1、 1 第第 1717 讲讲 多边形及四边形多边形及四边形 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 多边形的内角与外角】多边形的内角与外角】 1.内角和定理 n 边形的内角和为(n2)180 2.外角和定理 n 边形的外角和为 360 3.对角线过 n(n3)边形一个顶点可引(n3)条对角线，n 边形共有n（n3） 2 条对角线 4.正多边形的定义：在平面内，边相等，角也相等的多边形叫做正多边形 5.正多边形的性质(1)正 n 边形的每一个内角为（n2）180 n (2)正(2n1)边形是轴对称图形，对称轴有(2n1)条；正 2n 边形既是轴对称图形，又是中心对称图形， 对称轴有
2、 2n 条 【考点【考点 2 2 平行四边形的性质与判定】平行四边形的性质与判定】 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 2.性质 (1)对边平行且相等 (2)对角相等 (3)对角线互相平分 (4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，O 为对称中心 3.判定 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【考点【考点 3 3 矩形的性质与判定】矩形的性质与判定】 1.定义：把有一个角是直角
3、的平行四边形叫做矩形 2.性质 (1) 对边平行且相等 (2) 四个内角都是直角 (3) 两条对角线相等且互相平分 (4) 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形 3.判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 (2)有三个角是直角的四边形是矩形 (3)对角线相等的平行四边形是矩形 【考点【考点 4 4 菱形的性质与判定】菱形的性质与判定】 1.定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2性质 (1)菱形四条边都相等 (2)对角相等 (3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 (4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形 3.判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)四条
4、边相等的四边形是菱形 (3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【考点【考点 5 5 正方形的性质与判定】正方形的性质与判定】 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 2性质 (1)四条边都相等 (2)四个角都是 90 (3)对角线互相垂直平分且相等 (4)对角线平分一组对角 (5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形 3.判定 (1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (2)有一个角是直角的_菱形_是正方形 (3)有一组邻边相等的矩形是正方形 (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 二、考点分析 【考点【考点 1 1 多边形的内角与外角】多
5、边形的内角与外角】 【解题技巧】 （1）多边形内角和定理： （n2） 180 （n3）且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n3）条对角线，将n边形分割为（n2）个三 角形，这（n2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和除此方法之和还有其他几种方法，但 这些方法的基本思想是一样的即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法 3 （2）多边形的外角和等于 360 度 多边形的外角和指每个顶点处取一个外角， 则n边形取n个外角， 无论边数是几， 其外角和永远为 360 借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和180n（n2） 180360 【例 1】
6、 （2019 北京中考）正十边形的外角和为（ ） A180 B360 C720 D1440 【答案】B 【分析】根据多边的外角和定理进行选择 【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于 360， 所以正十边形的外角和等于 360， 故选：B 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 福建中考）已知正多边形的一个外角为 36，则该正多边形的边数为（ ） A12 B10 C8 D6 【答案】B 【分析】利用多边形的外角和是 360，正多边形的每个外角都是 36，即可求出答案 【解答】解：3603610，所以这个正多边形是正十边形 故选：B 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 广东中考）一个多边
7、形的内角和是 1080，这个多边形的边数是 【答案】8 【分析】根据多边形内角和定理： （n2） 180 （n3）可得方程 180（x2）1080，再解方程即可 【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得： 180（x2）1080， 解得：x8， 故答案为：8 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 海南中考）如图，O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧 所对的圆心角BOD的大小为 度 4 【答案】144 【分析】根据正多边形内角和公式可求出E、D，根据切线的性质可求出OAE、OCD，从而可求出 AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题 【解答】解：五边形ABCDE是正五
8、边形， EA108 AB、DE与O相切， OBAODE90， BOD（52）1809010810890144， 故答案为：144 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 上海中考）如图，在正边形ABCDEF中，设 ， ，那么向量用向量 、 表示为 【答案】2 + 【分析】连接CF利用三角形法则：+，求出即可 【解答】解：连接CF 多边形ABCDEF是正六边形， ABCF，CF2BA， 2 ， +， 5 2 + ， 故答案为 2 + 【考点【考点 2 2 平行四边形的性质与判定】平行四边形的性质与判定】 【解题技巧】1.平行四边形的判定与性质的作用： 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互
9、相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、 角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分 别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的 2.运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用 定义判定比用其他判定定理还简单 3.凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质 和判定去解决问题 【例 2】 （2019 海南中考）如图，在ABCD中，将ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E 处若B60，AB3，则A
10、DE的周长为（ ） A12 B15 C18 D21 【答案】C 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC2AB6，AD6，再根据ADE是等边三角 形，即可得到ADE的周长为 6318 【解答】解：由折叠可得，ACDACE90， BAC90， 又B60， ACB30， BC2AB6， AD6， 由折叠可得，EDB60， DAE60， 6 ADE是等边三角形， ADE的周长为 6318， 故选：C 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 福建中考）在平面直角坐标系xOy中，OABC的三个顶点O（0，0） 、A（3，0） 、B （4，2） ，则其第四个顶点是 【答案】 （1，2）
11、【分析】由题意得出OA3，由平行四边形性质得出BCOA，BCOA3，即可得出结果 【解答】解：O（0，0） 、A（3，0） ， OA3， 四边形OABC是平行四边形， BCOA，BCOA3， B（4，2） ， 点C的坐标为（43，2） ， 即C（1，2） ； 故答案为： （1，2） 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 北京中考）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与 端点重合） ，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中， 存在无数个四边形MNPQ是平行四边形； 存在无数个四边形MNPQ是矩形； 存在无数个四边形MNPQ是菱形； 至少存在一个四边形MNPQ
12、是正方形 所有正确结论的序号是 【答案】 【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论 【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O， 过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q， 则四边形MNPQ是平行四边形， 故当MQPN，PQMN，四边形MNPQ是平行四边形， 故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确； 7 如图，当PMQN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确； 如图，当PMQN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确； 当四边形MNPQ是正方形时，MQPQ， 则AM
13、QDQP， AMQD，AQPD， PDBM， ABAD， 四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误； 故答案为： 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 吉林中考）如图，在扇形OAB中，AOB90D，E分别是半径OA，OB上的点， 以OD，OE为邻边的ODCE的顶点C在上若OD8，OE6，则阴影部分图形的面积是 （结 果保留） 【答案】2548 【分析】连接OC，根据同样只统计得到ODCE是矩形，由矩形的性质得到ODC90根据勾股定理得到 OC10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论 【解答】解：连接OC， AOB90，四边形ODCE是平行四边形， ODCE是矩形，
14、ODC90 OD8，OE6， 8 OC10， 阴影部分图形的面积862548 故答案为：2548 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 江苏徐州中考）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重 合，点D落在点G处，折痕为EF求证： （1）ECBFCG； （2）EBCFGC 【分析】 （1）依据平行四边形的性质，即可得到ABCD，由折叠可得，AECG，即可得到ECB FCG； （2）依据平行四边形的性质，即可得出DB，ADBC，由折叠可得，DG，ADCG，即可得到 BG，BCCG，进而得出EBCFGC 【解答】证明： （1）四边形ABCD是平行四边形， ABCD， 由折叠可
15、得，AECG， BCDECG， BCDECFECGECF， ECBFCG； （2）四边形ABCD是平行四边形， DB，ADBC， 由折叠可得，DG，ADCG， BG，BCCG， 9 又ECBFCG， EBCFGC（ASA） 【考点【考点 3 3 矩形的性质与判定】矩形的性质与判定】 【解题技巧】1.矩形的判定方法：先判定四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形有一个角为直角； 先判定四边形是平行四边形，再判定对角线相等；说明四边形有三个角是直角。 2.矩形经常和直角三角形等边三角形结合求一些线段间的的关系问题熟练掌握矩形的性质定理是解决问题 的关键，遇到直角三角形斜边上中点时常做的的辅助线是连
16、接直角顶点与斜边中点。 【例 3】（2019台湾） 如图， 将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片 根据图中标示长度与角度， 求梯形纸片中较短的底边长度为何？（ ） A4 B5 C6 D7 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出AB90，ABDC8，ADBC，根据矩形的判定得出四边形ABFQ是 矩形，求出ABFQDC8，求出EQFQ8，即可得出答案 【解答】解： 过F作FQAD于Q，则FQE90， 四边形ABCD是长方形， AB90，ABDC8，ADBC， 四边形ABFQ是矩形， ABFQDC8， ADBC， QEFBFE45， EQFQ8， 10 AECF（208）6， 故选：C 【举
17、一反三举一反三 3-1】 （2019 河南中考）如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa，点E在边BC上，且BEa连 接AE，将ABE沿AE折叠，若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上，则a的值为 【答案】或 【分析】分两种情况：点B落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得ABBE，即可求出a的值；点 B落在CD边上，证明ADBBCE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值 【解答】解：分两种情况： 当点B落在AD边上时，如图 1 四边形ABCD是矩形， BADB90， 将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在AD边上， BAEBAEBAD45， ABBE， a1， a； 当点B落在CD边上时，如
18、图 2 四边形ABCD是矩形， BADBCD90，ADBCa 将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在CD边上， BABE90，ABAB1，EBEBa， DB，ECBCBEaaa 11 在ADB与BCE中， ， ADBBCE， ，即， 解得a1，a20（舍去） 综上，所求a的值为或 故答案为或 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 吉林中考）如图，在矩形ABCD中，AD4cm，AB3cm，E为边BC上一点，BEAB， 连接AE动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以 2cm/s的速度沿折 线ADDC向终点C运动设点Q运动的时间为x（s） ，在运动过程中，点P，
19、点Q经过的路线与线段PQ围 成的图形面积为y（cm 2） （1）AE cm，EAD ； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当PQcm时，直接写出x的值 12 【分析】 （1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求EAD的度数； （2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解； （3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解 【解答】解： （1）AB3cm，BEAB3cm， AE3cm，BAEBEA45 BAD90 DAE45 故答案为：3，45 （2）当 0 x2 时，如图，过点P作PFAD， APx，DAE45，PFAD PFxAF， ySPQAAQPFx 2， （
20、2）当 2x3 时，如图，过点P作PFAD， PFAFx，QD2x4 DF4x， yx 2+ （2x4+x） （4x）x 2+8x8 当 3x时，如图，点P与点E重合 13 CQ（3+4）2x72x，CE431cm y（1+4）3（72x）1x+4 （3）当 0 x2 时 QFAFx，PFAD PQAP PQcm x x 当 2x3 时，过点P作PMCD 四边形MPFD是矩形 PMDF42x，MDPFx， MQx（2x4）4x MP 2+MQ2PQ2， （42x） 2+（4x）2 0 14 方程无解 当 3x时， PQ 2CP2+CQ2， 1+（72x） 2， x 综上所述：x或 【举一反三举
21、一反三 3-3】 （2019 江苏徐州中考） 【阅读理解】 用 10cm20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为 20cm的图案已知长度为 10cm、20cm、30cm 的所有图案如下： 【尝试操作】 如图，将小方格的边长看作 10cm，请在方格纸中画出长度为 40cm的所有图案 【归纳发现】 观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整 图案的长度 10cm 20cm 30cm 40cm 50cm 60cm 所有不同图案的个数 1 2 3 【答案】5，8，13； 【分析】根据已知条件作图可知 40cm时，所有图案个数 5 个；猜想得到结论； 15 【解答】解：如图
22、根据作图可知 40cm时，所有图案个数 5 个 50cm时，所有图案个数 8 个； 60cm时，所有图案个数 13 个； 故答案为 5，8，13； 【举一反三举一反三 3-4】 （2019兰州）如图，矩形ABCD，BAC60，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别 交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交 BC于点E，若BE1，则矩形ABCD的面积等于 【答案】3 【分析】根据矩形的性质得到BBAD90，求得ACB30，由作图知，AE是BAC的平分线，得 到BAECAE30，根据等腰三角形的性质得到AECE，过E作EFAC于F，求得EFB
23、E1，求得 AC2CF2，解直角三角形得到AB，BC3，于是得到结论 【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形， BBAD90， BAC60， ACB30， 由作图知，AE是BAC的平分线， BAECAE30， EACACE30， AECE， 16 过E作EFAC于F， EFBE1， AC2CF2， AB，BC3， 矩形ABCD的面积ABBC3， 故答案为：3 【考点【考点 4 4 菱形的性质与判定】菱形的性质与判定】 【解题技巧】 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形不管原四边形的形状怎样改变， 中点四边形的形状始终是平行四边形 （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的
24、四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的 中点四边形定为菱形 ） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就 是“有一组邻边相等” ，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法 （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形 菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等菱形） ； 四条边都相等的四边形是菱形 几何语言：ABBCCDDA四边形ABCD是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形” ） 几何语言：ACBD，四边
25、形ABCD是平行四边形平行四边形ABCD是菱形 【例 4】 （2019呼和浩特）已知菱形的边长为 3，较短的一条对角线的长为 2，则该菱形较长的一条对角线 的长为（ ） 17 A2 B2 C4 D2 【答案】C 【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的性质，求得OA1，ACBD，然后由勾股定理求得OB的长， 继而求得答案 【解答】解：如图， 四边形ABCD是菱形， OAOCAC1，OBOD，ACBD， OB2， BD2OB4； 故选：C 【举一反三举一反三 4-1】 （2019青海）如图，将图 1 中的菱形剪开得到图 2，图中共有 4 个菱形；将图 2 中的一个 菱形剪开得到图 3，图中共有
26、 7 个菱形；如此剪下去，第 5 图中共有 个菱形，第n个图中共有 个菱形 【答案】13， （3n2） 【分析】观察图形可知，每剪开一次多出 3 个菱形，然后写出前 4 个图形中菱形的个数，根据这一规律写 出第n个图形中的菱形的个数的表达式； 【解答】解： （1）第 1 个图形有菱形 1 个， 第 2 个图形有菱形 41+3 个， 第 3 个图形有菱形 71+32 个， 第 4 个图形有菱形 101+33 个， 18 ， 第n个图形有菱形 1+3（n1）（3n2）个， 当n5 时，3n213， 故答案为：13， （3n2） 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 北京中考）把图 1 中的菱形
27、沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三 角形分别拼成如图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为 【答案】12 【分析】 由菱形的性质得出OAOC，OBOD，ACBD， 设OAx，OBy， 由题意得：， 解得：， 得出AC2OA6，BD2OB4，即可得出菱形的面积 【解答】解：如图 1 所示： 四边形ABCD是菱形， OAOC，OBOD，ACBD， 设OAx，OBy， 由题意得：， 解得：， AC2OA6，BD2OB4， 菱形ABCD的面积ACBD6412； 故答案为：12 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 浙江温州中考）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，
28、已知AOBAOE 90，菱形的较短对角线长为 2cm若点C落在AH的延长线上，则ABE的周长为 cm 19 【答案】12+8 【分析】连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI2，根据COH是等腰直角三角形， 即可得到CKO90，即CKIO，设CKOKx，则COIOx，IKxx，根据勾股定理即可得 出x 22+ ，再根据S菱形BCOIIOCKICBO，即可得出BO2+2，进而得到ABE的周长 【解答】解：如图所示，连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI2， 三个菱形全等， COHO，AOHBOC， 又AOBAOH+BOH90， COHBOC+BOH90，
29、 即COH是等腰直角三角形， HCOCHO45HOGCOK， CKO90，即CKIO， 设CKOKx，则COIOx，IKxx， RtCIK中， （xx） 2+x222， 解得x 22+ ， 又S菱形BCOIIOCKICBO， x 2 2BO， BO2+2， BE2BO4+4，ABAEBO4+2， ABE的周长4+4+2（4+2）12+8， 故答案为：12+8 20 【举一反三举一反三 4-4】 （2019广西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AHBC于点H， 已知BO4，S菱形ABCD24，则AH 【答案】 【分析】根据菱形面积对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求
30、出BC，然后由菱形的面积即可得出结 果 【解答】解：四边形ABCD是菱形， BODO4，AOCO，ACBD， BD8， S菱形ABCDACBD24， AC6， OCAC3， BC5， S菱形ABCDBCAH24， AH； 故答案为： 【考点【考点 5 5 正方形的性质与判定】正方形的性质与判定】 【解题技巧】正方形的判定方法： 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角 21 还可以先判定四边形是平行四边形，再用 1 或 2 进行判定 【例 5】 （2019 安徽中考）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC12，点
31、P在正方 形的边上，则满足PE+PF9 的点P的个数是（ ） A0 B4 C6 D8 【答案】D 【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解 【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H 点E，F将对角线AC三等分，且AC12， EC8，FC4AE， 点M与点F关于BC对称 CFCM4，ACBBCM45 ACM90 EM4 则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为 49 在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF12 点P在CH上时，4PE+PF
32、12 在点H左侧，当点P与点B重合时，BF2 ABBC，CFAE，BAEBCF 22 ABECBF（SAS） BEBF2 PE+PF4 点P在BH上时，4PE+PF4 在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF9， 同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF9 即共有 8 个点P满足PE+PF9， 故选：D 【举一反三举一反三 5-1】 （2019新疆）如图，正方形ABCD的边长为 2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是 CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AFDE，连接PN，则以下结论中：SABM4SFDM；PN ；tanEAF；PMNDPE，正确的是
33、（ ） A B C D 【答案】A 【分析】正确利用相似三角形的性质解决问题即可 正确作PHAN于H，求出PH，HN即可解决问题 正确求出EN，AN即可判断 错误证明DPNPDE即可 【解答】解：正方形ABCD的边长为 2，点E是BC的中点， ABBCCDAD2，ABCCADF90，CEBE1， AFDE， DAF+ADNADN+CDE90， DANEDC， 在ADF与DCE中， 23 ADFDCE（ASA） ， DFCE1， ABDF， ABMFDM， （） 24， SABM4SFDM；故正确； 由勾股定理可知：AFDEAE， ADDFAFDN， DN， EN，AN， tanEAF，故正确，
34、 作PHAN于H BEAD， 2， PA， PHEN， ， AH，HN， PN，故正确， PNDN， DPNPDE， PMN与DPE不相似，故错误 故选：A 24 【举一反三举一反三 5-2】 （2019 福建中考）如图，边长为 2 的正方形ABCD中心与半径为 2 的O的圆心重合，E、 F分别是AD、BA的延长与O的交点，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 【答案】1 【分析】延长DC，CB交O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论 【解答】解：延长DC，CB交O于M，N， 则图中阴影部分的面积（S圆OS正方形ABCD）（44）1， 故答案为：1 【举一反三举一反三 5-3】 （2
35、019 江西中考） 我国古代数学名著 孙子算经 有估算方法： “方五， 邪 （通 “斜” ） 七 见 方求邪，七之，五而一 ”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七已知正方形的边长，求 对角线长，则先将边长乘以七再除以五若正方形的边长为 1，由勾股定理得对角线长为，依据孙子 算经的方法，则它的对角线的长是 【答案】1.4 【分析】根据估算方法可求解 【解答】解：根据题意可得：正方形边长为 1 的对角线长1.4 故答案为：1.4 【举一反三举一反三 5-4】 （2019青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落 25 在线段AE上的点G处，折痕为AF若
36、AD4cm，则CF的长为 cm 【答案】6 【分析】设BFx，则FGx，CF4x，在 RtGEF中，利用勾股定理可得EF 2（ 4） 2+x2，在 Rt FCE中，利用勾股定理可得EF 2（4x）2+22，从而得到关于 x方程，求解x，最后用 4x即可 【解答】解：设BFx，则FGx，CF4x 在 RtADE中，利用勾股定理可得AE 根据折叠的性质可知AGAB4，所以GE4 在 RtGEF中，利用勾股定理可得EF 2（ 4） 2+x2， 在 RtFCE中，利用勾股定理可得EF 2（4x）2+22， 所以（4） 2+x2（4x）2+22， 解得x2 则FC4x6 故答案为 6 三、 【达标测试】
37、 （一）选择题（一）选择题 1.（2019青海）如图，小莉从A点出发，沿直线前进 10 米后左转 20，再沿直线前进 10 米，又向左转 20，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是（ ） A150 米 B160 米 C180 米 D200 米 【答案】C 【分析】多边形的外角和为 360，每一个外角都为 20，依此可求边数，再求多边形的周长 【解答】解：多边形的外角和为 360，而每一个外角为 20， 26 多边形的边数为 3602018， 小莉一共走了：1810180（米） 故选：C 2.（2018河北中考）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图
38、的方式向 外等距扩 1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ） A4cm B8cm C （a+4）cm D （a+8）cm 【答案】B 【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案 【解答】解：原正方形的周长为acm， 原正方形的边长为cm， 将它按图的方式向外等距扩 1cm， 新正方形的边长为（+2）cm， 则新正方形的周长为 4（+2）a+8（cm） ， 因此需要增加的长度为a+8a8cm 故选：B 3.（2019威海）如图，E是ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F添加以下条件， 不能判定四边形BCED为平行四边形的是（
39、） AABDDCE BDFCF CAEBBCD DAECCBD 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到ADBC，ABCD，求得DEBC，ABDCDB，推出BDCE，于是得 到四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到DEFCBF，根据全等三角形的性质得 27 到EFBF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到AEBCBF，求得 CBFBCD，求得CFBF，同理，EFDF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；根据平行线的 性质得到DEC+BCEEDB+DBC180，推出BDEBCE，于是得到四边形BCED为平行四边形， 故D正确 【解答
40、】解：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD， DEBC，ABDCDB， ABDDCE， DCECDB， BDCE， BCED为平行四边形，故A正确； DEBC， DEFCBF， 在DEF与CBF中， DEFCBF（AAS） ， EFBF， DFCF， 四边形BCED为平行四边形，故B正确； AEBC， AEBCBF， AEBBCD， CBFBCD， CFBF， 同理，EFDF， 不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误； AEBC， DEC+BCEEDB+DBC180， AECCBD， 28 BDEBCE， 四边形BCED为平行四边形，故D正确， 故选：C 4.（2019广州）
41、如图，ABCD中，AB2，AD4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO， BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（ ） AEHHG B四边形EFGH是平行四边形 CACBD DABO的面积是EFO的面积的 2 倍 【答案】B 【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决 【解答】解：E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在ABCD中，AB2，AD4， EHAD2，HGAB1， EHHG，故选项A错误； E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点， EH， 四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确； 由题目中的条件，无法判断AC和
42、BD是否垂直，故选项C错误； 点E、F分别为OA和OB的中点， EF，EFAB， OEFOAB， ， 即ABO的面积是EFO的面积的 4 倍，故选项D错误， 故选：B 29 5.（2019台湾）如图，将一张面积为 14 的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边 形纸片根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（ ） A B C D 【答案】D 【分析】如图，设ADE，BDF，CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S， 过点D作DHEC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而DFHEGC，利用 面积比等于相似比的平方可求 【解答】
43、解：如图，设ADE，BDF，CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S， 过点D作DHEC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而DFHEGC， SDFHS3， DEBC， ADEABC，DE3，BC7， ， SABC14， S114， SBDH：S（4） ：32：3， SBDHS， +S1414， S 30 故选：D 6.（2019 河北唐山中考模拟）如图，四边形ABCD中，ABCD，ADBC，AB3，DC，对角线AC BD，ACBD，平行于BD的直线MN、RQ分别以 1 个单位/秒、2 个单位/秒的速度同时从点A出发沿AC方向 向点C匀速平移，分别
44、交四边形ABCD的边于M、N和R、Q，交对角线AC于F、G，当直线RQ到达点C时两 直线同时停止运动记四边形ABCD被直线MN扫过的面积为S1，被直线RQ扫过的面积为S2若S2mS1，则 m的最小值（ ） A5 B4.8 C3 D3.5 【答案】C 【分析】首先过点C作CKBD交AB的延长线于K，易证得四边形DBKC是平行四边形，可求得AK4， 由四边形ABCD是等腰梯形， 可得ACCK， 又由CE2且是高， 即可证得KKCEACECAE45， 继而求得AHB的度数， 又由等腰直角三角形的性质， 求得AC的长， 直线移动有两种情况： 0 x及 x2；然后分别从这两种情况分析求解，注意当 0 x
45、时，易得S24S1；当x2 时，根据相似三角 形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得BCD与CRQ的面积，继而可求得S2与S1的值，可得m 36（） 2+4，然后利用二次函数的性质求得 m的变化范围，得最小值 【解答】解：如图 1，过点C作CKBD交AB的延长线于K， CDAB， 四边形DBKC是平行四边形， BKCD，CKBD， AKAB+BK3+4， BDAC， ACCK， AEEKAK2， ACK是等腰直角三角形， 31 CECK2， 作CEAB于E， KKCEACECAE45， ACK90， AHBACK90， ACAKcos4544， 设AGx， 当 0 x时， MNRQ， A
46、MNARQ，ANFAQG， （） 24， S14S2； m4， 当x2 时，如图 2， ABCD， ABHCDH， ， CHDHAC1，AHBH413 CG42x，ACBD， SBCD412， RQBD， CRQCDB， SCRQ2（） 28（2x）2， S梯形ABCD（AB+CD） CE（3+）28， SABDABCE326， 32 MNBD， AMNADB， （） 2 ， S1x 2，S 288（2x） 2， S2mS1， m+1236（） 2+4， m是的二次函数，当x2 时，即当时，m随的增大而增大， 当x时，m最大，最大值为 4， 当x2 时，m最小，最小值为 3 综上所述，m的最小
47、值为 3，最大值为 4， 故选：C 7.（2019 河南郑州中考模拟）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEF是等边三角形，连 接AC交EF于点G，下列结论：CECF，AEB75，AG2GC，BE+DFEF，SCEF2SABE，其 中结论正确的个数为（ ） 33 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】B 【分析】通过条件可以得出ABEADF，从而得出BAEDAF，BEDF，得到CECF；由正方形的性 质就可以得出AEB75；设ECx，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出 SCEF和 2SABE，再通过比较大小就可以得出结论 【解答】解：四边形ABCD是正方形， ABBCCDA