1、 1 第第 5 讲讲 二次根式二次根式 一、考点知识梳理 【考点 1 二次根式的概念和性质】 1平方根、算术平方根 若 x2a， 则 x 叫 a 的平方根 当 a0 时， a是 a 的算术平方根 正数 b 的平方根记作 b. a是一个非负数， 只有非负数才有平方根 2立方根及性质 若 x3a，则 x 叫 a 的立方根求一个数的立方根的运算叫开立方；任一实数 a 的立方根记作3a；3a3a， (3a)3a，3a3a 3二次根式的概念 (1)形如 a(a0)的式子叫二次根式，而 a为二次根式的条件是 a0； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： 被开方数的因数是整数，因式是整式； 被开
2、方数中不含有开得尽方的因数或因式 4二次根式的性质 (1) ab a b(a0，b0)； a b a b(a0，b0)； (2)( a)2a(a0)； (3) a2|a| a （a0） a （a0）. 【考点 2 二次根式的运算】 二次根式的运算 (1)二次根式的加减： 二次根式相加减， 先把各个二次根式化成最简二次根式， 再把同类二次根式分别合并； (2)二次根式的乘法： a b ab(a0，b0)； (3)二次根式的除法： b a = b a (a0，b0)； (4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围具体地说，先对二次根式平 方，找出与平方后所得的数相邻的两
3、个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个二次根式在哪两 个整数之间； (5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算 加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号) 二、考点分析 2 【考点 1 二次根式的概念和性质】 【解题技巧】 1.判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念形如（a0）的式子叫做二次根式 （2）二次根式中被开方数的取值范围二次根式中的被开方数是非负数 2.二次根式的基本性质：0； a0（双重非负性） a （a0） （任何一个非负数都可以写成 一个数的平方的形式） a（a0） （算术平方根的意义） 【例 1】 （201
4、9 甘肃中考）使得式子有意义的 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 【答案】D 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案 【解答】解：使得式子有意义，则：4x0， 解得：x4， 即 x 的取值范围是：x4 故选：D 【举一反三举一反三 1-1】 （2019广西）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 【答案】x4； 【分析】根据被开数 x+40 即可求解； 【解答】解：x+40， x4； 故答案为 x4； 【举一反三举一反三 1-2】 （2019广州）代数式有意义时，x 应满足的条件是 【答案】x8 【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出 x 的取值范围 【解答】
5、解：代数式有意义时， x80， 解得：x8 2 a 2 a 3 故答案为：x8 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 台湾中考）若2，3，则 a+b 之值为何？（ ） A13 B17 C24 D40 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义求出 a、b 的值，代入求解即可 【解答】解：2，a11， 3，b6， a+b11+617 故选：B 【举一反三举一反三 1-4】 （2016 河北中考）关于的叙述，错误的是（ ） A是有理数 B面积为 12 的正方形边长是 C2 D在数轴上可以找到表示的点 【答案】B 【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或 ；由此即可判定
6、选择项 【解答】解：A、是无理数，原来的说法错误，符合题意； B、面积为 12 的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意； C、2，原来的说法正确，不符合题意； D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意 故选：A 【举一反三举一反三 1-5】 （2019 山东济南中考模拟）如图，表示 7的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间( ) AC 与 D BA 与 B CA 与 C DB 与 C 【答案】A. 【分析】(1)根据平方根的定义和绝对值的性质分别填空即可； (2)主要考查数轴，根据数轴上的点利用平方法，估算 7的大致范围，然后结合数轴上点的位置和大小即可 得到 7的位置 【解
7、答】(1) 7是一个正数，它的绝对值大于 2； 它的绝对值小于 3； 2.5 的平方是 6.25； 故选 A 4 【考点 2 二次根式的运算】 【解题技巧】 1. 二次根式的化简：利用二次根式的基本性质进行化简；利用积的算术平方根的性质和商的算术平方 根的性质进行化简 2.化简二次根式的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方 的因数（或因式）都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根 指数 2 3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根 式，必须化为最简二次根式 【例 2】
8、 （2019 江苏南京中考）计算的结果是 【答案】0 【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可 【解答】解：原式220 故答案为 0 【举一反三举一反三 2-1】计算的结果是 【答案】3 【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可 【解答】解： 故答案为：3 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 山西中考）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 【解答】解：解：A、，故 A 不符合题意； B、，故 B 不符合题意； C、，故 C 不符合
9、题意； D、是最简二次根式，故 D 符合题意 故选：D 5 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 天津中考）估计的值在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 【答案】D 【分析】由于 253336，于是，从而有 56 【解答】解：253336， ， 56 故选：D 【举一反三举一反三 2-4】 （2019青岛）计算：（）0 2+1 【答案】2+1 【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可 【解答】解：（）02+212+1， 故答案为：2+1 【举一反三举一反三 2-5】 （2019广州中考模拟）如图，每个小正方形的边长为 1，把阴影部分剪下
10、来，用剪下来的 阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A 3 B 2 C 5 D 6 【答案】C 【分析】利割补法求阴影部分的面积. 【解答】 阴影部分的面积 5，新正方形的边长为 5. 故选：C 三、【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 云南中考）要使有意义，则 x 的取值范围为（ ） 6 Ax0 Bx1 Cx0 Dx1 【答案】B 【分析】要根式有意义，只要令 x+10 即可 【解答】解：要使根式有意义 则令 x+10，得 x1 故选：B 2.（2019 重庆中考）估计（2+6）的值应在（ ） A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7
11、 和 8 之间 【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算 【解答】解： （2+6）， 2+6， 2+， 2+， 45， 62+7， 故选：C 3.（2019兰州）计算：（ ） A B2 C3 D4 【答案】A 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得 【解答】解：2， 故选：A 4.（2019 山东青岛中考模拟）若实数 x 满足|x3|+7，化简 2|x+4|的结果是 （ ） A4x+2 B4x2 C2 D2 【答案】A 7 【分析】根据 x 的取值4x3 以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果 【解答】解：|x3|+7， |x3|+|x+4|7， 4x3， 2
12、|x+4| 2（x+4）|2x6| 2（x+4）（62x） 4x+2， 故选：A 5.（2019 河北衡水中考模拟）化简a的结果是（ ） A2a B2a C0 D2a 【答案】A 【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案 【解答】解：a aa2 a+a 0 故选：C 6.（2019 河北沧州中考模拟）若（a+）2与|b1|互为相反数，则的值为（ ） A B+1 C1 D1 【答案】C 【分析】根据互为相反数的两个数等于 0 得出（a+）2+|b1|0，推出 a+0，b10，求出 a ，b1，代入求出即可 【解答】解：（a+）2与|b1|互为相反数， （a+）2+|b1|0， a+0，b1
13、0， a，b1， 8 1， 故选：C 7.（2019 山东青岛中考模拟）已知 a 为实数，则代数式的最小值为（ ） A0 B3 C D9 【答案】B 【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值 【解答】解：原式 当（a3）20，即 a3 时 代数式的值最小，为即 3 故选：B 8.（2019 辽宁盘锦中考模拟）方程，当 y2 时，m 的取值范围是（ ） A350 B CO Dm2 【答案】C 【分析】根据两个非负数的和为 0，必须都为 0，得出 4x80，xym0，求出 xy 的值，代入即可求 出 m 的值 【解答】解：方程， 4x80，xym0， x2，my2， y2
14、， m0， 故选：C （二）填空题（二）填空题 1.（2019 天津中考）计算（+1） （1）的结果等于 【答案】2 【分析】利用平方差公式计算 9 【解答】解：原式31 2 故答案为 2 2.（2019 上海中考）如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义解答 【解答】解：正方形的面积是 3， 它的边长是 故答案为： 3.（2019长春）计算：3 【答案】2 【分析】直接合并同类二次根式即可求解 【解答】解：原式2 故答案为：2 4.（2019 山东枣庄中考模拟）函数 y= 21 1 x x 中,自变量 x 的取值范围是 . 【答案】x-1 2且 x1
15、 【分析】二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为 0. 【解答】根据题意得 01 012 x x x-1 2且 x1. 故答案是：x-1 2且 x1 5. （2019 湖南长沙中考模拟）已知a、b为两个连续整数，且a7b，则ba = . 【答案】5. 【分析】利用估算求二次根式的范围. 【解答】因为 2 73, 所以 a=2,b=3, a+b=2+3=5. 故答案是：5 10 6.（2019 上海中考模拟）方程31x2的根是 【答案】x=5 【分析】求根式中的被开方数中的未知数.乘法法则，乘法公式适合于二次根式. 【解答】两边平方，得 2x-1=9. 2x=10 x=5. 经检验 x=5
16、是方程 2x+1=3 的根. 故答案是：x=5 7.（2019 上海中考模拟）化简： 32 1 【答案】2+ 3 【分析】化简 1 a+ b形式通常乘以 a- b,利用平方差公式( a+ b)( a- b)=a-b. 【解答】原式= 1 2- 3 = 1 (2+ 3) (2- 3)( 2+ 3) = 2+ 3 22-( 3)2 = 2+ 3. 故答案是：2+ 3 8. （2019 河北沧州中考模拟） 在进行二次根式化简时， 我们有时会碰上如，一样的式子， 其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简： 11 （1）请用不同的方法化简； （2）化简： 【答
17、案】 （1）（2） 【分析】 （1）分式的分子和分母都乘以，即可求出答案；把 2 看出 53，根据平方差公式分解因 式，最后进进约分即可 （2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可 【解答】解： （1） （2）原式 （三）（三）解答题解答题 1.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 222 ()abab 【分析】 a2=|a|= ).0( ),0( aa aa 【解答】-1a0,0b1 a-b0. 原式=|a|-|b|-|a-b| =-a-b+a-b =-2b. 2.（2019 河北唐山中考模拟）先化简,再求值： 2 2 2 3 44
18、3 2 2 aa a aa aa ，其中22 a 【分析】结果的分母应不含根号.先化简，再代入求值，化简时把分子、分母进行因式分解. 【解答】当 a= 2-2 时，原式=a(a+3) (a+2)2 a+2 a+3- 2 a+2 12 =a-1 a+2 = 2-2-2 2-2+2 = 2-4 2 =1-2 2. 3. （2019 辽宁沈阳中考模拟）计算： cos45 ( 2 1 ) (223)032 12 1 【分析】先把三角函数，负指数、零指数、绝对值及分子分母中的根号等进行化简. a-p= 1 ap(a0,p 为正整数), 1 a- b化简为 1 a- b= a+ b ( a- b)( a+
19、 b)= a+ b a-b . 【解答】原式= 2 2 4-1+ 32+ 1 2-1 =2 2-1+4 2+ 2+1 =7 2. 4.（2019 山东淄博中考模拟） （1）已知 a+3 与 2a15 是一个正数的平方根，求 a 的值； （2）已知 x，y 为实数，且 y+4，求的值 【分析】 （1）直接利用平方根的定义分析得出答案； （2）利用二次根式有意义的条件分析得出答案 【解答】解： （1）根据平方根的性质得， a+3+2a150， 解得：a4， a+32a15， 解得：a18， 答：a 的值为 4 或 18； （2）满足二次根式与有意义，则 ， 解得：x9， y4， +5 5.（201
20、9 湖南长沙中考模拟）阅读材料： 13 小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：该如何化简呢？思考后，他 发现 3+21+2+（）2（1+）2于是1+善于思考的小明继续 深入探索；当 a+b（m+n）2时（其中 a，b，m，n 均为正整数） ，则 a+bm2+2mn+2n2此 时，am2+2n2，b2mn，于是，m+n请你仿照小明的方法探索并解决下列何题： （1） 设a， b， m， n均为正整数且m+n， 用含m， n的式子分别表示a， b时， 结果a ， b ； （2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空： + ； （3）化简： 【分析】 （1）利用已知直接去括号进而得
21、出 a，b 的值； （2）取 m2，n1，计算 a 和 b 的值，利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可 【解答】解： （1）由题意得：a+b（m+n）2， a+bm2+3n2+2mn， am2+3n2，b2mn； 故答案为：m2+3n2；2mn； （2）取 m2，n1，则 am2+3n27，b2mn4， 7+4（2+）2； 故答案为：； （3）+1 6.（2019 河北衡水中考模拟）已知 a、b、c 为ABC 的三边长，化简：+ 【分析】直接利用三角形三边关系得出 a+bc0，bca0，进而化简得出答案 【解答】解：a、b、c 为ABC 的三边长， a+b
22、c0，bca0， 原式a+bc（bca） 2a 7.（2019 河北石家庄中考模拟）已知|2018m|+m，求 m20182的值 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案 【解答】解：m20190， 14 m2019， 2018m0， 原方程可化为：m2018+m， 2018， m201920182， m201822019 8.（2019 河北石家庄中考模拟）在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示 成另一个式子的平方，如： 3+22+2+1（）2+2+1（+1）2； 5+22+2+3（）2+2+（）2（+）2 （1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成
23、另一个式子的平方的形式： 4+2；6+4 （2）若 a+4（m+n）2，且 a，m，n 都是正整数，试求 a 的值 【分析】 （1）根据完全平方公式求出即可； （2）先根据完全平方公式展开，再求出 m、n 的值，再求出 a 即可 【解答】解： （1）4+23+2+1 （）2+2+12 （+1）2； 6+4 4+4+2 22+2 2+（）2 （2+）2； （2）a+4（m+n）2， a+4m2+2mn+3n2， am2+3n2，2mn4， mn2， m，n 都是正整数， m2，n1 或 m1，n2； 当 m2，n1 时，a22+3 127； 15 当 m1，n2 时，a12+3 2213； 即 a 的值是 7 或 13