1、 1 第第 1313 讲讲 二次函数及其应用二次函数及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 二次函数的图像及性质】二次函数的图像及性质】 1.二次函数的概念：一般地，如果两个变量 x 和 y 之间的函数关系，可以表示成 yax 2bxc(a，b，c 是 常数，且 a0)，那么称 y 是 x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项 2三种表示方法： (1)一般式：yax 2bxc(a0)； (2)顶点式：ya(xh) 2k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2为抛物线与 x 轴交
2、点的横坐标 3三种表达式之间的关系 顶点式 确定 一般式 因式分解两点式 4.图像性质 二次函数 yax 2bxc(a，b，c 为常数，a0) a0 时开口向上， 对称轴：直线 x b 2a，顶点坐标： b 2a， 4acb 2 4a ，增减性：在对称轴的 左侧，即 x b 2a时，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x b 2a时，y 随 x 的增大而增大，简 记为“左减右增” a0 时开口向下，对称轴：直线 x b 2a，顶点坐标： b 2a， 4acb 2 4a ，增减性：在对称轴的 左侧，即当 x b 2a时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x b 2a时，
3、y 随 x 的增大而减小， 简记为“左增右减” 【考点【考点 2 2 二次函数的实际应用】二次函数的实际应用】 1.二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数 的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用 2.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材 料为背景 3.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4) 求最小值；(5)选择最优方案 【考点【考点 3 3 二次函数的图像与方程的关系】二次函数的图像与方程的关系】 2 二次
4、函数与一元二次方程的关系： 1当抛物线与 x 轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根 2当抛物线与 x 轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根 3当抛物线与 x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根 【考点【考点 4 4 二次函数的图像与几何图形的关系】二次函数的图像与几何图形的关系】 1. 平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法： 一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标， 利用待定系数法求出解析式； 二是只考虑平移后的顶点坐标， 即可求出解析式 平移步骤： (1)将抛物线
5、表达式转化为顶点式 ya(xh) 2k，确定其顶点坐标； (2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可 2.二次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析 其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据 【考点【考点 5 5 二次函数的图像其它函数的关系】二次函数的图像其它函数的关系】 二次函数与一次函数、二次函数与反比例函数、两个二次函数之间的关系是近几年中考的常考题型，需要 把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。 二、考点分析 【考点【考点 1 1 二次函数的图像及性质】二次函数的图像及性质】
6、 【解题技巧】二次函数表达式的确定： (1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式； 当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式 yax 2bxc 形式； 当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式 ya(xh) 2k 形式； 当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式 ya(xx1)(xx2) (2)步骤： 设二次函数的表达式； 根据已知条件，得到关于待定系数的方程组； 解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式 【例 1】 （2019 福建中考）若二次函数y|a|x 2+bx+c 的图象经过A（m，n） 、B（0，y1） 、
7、C（3m，n） 、D （，y2） 、E（2，y3） ，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy2y3y1 【答案】D 3 【分析】由点A（m，n） 、C（3m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x，再由B（0，y1） 、D（， y2） 、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1y3y2； 【解答】解：经过A（m，n） 、C（3m，n） ， 二次函数的对称轴x， B（0，y1） 、D（，y2） 、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近， |a|0， y1y3y2； 故选：D 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 甘肃中考）如图是二次函数y
8、ax 2+bx+c 的图象，对于下列说法：ac0，2a+b 0，4acb 2，a+b+c0，当 x0 时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案 【解答】解：由图象可知：a0，c0， ac0，故错误； 由于对称轴可知：1， 2a+b0，故正确； 由于抛物线与x轴有两个交点， b 24ac0，故正确； 由图象可知：x1 时，ya+b+c0， 故正确； 当x时，y随着x的增大而增大，故错误； 4 故选：C 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 陕西中考）在同一平面直角坐标系中，若抛物线yx 2+（2m1）x+2m4 与
9、yx 2 （3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ） Am，n Bm5，n6 Cm1，n6 Dm1，n2 【答案】D 【分析】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得 【解答】解：抛物线yx 2+（2m1）x+2m4 与 yx 2（3m+n）x+n 关于y轴对称， ，解之得， 故选：D 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 北京中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax 2+bx 与y轴交于点A，将 点A向右平移 2 个单位长度，得到点B，点B在抛物线上 （1）求点B的坐标（用含a的式子表示） ； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点P
10、（，） ，Q（2，2） 若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值 范围 【分析】 （1）A（0，）向右平移 2 个单位长度，得到点B（2，） ； （2）A与B关于对称轴x1 对称； （3）a0 时，当x2 时，y2，当y时，x0 或x2，所以函数与AB无交点； a0 时，当y2 时，ax 22ax 2，x或x当2 时，a； 【解答】解： （1）A（0，） 点A向右平移 2 个单位长度，得到点B（2，） ； （2）A与B关于对称轴x1 对称， 抛物线对称轴x1； （3）对称轴x1， b2a， 5 yax 22ax ， a0 时， 当x2 时，y2， 当y时，x0 或x2， 函数
11、与AB无交点； a0 时， 当y2 时，ax 22ax 2， x或x 当2 时，a； 当a时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 云南中考）已知k是常数，抛物线yx 2+（k2+k6）x+3k 的对称轴是y轴，并且 与x轴有两个交点 （1）求k的值； （2）若点P在物线yx 2+（k2+k6）x+3k 上，且P到y轴的距离是 2，求点P的坐标 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴为y轴，则b0，可求出k的值，再根据抛物线与x轴有两个交点，进 而确定k的值和抛物线的关系式； （2）由于对称轴为y轴，点P到y轴的距离为 2，可以转化为点P的横坐标为 2 或2，
12、求相应的y的值， 确定点P的坐标 【解答】解： （1）抛物线yx 2+（k2+k6）x+3k 的对称轴是y轴， k 2+k60，解得 k13，k22； 又抛物线yx 2+（k2+k6）x+3k 与x轴有两个交点 3k0 k3此时抛物线的关系式为yx 29， 因此k的值为3 （2）点P在物线yx 29 上，且 P到y轴的距离是 2， 点P的横坐标为 2 或2， 当x2 时，y5 6 当x2 时，y5 P（2，5）或P（2，5） 因此点P的坐标为：P（2，5）或P（2，5） 【考点【考点 2 2 二次函数的实际应用】二次函数的实际应用】 【解题技巧】(1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理
13、清变量所表示的实际意义，注意隐含条件 的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润总售价总成本”或“总利润每件商品 所获利润销售数量” ，建立利润与价格之间的函数关系式； (2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最 值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解， 再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值 【例 2】（2019 河北唐山中考模拟） 如图所示， 有长为 24 m的篱笆， 一面利用墙(墙的最大可用长度为 10 m)， 围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃设花圃的宽 AB 为 x m
14、，面积为 S m 2.如果要围成面积为 45 m2的花圃， 那么 AB 的长是（ ） A45 m B9 m C24 m D5 m 【答案】D 【分析】(1)先设 AB 的长为 x m，再用含 x 的代数式表示花圃的长 BC，从而建立面积 S(m 2)与 AB 的长 x m 之间的函数关系式然后依据方程与二次函数的知识来求解；(2)将 S45 代入二次函数关系式得一元二次 方程，再求得解；(3)将二次函数的一般式转化为顶点式，将 x 的最小值代入求面积的最大值，再求出此时 围墙的长与宽 【解答】解：(1)设宽 AB 为 x m，则 BC 为(243x)m. 这时面积 Sx(243x)3x 224
15、x； (2)由条件得，3x 224x45. 整理，得 x 28x150. 解得 x15，x23. 0243x10，14 3 x8. x3 不合题意，舍去故花圃的宽为 5 m； 故选：D 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 河北张家口中考模拟）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶 7 端椅子 B 处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线 y3 5x 23x1 的一部分，如图所示 (1)求演员弹跳离地面的最大高度是 ； (2)已知人梯高 BC3.4 m，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 m，则这次表演 （填能或否） 成功 【答案】(1)19 4 .(2)能
16、. 【分析】(1)将函数表达式配方成顶点式，即可求得演员弹跳地面的最大高度；(2)将点(4，3.4)代入函数 表达式，验证该点是否在抛物线上在，说明表演能够成功；不在，说明表演不能成功 【解答】解：(1)y3 5x 23x1 3 5 x5 2 2 19 4 . a3 50，函数有最大值， 即演员弹跳离地面的最大高度是19 4 m； (2)由于 OC4 m，故将 x4 代入函数表达式，得 y3 54 23413.4，因此点(4，3.4)在该抛物线 上，说明这次表演能够成功 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 山东德州中考模拟）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m处起跳投篮，球 沿一条
17、抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮框内已知篮圈 中心距离地面高度为 3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A此抛物线的解析式是yx 2+3.5 8 B篮圈中心的坐标是（4，3.05） C此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D篮球出手时离地面的高度是 2m 【答案】A 【分析】A、设抛物线的表达式为yax 2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得 a的值； B、根据函数图象判断； C、根据函数图象判断； D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y0.2x 2+3.5，当 x2，时，即可求得结论 【解
18、答】解：A、抛物线的顶点坐标为（0，3.5） ， 可设抛物线的函数关系式为yax 2+3.5 篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05a1.5 2+3.5， a， yx 2+3.5 故本选项正确； B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05） ， 故本选项错误； C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5） ， 故本选项错误； D、设这次跳投时，球出手处离地面hm， 因为（1）中求得y0.2x 2+3.5， 当x2.5 时， h0.2（2.5） 2+3.52.25m 这次跳投时，球出手处离地面 2.25m 故本选项错误 故选：A 【举一反三举一反三 2
19、-3】 （2019 湖北武汉中考） （2019武汉）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周 销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表： 售价x（元/件） 50 60 80 9 周销售量y（件） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ； 该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润是_ 元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m0） ，物价部门规定该商品售价不得超过 65 元
20、/件，该 商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是 1400 元，求m 的值 【分析】 （1）依题意设ykx+b，解方程组即可得到结论； 该商品进价是 50100010040，设每周获得利润wax 2+bx+c：解方程组即可得到结论； （2） 根据题意得，w （x40m）（2x+200） 2x 2+ （280+2m） x800200m， 由于对称轴是x， 根据二次函数的性质即可得到结论 【解答】解： （1）依题意设ykx+b， 则有 解得： 所以y关于x的函数解析式为y2x+200； 该商品进价是 50100010040， 设每周获得利润wax 2+bx+
21、c： 则有， 解得：， w2x 2+280 x80002（x70）2+1800， 当售价是 70 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 1800 元； 故答案为：40，70，1800； （2）根据题意得，w（x40m） （2x+200）2x 2+（280+2m）x8000200m， 对称轴x， 10 当65 时（舍） ，当65 时，x65 时，w求最大值 1400， 解得：m5 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 江苏徐州中考）如图，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字 路口记作点A甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东 匀速直行设
22、出发xmin时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m已知y1、y2与x之间的函数关系如 图所示 （1）求甲、乙两人的速度； （2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？ 【分析】 （1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图中函数图象交点列方程组求解； （2）设甲、乙之间距离为d，由勾股定理可得d 2（1200240 x）2+（80 x）2 64000（x ） 2+144000， 根据二次函数最值即可得出结论 【解答】解： （1）设甲、乙两人的速度分别为am/min，bm/min，则： y1 y2bx 由图知：x3.75 或 7.5 时，y1y2，解得： 答：甲的速度为
23、240m/min，乙的速度为 80m/min （2）设甲、乙之间距离为d， 11 则d 2（1200240 x）2+（80 x）2 64000（x） 2+144000， 当x时，d 2的最小值为 144000，即 d的最小值为 120； 答：当x时，甲、乙两人之间的距离最短 【考点【考点 3 3 二次函数的图像与方程的关系】二次函数的图像与方程的关系】 【解题技巧】求二次函数yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与x轴的交点坐标，令y0，即ax 2+bx+c 0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标 （1）二次函数yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的交点与一元二次方
24、程ax 2+bx+c0 根之间的关系 b 24ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b 24ac0 时，抛物线与 x轴有 2 个交点； b 24ac0 时，抛物线与 x轴有 1 个交点； b 24ac0 时，抛物线与 x轴没有交点 （2）二次函数的交点式：ya（xx1） （xx2） （a，b，c是常数，a0） ，可直接得到抛物线与x轴的交 点坐标（x1，0） ， （x2，0） 【例 3】 （2019 河北沧州中考模拟）二次函数yx 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x2，若关于x的一 元二次方程x 2+mxt0（t 为实数）在 1x5 的范围内有解，则t的取值范围是（ ） At5 B5t3 C3t
25、4 D5t4 【答案】D 【分析】如图，关于x的一元二次方程x 2+mxt0 的解就是抛物线 yx 2+mx 与直线yt的交点的横 坐标，利用图象法即可解决问题 【解答】解：如图，关于x的一元二次方程x 2+mxt0 的解就是抛物线 yx 2+mx 与直线yt的交点 的横坐标， 12 当x1 时，y3， 当x5 时，y5， 由图象可知关于x的一元二次方程x 2+mxt0（t 为实数）在 1x5 的范围内有解， 直线yt在直线y5 和直线y4 之间包括直线y4， 5t4 故选：D 【举一反三举一反三 3-1】 （2019呼和浩特）对任意实数a，若多项式 2b 25ab+3a2的值总大于3，则实数
26、 b的取值 范围是 【答案】6b6 【分析】将已知转化为对任意实数a，3a 25ab+2b2+30 恒成立，利用0 即可求解 【解答】解：由题意可知：2b 25ab+3a23， 3a 25ab+2b2+30， 对任意实数a，3a 25ab+2b2+30 恒成立， 25b 212（2b2+3）b2360， 6b6； 故答案为6b6 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 河南郑州中考模拟）如图，已知二次函数yax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知关 于x的一元二次方程ax 2+bx+c0 的两个根分别是 【答案】x11.6，x24.4 13 【分析】本题是一道估算题，先测估计出对称轴左侧图
27、象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴x3，可以 算出右侧交点横坐标 【解答】解：依题意得二次函数yax 2+bx+c 的部分图象的对称轴为x3， 而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为 1.6， x11.6； 又对称轴为x3， 则3， x2231.64.4 答案是：x11.6，x24.4 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 山东日照中考） （2019日照）如图 1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5 与x 轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx 2+bx+c 经过A，C两点，与x轴的另一交点为B （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、
28、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积 最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图 2，若P点是半径为 2 的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值 最小，请求出这个最小值，并说明理由 【分析】 （1）由直线y5x+5 求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标 （2）从x轴把四边形AMBC分成ABC与ABM；由点A、B、C坐标求ABC面积；设点M横坐标为m，过点 M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求ABM的面积，得到ABM面积与m的二次函数关系 式，且对应的a值小于 0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而
29、求点M坐标和四边形AMBC的面积最大 值 （3）作点D坐标为（4，0） ，可得BD1，进而有，再加上公共角PBDABP，根据两边对 14 应成比例且夹角相等可证PBDABP，得等于相似比，进而得PDAP，所以当C、P、D在同一直 线上时，PC+PAPC+PDCD最小用两点间距离公式即求得CD的长 【解答】解： （1）直线y5x+5，x0 时，y5 C（0，5） y5x+50 时，解得：x1 A（1，0） 抛物线yx 2+bx+c 经过A，C两点 解得： 抛物线解析式为yx 26x+5 当yx 26x+50 时，解得：x 11，x25 B（5，0） （2）如图 1，过点M作MHx轴于点H A（1
30、，0） ，B（5，0） ，C（0，5） AB514，OC5 SABCABOC4510 点M为x轴下方抛物线上的点 设M（m，m 26m+5） （1m5） MH|m 26m+5|m2+6m5 SABMABMH4（m 2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8 S四边形AMBCSABC+SABM10+2（m3） 2+82（m3）2+18 当m3，即M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于 18 （3）如图 2，在x轴上取点D（4，0） ，连接PD、CD BD541 AB4，BP2 PBDABP PBDABP 15 PDAP PC+PAPC+PD 当点C、P、D在同一直线上时，PC+
31、PAPC+PDCD最小 CD PC+PA的最小值为 【考点【考点 4 4 二次函数的图像与几何图形的关系】二次函数的图像与几何图形的关系】 【解题技巧】将函数知识与几何知识有机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于 将问题转化函数模型，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些 隐含条件 【例 4】 （2019 辽宁本溪中考模拟）如图，在ABC中，C90，AB10cm，BC8cm，点P从点A沿AC 向点C以 1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以 2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止） ， 在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为
32、（ ） 16 A19cm 2 B16cm 2 C12cm 2 D15cm 2 【答案】D 【分析】在 RtABC中，利用勾股定理可得出AC6cm，设运动时间为t（0t4） ，则PC（6t）cm， CQ2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQt 26t+24，利用配方法即可求出四边形 PABQ的面积最 小值，此题得解 【解答】解：在 RtABC中，C90，AB10cm，BC8cm， AC6cm， 设运动时间为t（0t4） ，则PC（6t）cm，CQ2tcm， S四边形PABQSABCSCPQACBCPCCQ， 68（6t）2t， t 26t+24， （t3） 2+15， 当t3 时，
33、四边形PABQ的面积取最小值，最小值为 15cm 2 故选：D 【举一反三举一反三 4-1】 （2019 黑龙江哈尔滨中考） （2019哈尔滨）将抛物线y2x 2向上平移 3 个单位长度，再向 右平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为（ ） Ay2（x+2） 2+3 By2（x2） 2+3 Cy2（x2） 23 Dy2（x+2） 23 【答案】B 【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：将抛物线y2x 2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式 为y2（x2） 2+3， 故选：B 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 江苏徐州中考
34、） ）已知二次函数的图象经过点P（2，2） ，顶点为O（0，0）将该图 象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 【答案】y（x4） 2 【分析】设原来的抛物线解析式为：yax 2利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移 后的解析式，将点P的坐标代入即可 17 【解答】解：设原来的抛物线解析式为：yax 2（a0） 把P（2，2）代入，得 24a， 解得a 故原来的抛物线解析式是：yx 2 设平移后的抛物线解析式为：y（xb） 2 把P（2，2）代入，得 2（2b） 2 解得b0（舍去）或b4 所以平移后抛物线的解析式是：y（x4） 2 故答案是：y（x4） 2
35、【举一反三举一反三 4-3】 （2019 甘肃中考）如图，已知二次函数yx 2+bx+c 的图象与x轴交于点A（1，0） 、B（3， 0） ，与y轴交于点C （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边 形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积 的最大值及此时点E的坐标 【分析】 （1）用交点式函数表达式，即可求解； （2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可； （3）利用S四边形AEBDAB（yDyE） ，即可求解
36、 【解答】解： （1）用交点式函数表达式得：y（x1） （x3）x 24x+3； 故二次函数表达式为：yx 24x+3； （2）当AB为平行四边形一条边时，如图 1， 18 则ABPE2， 则点P坐标为（4，3） ， 当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形， 故：点P（4，3）或（0，3） ； 当AB是四边形的对角线时，如图 2， AB中点坐标为（2，0） 设点P的横坐标为m，点F的横坐标为 2，其中点坐标为：， 即：2，解得：m2， 故点P（2，1） ； 故：点P（4，3）或（0，3）或（2，1） ； （3）直线BC的表达式为：yx+3， 设点E坐标为
37、（x，x 24x+3） ，则点 D（x，x+3） ， S四边形AEBDAB（yDyE）x+3x 2+4x3x2+3x， 19 10，故四边形AEBD面积有最大值， 当x，其最大值为，此时点E（，） 【举一反三举一反三 4-4】 （2019 上海中考） 在平面直角坐标系xOy中 （如图） ， 已知抛物线yx 22x， 其顶点为 A （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” 试求抛物线yx 22x 的“不动点”的坐标； 平移抛物线yx 22x，使所得新抛物线的顶点 B是该抛物线的“不动点” ，其对称
38、轴与x轴交于点C，且 四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式 【分析】 （1）a10，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，1） ； （2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t） ，则tt 22t，即可求解；新抛物线顶点 B为“不动点” ， 则设点B（m，m） ，则新抛物线的对称轴为：xm，与x轴的交点C（m，0） ，四边形OABC是梯形，则直线x m在y轴左侧，而点A（1，1） ，点B（m，m） ，则m1，即可求解 【解答】解： （1）a10， 故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，1） ； （2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t） ，则tt 22t， 解得：t0 或 3， 故“不动点”坐
39、标为（0，0）或（3，3） ； 新抛物线顶点B为“不动点” ，则设点B（m，m） ， 新抛物线的对称轴为：xm，与x轴的交点C（m，0） ， 四边形OABC是梯形， 直线xm在y轴左侧， BC与OA不平行， OCAB， 20 又点A（1，1） ，点B（m，m） ， m1， 故新抛物线是由抛物线yx 22x 向左平移 2 个单位得到的， 新抛物线的表达式为：y（x+1） 21 【考点【考点 5 5 二次函数的图像其它函数的关系】二次函数的图像其它函数的关系】 【解题技巧】解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系 式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判
40、断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项 【例 5】 （2019呼和浩特）二次函数yax 2与一次函数 yax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】由一次函数yax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（1，0） ，即可排除A、B，然后根据二 次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断 【解答】解：由一次函数yax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（1，0） ，排除A、B； 当a0 时，二次函数yax 2开口向上，一次函数 yax+a经过一、二、三象限，当a0 时，二次函数开 口向下，一次函数经过二、三、四
41、象限，排除C； 故选：D 【举一反三举一反三 5-1】 （2018 河北中考）对于题目“一段抛物线L：yx（x3）+c（0 x3）与直线l：y x+2 有唯一公共点， 若c为整数， 确定所有c的值， ” 甲的结果是c1， 乙的结果是c3 或 4， 则 （ ） A甲的结果正确 B乙的结果正确 C甲、乙的结果合在一起才正确 D甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论，当抛物线与直线相切，0 求得c1，当抛物线与直线不相切，但 21 在 0 x3 上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c3，4，5，故c1，3，4，5 【解答】解：抛物线L：yx（x3）+c（0 x3）与
42、直线l：yx+2 有唯一公共点 如图 1，抛物线与直线相切， 联立解析式 得x 22x+2c0 （2） 24（2c）0 解得：c1 如图 2，抛物线与直线不相切，但在 0 x3 上只有一个交点 此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上 c的最小值2，但取不到，c的最大值5，能取到 2c5 又c为整数 c3，4，5 综上，c1，3，4，5 故选：D 【举一反三举一反三 5-2】 （2019 湖北孝感中考模拟）二次函数 yax 2bxc 的图像如图所示，反比例函数 yb x与 一次函数 ycxa 在同一平面直角坐标系中的大致图像是( ) ,A) ,B) ,C) ,D) 【答案】D 【分
43、析】根据二次函数的图像特点，可以确定 a、b、c 的符号，从而可以确定一次函数和反比例函数图像 的趋势。 【解答】yax 2bxc 的图像的开口向下 a0，与 y 轴正半轴相交 c0 反比例函数的图像经过第一、三象限 一次函数的图像经过第一、三、四象限 故选B. 【举一反三举一反三 5-3】 （2019 海南中考）如图，已知抛物线yax 2+bx+5 经过 A（5，0） ，B（4，3）两点， 与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合） ，设点P的横坐标为t 当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值； 该抛
44、物线上是否存在点P，使得PBCBCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）SPBCPG（xCxB） ，即可求解；分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：yx 2+6x+5， 令y0，则x1 或5， 即点C（1，0） ； （2）如图 1，过点P作y轴的平行线交BC于点G， 23 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：yx+1， 设点G（t，t+1） ，则点P（t，t 2+6t+5） ， SPB
45、CPG（xCxB）（t+1t 26t5） t 2 t6， 0，SPBC有最大值，当t时，其最大值为； 设直线BP与CD交于点H， 当点P在直线BC下方时， PBCBCD，点H在BC的中垂线上， 线段BC的中点坐标为（，） ， 过该点与BC垂直的直线的k值为1， 设BC中垂线的表达式为：yx+m，将点（，）代入上式并解得： 直线BC中垂线的表达式为：yx4， 同理直线CD的表达式为：y2x+2， 联立并解得：x2，即点H（2，2） ， 同理可得直线BH的表达式为：yx1， 联立并解得：x或4（舍去4） ， 故点P（，） ； 当点P（P）在直线BC上方时， PBCBCD，BPCD， 则直线BP的表
46、达式为：y2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s5， 即直线BP的表达式为：y2x+5， 24 联立并解得：x0 或4（舍去4） ， 故点P（0，5） ； 故点P的坐标为P（，）或（0，5） 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 天津中考）二次函数yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的自变量x与函数值y的部分对应值 如下表： x 2 1 0 1 2 y ax 2+bx+c t m 2 2 n 且当x时，与其对应的函数值y0有下列结论： abc0；2 和 3 是关于x的方程ax 2+bx+ct 的两个根；0m+n 其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2
47、 D3 【答案】C 【分析】当x0 时，c2，当x1 时，a+b0，abc0，正确； x是对称轴，x2 时yt，则x3 时，yt，正确； m+n4a4；当x时，y0，0a，m+n，错误； 【解答】解：当x0 时，c2， 当x1 时，a+b22， a+b0， yax 2ax2， abc0， 正确； x是对称轴， x2 时yt，则x3 时，yt， 2 和 3 是关于x的方程ax 2+bx+ct 的两个根； 25 正确； ma+a2，n4a2a2， mn2a2， m+n4a4， 当x时，y0， a， m+n， 错误； 故选：C 2.（2019 浙江杭州中考）在平面直角坐标系中，已知ab，设函数y（x+a） （x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y（ax+1） （bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ） AMN N1 或MN N+1 BMN N1 或MN N+2 CMN或MN N+1 DMN或MN N1 【答案】C 【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个 数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答 【解答】解：y（x