1、 1 专题专题 21 菱形菱形 1菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对 角。 3.菱形的判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 4菱形的面积：S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半 【例题【例题 1】（】（2019 内蒙古赤峰）内蒙古赤峰）如图，菱形 ABCD 周长为 20，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 CD 的中 点，则 OE 的长是（ ） A2.5 B3 C4 D5 【答案
2、】【答案】A 【解析】【解析】四边形 ABCD 为菱形， CDBC= 20 4 =5，且 O 为 BD 的中点， E 为 CD 的中点， OE 为BCD 的中位线， OE= 1 2CB2.5 【例题【例题 2】（】（2019 广西梧州）广西梧州）如图，在菱形ABCD中，2AB ，60BAD，将菱形ABCD绕点A逆时 针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【答案】【答案】31 【解析】【解析】连接BD交AC于O，如图所示： 四边形ABCD是菱形， 2CDAB，60BCDBAD ，
3、1 30 2 ACDBACBAD ，OAOC，ACBD， 1 1 2 OBAB， 33OAOB， 2 3AC， 由旋转的性质得：2AEAB，60EAGBAD ， 2 32CEACAE， 四边形AEFG是菱形，/ /EFAG， 60CEPEAG ， 90CEPACD，90CPE， 1 31 2 PECE，333PCPE， 2(33)31DPCDPC 。 3 一一、选择题、选择题 1.（2019 四川泸州）四川泸州）一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（ ） A8 B12 C16 D32 【答案】【答案】 【解析】【解析】如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， AO
4、CO= 1 2AC，DOBO= 1 2BD，ACBD， 面积为 28， 1 2ACBD2ODAO28 菱形的边长为 6， OD2+OA236 ， 由两式可得： （OD+AO）2OD2+OA2+2ODAO36+2864 OD+AO8， 2（OD+AO）16，即该菱形的两条对角线的长度之和为 16 2.(2019四川省绵阳市四川省绵阳市)如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 为菱形， O （0， 0） ， A （4， 0） ， AOC=60 ， 则对角线交点 E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】过点 E 作 EFx 轴于点 F， 专题典型训练题 专题典型训练题
5、4 四边形 OABC 为菱形，AOC=60 ， =30 ，FAE=60 ， A（4，0）， OA=4， =2， ，EF=， OF=AO-AF=4-1=3， 3.（2019四川省四川省广安广安市）市）如图，在边长为 3 的菱形ABCD中， 30B ，过点A作 BCAE 于点E， 现将ABE 沿直线 AE 翻折至AFE的位置，AF与CD交于点 G 则CG等于（ ） A. 13 B.1 C. 2 1 D. . 2 3 【答案】A 【解析】因为B=30 ，AB=3，AEBC， 所以 BE= 2 3 ，所以 EC=3- 2 3 ， 则 CF=3-3， 又因为 CGAB， G FE D A BC 5 所以
6、 CGCF ABBF , 所以 CG=13 . 4.（2019 四川省雅安市）四川省雅安市）如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，AC、BD 是对角线 ，E、F、G、H 分别是 AD、BD、BC、AC 的中点，连接 EF、FG、GH、HE，则四边形 EFGH 的形状是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC、CA 的中点，根据三角形中位线性 质， 得 EFGHAB， EHFGCD， 又由 AB=CD， 得 EFFGGHEH 时， 四边形 EFGH 是菱形 点 E、F、G、H 分
7、别是任意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC、CA 的中点，EFGHAB，EHFG CD，AB=CD，EFFGGHEH 时，四边形 EFGH 是菱形，故选 C 5. （2019 贵州安顺）贵州安顺）如图，在菱形 ABCD 中，按以下步骤作图： 分别以点 C 和点 D 为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点； 作直线 MN，且 MN 恰好经过点 A，与 CD 交于点 E，连接 BE 则下列说法错误的是（ ） AABC60 BSABE2SADE C若 AB4，则 BE4 DsinCBE 【答案】C 【解析】由作法得 AE 垂直平分 CD，即 CEDE，AECD， 四边形 AB
8、CD 为菱形， F G E H A B C D 6 ADCD2DE，ABDE， 在 RtADE 中，cosD， D60 ， ABC60 ，所以 A 选项的结论正确； SABEABAE，SADEDEAE， 而 AB2DE， SABE2SADE，所以 B 选项的结论正确； 若 AB4，则 DE2， AE2， 在 RtABE 中，BE2，所以 C 选项的结论错误； 作 EHBC 交 BC 的延长线于 H，如图， 设 AB4a，则 CE2a，BC4a，BE2a， 在CHE 中，ECHD60 ， CHa，EHa， sinCBE，所以 D 选项的结论正确 故选：C 6.（2019 贵州贵阳）贵州贵阳）如图
9、所示，菱形 ABCD 的周长是 4cm，ABC60 ，那么这个菱形的对角线 AC 的长 是（ ） A1cm B2 cm C3cm D4cm 【答案】A 7 【解析】由于四边形 ABCD 是菱形，AC 是对角线，根据ABC60 ，而 ABBC，易证BAC 是等边三 角形，从而可求 AC 的长 四边形 ABCD 是菱形，AC 是对角线， ABBCCDAD， ABC60 ， ABC 是等边三角形， ABBCAC， 菱形 ABCD 的周长是 4cm， ABBCAC1cm 7.（2019贵州省铜仁市）贵州省铜仁市）如图，四边形 ABCD 为菱形，AB2，DAB60 ，点 E、F 分别在边 DC、BC 上
10、，且 CECD，CFCB，则 SCEF（ ） A B C D 【答案】D 【解答】四边形 ABCD 为菱形，AB2，DAB60 ABBCCD2，DCB60 CECD，CFCB CECF CEF 为等边三角形 SCEF 8.（2019河北省）河北省）如图，菱形 ABCD 中，D150 ，则1（ ） A30 B25 C20 D15 8 【答案】D 【解答】四边形 ABCD 是菱形，D150 ， ABCD，BAD21， BAD+D180 ， BAD180 150 30 ， 115 二二、填空题、填空题 9.（2019 广西北部湾）广西北部湾）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交与点 O
11、，过点 A 作 AHBC 于点 H， 已知 BO=4，S菱形ABCD=24，则 AH= . 【答案】【答案】 24 5 . 【解析解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求 AC， 再根据勾股定理求出 BC，然后由菱形的面积即可得出结果 四边形 ABCD 是菱形， BO=DO=4，AO=CO，ACBD， BD=8. S菱形ABCD= 1 2 AC BD=24，AC=6，OC= 1 2 AC=3， BC= 22 OBOC=5， S菱形ABCD=BC AH=24，AH= 24 5 . 10 （ （2019 内蒙古通辽）内蒙古通辽）如图，在边长为 3 的菱
12、形 ABCD 中，A60，M 是 AD 边上的一点，且 AM AD，N 是 AB 边上的一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC则 AC 长度的最 小值是 9 【答案】1 【解析】过点 M 作 MHCD 交 CD 延长线于点 H，连接 CM， AMAD，ADCD3 AM1，MD2 CDAB， HDMA60 HDMD1，HMHD CH4 MC 将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN， AMAM1， 点 A在以 M 为圆心，AM 为半径的圆上， 当点 A在线段 MC 上时，AC 长度有最小值 AC 长度的最小值MCMA1 11 （ （2019 湖南常德）湖南常德）规定：如
13、果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四 边形为广义菱形根据规定判断下面四个结论：正方形和菱形都是广义菱形；平行四边 形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若 M、N 的坐标分别为（0，1） ， （0，1） ，P 是二次函数 yx2的图象上在第一象限内的任意一 点，PQ 垂直直线 y1 于点 Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形其中正确的是 （填 序号） 10 【答案】 【解析】根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，正确； 平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，错误； 由给出条件无法得到一组对边平行，错误； 设点 P（m，
14、m2） ，则 Q（m，1） ， MP，PQ+1， 点 P 在第一象限， m0， MP+1， MPPQ， 又MNPQ， 四边形 PMNQ 是广义菱形 正确； 故答案为 12.（2019 湖北十堰）湖北十堰）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若 OE3，则 菱形的周长为 【答案】【答案】24 【解析】【解析】四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，BODO， 点 E 是 BC 的中点， OE 是BCD 的中位线， CD2OE236， 菱形 ABCD 的周长4624 13.（2019 北京市）北京市） 把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角
15、三角形，将这四个直角三角形分别拼成 11 如图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为_ 【答案】【答案】12 【解析】【解析】设图 1 中小直角三角形的两直角边长分别为 a，b （ab） ； 则由图 2 和图 3 列得方程组 5 1 ab ab ，由加减消元法得 3 2 a b ， 菱形的面积 11 443212 22 Sab .故填 12. 14 （2019 辽宁抚顺）辽宁抚顺）如图，菱形 ABCD 的边长为 4cm，A60，BD 是以点 A 为圆心，AB 长为半径的 弧，CD 是以点 B 为圆心，BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为 cm2 【答案】4 【解析】连接 BD，
16、判断出ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ABD60，再求出CBD 60，然后求出阴影部分的面积SABD，计算即可得解 如图，连接 BD， 四边形 ABCD 是菱形， ABAD， A60， ABD 是等边三角形， ABD60， 又菱形的对边 ADBC， ABC18060120， 图图3图图2 图图1 1 5 12 CBD1206060， S阴影S扇形BDC（S扇形ABDSABD） ， SABD， 44cm2 三三、解答题、解答题 15 （ （2019 湖南岳阳）湖南岳阳）如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AD、CD 边上的点，DEDF， 求证：12 【答案】见解析 【解
17、析】证明：四边形 ABCD 是菱形， ADCD， 在ADF 和CDE 中， ADFCDE（SAS） ， 12 16. （2019海南省）海南省）如图，在边长为 l 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，点 P 是边 AD 上一点（与点 A、D 不重合） ，射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q （1）求证：PDEQCE； （2）过点 E 作 EFBC 交 PB 于点 F，连结 AF，当 PBPQ 时， 求证：四边形 AFEP 是平行四边形； 请判断四边形 AFEP 是否为菱形，并说明理由 13 【解析】 （1） 由四边形 ABCD 是正方形知DECQ90 ， 由 E 是 CD 的中
18、点知 DECE， 结合DEP CEQ 即可得证； （2）由 PBPQ 知PBQQ，结合 ADBC 得APBPBQQEPD，由PDEQCE 知 PEQE，再由 EFBQ 知 PFBF，根据 RtPAB 中 AFPFBF 知APFPAF，从而得PAF EPD，据此即可证得 PEAF，从而得证； 设 APx， 则 PD1x， 若四边形 AFEP 是菱形， 则 PEPAx， 由 PD2+DE2PE2得关于 x 的方程， 解之求得 x 的值，从而得出四边形 AFEP 为菱形的情况 【解答】 （1）四边形 ABCD 是正方形，DECQ90 ， E 是 CD 的中点，DECE， 又DEPCEQ， PDEQC
19、E（ASA） ； （2）PBPQ，PBQQ， ADBC， APBPBQQEPD， PDEQCE，PEQE， EFBQ，PFBF， 在 RtPAB 中，AFPFBF， APFPAF， PAFEPD， PEAF， EFBQAD， 四边形 AFEP 是平行四边形； 当 AP时，四边形 AFEP 是菱形 设 APx，则 PD1x， 若四边形 AFEP 是菱形，则 PEPAx， 14 CD1，E 是 CD 中点，DE， 在 RtPDE 中，由 PD2+DE2PE2得（1x）2+（）2x2，解得 x， 即当 AP时，四边形 AFEP 是菱形 17. （2019 北京市）北京市）如图 1，在菱形 ABCD
20、中，AC 为对角线，点 E，F 分别在 AB，AD 上，BE=DF，连接 EF （1）求证：ACEF； （2）如图 2，延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点 O，若 BD=4，tanG= 1 2 ，求 AO 的长 图 1 图 2 【答案】见解析。 【解析解析】由四边形 ABCD 为菱形易得 AB=AD，AC 平分BAD，结合 BE=DF，根据等腰AEF 中的三线 合 一 ， 证 得 AC EF. ； 菱 形 ABCD 中 有 AC BD ， 结 合 AC EF 得 BD EF. 进 而 有 1 tantan 22 OCOC ODCG OD ；得出 OA 的值. （1）证明：四边形 ABCD 为菱形 AB=AD，AC 平分BAD BE=DF ABBEADDF AE=AF AEF 是等腰三角形 AC 平分BAD ACEF （2）解：菱形 ABCD 中有 ACBD，结合 ACEF. BDEF. 15 又BD=4，tanG= 1 2 1 tantan 22 OCOC ODCG OD AO= 1 2 AC=OC=1.