1、 1 专题专题 18 解直角三角形问题解直角三角形问题 一、勾股定理一、勾股定理 1勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a 2b2=c2。 2勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a 2b2=c2。 ，那么这个三角形是直角三角形。 3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。 4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它 的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5. 直角三角形的性质： (1)直角三角形的两锐角互余； (2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； (3)直角三角形中
2、 30角所对直角边等于斜边的一半； (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 6.直角三角形的判定： (1)有一个角等于 90的三角形是直角三角形 (2) 两锐角互余的三角形是直角三角形 (3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形 (4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 二、锐角三角函数二、锐角三角函数 1.各种锐角三角函数的定义 （1）正弦：在ABC 中，C=90把锐角 A 的对边与斜边的比值叫做A 的正弦，记作 sinA A的对边 斜边 （2） 余弦： 在ABC 中， C=90， 把锐角 A 的邻边与斜边比值的叫做A 的余弦， 记作 cosA A的邻边 斜
3、边 （3） 正切： 在ABC 中， C=90， 把锐角 A 的对边与邻边的比值叫做A 的正切， 记作 tanA A的对边 A的邻边 2. 特殊值的三角函数： 专题知识回顾专题知识回顾 2 sin cos tan cot 0 0 1 0 不存在 3030 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 4545 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 6060 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 9090 1 1 0 0 不存在 0 0 三、仰角、俯角、坡度概念三、仰角、俯角、坡度概念 1仰角仰角：视线在水平线上方的角； 2俯角俯角：视线在水平线下方的角。 3坡度坡度(
4、(坡比坡比) )：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l 。把坡面与 水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tan h i l 。 四、各锐角三角函数之间的关系四、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A) tanA=cot(90A)，cotA=tan(90A) （2）平方关系 1cossin 22 AA （3）倒数关系 tanAtan(90A)=1 （4）弦切关系 tanA= A A cos sin 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 :ih l h l 3 【例题【例题 1 1】 （】 （2019
5、2019湖北省鄂州市）湖北省鄂州市）如图，已知线段AB4，O是AB的中点，直线l经过点O，160，P 点是直线l上一点，当APB为直角三角形时，则BP 【例题【例题 2 2】 （】 （20192019湖南长沙）湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东 60方向，距离灯塔 60nmile的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东 45方向上的B处，这时轮船B与小岛A的 距离是（ ） A30nmile B60nmile C120nmile D （30+30）nmile 【例题【例题 3 3】 （】 （20192019江苏连云港）江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所
6、A正北方向，距离为 25 海里在某时 刻， 哨所A与哨所B同时发现一走私船， 其位置C位于哨所A北偏东 53的方向上， 位于哨所B南偏东 37 的方向上 （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2） 若观察哨所A发现走私船从C处以 16海里/小时的速度向正东方向逃窜， 并立即派缉私艇沿北偏东76 的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截 （结果保留根号） （参考数据：sin37cos53，cos37sin53，tan37，tan764） 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 4 一、选择题一、选择题 1 1 （ （20192019渝北区）渝北区）如果下列各组数是
7、三角形的三边，则能组成直角三角形的是（ ） A1，2 B1，3，4 C2，3，6 D4，5，6 2 2 （ （20192019巴南区）巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（ ） A， B3 2，42，52 C D0.3，0.4，0.5 3.3.（20192019 广西省贵港市）广西省贵港市）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为ABC （图中阴影部分） ，若45ACB，则重叠部分的面积为( ) A 2 2 2cm B 2 2 3cm C 2 4cm D 2 4 2cm 4.4.（20192019 贵州省毕节市）贵州省毕节市） 如图，点E在
8、正方形ABCD的边AB上，若EB1，EC2，那么正方形ABCD的面 积为（ ） A3 B3 C5 D5 专题典型训练题 专题典型训练题 5 5 5 （ （20192019南岸区）南岸区）如图，在 RtABC中，A90，C30，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC 于点E，若ED3，则AC的长为（ ） A3 B3 C6 D9 6 6 （ （20192019西藏）西藏）如图，在O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在O上，E22.5，AB2，则半径 OB等于（ ） A1 B C2 D2 7.7.（20192019江苏苏州）江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教
9、学楼水 平距离为18 3m的地面上，若测角仪的高度为1.5 m，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o，则教学楼的高度是（ ） A55.5 m B54m C19.5 m D18m 8.8.（20192019湖南长沙）湖南长沙）如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点， 则CD+BD的最小值是（ ） 30 C D A B 6 A2 B4 C5 D10 二、填空题二、填空题 9.9.（20192019贵州安顺）贵州安顺）如图，在RtABC中，BAC90，且BA3，AC4，点D是斜边BC上的一个动 点，过点D分别作DMAB于点M，DNAC于点N，连接MN，则线
10、段MN的最小值为 10. 10. （20192019 贵州省毕节市）贵州省毕节市） 三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点C在FD的 延长线上， 点B在ED上，ABCF， FACB90， E45， A60，AC10， 则CD的长度是 11. (201911. (2019 海南海南) )如图,将 RtABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转(090)得到 AE,直角边 AC 绕点 A 逆时针旋转(090)得到 AF,连接 EF,若 AB3,AC2,且+B,则 EF_. 12.12.（20192019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）如图将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到ABC,其
11、中点 A与 A 是对应点,点 B 与 B 是对应点,点 B落在边 AC 上,连接 AB,若ACB=45,AC=3,BC=2,则 AB 的长为 7 13.13.（20192019 山东东营）山东东营）已知等腰三角形的底角是 30，腰长为 23，则它的周长是_ 14.14.（20192019浙江宁波）浙江宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的A处有一艘船向正东 方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为 米 （精确到 1 米，参考数据：1.414，1.732） 15.15.（20192019海南省）海南省）如图，将RtABC
12、的斜边AB绕点A顺时针旋转（090）得到AE，直角边 AC绕点A逆时针旋转（090） 得到AF， 连结EF 若AB3，AC2， 且+B， 则EF 1616 （ （20192019山东临沂）山东临沂）如图，在ABC中，ACB120，BC4，D为AB的中点，DCBC，则ABC的面 积是 三、解答题三、解答题 17.17.（20192019 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区）如图，在ABC中，ABBC，ADBC于点D，BEAC于点E，AD与BE交于 点F，BHAB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H （1）如图所示，若ABC30，求证：DFBH 3 3 BD； （2）如图所示，若A
13、BC45，如图所示，若ABC60（点M与点D重合） ，猜想线段DF，BH， BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明 8 图 图 图 18.18.（20192019 广西池河）广西池河）如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东 60方向上，向东前进 120m到达C点，测得A在北偏东 30方向上，求河的宽度（精确到 0.1m） 参考数据：1.414， 1.732 19. 19. （20192019湖南怀化）湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处 一棵柳树位于北偏东 60方向，他以每秒 1.5 米的速度沿着河岸向东步行 40
14、秒后到达C处，此时测得柳树 位于北偏东 30方向，试计算此段河面的宽度 20.20.（20192019 四川巴中）四川巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直某校 “数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东 65方向， 另测得BC414m，AB300m， 求出点D到AB的距离（参考数据sin650.91，cos650.42， H F MD E B A C H F M E D B A C F D(M) E H A B C 9 tan652.14） 21.21.（20192019湖北省荆门市）湖北省荆门市）如图，
15、已知平行四边形ABCD中，AB5，BC3，AC2 （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求证：BDBC 22.22.（20192019 广东深圳）广东深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度 BC，AD=600 米，ADBC，施工队站在点 D 处看 向 B， 测得仰角 45， 再由 D 走到 E 处测量， DEAC， DE=500 米， 测得仰角为 53， 求隧道 BC 长. （sin53 5 4 ，cos53 5 3 ，tan53 3 4 ）. 23.23.（20192019 湖北十堰）湖北十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD3m，坝高AEDF6m，坡角45， 30，求BC的长 24.24. （20192019 湖南郴州）湖南郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东 45方向上，距离A处 30km在灯塔 C的正南方向B处有一渔船发出求救信号， 巡逻船接到指示后立即前往施救 已知B处在A处的北偏东 60 10 方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？ （精确到 0.01km参考数据：2 1.414，3 1.732，6 2.449） -2019-2020 学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版）