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专题33最值问题(学生版) 备战2020中考数学复习点拨(共34讲)

1、 1 专题专题 33 最值问题最值问题 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要 为以下几种: 1.二次函数的最值公式 二次函数yaxbxc 2 (a、b、c 为常数且a 0)其性质中有 若a 0当x b a 2 时,y 有最小值。y acb a min 4 4 2 ; 若a 0当x b a 2 时,y 有最大值。y acb a max 4 4 2 。 2.一次函数的增减性 一次函数ykxb k()0的自变量 x 的取值范围是全体实数, 图象是一条直线, 因而没有最大 (小) 值;但当mxn时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就

2、有最大(小)值。 3. 判别式法 根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程;再根据 x 是实数,推得 0,进而求出 y 的取值范 围,并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法 “最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质 在实数范围内,显然有abkk 22 ,当且仅当ab 0时,等号成立,即abk 22 的最小值 为 k。 6. 零点区间讨论法 用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号,然后求出 y 在各个区间上的最大值,再加以比较, 从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解 在不等式xa中,xa是最大值,在

3、不等式xb中,xb是最小值。 8. “夹逼法”求最值 在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式 获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法” 。 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【例题【例题 1 1】 (经典题)】 (经典题)二次函数 y=2(x3) 24 的最小值为 【例题【例题 2 2】(】(20182018 江西)江西)如图,AB 是O 的弦,AB=5,点 C 是O 上的一个动点,且ACB=45,若点 M、 N 分别是 AB、AC 的中点,则 MN 长的最大值是 【例题【例题 3 3】 (】 (201920

4、19 湖南张家界)湖南张家界)已知抛物线yax 2bxc(a0)过点 A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交 于点C,OC3 (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)过点A作AMBC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形; (3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当PBC面积最大时,求P点坐标及最大面积的值; (4)若点Q为线段OC上的一动点,问AQ 2 1 QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在, 请说明理由 -2 -1 -1 3 2 1 321 y x O M D C BA 专题典型训练题 专题典型训练题 3 1.1.(20182018 河南)河南)要使代数

5、式x32有意义,则 x 的( ) A.最大值为 3 2 B.最小值为 3 2 C.最大值为 2 3 D.最大值为 2 3 2.2.(20182018 四川绵阳)四川绵阳)不等边三角形ABC的两边上的高分别为 4 和 12 且第三边上的高为整数,那么此高 的最大值可能为_。 3.3.(20182018 齐齐哈尔)齐齐哈尔)设 a、b 为实数,那么aabbab 22 2的最小值为_。 4.4.(20182018 云南)云南)如图,MN 是O 的直径,MN=4,AMN=40,点 B 为弧 AN 的中点,点 P 是直径 MN 上的一 个动点,则 PA+PB 的最小值为 5.5.(20182018 海南

6、)海南)某水果店在两周内,将标价为 10 元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为 8.1 元/斤, 并且两次降价的百分率相同 (1)求该种水果每次降价的百分率; (2)从第一次降价的第 1 天算起,第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数 关系式,并求出第几天时销售利润最大? 时间(天) 1x9 9x15 x15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 803x 120 x 储存和损耗费用(元) 403x 3x 264x4

7、00 (3)在(2)的条件下,若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元,则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元? 6.6. (20182018 湖北荆州)湖北荆州) 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫, 每日最高产量为 40 只, 且每日产出的产品全部售出, 已知生产 x 只玩具熊猫的成本为 R (元) , 售价每只为 P (元) , 且 R、 P 与 x 的关系式分别为Rx50030, 4 Px1702。 (1)当日产量为多少时,每日获得的利润为 1750 元; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少? 7.7.(20182018 吉林)吉林

8、)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150 人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别是 600 元和 1000 元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的 2 倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使 得每月所付的工资最少? 8.8.(经典题)(经典题)求 xx xx 2 2 1 1 的最大值与最小值。 9.9.(经典题)(经典题)求代数式xx1 2 的最大值和最小值。 10.10.(经典题)(经典题)求函数yxx | |14 5的最大值。 11. 11. (20182018 山东济南)山东济南)已知 x、y 为实数,且满足xym 5,xyymmx 3,求实数 m 最大值与 最小值。 12.12

9、.(20192019 年黑龙江省大庆市)年黑龙江省大庆市)如图,在 RtABC中,A90AB8cm,AC6cm,若动点D从B出发, 沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B,A重合的情况) ,运动速度为 2cm/s,过点D作DEBC交AC于 点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s) ,AE的长为y(cm) (1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,BDE的面积S有最大值?最大值为多少? 13.13.(20192019 年宁夏)年宁夏)如图,在ABC中,A90,AB3,AC4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点 M不与A,B重合) ,且MQBC,过点M作

10、BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x (1)试说明不论x为何值时,总有QBMABC; (2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由; (3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值 5 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质,掌握相似三角形的判定定 理、二次函数的性质是解题的关键 14. 14. (20192019 广东深圳)广东深圳)如图所示,抛物线cbxaxy 2 过点 A(1,0) ,点 C(0,3) ,且 OB=OC (1)求抛物线的解析式及其对称轴; (2)点 D,E 在直线 x=1 上的两个动点,且 DE

11、=1,点 D 在点 E 的上方,求四边形 ACDE 的周长的最小值, (3)点 P 为抛物线上一点,连接 CP,直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 35 两部分,求点 P 的坐标 15.15.(20192019 广西省贵港)广西省贵港)已知:ABC是等腰直角三角形,90BAC,将ABC绕点C顺时针方向旋转 得到A B C ,记旋转角为,当90180 时,作A DAC,垂足为D,A D与B C交于点E (1)如图 1,当15CA D时,作A EC 的平分线EF交BC于点F 写出旋转角的度数; 求证:EAECEF; (2) 如图 2, 在 (1) 的条件下, 设P是直线A D上的一个动点,

12、 连接PA,PF, 若2AB , 求线段PAPF 的最小值 (结果保留根号). 6 16.16.(20192019 贵州省安顺市)贵州省安顺市)如图,抛物线y 2 1 x 2+bx+c 与直线y 2 1 x+3 分别相交于A,B两点,且此抛物 线与x轴的一个交点为C,连接AC,BC已知A(0,3) ,C(3,0) (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MBMC|的值最大,并求出这个最大值; (3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQPA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得 以A,P,Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若

13、不存在,请说明 理由 17.17.(20192019 广西贺州)广西贺州)如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为( 1,0),且4OAOCOB,抛物线 2 (0)yaxbxc a图象经过A,B,C三点 (1)求A,C两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PDAC于点D,当PD的值最大时,求此时点P 的坐标及PD的最大值 18.18.(20192019 内蒙古赤峰)内蒙古赤峰)如图,直线yx+3 与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线yx 2+bx+c 经过 7 点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D (1)求抛物线的解析式; (2)在x轴

14、上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值; (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APBOCB?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说 明理由 19.19.(20192019湘潭)湘潭)如图一,抛物线yax 2+bx+c 过A(1,0)B(3.0)、C(0,)三点 (1)求该抛物线的解析式; (2)P(x1,y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上,若y1y2,求P点横坐标x1的取值范围; (3)如图二,过点C作x轴的平行线交抛物线于点E,该抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、CB, 点F为线段CB的中点,点M、N分别为直线CD和CE上的动点,求FMN周长的最小值 20.

15、20.(20192019辽阳)辽阳)如图,在平面直角坐标系中,RtABC的边BC在x轴上,ABC90,以A为顶点的抛 物线yx 2+bx+c 经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上 (1)求抛物线解析式; (2)若点P从A点出发,沿AB方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过 点P作PDAB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时, ACQ的面积最大?最大值是多少? (3) 若点M是平面内的任意一点, 在x轴上方是否存在点P, 使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形, 若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由 8