1、 1 专题专题 25 圆的问题圆的问题 一、与圆有关的概念与规律一、与圆有关的概念与规律 1圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半 径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 2.圆的性质： （1）圆具有旋转不变性； （2）圆具有轴对称性； （3）圆具有中心对称性。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 4推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 5圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 6在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在
2、同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也 相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也 相等。 7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。 8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 9半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 10. 点和圆的位置关系： 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径 11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 12. 外接圆和外心：
3、经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距 离相等。 13若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接 圆。 专题知识回顾专题知识回顾 2 14圆内接四边形的特征： 圆内接四边形的对角互补； 圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 15.直线与圆有 3 种位置关系： 如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 的距离为 d，那么 直线 和O 相交； 直线 和O 相切； 直线 和O 相离。 16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其
4、圆心称为内心。内心是三角形三个角的角 平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。 17.切线的性质 （1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 （3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 18.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 19.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。 20设圆 1 O的半径为 1 r，圆 2 O的半径为 2 r，两个圆的圆心距 12 |dOO，则： 两圆外离 12 drr； 两圆外切 12 drr； 两圆相交 1212 |rrdrr；
5、两圆内切 12 |drr； 两圆内含 12 |drr 21.圆中几个关键元素之间的相互转化 弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 22.与圆有关的公式 设圆的周长为 r，则： l lrd lrd lrd 3 （1）求圆的直径公式 d=2r （2）求圆的周长公式 C=2r （3）求圆的面积公式 S=r 2 二、解题要领二、解题要领 1.判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直” 。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有 时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径” 。常见手法有角平分线
6、定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平 分线； 总而言之，要完成两个层次的证明： 直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点） ； 直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此 及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2.与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式 复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是 要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已 知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有： （
7、1）构造思想：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它 所有线段长） ；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数. （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程， 解决问题。 （3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基 本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。 【例题【例题 1 1】 （】 （20192019山东省滨州市）山东省滨州市）如图，AB为O的直径，C，D为O上两点，若BCD40，则AB
8、D 的大小为（ ） 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 4 A60 B50 C40 D20 【例题【例题 2 2】 （】 （20192019南京）南京）如图，PA.PB是O的切线，A.B为切点，点 C.D在O上若P102，则A+ C 【例题【例题 3 3】 （】 （20192019甘肃武威）甘肃武威）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，点D在BC边上，D经过点A和 点B且与BC边相交于点E （1）求证：AC是D的切线； （2）若CE2，求D的半径 【例题【例题 4 4】 （】 （20192019江苏苏州）江苏苏州）如图，AE为O的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，
9、F. （1）求证：DOAC； （2）求证： 2 DE DADC; （3）若 1 tan 2 CAD，求sinCDA的值. 5 一、选择题一、选择题 1 1 (2019(2019 甘肃陇南甘肃陇南) )如图， 点A，B，S在圆上， 若弦AB的长度等于圆半径的倍， 则ASB的度数是 （ ） A22.5 B30 C45 D60 2.2.（20192019山东省聊城市）山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连 接OD，OE如果A70，那么DOE的度数为（ ） A35 B38 C40 D42 3.3.（20192019广西贵港）广西贵港）如图，AD是O的直
10、径，若AOB40，则圆周角BPC的度数是（ ） F E D O A B C 专题典型训练题 专题典型训练题 6 A40 B50 C60 D70 4.4. （20192019湖北天门）湖北天门） 如图，AB为O的直径，BC为O的切线， 弦ADOC， 直线CD交BA的延长线于点E， 连接BD下列结论：CD是O的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正确结论的 个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 5.5.（20192019山东省德州市山东省德州市 ）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若ABC40， 则ADC的度数是（ ） A130 B140 C1
11、50 D160 6.6.（20192019 湖南益阳）湖南益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O 于点D，下列结论不一定成立的是（ ） APAPB BBPDAPD CABPD DAB平分PD 7 7.7. （20192019广东广州）广东广州） 平面内， O的半径为 1， 点P到O的距离为 2， 过点P可作O的切线条数为 （ ） A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 8 8 （ （20192019山东泰安）山东泰安）如图，ABC是O的内接三角形，A119，过点C的圆的切线交BO于点P，则 P的度数为（ ） A32 B31 C29 D61 9
12、 9(2019(2019湖南益阳湖南益阳) )如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O 于点D，下列结论不一定成立的是( ) APAPB BBPDAPD CABPD DAB平分PD 10. 10. (20192019 湖北荆门湖北荆门) )如图，ABC内心为I，连接AI并延长交ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系 是（ ） ADIDB BDIDB CDIDB D不确定 二、填空题二、填空题 11.11.（20192019 广西北部湾）广西北部湾） 九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几 何原本并称现代数学的两大源泉
13、.在九章算术中记载有一问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小。以 锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知： 锯口深为 1 寸，锯道 AB=1 尺（1 尺=10 寸） ，则该圆材的直径为 寸. 8 12. (201912. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )半径为 5 的O 是锐角三角形 ABC 的外接圆,ABAC,连接 OB,OC,延长 CO 交弦 AB 于 点 D.若OBD 是直角三角形,则弦 BC 的长为_. 13. 13. （20192019 山东东营）山东东营）如图，AC是O的弦，AC=5，点B是O 上的一个动点，且ABC=45，若
14、点M、N 分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是_ 14.14.（20192019 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区）如图，在O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且ADC30，则 AOB的度数为_ 15.15.（20192019 江苏常州）江苏常州）如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点， AOC120，则CDB 16.16. （20192019 四川省雅安市）四川省雅安市） 如图， ABC 内接于O， BD 是O 的直径， CBD=21， 则 A 的度数为_. A O B C D 9 17.(201917.(2019 安徽安徽) )如图，ABC内接于O，CAB30，CBA45，
15、CDAB于点D，若O的半径为 2， 则CD的长为 18.18.（20192019江苏泰州）江苏泰州）如图，O的半径为 5，点P在O上，点A在O内，且AP3，过点A作AP的垂 线交O于点 B.C设PBx，PCy，则y与x的函数表达式为 19.19. （20192019 山东省济宁市山东省济宁市 ） 如图，O 为Rt ABC 直角边 AC 上一点， 以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于 点 D，交 OA 于点 E，已知 BC，AC3则图中阴影部分的面积是 20.20.（20192019湖北省鄂州市）湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4） ，以点C为圆心的圆与y轴相切点 A、
16、B在x轴上，且OAOB点P为C上的动点，APB90，则AB长度的最大值为 O C B D A 10 三、解答题三、解答题 21.21.（20192019南京）南京）如图，O的弦AB.CD的延长线相交于点P，且ABCD求证：PAPC 22.22.（20192019湖南株洲）湖南株洲）四边形ABCD是O的圆内接四边形，线段AB是O的直径，连结AC.BD点H是线 段BD上的一点，连结AH、CH，且ACHCBD，ADCH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P （1）求证：四边形ADCH是平行四边形； （2）若ACBC，PBPD，AB+CD2（+1） 求证：DHC为等腰直角三角形； 求CH的长度 23.
17、23.（20192019 广西池河）广西池河）如图，五边形ABCDE内接于O，CF与O相切于点C，交AB延长线于点F （1）若AEDC，EBCD，求证：DEBC； （2）若OB2，ABBDDA，F45，求CF的长 11 24.24. （20192019甘肃）甘肃） 如图， 在RtABC中， C90， 以BC为直径的O交AB于点D， 切线DE交AC于点E （1）求证：AADE； （2）若AD8，DE5，求BC的长 25.25.（20192019湖北省咸宁市）湖北省咸宁市）如图，在RtABC中，ACB90，D为AB的中点，以CD为直径的O分别 交AC，BC于点E，F两点，过点F作FGAB于点G （1）试判断FG与O的位置关系，并说明理由 （2）若AC3，CD2.5，求FG的长