1、 1 第第 2 讲讲 代数式及整式的运算代数式及整式的运算 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 代数式定义及列代数式】代数式定义及列代数式】 1.代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式 2代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的 值 【考点【考点 2 幂的运算】幂的运算】 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 amanam+n（m，n 是正整数） 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘 （am）namn（m，n 是正整数） 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得
2、的幂相乘 （ab）nanbn（n 是正整数） 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减 am anam n（a0，m，n 是正整数，mn） 【考点【考点 3 合并同类项】合并同类项】 所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项所有的常数项都是同类项. 把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 【考点【考点 4 整式的乘法】整式的乘法】 单项式乘以多项式 m(ab)ambm 多项式乘以多项式(ab)(mn)amanbmbn 二、考点分析二、考点分析 【考点【考点 1 代数式定义及列代数式】代数式定义及列代数式
3、】 【解题技巧】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是 列出代数式； (2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含 义； (3)注意书写规则：a b 通常写作 a b 或 ab；1 a 通常写作1 a；数字通常写在字母前面，如 a 3 通常写作 3a； 2 带分数一般写成假分数，如 11 5a 通常写作 6 5a. 【例 1】 （2019.海南中考）当 m1 时，代数式 2m+3 的值是（ ） A1 B0 C1 D2 【答案】C 【分析】将 m1 代入代数式即可求值； 【解答】解：将 m1 代
4、入 2m+32 （1）+31； 故选：C 【举一反三举一反三 1-1】 （2019.云南中考）按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第 n 个单项 式是（ ） A （1）n 1x2n1 B （1）nx2n 1 C （1）n 1x2n+1 D （1）nx2n+1 【答案】C 【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可 【解答】解：x3（1）1 1x2 1+1， x5（1）2 1x2 2+1， x7（1）3 1x2 3+1， x9（1）4 1x2 4+1， x11（1）5 1x2 5+1， 由上可知，第 n 个单项式是： （1）n 1x2n+1， 故选：C 【举一反三举一反三
5、1-2】 （2019台湾）图 1 的直角柱由 2 个正三角形底面和 3 个矩形侧面组成，其中正三角形面积 为a， 矩形面积为b 若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱， 则图2中直角柱的表面积为何？ （ ） A4a+2b B4a+4b C8a+6b D8a+12b 【答案】C 3 【分析】根据已知条件即可得到结论 【解答】解：正三角形面积为 a，矩形面积为 b， 图 2 中直角柱的表面积2 4a+6b8a+6b， 故选：C 【举一反三举一反三 1-3】 （2019台湾）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单若他们所点的餐点总共为 10 份意大利面，x 杯饮料，y 份沙拉，则他们点了几份
6、 A 餐？（ ） A10 x B10y C10 x+y D10 xy 【答案】A 【分析】根据点的饮料能确定在 B 和 C 餐中点了 x 份意大利面，由题意可得点 A 餐 10 x； 【解答】解：x 杯饮料则在 B 和 C 餐中点了 x 份意大利面， y 份沙拉则在 C 餐中点了 y 份意大利面， 点 A 餐为 10 x； 故选：A 【考点【考点 2 幂的运算】幂的运算】 【解题技巧】1.在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：底数必须相同，如 23与 25， （a2b2）3 与（a2b2） 4， （xy）2与（xy）3等；a 可以是单项式，也可以是多项式；按照运算性质，只有相乘时才是底数 不变，
7、指数相加 2.概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键在运用时要抓住“同 底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂 3.注意：因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计 算出最后的结果 【例 2】（2019广东中考）下列计算正确的是（ ） Ab6+b3b2 Bb3b3b9 Ca2+a22a2 D （a3）3a6 【答案】C 4 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案 【解答】解：A、b6+b3，无法计算，故此选项错误； B、b3b3b6
8、，故此选项错误； C、a2+a22a2，正确； D、 （a3）3a9，故此选项错误 故选：B 【举一反三举一反三 2-1】（2019甘肃中考）计算（2a）2a4的结果是（ ） A4a6 B4a6 C2a6 D4a8 【答案】C 【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案 【解答】解： （2a）2a44a2a44a6 故选：B 【举一反三举一反三 2-2】（2019海南中考）下列运算正确的是（ ） Aaa2a3 Ba6 a2a3 C2a2a22 D （3a2）26a4 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可
9、求解； 【解答】解：aa2a1+2a3，A 准确； a6 a2a6 2a4，B 错误； 2a2a2a2，C 错误； （3a2）29a4，D 错误； 故选：A 【举一反三举一反三 2-3】（2019江苏南京中考）计算（a2b）3的结果是（ ） Aa2b3 Ba5b3 Ca6b Da6b3 【答案】D 【分析】根据积的乘方法则解答即可 【解答】解： （a2b）3（a2）3b3a6b3 故选：D 【举一反三举一反三 2-4】（2019山东济南中考模拟）在平面直角坐标系中，任意两点 A（a，b） ，B（c，d） ， 定义一种运算：A*B（3c），若 A（9，1） ，且 A*B（12，2） ，则点 B
10、的坐标是_ 5 【答案】 （1，8） 【分析】根据新运算公式列出关于 c、d 的方程组，解方程组即可得 c、d 的值；进一步得到点 B 的坐标 【解答】解：根据题意，得， 解得： 则点 B 的坐标为（1，8） 故答案为： （1，8） 【考点【考点 3 合并同类项】合并同类项】 【解题技巧】合并同类项时要注意以下三点： （1） 要掌握同类项的概念， 会辨别同类项， 并准确地掌握判断同类项的两条标准： 带有相同系数的代数项； 字母和字母指数； （2）明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到 化简多项式的目的； （3）“合并”是指同类项的系数的相加，并
11、把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数 不变 （4）只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式) 【例 3】 （2019吉林长春中考）先化简，再求值： （2a+1）24a（a1） ，其中 a 【答案】2 【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案 【解答】解：原式4a2+4a+14a2+4a 8a+1， 当 a时，原式8a+12 【举一反三举一反三 3-1】 （2019山东威海中考）下列运算正确的是（ ） A （a2）3a5 B3a2+a3a3 Ca5 a2a3（a0） Da（a+1）a2+1 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘
12、方的性质，单项式与多项式乘法法则，同底数幂的除法的性质对各 选项分析判断后利用排除法求解 6 【解答】解：A、 （a2）3a6，故本选项错误； B、3a2+a，不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、a5 a2a3（a0） ，正确； D、a（a+1）a2+a，故本选项错误 故选：C 【举一反三举一反三 3-2】 （2019辽宁沈阳中考）下列运算正确的是（ ） A2m3+3m25m5 Bm3 m2m Cm（m2）3m6 D （mn） （nm）n2m2 【答案】B 【分析】根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可 【解答】解：A.2m3+3m25m5，不是同类项，不能合并
13、，故错误； Bm3 m2m，正确； Cm（m2）3m7，故错误； D （mn） （nm）（mn）2n2m2+2mn，故错误 故选：B 【举一反三举一反三 3-3】 （2019河北石家庄中考模拟）先化简，再求值： （5a2+2a+1）4（38a+2a2）+（3a2a） ，其中 【分析】首先去括号，合并同类项，将两代数式化简，然后代入数值求解即可 【解答】解：（5a2+2a+1）4（38a+2a2）+（3a2a） 5a2+2a+112+32a8a2+3a2a 33a11， 当 a时， 原式33a1133 110； 【举一反三举一反三 3-4】 （2019山东青岛中考模拟）化简求值：已知整式 2x2
14、+axy+6 与整式 2bx23x+5y1 的差 不含 x 和 x2项，试求 4（a2+2b3a2b）+3a22（4b3+2a2b）的值 【分析】根据两整式的差不含 x 和 x2项，可得差式中 x 与 x2的系数为 0，列式求出 a、b 的值，然后将代数 式化简再代值计算 【解答】解：2x2+axy+6（2bx23x+5y1） 7 2x2+axy+62bx2+3x5y+1 （22b）x2+（a+3）x6y+7， 两个整式的差不含 x 和 x2项， 22b0，a+30， 解得 a3，b1， 4（a2+2b3a2b）+3a22（4b3+2a2b） 4a2+8b34a2b+3a28b34a2b 7a
15、28a2b， 当 a3，b1 时， 原式7a28a2b 7 （3）28 （3）2 1 7 98 9 1 6372 9 【考点【考点 4 整式的乘法】整式的乘法】 【解题技巧】多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。 【例 4】 （2019河北邯郸中考模拟）阅读：已知二次三项式 x24x+m 有一个因式是 x+3，求另一个因式及 m 的值 解“设另一个因式为 x+n，得 x24x+m（x+3） （x+n）则 x24x+mx2+（n+3）x+3n 解得另一个因式为 x7，m 的值为21 问题：仿照上述方法解答下列问题： （1）已知二次三项式 2x2+3xk 有
16、一个因式是 2x5，求另一个因式及 k 的值 （2）已知 2x213x+p 有一个因式 x3，则 P 【分析】根据题意给出的方法即可求出答案 【解答】解： （1）设另外一个因式为：x+n （2x2+3xk）（2x5） （x+n） n4，k20 8 （2）设另一个因式为：2x+n 2x213x+p（2x+n） （x3） 解得： 故答案为： （2）27 【举一反三举一反三 4-1】（2019辽宁大连中考模拟）计算 2x（3x2+1），正确的结果是（ ） A5x3+2x B6x3+1 C6x3+2x D6x2+2x 【答案】C 【分析】：利用单项式乘以多项式法则计算可得原式=6x3+2x， 【解答】
17、2x（3x2+1）=6x3+2x 故选：C 【举一反三举一反三 4-2】(2016 河北中考)若 mn=m+3，则 2mn+3m-5nm+10=_ . 【答案】1 【分析】：先化简，再替换，mn=m+3，移项得：m-mn=3 【解答】3m-3mn+10=3(m-mn)+10=10-9=1 【举一反三举一反三 4-3】 （2019台湾中考）计算（2x3） （3x+4）的结果，与下列哪一个式子相同？（ ） A7x+4 B7x12 C6x212 D6x2x12 【答案】D 【分析】由多项式乘法运算法则：两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加，合并同类项后所得的
18、式子就是它们的积 【解答】解：由多项式乘法运算法则得 （2x3） （3x+4）6x2+8x9x126x2x12 故选：D 【举一反三举一反三 4-4】 （2019辽宁葫芦岛中考模拟）已知 y = 3 1 x 1,那么 3 1 x2 2xy + 3y2 2 的值是 . 【答案】1 【分析】先将要求的代数式化简，然后整体代入，计算较简便，因为1 3x 2-2xy+3y2-2= 9 (1 3x-y)(x+3y)-2 再把 y= 1 3x-1 整体代入 【解答】 3 1 x2 2xy + 3y2 2 =1 3x-( 1 3x-1)x-3( 1 3x-1)-2 =1 3-2 =1. 三、 【达标测试达标
19、测试】 一.选择题 1.(2019 河北石家庄中考模拟)如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为 x，淇淇猜中的结果 应为 y，则 y( ) A2 B3 C6 Dx3 【答案】B 【分析】根据整式的运算，逐步可以求出结果 【解答】第一步得 2x；第二步得 2x+6； 第三步得 x+3； 第四步得 3；因此 y=3 故选：B 2(2019 山东青岛中考模拟)若 x1，则|x4|( ) A3 B3 C5 D5 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义可以得出结论 【解答】|14|=|3|=3 故选：A 3.(2017 重庆中考)若 x1 3，y4，则代数式 3xy3 的值为( ) A6 B0
20、 C2 D6 【答案】B 【分析】把 x1 3，y4 代入代数式 3xy3 可求值 10 【解答】x1 3，y4，3xy33 1 3 430. 故选：B 4.（2019湖南长沙中考模拟）已知 x-2y=3，则代数式 6-2x+4y 的值为（ ） A0 B-1 C-3 D3 【答案】A 【分析】先把 6-2x+4y 变形为 6-2（x-2y） ，然后把 x-2y=3 整体代入计算即可 【解答】x-2y=3，6-2x+4y=6-2（x-2y）=6-23=6-6=0 故选：A 5.（2019江苏徐州中考）下列计算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （a+b）2a2+b2 C （a3）3a9 Da3
21、a2a6 【答案】C 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则以及乘法公式分别化 简得出答案 【解答】Aa2+a22 a2 B （a+b）2a2+2ab+b2 C （a3）3a9 Da3a2a5 故选：C 6.（2019深圳）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba3a4a12 C （a3）4a12 D （ab）2ab2 【答案】C 【分析】利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方公式分别化 简得出答案 【解答】Aa2+a22 a2 Ba3a4a7 C （a3）4a12 D （ab）2a2b2 故选：C 11 7.（20
22、19江苏徐州中考）（2019青岛）计算（2m）2（mm2+3m3）的结果（ ） A8m5 B8m5 C8m6 D4m4+12m5 【答案】A 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则，要注意符号法则 【解答】 （2m）2（mm2+3m3）=（2m）22m3 = 4m22m3 =8m5 故选：A 8.（2019新疆中考）下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 B （2ab）24a2b2 Cx2+3x24x4 D6a6 2a23a3 【答案】B 【分析】 直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、 整式的除法运算法则分别化简得出答案 【解答】解：A、a2a3a5，故此选项错误；
23、 B、 （2ab）24a2b2，正确； C、x2+3x24x2，故此选项错误； D、6a6 2a23a4，故此选项错误； 故选：B 9.（2019成都）下列计算正确的是（ ） A5ab3a2b B （3a2b）26a4b2 C （a1）2a21 D2a2b b2a2 【答案】D 【分析】注意到 A 选项中，5ab 与 3b 不属于同类项，不能合并；B 选项为积的乘方，C 选项为完全平方公 式，D 选项为单项式除法，运用相应的公式进行计算即可 【解答】解： A 选项，5ab 与 3b 不属于同类项，不能合并，选项错误， B 选项，积的乘方（3a2b）2（3）2a4b29a4b2，选项错误， C
24、选项，完全平方公式（a1）2a22a+1，选项错误 D 选项，单项式除法，计算正确 故选：D 12 10.（2019南通中考）下列计算，正确的是（ ） Aa2a3a6 B2a2aa Ca6 a2a3 D （a2）3a6 【答案】D 【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘除法的运算方法，以及合并同类项的方法， 逐项判断即可 【解答】解：a2a3a5， 选项 A 不符合题意； 2a2aa， 选项 B 不符合题意； a6 a2a4， 选项 C 不符合题意； （a2）3a6， 选项 D 符合题意 故选：D 二、填空题二、填空题 1.（2018，盐城市中考模拟）如图，正方形卡片 A 类、
25、B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长 为(a2b)、宽为(ab)的大长方形，则需要 C 类卡片 张 【答案】3. 【分析】根据多项式乘法(a+2b)(a+b)可求出大长方形的面积. 【解答】因为(a+2b)(a+b)=a2+3ab+b2,而 C 类图形的面积为 ab,所以需要 3 张 C 类卡片. 2.（2018，山东省济南中考模拟）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样 的方法剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表： 则 an （用含 n 的代数式表示） 所剪次数 1 2 3 4 n 正三角形个数 4 7 10 13 an a b b b a
26、 aC BA 第 1 题图 13 【答案】3n+1 【分析】由题中给出的表格，就能发现 an与 n 的关系为 an=3n+1,实际上每剪一次，就增加 3 个小三角形， 故符合表格规律. 【解答】n=1 时 an=3；n=2 时 an=7；n=3 时 an=10；n=4 时 an=13；自然得到 an=3n+1 3.（2019，河北石家庄中考模拟）下图是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为 3 时，则输出的数值 为 【答案】1. 【分析】由图可得式子（x2-2） 7 【解答】原式=（32-2） 7=1. 4.（2019，山东省德州中考模拟）有一组按规律排列的单项式： 2 a ， 4 a3
27、， 6 a5 ， 8 a7 ，第 25 个单项式 是 . 【答案】 49 a 50 【分析】观察每个式子的分子和分母的规律 【解答】这组单项式的分母为从 2 开始的连续的偶数，分子中 a 的次数为从 1 开始的连续的奇数. 5. （2018，辽宁葫芦岛中考模拟）在图 3 所示的运算流程中，若输出的数 y=3，则输入的数 x= 【答案】5 或 6 【分析】根据互逆运算的规则以及奇数和偶数的特点 【解答】当 x 是偶数时，x=2y；当 x 是奇数时，x=2y-1.将 y=3 分别代入求值即可. 14 三三.解答题解答题 1. （2019.河北沧州中考模拟） 一般情况下不成立， 但有些数可以使得它成
28、立， 例如： ab0 我 们称使得成立的一对数 a，b 为“相伴数对”，记为（a，b） （1）若（1，b）是“相伴数对”，求 b 的值； （2）若（m，n）是“相伴数对”，其中 m0，求； （3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式 m4m2（3n1）的值 【分析】 （1）将 a1，代入中可求值（2）根据+求得一个关于 m、n 的关系式（3） 根据（2）中求出的关系式可求出结果. 【解答】解：根据 +，化简求得：b； （2）根据题意，得：+，则 15m+10n6m+6n， 9m+4n0， 9m4n， ； （3）由（2）知 9m+4n0，则原式mn4m+2（3n1）mn4m+6n2 3mn222
29、 2.（2018，徐州巿中考模拟）已知 2 31,23.xxx求的值 【分析】本题方法较多,但主要是通过把要求的代数式降次,如再代入 x 的值来计算,方法一 直接因式分解,方法二运用完全平方公式因式分解再代入求值. 【解答】方法一:x2-2x-3=(x-3)(x+1),将 x= 3+1 代入到上式,则可得 x2-2x-3=( 3+1-3)( 3 +1+1)=( 3-2)( 3+2)=-1. 方法二:因为 x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4,又 x= 3+1,所以原式=( 3+1-1)2-4=3-4=-1. 3.（2018，内江市中考模拟）阅读下列内容后，解答下列各题： 几
30、个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 例如：考查代数式(1)(2)xx的值与 0 的大小 当1x时，10 x ，20 x，(1)(2)0 xx 当12x时，10 x ，20 x，(1)(2)0 xx 当2x时，10 x ，20 x，(1)(2)0 xx 15 综上：当12x时，(1)(2)0 xx 当1x或2x时，(1)(2)0 xx （1） 填写下表： （用“”或“”填入空格处） （2）由上表可知，当x满足 时，(2)(1)(3)(4)0 xxxx； （3）运用你发现的规律，直接写出当x满足 时，(7)(8)(9)0 xxx 【分析】根据多项式乘法的符号法则可以确定符号 【解答
31、】(1)当-1x0,x+10,x-30,x-40;而当 3x0,x+10,x-30,x-40,所以(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)4 时，x+20,x+10,x-30,x-40,所以 (x+2)(x+1)(x-3)(x-4)0. (2) 当-2x-1 或 3x4 时，(2)(1)(3)(4)0 xxxx； (3)积的符号由负因数的个数来决定，当 x-8 或 7x9 时，(x-7)(x+8)(x-9)0. 3.（2019，河北省沧州中考模拟）下图是某居民小区的一块面积为 4ab 平方米的长方形空地，准备在空地的 四个顶点处修建一个半径为 a 米的扇形花台，在花台内种花，其余部分种草.如果
32、建造花台及种花费用每平 方米需要资金 100 元，种草每平方米需要资金 50 元，那么美化这块空地共需资金多少元？ 2x 21x 13x 34x 4x 2x 1x 3x 4x (2)(1)(3)(4)xxxx 16 【分析】长方形的面积减去 4 个小扇形的面积 【解答】花台的面积为 a2平方米，草地的面积为（4ab-a2）平方米. 所需资金（单位：元）为：100a2+50（4ab-a2）=100a2+200ab-50a2=50a2+200ab. 4.（2019，海南中考）有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和如 果第一个数是 0，第二个数是 1，那么前
33、6 个数的和是 ，这 2019 个数的和是 【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， 这列数为：0，1，1，0，1，1，0，1，1， 前 6 个数的和是：0+1+1+0+（1）+（1）0， 2019 63363， 这 2019 个数的和是：0 336+（0+1+1）2， 故答案为：0，2 5.（2019，吉林中考）先化简，再求值： （a1）2+a（a+2） ，其中 a 【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 a 的值代入 计算即可求出值 【解答】解：原式a22a+1+a2+2a2a2+1， 当时，原式5