】作 EMAC 于点 M，构建直角三角形，解直角三角形解决问题 如图，ABD 是等腰直角三角形，AB=AD=600 作 EMAC 于点 M，则 AM=DE=500，BM=100 在 RtCEM 中，ta
32、n53= CM EM ，即 600 CM = 4 3 ， CM=800， BC=CMBM=800100=700（米） ， 隧道 BC 的长度为 700 米 答：隧道 BC 的长度为 700 米 22 23.23.（20192019 湖北十堰）湖北十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD3m，坝高AEDF6m，坡角45， 30，求BC的长 【答案】BC的长（9+63）m 【解析】解直角三角形的应用坡度坡角问题 过A点作AEBC于点E，过D作DFBC于点F， 则四边形AEFD是矩形，有AEDF6，ADEF3， 坡角45，30， BEAE6，CF= 3DF63， BCBE+EF+CF6+3+6
33、3 =9+63，BC（9+63）m， 答：BC的长（9+63）m 24.24. （20192019 湖南郴州）湖南郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东 45方向上，距离A处 30km在灯塔 C的正南方向B处有一渔船发出求救信号， 巡逻船接到指示后立即前往施救 已知B处在A处的北偏东 60 方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？ （精确到 0.01km参考数据：2 1.414，3 1.732，6 2.449） 【答案】巡逻船与渔船的距离约为 8.97km 23 【解析】【解析】延长CB交过A点的正东方向于D，则CDA90，由题意得：AC30km，CAD45，BAD 30，由直角三角形的性质得出ADCD= 2 2 AC152，AD= 3BD，BD= 152 3 =56，即可得出答案 延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示： 则CDA90， 由题意得：AC30km，CAD904545，BAD906030， ADCD= 2 2 AC152，AD= 3BD， BD= 152 3 =56， BCCDBD152 56 151.41452.4498.97（km） ； 答：巡逻船与渔船的距离约为 8.97km