1、 1 专题专题 29 概率概率 1确定事件 （1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 （2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 （1）有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件； （2）有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件； 必然事件和不可能事件都是确定的 （3）有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件 2.概率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 m n 会稳定在某
2、个常数 p 附近，那 么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率。 即 p AP . 概率 各种情况出现的次数 某一事件发生的次数 3确定事件概率 （1）当 A 是必然发生的事件时，P（A）=1 （2）当 A 是不可能发生的事件时，P（A）=0 4古典概型的定义 某个试验若具有：在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；在一次试验中，各种结果发生的 可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。 5古典概型的概率的求法 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A）= n m 6列表法：用列出表
3、格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 7列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用列表法。 专题知识回顾专题知识回顾 2 8树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 9运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时， 用列表法就不方便了， 为了不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用树状图法求概率。 10利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这 个事件发生的概率。 【例题【例题 1
4、】 （】 （2019 广西北部湾）广西北部湾）下列事件为必然事件的是（ ） A.打开电视机，正在播放新闻 B.任意画一个三角形内角和是 180 C.买一张电影票，座位号是奇数号 D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【例题【例题 2】 （】 （2019 贵州省毕节市）贵州省毕节市）平行四边形 ABCD 中，AC、BD 是两条对角线，现从以下四个关系AB BC；ACBD；ACBD；ABBC 中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是菱形的 概率为（ ） A 1 4 B 1 2 C 3 4 D1 【例题【例题 3】 （】 （2019 湖南岳阳）湖南岳阳）分别写有数字、1、0、 的五张大
5、小和质地均相同的卡片，从中任意 抽取一张，抽到无理数的概率是 【例题【例题 4】 （】 （2019 湖南邵阳）湖南邵阳）不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红 色、 白色、 蓝色、 黄色， 从中一次性随机取出 2 个小球， 取出 2 个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是_ 【例题【例题 5】 （】 （2019江苏宿迁）江苏宿迁）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行 调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目） ，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图 男、女生所选类别人数统计表 类别 男生（人） 女生（人） 文学类 12 8
6、史学类 m 5 科学类 6 5 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 哲学类 2 n 根据以上信息解决下列问题 （1）m ，n ； （2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 ； （3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所 选取的两名学生都是男生的概率 一、选择题一、选择题 1.（2019湖北武汉）湖北武汉）不透明的袋子中只有 4 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子 中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A3 个球都是黑球 B3 个球都是白球 C三个球中有黑球 D3 个球中有白球 2.（2
7、019 广西北部湾）广西北部湾） “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书 馆，博物馆，科技馆”，三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 9 D. 2 9 3.(2019 海南海南)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒,绿灯亮 25 秒,黄灯亮 5 秒,当小明到达该路口时,遇到绿 灯的概率是( ) A. 1 2 B. 3 4 C. 1 12 D. 5 12 4.(2019 黑龙江绥化黑龙江绥化)不透明袋子中有 2 个红球和 4 个蓝球,这些球除颜色外无其它差别,从袋子中随机取出 1 个球
8、是红球的概率是( ) 专题典型训练题 专题典型训练题 4 A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 1 6 5.（2019 年广西柳州市）年广西柳州市）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少出一个手指，两人出拳的手指之和为 偶数时小李获胜，那么小李获胜的概率为（ ） A 13 25 B 12 25 C 4 25 D 1 2 6.（2019 广西桂林）广西桂林）如图，一个圆形转盘被平均分成 6 个全等的扇形，任意旋转这个转盘 1 次，则当转盘 停止转动时，指针指向阴影部分的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 7.（2019 内蒙古赤峰）内蒙古赤峰）不透明袋子中有除
9、颜色外完全相同的 4 个黑球和 2 个白球，从袋子中随机摸出 3 个 球，下列事件是必然事件的是（ ） A3 个都是黑球 B2 个黑球 1 个白球 C2 个白球 1 个黑球 D至少有 1 个黑球 8.（2019湖北省荆门市）湖北省荆门市）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为 a，b那么方程 x2+ax+b 0 有解的概率是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 9.（2019四川省达州市）四川省达州市）如图所示的电路中，当随机闭合开关 S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的 概率为 10（2019湖南娄底）湖南娄底）五张分别写有1，2，0，4，5 的卡片（除数字不同以
10、外，其余都相同），现从 中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是 5 11.（2019 广东深圳）广东深圳）现有 8 张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一 个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字 2 的卡片的概率是_ 12.（2019 广西省贵港市）广西省贵港市）若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的 6 个面上分别刻有 1，2，3，4，5，6 点，则 点数不小于 3 的概率是 13.（2019 贵州黔西南州）贵州黔西南州）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸 了 150 次，其中有 50 次摸到黑球
11、，已知囗袋中仅有黑球 10 个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一 样，由此估计口袋中有 个白球 14.（2019 贵州遵义）贵州遵义） 小明用 0-9 中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，小明 只输入一次密码就能打开手机的概率是 15.（2019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,则这两 枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_ 16 （ （2019 湖南株洲）湖南株洲）若一个盒子中有 6 个白球，4 个黑球，2 个红球，且各球的大小与质地都相同，现随 机从中摸出一个球，得到白球的概率是 17.（2
12、019 辽宁本溪）辽宁本溪）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形 ABCD 内 自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为 . 18 （ （2019 湖南衡阳）湖南衡阳）在一个不透明布袋里装有 3 个白球、2 个红球和 a 个黄球，这些球除颜色不同其它没 有任何区别若从该布袋里任意摸出 1 个球，该球是黄球的概率为，则 a 等于 19.（2019 山东淄博）山东淄博）某校欲从初三级部 3 名女生，2 名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国 梦青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 20. (2019 湖北仙桃湖北仙桃)一个不透明的口袋中有四个完全相同
13、的小球，其上分别标有数字 1，2，4，8随机摸取 一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于 8 的概率是 三、解答题三、解答题 21 （ （2019 湖南岳阳）湖南岳阳）为了庆祝中华人民共和国成立 70 周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比 赛，某中学将参加本校选拔赛的 40 名选手的成绩（满分为 100 分，得分 6 为正整数且无满分，最低为 75 分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表 分数段 频数 频率 74.579.5 2 0.05 79.584.5 m 0.2 84.589.5 12 0.3 89.594.5 14 n 94.599.5 4
14、0.1 （1）表中 m ，n ； （2）请在图中补全频数直方图； （3）甲同学的比赛成绩是 40 位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段内； （4）选拔赛中，成绩在 94.5 分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定 2 名选手参加全市决 赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率 22.（2019四川自贡）四川自贡）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞 赛收集教据：现随机抽取了初一年级 30 名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分） ： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99
15、 89 85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82 整理分析数据： 成绩 x（单位：分） 频数（人数） 60 x70 1 70 x80 80 x90 17 7 90 x100 （1）请将图表中空缺的部分补充完整； （2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在 90 分及其以上的同学根据上面统计结果估计该校初一年级 360 人中，约有多少人将获得表彰； （3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她 从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 23.（2019广
16、东广州）广东广州）某中学抽取了 40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如 下不完整的频数分布表和扇形统计图 频数分布表 组别 时间/小时 频数/人数 A 组 0t1 2 B 组 1t2 m C 组 2t3 10 D 组 3t4 12 E 组 4t5 7 F 组 t5 4 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）求频数分布表中 m 的值； （2）求 B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图； （3）已知 F 组的学生中，只有 1 名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从 F 组中随机选取 8 2 名学生，恰好都是女生 24.（20
17、19 湖北孝感）湖北孝感）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字2，1，0，1，它们除了数 字不同外，其它完全相同 （1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 （2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐标；然后放回搅匀， 接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐标如图，已知四边形 ABCD 的四个顶点 的坐标分别为 A（2，0） ，B（0，2） ，C（1，0） ，D（0，1） ，请用画树状图或列表法，求点 M 落在四 边形 ABCD 所围成的部分内（含边界）的概率 25.(2019 安徽安徽)为监控某条
18、生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测 量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 尺寸 （cm） 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b 按照生产标准，产品等次规定如下： 尺寸（单位：cm） 产品等次 8.97x9.03 特等品 8.95x9.05 优等品 8.90 x9.10 合格品 x8.90 或 x9.10 非合格品 9 注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内 （1）已知此次
19、抽检的合格率为 80%，请判断编号为的产品是否为合格品，并说明理由 （2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为 9cm （i）求 a 的值； （ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于 9cm，另一组尺寸不大于 9cm，从这两组中各随机抽取 1 件进 行复检，求抽到的 2 件产品都是特等品的概率 26 （ （2019广元）广元）如今很多初中生喜欢购头饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某 班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A白开水，B瓶装矿泉 水，C碳酸饮料，D非碳酸饮料根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下 列问题
20、（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表） ，则该班同学每天用于饮品的 人均花费是多少元？ 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的 5 名班委干部（其中有两位班长记为 A，B， 其余三位记为 C，D，E）中随机抽取 2 名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出 恰好抽到 2 名班长的概率 27 （ （2019遂宁）遂宁）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动： 代号 活动类型 A 经典
21、诵读与写作 B 数学兴趣与培优 C 英语阅读与写作 10 D 艺体类 E 其他 为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选 择其中一项） ，并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请根据统计图提供的信息 回答下列问题（要求写出简要的解答过程） （1）此次共调查了 名学生 （2）将条形统计图补充完整 （3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为 （4）若该校共有 2000 名学生，请估计该校喜欢 A、B、C 三类活动的学生共有多少人？ （5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取 4 位同学（其中女生 2 名，男生 2 名）参加校园“金话筒”朗 诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概 率