1、 1 专题专题 19 平行四边形平行四边形 1平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ABCD”表示， 如平行四边形 ABCD 记作“ABCD” ，读作“平行四边形 ABCD” 。 2平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分。 3平行四边形的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4平行
2、四边形的面积：S平行四边形=底边长高=ah 【例题【例题 1】 （】 （2019 广西池河）广西池河）如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点，点 F 在 DE 延长线上，添 加一个条件使四边形 ADFC 为平行四边形，则这个条件是（ ） ABF BBBCF CACCF DADCF 【答案】B 【解析】利用三角形中位线定理得到 DEAC，结合平行四边形的判定定理进行选择 在ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点， DE 是ABC 的中位线， 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 DEAC A.根据BF 不能判定 ACDF，即不能判定四边形
3、 ADFC 为平行四边形，故本选项错误 B.根据BBCF 可以判定 CFAB，即 CFAD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得 到四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项正确 C.根据 ACCF 不能判定 ACDF，即不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错误 D.根据 ADCF，FDAC 不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错误 【例题【例题 2 2】 （】 （20182018 湖北黄石）湖北黄石）如图，ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，分别以 AB，AC 为直角边向外作 等腰直角ABD 和等腰直角ACE，G 为 BD 的中点，连接 CG，BE，CD，B
4、E 与 CD 交于点 F （1）判断四边形 ACGD 的形状，并说明理由 （2）求证：BE=CD，BECD 【答案】看解析。 【解析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用 各种定理是解答此题的关键 （1）利用等腰直角三角形的性质易得 BD=2BC，因为 G 为 BD 的中点，可得 BG=BC，由CGB=45，ADB=45 得 ADCG，由CBD+ACB=180，得 ACBD，得出四边形 ACGD 为平行四边形； （2）利用全等三角形的判定证得DACBAE，由全等三角形的性质得 BE=CD；首先证得四边形 ABCE 为平 行四边形，再利用全等三角形
5、的判定定理得BCECAD，易得CBE=ACD，由ACB=90，易得 CFB=90，得出结论 ABC 是等腰直角三角形，ACB=90， AB=BC， ABD 和ACE 均为等腰直角三角形， BD=BC=2BC， G 为 BD 的中点， 3 BG= BD=BC， CBG 为等腰直角三角形，CGB=45， ADB=45， ADCG， ABD=45，ABC=45CBD=90， ACB=90， CBD+ACB=180，ACBD， 四边形 ACGD 为平行四边形； （2）证明：EAB=EAC+CAB=90+45=135， CAD=DAB+BAC=90+45=135， EAB=CAD， 在DAC 与BAE
6、中， ， DACBAE，BE=CD； EAC=BCA=90，EA=AC=BC， 四边形 ABCE 为平行四边形，CE=AB=AD， 在BCE 与CAD 中， ， BCECAD，CBE=ACD， ACD+BCD=90，CBE+BCD=90，CFB=90，即 BECD 4 一一、选择题、选择题 1. （ 福建福州福建福州）平面直角坐标系中，已知ABCD 的三个顶点坐标分别是 A（m，n） ，B ( 2，l )，C（ m，n） ，则点 D 的坐标是（ ） A （2 ，l ) B （2，l ) C （1，2 ) D （1，2 ) 【答案】【答案】A 【解析解析】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称
7、的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握平行四边形 的性质，得出 D 和 B 关于原点对称由点的坐标特征得出点 A 和点 C 关于原点对称，由平行四边形的性质 得出 D 和 B 关于原点对称，即可得出点 D 的坐标 A（m，n） ，C（m，n） ，点 A 和点 C 关于原点对称，四边形 ABCD 是平行四边形，D 和 B 关 于原点对称，B（2，1） ，点 D 的坐标是（2，1） ，故选择 A . 2.（ 河北省）河北省）关于ABCD 的叙述，正确的是（ ） A若 ABBC，则ABCD 是菱形 B若 ACBD，则ABCD 是正方形 C若 AC=BD，则ABCD 是矩形 D若 AB=AD，则ABCD
8、是正方形 【答案答案】C C 【解析解析】根据菱形、矩形和正方形的判定方法对各选项进行判断. 当 ABBC 时，ABC90，ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） ，故选项 A 不正确； ACBD，ABCD 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） ，故选项 B 不正确；AC=BD， ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） ，故选项 C 正确；AB=AD，ABCD 是菱形（有一组邻 边相等的平行四边形是菱形） ，故选项 D 不正确. 3.（湖南湘西（湖南湘西）下列说法错误的是（ ） A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.
9、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】【答案】D 【解析】【解析】此 题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判断定理可作出判断 选项 A、B、C 都是平行四边形的判定定理，符合选项 D 条件的除了平行四边形还有等腰梯形，故选择故选择 D . 专题典型训练题 专题典型训练题 5 4 （ （2019山东临沂山东临沂）如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 是 BD 上两点，BMDN，连接 AM、MC、CN、 NA，添加一个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（ ） AOMAC BMBMO CBDAC DAMBCND
10、【答案】A 【解析】由平行四边形的性质可知：OAOC，OBOD，再证明 OMON 即可证明四边形 AMCN 是平行 四边形 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD 对角线 BD 上的两点 M、N 满足 BMDN， OBBMODDN，即 OMON， 四边形 AMCN 是平行四边形， OMAC， MNAC， 四边形 AMCN 是矩形 5.（山东淄博）（山东淄博）如图， ABC 的面积为 16，点 D 是 BC 边上一点，且 BD= 1 4 BC，点 G 是 AB 上一点，点 H 在 ABC 内部，且四边形 BDHG 是平行四边形则图中阴影的面积是（ ） A. 3 B. 4 C.
11、 5 D. 6 【答案】【答案】B 【解析解析】本题考查三角形的面积的计算，平行四边形的性质，及整体思想，解题关键是能整体求解. 这里两 阴影部分以公共边 GH 为底，则高的和= ABC 的 BC 边的高. A BC H G D 6 设 ABC 底边 BC 上的高为 h， AGH 底边 GH 上的高为 h1， CGH 底边 GH 上的高为 h2， 则有 h=h1+h2 S ABC= 1 2 BCh=16， S阴影=S AGH+S CGH= 1 2 GHh1+ 1 2 GHh2= 1 2 GH（h1+h2）= 1 2 GHh 四边形 BDHG 是平行四边形，且 BD= 1 4 BC， GH=BD
12、= 1 4 BC. S阴影= 1 4 （ 1 2 BCh）= 1 4 S ABC=4故选择 B 二二、填空题、填空题 6 （ （2019 广西百色）广西百色）四边形具有不稳定性如图，矩形 ABCD 按箭头方向变形成平行四边形 ABCD，当 变形后图形面积是原图形面积的一半时，则A 【答案】30 【解析】 根据矩形和平行四边形的面积公式可知， 平行四边形 ABCD的底边 AD 边上的高等于 AD 的一半， 据此可得A为 30 ， 平行四边形 ABCD的底边 AD 边上的高等于 AD 的一半， A30 6 （ （2019湖南湖南娄底）娄底）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O
13、，点 E 是 AD 的中点，BCD 的周长为 18，则DEO 的周长是 【答案】9 【解析】E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形， DE= 1 2 AD= 1 2 BC，DO= 1 2 BD，AO=CO， E O B A C D 7 OE= 1 2 CD， BCD 的周长为 18， BD+DC+B=18， DEO 的周长是 DE+OE+DO= 1 2 （BC+DC+BD）= 1 2 18=9 7 7. .（ 20192019河南省）河南省）如图，在ABCD中，BEAB交对角线AC于点E，若1=20，则2的度数是_. 【答案】【答案】110 【解析解析】本题考查了平行四边形的性质和
14、和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四 边形性质或三角形外角的有关知识 思路： 首先利用平行四边形的性质求出BAE 的度数， 再由2 是ABE 的外角求出2 的大小. 四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD， BAE=1=20 BEAB ABE=90 2 是ABE 的外角 2=ABE+BAE=90 +20 =110 ，故答案为 110 . 8. （ 2019 湖北省十堰市）湖北省十堰市） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AB=213cm,AD=4cm,ACBC,则DBC 比ABC 的周长长_cm. 【答案答案】4 【解析解析】本题属于平面几何的计算题，主要涉及到平行四
15、边形的性质、勾股定理、三角形的周长等；解题 的关键是DBC 比ABC 的周长长等于 BD-AC;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理， 分别表示出 8 DBC 的周长与ABC 的周长，找出 BD-AC 的值即可. 如图，设 AC 与 BD 交于点 F,因为 AB=213cm,AD=4cm,ACBC，所以 AC= 2222 (2 13)4366ABBC;因为平行四边形 ABCD 中，所以，AF=FC,BF=DF; BF= 2222 435BCCF, BD=10;因为DBC 的周长=BD+BC+CD=10+AB,ABC 的周长=AB+BC+6,所以 DBC 比ABC 的周长长 4. 9.(2
16、019 浙江金华浙江金华)如图,已知 ABCD，BCDE.若A20 ，C120 ，则AED 的度数是 . 【答案】80 【解析】延长 DE 交 AB 于 F，根据平行四边形的性质及三角形内外角的关系可以确定AED 的度数 延长 DE 交 AB 于 F， 因为 ABCD， BCDE， 所以四边形 BCDF 为平行四边形， 因为C120 ， 所以BFD 120 ，所以AFD60 ，又A20 ，所以AED60 +20 80 ，故答案为 80 . 10.（江苏省无锡市）如图，已知OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x1 和 x4 上，O 是坐标原点，则对角 线 OB 长的最小值为_ F 9 【答案】
17、5 【解析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是知道点 B 到直线 x4 的距离等于点 O 到直线 x1 的距离 本题的思路是由平行四边形的中心对称的性质可知点 O 与点 A， 点 C 与点 B 之间的水平距离相等， 可求得点 B 的横坐标， 也就是说点 B 在一条垂直于 x 轴的直线上运动， 我们只需寻找出点 B 在什么位置时， OB 最短即可 顶点 A、C 分别在直线 x1 和 x4 上，O 是坐标原点，点 B 在 x5 上，当点 B 在 x 轴上时，即 OB 的最小值为 5，故答案为 5. 11. （2019湖北武汉湖北武汉）如图，在ABCD 中，E.F 是对角线 AC 上两点，AE
18、EFCD，ADF90， BCD63，则ADE 的大小为 【答案】21 【解析】设ADEx， AEEF，ADF90， DAEADEx，DEAFAEEF， AEEFCD， DECD， DCEDEC2x， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DAEBCAx， DCEBCDBCA63x， 10 2x63x， 解得：x21， 即ADE21。 三三、解答题、解答题 1212 （ （20192019 徐州）徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处， 折痕为EF求证： （1）ECBFCG； （2）EBCFGC 【答案】见解析。 【解析】 依据平行四边形的性
19、质， 即可得到ABCD， 由折叠可得， AECG， 即可得到ECBFCG； 依据平行四边形的性质，即可得出DB，ADBC，由折叠可得，DG，ADCG，即可得到B G，BCCG，进而得出EBCFGC 证明： （1）四边形ABCD是平行四边形， ABCD， 由折叠可得，AECG， BCDECG， BCDECFECGECF， ECBFCG； （2）四边形ABCD是平行四边形， DB，ADBC， 由折叠可得，DG，ADCG， BG，BCCG， 又ECBFCG， EBCFGC（ASA） 11 13 （ （2019 湖南郴州）湖南郴州）如图，平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 CE
20、 并延长交 BA 的延长线 于点 F，连接 AC，DF求证：四边形 ACDF 是平行四边形 【答案】见解析 【解析】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， FAECDE， E 是 AD 的中点， AEDE， 又FEACED， FAECDE（ASA） ， CDFA， 又CDAF， 四边形 ACDF 是平行四边形 14. (湖南省永州市湖南省永州市)如图，四边形 ABCD 为平行四边形，BAD 的角平分线 AE 交 CD 于点 F，交 BC 的延长 线于点 E (1)求证：BE=CD (2)连接 BF，若 BFAE，BEA=60，AB=4，求平行四边形 ABCD 的面积 12 【答案】见
21、解析。 【解析】(1)证明：四边形 ABCD 为平行四边形，AB=CD，ADBE，DAE=AEB又 AE 平分 BAD，DAE=BAE BAE=AEB BE=AB又 AB=CD，BE=CD （2）BE=AB，BFAE，AF=EF，ADBE，D=DCE，DAF=FEC， ADFECF(AAS)S平行四边形ABCD=SABEBE=AB，BEA=60， ABE 为等边三角形 SABE= 2 1 AEBF= 2 1 44sin60= 2 1 44 2 3 =34 S平行四边形ABCD=34 1515( (20192019 安徽安徽) )如图，点E在ABCD内部，AFBE，DFCE （1）求证：BCEA
22、DF； （2）设ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值 【答案】见解析。 【解析】根据ASA证明：BCEADF；根据点E在ABCD内部，可知：SBEC+SAEDSABCD，可得结论 （1）四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ADBC， ABC+BAD180， AFBE， EAB+BAF180， 13 CBEDAF， 同理得BCEADF， 在BCE和ADF中， ， BCEADF（ASA） ； （2）点E在ABCD内部， SBEC+SAEDSABCD， 由（1）知：BCEADF， SBCESADF， S四边形AEDFSADF+SAEDSBEC+SAEDSABCD， ABCD的面积
23、为S，四边形AEDF的面积为T， 2 16 （ （2019 湖南张家界）湖南张家界）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BEAB，连 接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G （1）求证：BFCF； （2）若 BC6，DG4，求 FG 的长 【答案】 （1）见解析； （2）2 【解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCD，ADBC， EBFEAD， 1 2 ， 14 BF 1 2 AD 1 2 BC， BFCF； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCD， FGCDGA， ，即 1 2 ， 解得，FG2 17. （2
24、019南京南京）如图，D 是ABC 的边 AB 的中点，DEBC，CEAB，AC 与 DE 相交于点 F求证： ADFCEF 【答案】见解析。 【解析】依据四边形 DBCE 是平行四边形，即可得出 BDCE，依据 CEAD，即可得出AECF， ADFE，即可判定ADFCEF 证明：DEBC，CEAB， 四边形 DBCE 是平行四边形， BDCE， D 是 AB 的中点， ADBD， ADEC， CEAD， AECF，ADFE， ADFCEF（ASA） 15 1818 （ （20182018 海南）海南）如图，将 ABCD 的 AD 边延长至点 E，使 DE= AD，连接 CE，F 是 BC 边
25、的中点，连接 FD （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）若 AB=3，AD=4，A=60，求 CE 的长 【答案】看解析。 【解析】考点是平行四边形的判定与性质菁优网版权所有利用平行四边形的性质得出 AD=BC，ADBC，进 而利用已知得出 DE=FC，DEFC，进而得出答案；首先过点 D 作 DNBC 于点 N，再利用平行四边形的性质 结合勾股定理得出 DF 的长，进而得出答案 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC，ADBC， DE= AD，F 是 BC 边的中点， DE=FC，DEFC， 四边形 CEDF 是平行四边形； （2）解：过点 D 作 DNBC
26、 于点 N， 四边形 ABCD 是平行四边形，A=60， BCD=A=60， AB=3，AD=4， FC=2，NC= DC= ，DN=， FN= ，则 DF=EC= 16 19 （ （2019 辽宁本溪）辽宁本溪）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADCD，B45，延长 CD 到点 E，使 DEDA，连接 AE （1）求证：AEBC； （2）若 AB3，CD1，求四边形 ABCE 的面积 【答案】见解析。 【解析】证明： （1）ABCD，B45 C+B180 C135 DEDA，ADCD E45 E+C180 AEBC，且 ABCD 四边形 ABCE 是平行四边形 AEBC （2）四边形
27、 ABCE 是平行四边形 ABCE3 ADDEABCD2 四边形 ABCE 的面积326 20.（江苏省扬州市）（江苏省扬州市）如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处 （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； 17 （2）若 AB=6，AC=10，求四边形 AECF 的面积 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析解析】 （1）证明：折叠，AM=AB，CN=CD，FNC=D=90 ，AME=B=90 ， ANF=90 ，CME=90 ， 四边形 ABCD 为矩
28、形，AB=CD，ADBC，AM=CN， AMMN=CNMN，即 AN=CM， 在ANF 和CME 中，FAN=EMC，AN=CM，ANF=EMC， ANFCME（ASA） ，AF=CE， 又AFCE，四边形 AECF 是平行四边形； （2）解：AB=6，AC=10，BC=8，设 CE=x，则 EM=8x，CM=106=4， 在 RtCEM 中， （8x）2+42=x2，解得：x=5，四边形 AECF 的面积为：ECAB=5 6=30 21.（ 2019 四川省凉山州）四川省凉山州）如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O， EF过点O且与BC、AD 分别交于点E、F。试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由。 【答案】见解析。 【解析】根据平行四边形的性质得到 OA 与 OC 相等，ADBC，进而有AFE 与CEF 相等，再结合对顶 角得出AOF 与COE 全等，得到 OE 与 OF 相等，再证明AOE 与COF 全等，从而得到 AE 与 CF 的 关系. AE=CF. 四边形 ABCD 为平行四边形，OA=OC，ADBC，AFE=CEF； A B C E D F O 18 在AOF 和COE 中 AFECEF AOFCOE OAOC ，AOFCOE（AAS） ，OF=OE； 在AOE 和COF 中 OAOC AOECOF OEOF ，AOECOF（SAS） ，AE=CF.