1、 1 专题专题 33 最值问题最值问题 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要 为以下几种： 1.二次函数的最值公式 二次函数yaxbxc 2 （a、b、c 为常数且a 0）其性质中有 若a 0当x b a 2 时，y 有最小值。y acb a min 4 4 2 ； 若a 0当x b a 2 时，y 有最大值。y acb a max 4 4 2 。 2.一次函数的增减性 一次函数ykxb k()0的自变量 x 的取值范围是全体实数， 图象是一条直线， 因而没有最大 （小） 值；但当mxn时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就
2、有最大（小）值。 3. 判别式法 根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程；再根据 x 是实数，推得 0，进而求出 y 的取值范 围，并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法 “最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质 在实数范围内，显然有abkk 22 ，当且仅当ab 0时，等号成立，即abk 22 的最小值 为 k。 6. 零点区间讨论法 用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号，然后求出 y 在各个区间上的最大值，再加以比较， 从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解 在不等式xa中，xa是最大值，在
3、不等式xb中，xb是最小值。 8. “夹逼法”求最值 在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式 获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法” 。 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【例题【例题 1 1】 （经典题）】 （经典题）二次函数 y=2（x3） 24 的最小值为 【例题【例题 2 2】（】（20182018 江西）江西）如图，AB 是O 的弦，AB=5，点 C 是O 上的一个动点，且ACB=45，若点 M、 N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 【例题【例题 3 3】 （】 （201920
4、19 湖南张家界）湖南张家界）已知抛物线yax 2bxc（a0）过点 A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交 于点C，OC3 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点A作AMBC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形； （3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值； （4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ 2 1 QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在， 请说明理由 -2 -1 -1 3 2 1 321 y x O M D C BA 专题典型训练题 专题典型训练题 3 1.1.（20182018 河南）河南）要使代数
5、式x32有意义，则 x 的（ ） A.最大值为 3 2 B.最小值为 3 2 C.最大值为 2 3 D.最大值为 2 3 2.2.（20182018 四川绵阳）四川绵阳）不等边三角形ABC的两边上的高分别为 4 和 12 且第三边上的高为整数，那么此高 的最大值可能为_。 3.3.（20182018 齐齐哈尔）齐齐哈尔）设 a、b 为实数，那么aabbab 22 2的最小值为_。 4.4.（20182018 云南）云南）如图，MN 是O 的直径，MN=4，AMN=40，点 B 为弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上的一 个动点，则 PA+PB 的最小值为 5.5.（20182018 海南
6、）海南）某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1 元/斤， 并且两次降价的百分率相同 （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第 1 天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数 关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天) 1x9 9x15 x15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 803x 120 x 储存和损耗费用(元) 403x 3x 264x4
7、00 （3）在（2）的条件下，若要使第 15 天的利润比（2）中最大利润最多少 127.5 元，则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元？ 6.6. （20182018 湖北荆州）湖北荆州） 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫， 每日最高产量为 40 只， 且每日产出的产品全部售出， 已知生产 x 只玩具熊猫的成本为 R （元） ， 售价每只为 P （元） ， 且 R、 P 与 x 的关系式分别为Rx50030， 4 Px1702。 （1）当日产量为多少时，每日获得的利润为 1750 元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 7.7.（20182018 吉林）吉林
8、）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150 人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是 600 元和 1000 元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的 2 倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使 得每月所付的工资最少？ 8.8.（经典题）（经典题）求 xx xx 2 2 1 1 的最大值与最小值。 9.9.（经典题）（经典题）求代数式xx1 2 的最大值和最小值。 10.10.（经典题）（经典题）求函数yxx | |14 5的最大值。 11. 11. （20182018 山东济南）山东济南）已知 x、y 为实数，且满足xym 5，xyymmx 3，求实数 m 最大值与 最小值。 12.12
9、.（20192019 年黑龙江省大庆市）年黑龙江省大庆市）如图，在 RtABC中，A90AB8cm，AC6cm，若动点D从B出发， 沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况） ，运动速度为 2cm/s，过点D作DEBC交AC于 点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s） ，AE的长为y（cm） （1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，BDE的面积S有最大值？最大值为多少？ 13.13.（20192019 年宁夏）年宁夏）如图，在ABC中，A90，AB3，AC4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点 M不与A，B重合） ，且MQBC，过点M作
10、BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x （1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC； （2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由； （3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值 5 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定 理、二次函数的性质是解题的关键 14. 14. （20192019 广东深圳）广东深圳）如图所示，抛物线cbxaxy 2 过点 A（1，0） ，点 C（0，3） ，且 OB=OC （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 D，E 在直线 x=1 上的两个动点，且 DE
11、=1，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE 的周长的最小值， （3）点 P 为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 35 两部分，求点 P 的坐标 15.15.（20192019 广西省贵港）广西省贵港）已知：ABC是等腰直角三角形，90BAC，将ABC绕点C顺时针方向旋转 得到A B C ，记旋转角为，当90180 时，作A DAC，垂足为D，A D与B C交于点E （1）如图 1，当15CA D时，作A EC 的平分线EF交BC于点F 写出旋转角的度数； 求证：EAECEF； （2） 如图 2， 在 （1） 的条件下， 设P是直线A D上的一个动点，
12、 连接PA，PF， 若2AB ， 求线段PAPF 的最小值 （结果保留根号）. 6 16.16.（20192019 贵州省安顺市）贵州省安顺市）如图，抛物线y 2 1 x 2+bx+c 与直线y 2 1 x+3 分别相交于A，B两点，且此抛物 线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC已知A（0，3） ，C（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMC|的值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得 以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若
13、不存在，请说明 理由 17.17.（20192019 广西贺州）广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为( 1,0)，且4OAOCOB，抛物线 2 (0)yaxbxc a图象经过A，B，C三点 （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值 18.18.（20192019 内蒙古赤峰）内蒙古赤峰）如图，直线yx+3 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线yx 2+bx+c 经过 7 点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴
14、上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得APBOCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说 明理由 19.19.（20192019湘潭）湘潭）如图一，抛物线yax 2+bx+c 过A（1，0）B（3.0）、C（0，）三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1y2，求P点横坐标x1的取值范围； （3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB， 点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求FMN周长的最小值 20.
15、20.（20192019辽阳）辽阳）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的边BC在x轴上，ABC90，以A为顶点的抛 物线yx 2+bx+c 经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上 （1）求抛物线解析式； （2）若点P从A点出发，沿AB方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过 点P作PDAB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时， ACQ的面积最大？最大值是多少？ （3） 若点M是平面内的任意一点， 在x轴上方是否存在点P， 使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形， 若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由 8