1、 1 第第 25 讲讲 概率概率 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 随机事件与概率】随机事件与概率】 1.事件的分类 必然事件：必然会发生的事件 不可能事件：不可能发生的事件 随机事件 可能发生也可能不发生的事件 2.概率的定义：用一个数刻画随机事件 A 发生的可能性大小，这个数叫做事件 A 的概率 3.计算方法 (1)试验法：如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P(A)m n (2)列表法： 当一次试验涉及两个因素， 且可能出现的结果数目较多时， 可采用列表法列出所有可能的结果，
2、再根据公式计算 (3)画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图表示出所有可能的结果，再根据 公式计算 【考点【考点 2 统计与概率结合】统计与概率结合】 1.频率与概率之间的关系 频率：做 n 次重复实验，如果事件 A 发生了 m 次，那么数 m 叫做事件 A 发生的频数，比值m n叫做事件 A 发 生的频率 2.用频率估计概率：事件 A 的频率稳定到它的概率，或者说概率是频率的稳定值在实际中，我们常用比较 稳定时的频率估计事件的概率，而实验次数越多，得到概率较精确的估计值的可能性越大 二、二、考点分析考点分析 【考点【考点 1 随机事件与概率】随机事件与概率】 【解题技
3、巧】1数字类求概率的问题，可以用概率公式求解，即 P(A)m n，其中 n 为所有事件发生的总次 数，m 为事件 A 发生的总次数 2摸球类概率的求法是用枚举法枚举所有可能出现的结果时，要做到不重不漏，在计算概率时，关键是 确定所有可能的结果数和可能出现的结果数，再用某个事件的可能出现的结果数除以所有可能出现的结果 数 3几何图形中阴影部分的事件的概率求法是求出阴影部分面积占总面积的几分之几，那么其概率就是几分 之几 4在重复试验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类考题时要注意两 次取得的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况
4、2 5与代数、几何知识相结合的概率题其本质还是求概率，只不过是需要应用代数和几何的方法确定某些限 制条件的事件数 一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形， 再求出满足所涉及知识的情形， 进一步求概率 【例 1】 （2019 海南中考）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当小明到 达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 【解答】解：每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率 P， 故选
5、：D 【举一反三举一反三1-1】（2019江苏徐州中考） 抛掷一枚质地均匀的硬币2000次， 正面朝上的次数最有可能为 （ ） A500 B800 C1000 D1200 【答案】C 【分析】由抛掷一枚硬币正面向上的可能性为 0.5 求解可得 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币 2000 次，正面朝上的次数最有可能为 1000 次， 故选：C 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 辽宁大连中考）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机 摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ） A B C D 【答案】D 【分析】用列表法或树状图法可以列举出
6、所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即 可 【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下： 3 P 两次都是红球 故选：D 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 河南中考）现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色外完全相同从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相 同的概率是 【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得 【解答】解：列表如下： 黄 红 红 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 白 （黄，白）
7、 （红，白） （红，白） 由表知，共有 9 种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有 4 种结果， 所以摸出的两个球颜色相同的概率为， 故答案为： 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 江西中考）为纪念建国 70 周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有： 我爱你，中国 ， 歌唱祖国 ， 我和我的祖国 （分别用字母 A，B，C 依次表示这三首歌曲） 比赛时，将 A，B，C 这三个 字母分别写在 3 张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽 取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛 （1）八（1）班抽中歌曲我和我的祖国的
8、概率是 ； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得 【解答】解： （1）因为有 A，B，C3 种等可能结果， 所以八（1）班抽中歌曲我和我的祖国的概率是； 故答案为 （2）树状图如图所示： 4 共有 9 种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率 【考点【考点 2 统计与概率结合】统计与概率结合】 【解题技巧】1.大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根 据这个频率
9、稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 2.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确 3.当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统 计频率来估计概率 【例 2】 （2019 湖北孝感中考）下列说法错误的是（ ） A在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 B一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 C方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大 D全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式 【答案】C 【分析】分别根据随机事件的定义、众数的定义、方
10、差的意义以及调查方式判断即可 【解答】解：A在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，正确，故选项 A 不合题意； B一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项 B 不合题意； C方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小故选项 C 符合题意； D全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项 D 不合题意 故选：C 【举一反三举一反三 2-1】 （2019武汉）从 1、2、3、4 四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 a、c，则关于 x 的一元二次方程 ax2+4x+c0 有实数解的概率为（ ） A B C D 【答案】C 【分析
11、】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使 ac4 的情况，然后利用概率公式求解即可求得答 案 【解答】解：画树状图得： 5 由树形图可知：一共有 12 种等可能的结果，其中使 ac4 的有 6 种结果， 关于 x 的一元二次方程 ax2+4x+c0 有实数解的概率为， 故选：C 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 河北中考） ）某球室有三种品牌的 4 个乒乓球，价格是 7，8，9（单位：元）三种从 中随机拿出一个球，已知 P（一次拿到 8 元球） （1）求这 4 个球价格的众数； （2）若甲组已拿走一个 7 元球训练，乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训练 所剩的 3 个球价格的中
12、位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由； 乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到 8 元球的概率 又拿 先拿 【分析】 （1）由概率公式求出 8 元球的个数，由众数的定义即可得出答案； （2）由中位数的定义即可得出答案； 用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 个，由概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）P（一次拿到 8 元球）， 8 元球的个数为 4 2（个） ，按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9， 6 这 4 个球价格的众数为 8 元； （2）所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同
13、；理由如下： 原来 4 个球的价格按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9， 原来 4 个球价格的中位数为8（元） ， 所剩的 3 个球价格为 8，8，9， 所剩的 3 个球价格的中位数为 8 元， 所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同； 列表如图所示：共有 9 个等可能的结果，乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 个， 乙组两次都拿到 8 元球的概率为 【举一反三举一反三 2-3】 （2019广州）某中学抽取了 40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘 制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图 频数分布表 组别 时间/小时 频数/人数 A 组 0t1
14、 2 B 组 1t2 m C 组 2t3 10 D 组 3t4 12 E 组 4t5 7 F 组 t5 4 请根据图表中的信息解答下列问题： 7 （1）求频数分布表中 m 的值； （2）求 B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图； （3）已知 F 组的学生中，只有 1 名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从 F 组中随机选取 2 名学生，恰好都是女生 【分析】 （1）用抽取的 40 人减去其他 5 个组的人数即可得出 m 的值； （2）分别用 360 乘以 B 组，C 组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图； （3）画出树状图，即可得出结果 【解答】
15、解： （1）m4021012745； （2）B 组的圆心角360 45 ， C 组的圆心角360 90 补全扇形统计图如图 1 所示： （3）画树状图如图 2： 共有 12 个等可能的结果， 恰好都是女生的结果有 6 个， 恰好都是女生的概率为 8 三、【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 浙江温州中考）在同一副扑克牌中抽取 2 张“方块”，3 张”梅花”，1 张“红桃”将这 6 张牌背面朝 上，从中任意抽取 1 张，是“红桃”的概率为（ ） A B C D 【答案】A 【分析】直接利用概率公式计算可得 【解答】解：从中任意抽取 1 张，是“红桃”的概率为， 故选：A 2.（
16、2019青海）一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别） ，分别是 3 个红珠子，4 个白 珠子和 5 个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续 9 次摸出的都是红珠子的情况下， 第 10 次摸出红珠子的概率是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子 12 个，其中红珠子 3 个，可以直接应用求概率的公式 【解答】解：因为每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子 12 个，其中红珠子 3 个， 所以第 10 次摸出红珠子的概率是 故答案是：C 3.（2019日照）下列事件中，是必然事件的是（ ） A掷一次骰子，向上一面的点数是 6
17、B13 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 C射击运动员射击一次，命中靶心 D经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】B 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，即发生的概率是 1 的事件 【解答】解：A掷一次骰子，向上一面的点数是 6，属于随机事件； B.13 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件； C射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件； 9 D经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件； 故选：B 4.（2019台湾）箱子内装有 53 颗白球及 2 颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回 的方
18、式抽 53 次球若箱子内每颗球被抽到的机会相等，且前 52 次中抽到白球 51 次及红球 1 次，则第 53 次抽球时，小芬抽到红球的机率为何？（ ） A B C D 【答案】D 【分析】让红球的个数除以球的总数即为所求的概率 【解答】解：一个盒子内装有大小、形状相同的 53+255 个球，其中红球 2 个，白球 53 个， 小芬抽到红球的概率是： 故选：D 5.（2019武汉）不透明的袋子中只有 4 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一 次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A3 个球都是黑球 B3 个球都是白球 C3 个球中有黑球 D3 个球中有白球
19、【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型 【解答】解：A、3 个球都是黑球是随机事件； B、3 个球都是白球是不可能事件； C、3 个球中有黑球是必然事件； D、3 个球中有白球是随机事件； 故选：B 6.（2019广西）下列事件为必然事件的是（ ） A打开电视机，正在播放新闻 B任意画一个三角形，其内角和是 180 C买一张电影票，座位号是奇数号 D掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 10 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 【解答】解：A，C，D 选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意 一定发生的事件只有 B，任意画一个三角形，
20、其内角和是 180 ，是必然事件，符合题意 故选：B 7.（2019 山东济南中考模拟）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果： 每批粒数 n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 m 96 282 382 570 948 1904 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950 下面有三个推断： 当 n 为 400 时，发芽的大豆粒数为 382，发芽的频率为 0.955，所以大豆发芽的概率是 0.955； 随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在 0.95 附近摆动，显示出一定的稳定性
21、，可以估计大 豆发芽的概率是 0.95； 若大豆粒数 n 为 4000，估计大豆发芽的粒数大约为 3800 粒 其中推断合理的是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于 0.950，由于试验次数较多，可以用频率估 计概率 【解答】解：当 n400 时，发芽的大豆粒数为 382，发芽的频率为 0.955，所以大豆发芽的概率大约是 0.955，此推断错误； 根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于 0.950，所以估计大豆发芽的概率是 0.95，此推断正确； 若 n 为 4000，估计大豆发芽的粒数大约为 4000 0.9503800 粒，此结
22、论正确 故选：D 8.（2019广西）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博 物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（ ） A B C D 【答案】A 【分析】画树状图（用 A、B、C 分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有 9 种等可能的结 11 果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： （用 A、B、C 分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆） 共有 9 种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为 3， 所以两人恰好选择同一场馆的概率
23、故选：A （二）（二）填空题填空题 1.（2019宁夏）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 2 个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球， 从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球的个数为 【答案】4 【分析】设盒子内白色乒乓球的个数为 x，根据摸到白色乒乓球的概率为列出关于 x 的方程，解之可得 【解答】解：设盒子内白色乒乓球的个数为 x， 根据题意，得：， 解得：x4， 经检验：x4 是原分式方程的解， 盒子内白色乒乓球的个数为 4， 故答案为：4 2.（2019 江苏南京中考）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择 两天参加
24、活动 （1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是 （2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 【答案】 （1）（2） 【分析】 （1）由树状图得出共有 12 个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有 6 个，由概率公式即可 得出结果； （2）乙同学随机选择连续的两天，共有 3 个等可能的结果，即（星期一，星期二） ， （星期二，星期三） ， （星 期三，星期四） ；其中有一天是星期二的结果有 2 个，由概率公式即可得出结果 12 【解答】解： （1）画树状图如图所示：共有 12 个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有 6 个， 甲同学随机选择两天，其中有一天是星
25、期二的概率为； （2）乙同学随机选择连续的两天，共有 3 个等可能的结果，即（星期一，星期二） ， （星期二，星期三） ， （星 期三，星期四） ； 其中有一天是星期二的结果有 2 个，即（星期一，星期二） ， （星期二，星期三） ， 乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是； 故答案为： 3.（2019 江苏徐州中考）如图，甲、乙两个转盘分别被分成了 3 等份与 4 等份，每份内均标有数字分别 旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘 （1）请将所有可能出现的结果填入下表： 乙 积 甲 1 2 3 4 1 2 3 （2）积为 9 的概率为 ；积为偶数的概率为 ； （3
26、）从 112 这 12 个整数中，随机选取 1 个整数，该数不是（1）中所填数字的概率为 【答案】 （1）见下表（2），（3） 【分析】 （1）计算所取两数的乘积即可得； （2）找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得； 13 （3）利用概率公式计算可得 【解答】解： （1）补全表格如下： 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 （2）由表知，共有 12 种等可能结果，其中积为 9 的有 1 种，积为偶数的有 8 种结果， 所以积为 9 的概率为；积为偶数的概率为， 故答案为：， （3）从 112 这 12 个整数中，随机选取 1 个整数，该数不是（1
27、）中所填数字的有 5、7、10、11 这 4 种， 此事件的概率为， 故答案为： 4.（2019 上海中考）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是 1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点 数大于 4 的概率是 【答案】 【分析】先求出点数大于 4 的数，再根据概率公式求解即可 【解答】解：在这 6 种情况中，掷的点数大于 4 的有 2 种结果， 掷的点数大于 4 的概率为， 故答案为： 5.（2019 天津中考）不透明袋子中装有 7 个球，其中有 2 个红球、3 个绿球和 2 个蓝球，这些球除颜色外 无其他差别从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率是 【答案】 【分析】根据概率公式求
28、解 【解答】解：从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率 故答案为 14 6.（2019 重庆中考）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的 3 个红球，2 个白球，1 个黄球， 搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率 为 【答案】 【分析】先画树状图展示所有 36 种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式 求解 【解答】解：画树状图为： 共有 36 种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为 9， 所以两次都摸到红球的概率为 故答案为： 7.（2019济南）如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了 6
29、个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指 针落在红色区域的概率等于 【答案】 【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区 域的概率 【解答】解：由于一个圆平均分成 6 个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的， 所以指针指向每个扇形的可能性相等， 即有 8 种等可能的结果，在这 6 种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有 2 种可能结果， 15 所以指针落在红色区域的概率是； 故答案为 8.（2019哈尔滨）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则这两枚骰 子向上的一面出现的点数相同的概率为 【答案】 【分析
30、】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再 利用概率公式即可求得答案 【解答】解：列表得： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 由表可知一共有 36 种情况，两
31、枚骰子点数相同的有 6 种， 所以两枚骰子点数相同的概率为， 故答案为： （三）（三）解答题解答题 1.（2019 甘肃中考）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小 球上分别标有数字 1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字 2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球， 记下数字为 m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为 n （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果； （2）若 m，n 都是方程 x25x+60 的解时，则小明获胜；若 m，n 都不是方程 x25x+60 的解时，则小 利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？ 【分析】 （1）首
32、先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果； （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，m，n 都是方程 x25x+60 的解的结果有 2 个，m，n 都不 是方程 x25x+60 的解的结果有 2 个，然后根据概率公式求解 16 【解答】解： （1）树状图如图所示： （2）m，n 都是方程 x25x+60 的解， m2，n3，或 m3，n2， 由树状图得：共有 12 个等可能的结果，m，n 都是方程 x25x+60 的解的结果有 2 个， m，n 都不是方程 x25x+60 的解的结果有 2 个， 小明获胜的概率为，小利获胜的概率为， 小明、小利获胜的概率一样大 2.（201
33、9 吉林中考）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有 红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机 取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率 【分析】画出树状图，共有 4 种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有 1 种可能，由概率公式即 可得出结果 【解答】解：画树状图如下： 共有 4 种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有 1 种结果， 则取出的扇子和手绢都是红色的概率为 3.（2019 湖北黄石中考）将正面分别写着数字 1，2，3 的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大
34、小、质地、 颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放 在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 m，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再 17 由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 n，组成一数对（m，n） （1）请写出（m，n）所有可能出现的结果； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数 字之和为偶数则乙赢你认为这个游戏公平吗？请说明理由 【分析】 （1）利用枚举法解决问题即可 （2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断 【解答】解： （1） （m
35、，n）所有可能出现的结果： （1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，2） ， （2，1） ， （2，3） ， （3， 1） ， （3，2） ， （3，3） （2）数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率， ， 这个游戏不公平 4.（2019 湖北孝感中考）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字2，1，0，1，它们除 了数字不同外，其它完全相同 （1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 （2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐标；然后放回搅匀， 接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐
36、标如图，已知四边形 ABCD 的四个顶点 的坐标分别为 A（2，0） ，B（0，2） ，C（1，0） ，D（0，1） ，请用画树状图或列表法，求点 M 落在四 边形 ABCD 所围成的部分内（含边界）的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得 【解答】解： （1）在2，1，0，1 中正数有 1 个， 摸出的球上面标的数字为正数的概率是， 18 故答案为： （2）列表如下： 2 1 0 1 2 （2，2） （1，2） （0，2） （1，2） 1 （2，1） （1，1） （0，1） （1，1） 0 （2，0）
37、（1，0） （0，0） （1，0） 1 （2，1） （1，1） （0，1） （1，1） 由表知，共有 16 种等可能结果，其中点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内（含边界）的有： （2，0） 、 （1，1） 、 （1，0） 、 （0，2） 、 （0，1） 、 （0，0） 、 （0，1） 、 （1，0）这 8 个， 所以点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内（含边界）的概率为 5.（2019 山西中考）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于 2019 年 8 月在山西举行太原 市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募 10 人作为颁奖礼仪志愿者，同学
38、们 踊跃报名，甲、乙两班各报了 20 人，现已对他们进行了基本素质测评，满分 10 分各班按测评成绩从高 分到低分的顺序各录用 10 人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图请 解答下列问题： （1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为 7 分，请你分别判断小华，小丽能否被录用（只写判 断结果，不必写理由） （2）请你对甲、乙两班各被录用的 10 名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位数”，或“平均数”中的一 个方面评价即可） （3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁 奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院
39、足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水 上运动中心，这四个场馆分别用字母 A，B，C，D 表示现把分别印有 A，B，C，D 的四张卡片（除字母 外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回） ，再从中随机抽取一张， 请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率 19 【分析】 （1）判断小华和小丽在各自班级的名次即可得出答案； （2）分别得出甲乙两班的众数、中位数和平均数，再判断大小即可得； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得 【解答】解： （1）小华在甲班是第 11 名，不能
40、录用；小丽在乙班是第 10 名，可以录用； （2）从众数来看，甲乙两班各被录用的 10 名志愿者的众数分别为 8 分、10 分，说明甲班被录用的 10 名志 愿者中 8 分最多，乙班被录用的 10 名志愿者中 10 分最多； 从中位数来看，甲乙两班被录用的 10 名志愿者成绩的中位数分别为 9 分、8.5 分，说明甲班被录用的 10 名 志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的 10 名志愿者成绩的中位数； 从平均数看，甲乙两班被录用的 10 名志愿者成绩的平均数分别为 8.9 分、8.7 分，说明甲班被录用的 10 名 志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的 10 名志愿者成绩的平均数 （3）画树状图
41、如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的有 2 种结果， 所以抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率为 6.（2019 陕西中考）现有 A、B 两个不透明袋子，分别装有 3 个除颜色外完全相同的小球其中，A 袋装有 2 个白球，1 个红球；B 袋装有 2 个红球，1 个白球 （1）将 A 袋摇匀，然后从 A 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的 A，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球， 若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则 对
42、双方是否公平 【分析】 （1）P（摸出白球）； （2）由上表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色不相同的结果有 4 种，颜色相同的结果有 5 种 P（颜色 不相同），P（颜色相同），这个游戏规则对双方不公平 【解答】解： （1）共有 3 种等可能结果，而摸出白球的结果有 2 种 P（摸出白球）； （2）根据题意，列表如下： 20 A B 红 1 红 2 白 白 1 （白 1，红 1） （白 1，红 2） （白 1，白） 白 2 （白 2，红 1） （白 2，红 2） （白 2，白） 红 （红，红 1） （红，红 2） （白 1，白） 由上表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色不相同的结果有
43、 4 种，颜色相同的结果有 5 种 P（颜色不相同），P（颜色相同） 这个游戏规则对双方不公平 7.（2019 云南中考）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为 1，2，3，4 的四 个小球（除标号外无其它差异） 从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从 口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用 x、y 表示若 x+y 为奇数，则甲获 胜；若 x+y 为偶数，则乙获胜 （1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由 【分析】画树状图展
44、示所有 16 种等可能的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图如图所示， （1）共有 16 种等可能的结果数； （2）x+y 为奇数的结果数为 8，x+y 为偶数的结果数为 8， 甲获胜的概率，乙获胜的概率， 甲获胜的概率乙获胜的概率， 这个游戏对双方公平 8.（2019青海）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献 血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果 制作了如图两幅不完整统计图表（表，图） ： 21 血型统计表 血型 A B AB O 人数 10 5 （1）本次随机抽取献血者
45、人数为 人，图中 m ； （2）补全表中的数据； （3）若这次活动中该校有 1300 人义务献血，估计大约有多少人是 A 型血？ （4）现有 4 个自愿献血者，2 人为 O 型，1 人为 A 型，1 人为 B 型，若在 4 人中随机挑选 2 人，利用树状 图或列表法求两人血型均为 O 型的概率 【分析】 （1）用 AB 型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算 m 的值； （2）先计算出 O 型的人数，再计算出 A 型人数，从而可补全上表中的数据； （3）用样本中 A 型的人数除以 50 得到血型是 A 型的概率，然后用 3000 乘以此概率可估计这 3000 人中是
46、A 型血的人数； （4）画出树状图，根据概率公式即可得到结果 【解答】解： （1）这次随机抽取的献血者人数为 5 10%50（人） ， 所以 m 10020； 故答案为 50，20； （2）O 型献血的人数为 46% 5023（人） ， A 型献血的人数为 501052312（人） ， 血型 A B AB O 人数 12 10 5 23 故答案为 12，23； （3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是 A 型的概率， 1300312， 22 估计这 1300 人中大约有 312 人是 A 型血； （4）画树状图如图所示， 所以 P（两个O型） 9. （2019日照） 2019 年 4 月 23
47、 日是第二十四个“世界读书日“ 某校组织读书征文比赛活动， 评选出一、 二、 三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整） ，请你根据图中信息解答下列问题： （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或 画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率 【分析】 （1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人数求出二等奖人数 即可补全图形； （2）用 360 乘以二等奖人数所占百分比可得答案； （3）画出树状图，由概率公式即可解决问题 【解答】解： （1）本次比赛获奖的总人数为 4 10%40（人） ， 二等奖人数为 40（4+24）12（人） ， 补全条形图如下： 23 （2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为 360 108 ； （3）树状图如图所示， 从四人中随机抽取两人有 12 种可能，恰好是甲和乙的有 2 种可能， 抽取两人恰好是甲和乙的概率是 10.（2019沈阳）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社 团活动小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、