1、 1 专题专题 25 圆的问题圆的问题 一、与圆有关的概念与规律一、与圆有关的概念与规律 1圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。圆的半 径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。 2.圆的性质: (1)圆具有旋转不变性; (2)圆具有轴对称性; (3)圆具有中心对称性。 3.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 4推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 5圆心角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 6在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在
2、同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也 相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也 相等。 7.圆周角:顶点在圆周上,并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。 8.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 9半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径 10. 点和圆的位置关系: 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径 11. 过三点的圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。 12. 外接圆和外心:
3、经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心,叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距 离相等。 13若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接 圆。 专题知识回顾专题知识回顾 2 14圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 15.直线与圆有 3 种位置关系: 如果O 的半径为 r,圆心 O 到直线 的距离为 d,那么 直线 和O 相交; 直线 和O 相切; 直线 和O 相离。 16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其
4、圆心称为内心。内心是三角形三个角的角 平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。 17.切线的性质 (1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 (3)圆的切线垂直于经过切点的半径。 18.切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 19.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。 20设圆 1 O的半径为 1 r,圆 2 O的半径为 2 r,两个圆的圆心距 12 |dOO,则: 两圆外离 12 drr; 两圆外切 12 drr; 两圆相交 1212 |rrdrr;
5、两圆内切 12 |drr; 两圆内含 12 |drr 21.圆中几个关键元素之间的相互转化 弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 22.与圆有关的公式 设圆的周长为 r,则: l lrd lrd lrd 3 (1)求圆的直径公式 d=2r (2)求圆的周长公式 C=2r (3)求圆的面积公式 S=r 2 二、解题要领二、解题要领 1.判定切线的方法: (1)若切点明确,则“连半径,证垂直” 。常见手法有全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有 时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直; (2)若切点不明确,则“作垂直,证半径” 。常见手法有角平分线
6、定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平 分线; 总而言之,要完成两个层次的证明: 直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点) ; 直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此 及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2.与圆有关的计算: 计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式 复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是 要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已 知,解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有: (
7、1)构造思想:构建矩形转化线段;构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它 所有线段长) ;构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;构造勾股定理模型;构造三角函数. (2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程, 解决问题。 (3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基 本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。 【例题【例题 1 1】 (】 (20192019山东省滨州市)山东省滨州市)如图,AB为O的直径,C,D为O上两点,若BCD40,则AB
8、D 的大小为( ) 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 4 A60 B50 C40 D20 【例题【例题 2 2】 (】 (20192019南京)南京)如图,PA.PB是O的切线,A.B为切点,点 C.D在O上若P102,则A+ C 【例题【例题 3 3】 (】 (20192019甘肃武威)甘肃武威)如图,在ABC中,ABAC,BAC120,点D在BC边上,D经过点A和 点B且与BC边相交于点E (1)求证:AC是D的切线; (2)若CE2,求D的半径 【例题【例题 4 4】 (】 (20192019江苏苏州)江苏苏州)如图,AE为O的直径,D是弧BC的中点BC与AD,OD分别交于点E,
9、F. (1)求证:DOAC; (2)求证: 2 DE DADC; (3)若 1 tan 2 CAD,求sinCDA的值. 5 一、选择题一、选择题 1 1 (2019(2019 甘肃陇南甘肃陇南) )如图, 点A,B,S在圆上, 若弦AB的长度等于圆半径的倍, 则ASB的度数是 ( ) A22.5 B30 C45 D60 2.2.(20192019山东省聊城市)山东省聊城市)如图,BC是半圆O的直径,D,E是上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连 接OD,OE如果A70,那么DOE的度数为( ) A35 B38 C40 D42 3.3.(20192019广西贵港)广西贵港)如图,AD是O的直
10、径,若AOB40,则圆周角BPC的度数是( ) F E D O A B C 专题典型训练题 专题典型训练题 6 A40 B50 C60 D70 4.4. (20192019湖北天门)湖北天门) 如图,AB为O的直径,BC为O的切线, 弦ADOC, 直线CD交BA的延长线于点E, 连接BD下列结论:CD是O的切线;CODB;EDAEBD;EDBCBOBE其中正确结论的 个数有( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 5.5.(20192019山东省德州市山东省德州市 )如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若ABC40, 则ADC的度数是( ) A130 B140 C1
11、50 D160 6.6.(20192019 湖南益阳)湖南益阳)如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O 于点D,下列结论不一定成立的是( ) APAPB BBPDAPD CABPD DAB平分PD 7 7.7. (20192019广东广州)广东广州) 平面内, O的半径为 1, 点P到O的距离为 2, 过点P可作O的切线条数为 ( ) A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 8 8 ( (20192019山东泰安)山东泰安)如图,ABC是O的内接三角形,A119,过点C的圆的切线交BO于点P,则 P的度数为( ) A32 B31 C29 D61 9
12、 9(2019(2019湖南益阳湖南益阳) )如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O 于点D,下列结论不一定成立的是( ) APAPB BBPDAPD CABPD DAB平分PD 10. 10. (20192019 湖北荆门湖北荆门) )如图,ABC内心为I,连接AI并延长交ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系 是( ) ADIDB BDIDB CDIDB D不确定 二、填空题二、填空题 11.11.(20192019 广西北部湾)广西北部湾) 九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的几 何原本并称现代数学的两大源泉
13、.在九章算术中记载有一问题: “今有圆材埋在壁中,不知大小。以 锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知: 锯口深为 1 寸,锯道 AB=1 尺(1 尺=10 寸) ,则该圆材的直径为 寸. 8 12. (201912. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )半径为 5 的O 是锐角三角形 ABC 的外接圆,ABAC,连接 OB,OC,延长 CO 交弦 AB 于 点 D.若OBD 是直角三角形,则弦 BC 的长为_. 13. 13. (20192019 山东东营)山东东营)如图,AC是O的弦,AC=5,点B是O 上的一个动点,且ABC=45,若
14、点M、N 分别是 AC、BC的中点,则 MN的最大值是_ 14.14.(20192019 黑龙江省龙东地区)黑龙江省龙东地区)如图,在O中,半径OA垂直于弦BC,点D在圆上,且ADC30,则 AOB的度数为_ 15.15.(20192019 江苏常州)江苏常州)如图,AB是O的直径,C、D是O上的两点, AOC120,则CDB 16.16. (20192019 四川省雅安市)四川省雅安市) 如图, ABC 内接于O, BD 是O 的直径, CBD=21, 则 A 的度数为_. A O B C D 9 17.(201917.(2019 安徽安徽) )如图,ABC内接于O,CAB30,CBA45,
15、CDAB于点D,若O的半径为 2, 则CD的长为 18.18.(20192019江苏泰州)江苏泰州)如图,O的半径为 5,点P在O上,点A在O内,且AP3,过点A作AP的垂 线交O于点 B.C设PBx,PCy,则y与x的函数表达式为 19.19. (20192019 山东省济宁市山东省济宁市 ) 如图,O 为Rt ABC 直角边 AC 上一点, 以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于 点 D,交 OA 于点 E,已知 BC,AC3则图中阴影部分的面积是 20.20.(20192019湖北省鄂州市)湖北省鄂州市)如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4) ,以点C为圆心的圆与y轴相切点 A、
16、B在x轴上,且OAOB点P为C上的动点,APB90,则AB长度的最大值为 O C B D A 10 三、解答题三、解答题 21.21.(20192019南京)南京)如图,O的弦AB.CD的延长线相交于点P,且ABCD求证:PAPC 22.22.(20192019湖南株洲)湖南株洲)四边形ABCD是O的圆内接四边形,线段AB是O的直径,连结AC.BD点H是线 段BD上的一点,连结AH、CH,且ACHCBD,ADCH,BA的延长线与CD的延长线相交与点P (1)求证:四边形ADCH是平行四边形; (2)若ACBC,PBPD,AB+CD2(+1) 求证:DHC为等腰直角三角形; 求CH的长度 23.
17、23.(20192019 广西池河)广西池河)如图,五边形ABCDE内接于O,CF与O相切于点C,交AB延长线于点F (1)若AEDC,EBCD,求证:DEBC; (2)若OB2,ABBDDA,F45,求CF的长 11 24.24. (20192019甘肃)甘肃) 如图, 在RtABC中, C90, 以BC为直径的O交AB于点D, 切线DE交AC于点E (1)求证:AADE; (2)若AD8,DE5,求BC的长 25.25.(20192019湖北省咸宁市)湖北省咸宁市)如图,在RtABC中,ACB90,D为AB的中点,以CD为直径的O分别 交AC,BC于点E,F两点,过点F作FGAB于点G (1)试判断FG与O的位置关系,并说明理由 (2)若AC3,CD2.5,求FG的长