1、 1 第第1515讲讲 三角形三角形 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 三角形及相关概念】三角形及相关概念】 1三角形的分类 (1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 (2)按边分类不等边三角形: 等腰三角形、等边三角形、腰与底边不相等的三角形 2三边关系：三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边. 3内角和定理：三角形的内角和等于 180 4内外角关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角 5三角形中的四条重要线段 中线：连接一个顶点与它对边中点的线段高线 高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的
2、垂线段 角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段 中位线：连接三角形两边中点的线段 【考点【考点 2 2 全等三角形及其性质】全等三角形及其性质】 1全等三角形的定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应周长相等，对应面积相等 3判定两个三角形全等的一般方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：边边边 SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：角边角 ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两
3、个三角形全等，简记为：角角边 AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：边角边 SAS 【考点【考点 3 3 直角三角形及勾股定理】直角三角形及勾股定理】 1.性质：直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的边等于斜边的一半； （2）直角三角形斜边 的中线等于斜边的一半。 2. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；即 222 cab（、为直角三角形的 直角边，c 为斜边） 。 3.勾股定理的逆定理 如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 2 即：在ABC 中，A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若 222
4、 cab，则C=90（即ABC 是直 角三角形） 4.直角三角形的判定： （1）有一个角等于 90的三角形是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理。 【考点【考点 4 4 等腰三角形及线段的垂直平分线】等腰三角形及线段的垂直平分线】 1.性质： （1）等边对等角； （2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边的中线重合（即三线合一） ； （3）等边三角形的各边相等，各角相等，每个角都等于 60. 2.判定： （1）有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角等于 60的三角形是等腰三角形。 3.线段的垂直平分线： 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 判定：到线段两端点距离相等的点
5、在线段的垂直平分线上 二、考点分析 【考点【考点 1 1 三角形及相关概念】三角形及相关概念】 【解题技巧】1.判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不 一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成 一个三角形 2.三角形的面积： （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S底高 （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 【例 1】 （2019 湖北黄石中考）如图，在ABC中，B50，CDAB于点D，BCD和BDC的角平分线 相交于点E，F为边AC的中点，CDCF，则ACD+CED（ ） A125
6、 B145 C175 D190 【答案】C 【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到CDF是等边三角形，进而得到ACD60， 根据BCD和BDC的角平分线相交于点E，即可得出CED115，即可得到ACD+CED60+115 175 【解答】解：CDAB，F为边AC的中点， DFACCF， 3 又CDCF， CDDFCF， CDF是等边三角形， ACD60， B50， BCD+BDC130， BCD和BDC的角平分线相交于点E， DCE+CDE65， CED115， ACD+CED60+115175， 故选：C 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 江苏徐州中考）下列长度的三条线
7、段，能组成三角形的是（ ） A2，2，4 B5，6，12 C5，7，2 D6，8，10 【答案】D 【分析】根据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三天线段是否能组成三角形，本题得以解 决 【解答】解：2+24，2，2，4 不能组成三角形，故选项A错误， 5+612，5，6，12 不能组成三角形，故选项B错误， 5+27，5，7，2 不能组成三角形，故选项C错误， 6+810，6，8，10 能组成三角形，故选项D正确， 故选：D 【举一反三举一反三 1-2】（2019 北京中考） 如图， 已知ABC， 通过测量、 计算得ABC的面积约为 cm 2 （结 果保留一位小数） 4 【答案】1
8、.9 【分析】过点C作CDAB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC 的面积 【解答】解：过点C作CDAB的延长线于点D，如图所示 经过测量，AB2.2cm，CD1.7cm， SABCABCD2.21.71.9（cm 2） 故答案为：1.9 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 江苏徐州中考）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中 点若MN4，则AC的长为 【答案】16 【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质ACBD2BO进行求解问题 【解答】解：M、N分别为BC、OC的中点， BO2MN8 四边形ABCD是
9、矩形， ACBD2BO16 故答案为 16 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 江苏徐州中考） 【考点【考点 2 2 全等三角形及其性质】全等三角形及其性质】 【解题技巧】1.全等三角形的证明及性质是近几年中考的常考考点，单独考查过，考查方式均为在解题过 程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论涉及到的背景有：(1)与三角形结合；(2)与四边形结合； (3)与圆结合每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查，设问方式为证明线段之 间的数量关系 5 2. 判定两个三角形全等的解题思路： SSS SAS 找另一边 找夹角 已知两边 - SAS AAS ASA AAS 找该角
10、的另一边 找这条边上的对角 找这条边上的另一角 边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 已知一边一角- AAS ASA 找任一边 找两角的夹边 已知两角- 【例 2】 （2019 湖北孝感中考）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G若 BC4，DEAF1，则GF的长为（ ） A B C D 【答案】A 【分析】证明BCECDF（SAS） ，得CBEDCF，所以CGE90，根据等角的余弦可得CG的长， 可得结论 【解答】解：正方形ABCD中，BC4， BCCDAD4，BCECDF90， AFDE1， DFCE3， BECF5， 在BCE和CDF中， ， BCEC
11、DF（SAS） ， CBEDCF， 6 CBE+CEBECG+CEB90CGE， cosCBEcosECG， ，CG， GFCFCG5， 故选：A 【举一反三举一反三 2-1】 （2019兰州）如图，ABDE，BFEC，BE，求证：ACDF 【分析】 要证明ACDF， 只要证明ACBDFE即可， 要证明ACBDFE， 只要证明ABCDEF即可， 根据题目中的条件可以证明ABCDEF，本题得以解决 【解答】证明：BFEC， BF+FCEC+FC， BCEF， 在ABC和DEF中， ， ABCDEF（SAS） ， ACBDFE， ACDF 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 福建中考）已知A
12、BC和点A，如图 （1）以点A为一个顶点作ABC，使ABCABC，且ABC的面积等于ABC面积的 4 倍； （要 求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设D、E、F分别是ABC三边AB、BC、AC的中点，D、E、F分别是你所作的ABC三边AB、 BC、CA的中点，求证：DEFDEF 7 【分析】 （1）分别作AC2AC、AB2AB、BC2BC得ABC即可所求 （2）根据中位线定理易得DEFABC，DEFABC，故DEFDEF 【解答】解： （1）作线段AC2AC、AB2AB、BC2BC，得ABC即可所求 证明：AC2AC、AB2AB、BC2BC， ABCABC， （2）证明： D、E、
13、F分别是ABC三边AB、BC、AC的中点， DE， DEFABC 同理：DEFABC， 由（1）可知：ABCABC， DEFDEF 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 北京中考）已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH+1，P为射线OB上 一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转 150， 得到线段PN，连接ON （1）依题意补全图 1； 8 （2）求证：OMPOPN； （3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ONQP，并证明 【分析】 （1）根据题意画出图形 （2）由旋转可得MPN150，故OP
14、N150OPM；由AOB30和三角形内角和 180可得OMP 18030OPM150OPM，得证 （3）根据题意画出图形，以ONQP为已知条件反推OP的长度由（2）的结论OMPOPN联想到其补 角相等，又因为旋转有PMPN，已具备一边一角相等，过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D， 即可构造出PDMNCP，进而得PDNC，DMCP此时加上ONQP，则易证得OCNQDP，所以OC QD 利用AOB30， 设PDNCa， 则OP2a，ODa 再设DMCPx， 所以QDOCOP+PC2a+x， MQDM+QD2a+2x由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MHMQa+x，DHMHD
15、Ma， 所以OHOD+DHa+a+1，求得a1，故OP2证明过程则把推理过程反过来，以OP2 为条件， 利用构造全等证得ONQP 【解答】解： （1）如图 1 所示为所求 （2）设OPM， 线段PM绕点P顺时针旋转 150得到线段PN MPN150，PMPN OPNMPNOPM150 AOB30 OMP180AOBOPM18030150 OMPOPN （3）OP2 时，总有ONQP，证明如下： 9 过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，如图 2 NCPPDMPDQ90 AOB30，OP2 PDOP1 OD OH+1 DHOHOD1 OMPOPN 180OMP180OPN 即PMDNP
16、C 在PDM与NCP中 PDMNCP（AAS） PDNC，DMCP 设DMCPx，则OCOP+PC2+x，MHMD+DHx+1 点M关于点H的对称点为Q HQMHx+1 DQDH+HQ1+x+12+x OCDQ 在OCN与QDP中 OCNQDP（SAS） ONQP 10 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 湖北黄石中考）如图，在ABC中，BAC90，E为边BC上的点，且ABAE， D为线段BE的中点，过点E作EFAE，过点A作AFBC，且AF、EF相交于点F （1）求证：CBAD； （2）求证：ACEF 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得ADBC，由余角的性质可得CBAD； （2）由
17、“ASA”可证ABCEAF，可得ACEF 【解答】证明： （1）ABAE，D为线段BE的中点， ADBC C+DAC90， BAC90 BAD+DAC90 CBAD （2）AFBC FAEAEB ABAE BAEB BFAE，且AEFBAC90，ABAE ABCEAF（ASA） ACEF 【举一反三举一反三 2-5】 （2019广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DEFE，FCAB，求证：ADE CFE 11 【分析】利用AAS证明：ADECFE 【解答】证明：FCAB， AFCE，ADEF， 在ADE与CFE中： ， ADECFE（AAS） 【考点【考点 3 3 直角三角形及勾股定
18、理】直角三角形及勾股定理】 【解题技巧】1.勾股定理公式a 2+b2c2 的变形有：a ，b及c 2.由于a 2+b2c2a2，所以 ca，同理cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边 3.勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形必须满足较小两边平方的 和等于最大边的平方才能做出判断， 运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角 然 后进一步结合其他已知条件来解决问题 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和 与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是 【例 3】
19、（2019 河北唐山中考模拟）如图，在RtABC 中，ABAC，A90，D 为 BC 上任意一点，DF AB 于点 F，DEAC 于点 E，M 为 BC 的中点，连接 EM，FM，给出以下五个结论：AFCE；AEBF； EFM 是等腰直角三角形；S四边形 AEMF1 2S ABC；EFBMMC.当点 D 在 BC 上运动时(点 D 不与 B，C 重合)， 上述结论中始终正确的有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】C 【分析】直角三角形和等腰三角形的性质借助于全等三角形的判定，连接 AM，易证 AEDFBF，AFDE 12 CE，AMEBMF. 【解答】连接 AM， AEDF
20、BF，AFDECE. AMEBMF. MEMF，AMEBMF. EMF 是等腰直角三角形 S四边形 AEMFSAFMSAEM. SAFMSBFMSABM. 1 2S ABC. 但是 EF 与 BM 不一定相等，只有四边形 AFME 为矩形时 EFBM. 故选C 【举一反三举一反三 3-1】（2019 江苏南京中考） 如图， 在ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分ACB 若 AD2，BD3，则AC的长 【答案】 【分析】证出ACDDCBB，证明ACDABC，得出，即可得出结果 【解答】解：BC的垂直平分线MN交AB于点D， CDBD3， BDCB，ABAD+BD5， CD平分AC
21、B， ACDDCBB， AA， ACDABC， ， AC 2ADAB2510， AC 13 故答案为： 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 甘肃中考）如图，在矩形ABCD中，AB10，AD6，E为BC上一点，把CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为 【答案】C 【分析】设CEx，则BE6x由折叠性质可知，EFCEx，DFCDAB10，所以AF8，BFABAF 1082，在 RtBEF中，BE 2+BF2EF2，即（6x）2+22x2，解得 x 【解答】解：设CEx，则BE6x由折叠性质可知，EFCEx，DFCDAB10， 在 RtDAF中，AD6，DF10， AF8，
22、 BFABAF1082， 在 RtBEF中，BE 2+BF2EF2， 即（6x） 2+22x2， 解得x， 故答案为 【举一反三举一反三 3-3】 （2019广州）如图，等边ABC中，AB6，点D在BC上，BD4，点E为边AC上一动点 （不与点C重合） ，CDE关于DE的轴对称图形为FDE （1）当点F在AC上时，求证：DFAB； （2）设ACD的面积为S1，ABF的面积为S2，记SS1S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大 值；若不存在，请说明理由； （3）当B，F，E三点共线时求AE的长 14 【分析】 （1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得DFCA，可证DFAB； （2）过点D作
23、DMAB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由ACD的面积为 S1的值是定值，则当点F在DM上时，SABF最小时，S最大； （3） 过点D作DGEF于点G， 过点E作EHCD于点H， 由勾股定理可求BG的长， 通过证明BGDBHE， 可求EC的长，即可求AE的长 【解答】解： （1）ABC是等边三角形 ABC60 由折叠可知：DFDC，且点F在AC上 DFCC60 DFCA DFAB； （2）存在， 过点D作DMAB交AB于点M， ABBC6，BD4， CD2 DF2， 点F在以D为圆心，DF为半径的圆上， 当点F在DM上时，SABF最小， BD4，DMAB，ABC60
24、 MD2 SABF的最小值6（22）66 S最大值23（66）3+6 （3）如图，过点D作DGEF于点G，过点E作EHCD于点H， 15 CDE关于DE的轴对称图形为FDE DFDC2，EFDC60 GDEF，EFD60 FG1，DGFG BD 2BG2+DG2， 163+（BF+1） 2， BF1 BG EHBC，C60 CH，EHHCEC GBDEBH，BGDBHE90 BGDBHE EC1 AEACEC7 【考点【考点 4 4 等腰三角形及线段的垂直平分线】等腰三角形及线段的垂直平分线】 【解题技巧】1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合在等腰；底边上的 高；底边上
25、的中线；顶角平分线以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另 外两个元素为结论 2.等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有 性质即：两个锐角都是 45，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上 的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为 45，高又垂直于 16 斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等） ； 3.若设等腰直角三角形内切圆的半径r1，则外接圆的半径R+1，所以r：R1：+1 4.等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠
26、定了基础，它的边角性质为 证明线段、角相等提供了便利条件同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质， 解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用 等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30角的直角三 角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等 等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角 形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个 60的角 判定 【例 4】 （2019兰州）在ABC中，ABAC，A40，则B 【答案】70 【分析
27、】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算B的度数 【解答】解：ABAC， BC， A+B+C180， B（18040）70 故答案为 70 【举一反三举一反三 4-1】 （2019台湾）如图，ABC中，ACBCAB若1、2 分别为ABC、ACB的外角， 则下列角度关系何者正确（ ） A12 B12 CA+2180 DA+1180 【答案】C 【分析】由ACBCAB，得AABCACB，再由三角形的外角性质定理和三角形的内角和可得正确答 案 17 【解答】解：ACBCAB， AABCACB， 1、2 分别为ABC、ACB的外角， 2A+ABC， A+2A+A+ABCACB+A+ABC180， 故选
28、：C 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 新疆中考）如图，在ABC中，ABAC4，将ABC绕点A顺时针旋转 30，得 到ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为 【答案】22 【分析】根据旋转性质及旋转过程可知根据旋转过程可知：CAD30CAB，ACAD4从而得到 BCD150，DCE30，E45过点C作CHAE于H点， 在 RtACH中，CH和AH长，在 RtCHE中可求EH长，利用DEEHHD即可求解 【解答】解：根据旋转过程可知：CAD30CAB，ACAD4 BCAACDADC75 ECD18027530 E753045 过点C作CHAE于H点， 在 RtACH中，CHA
29、C2，AH2 HDADAH42 在 RtCHE中，E45， EHCH2 DEEHHD2（42）22 18 故答案为 22 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 黑龙江哈尔滨中考） （2019哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCDC， A60，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CEAB，若AB8，CE6，则BC的 长为 【答案】2 【分析】 连接AC交BD于点O， 由题意可证AC垂直平分BD， ABD是等边三角形， 可得BAODAO30， ABADBD8，BOOD4，通过证明EDF是等边三角形 ，可得DEEFDF2，由勾股定理可求OC，BC的长 【解答】解
30、：如图，连接AC交BD于点O ABAD，BCDC，A60， AC垂直平分BD，ABD是等边三角形 BAODAO30，ABADBD8， BOOD4 CEAB BAOACE30，CEDBAD60 DAOACE30 19 AECE6 DEADAE2 CEDADB60 EDF是等边三角形 DEEFDF2 CFCEEF4，OFODDF2 OC2 BC2 故答案为 2 . 【举一反三举一反三 4-4】 （2019 浙江杭州中考）如图，在ABC中，ACABBC （1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：APC2B （2） 以点B为圆心， 线段AB的长为半径画弧， 与BC边交于点Q， 连
31、接AQ 若AQC3B， 求B的度数 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质可知PAPB，根据等腰三角形的性质可得BBAP，根据三角 形的外角性质即可证得APC2B； （2）根据题意可知BABQ，根据等腰三角形的性质可得BAQBQA，再根据三角形的内角和公式即可解 答 【解答】解： （1）证明：线段AB的垂直平分线与BC边交于点P， PAPB， BBAP， APCB+BAP， APC2B； （2）根据题意可知BABQ， BAQBQA， 20 AQC3B，AQCB+BAQ， BQA2B， BAQ+BQA+B180， 5B180， B36 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（201
32、9 浙江杭州中考）在ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ） A必有一个内角等于 30 B必有一个内角等于 45 C必有一个内角等于 60 D必有一个内角等于 90 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理得出A+B+C180，把CA+B代入求出C即可 【解答】解：A+B+C180，ACB， 2C180， C90， ABC是直角三角形， 故选：D 2.（2019青岛）如图，BD是ABC的角平分线，AEBD，垂足为F若ABC35，C50，则CDE 的度数为（ ） A35 B40 C45 D50 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到ABDEBDABC，AFBEFB90，
33、 21 推出ABBE，根据等腰三角形的性质得到AFEF，求得ADED，得到DAFDEF，根据三角形的外角的 性质即可得到结论 【解答】解：BD是ABC的角平分线，AEBD， ABDEBDABC，AFBEFB90， BAFBEF9017.5， ABBE， AFEF， ADED， DAFDEF， BAC180ABCC95， BEDBAD95， CDE955045， 故选：C 3.（2019广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE3，AF 5，则AC的长为（ ） A4 B4 C10 D8 【答案】A 【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OAOC
34、，AECE，证明AOFCOE得出AFCE5，得 出AECE5，BCBE+CE8，由勾股定理求出AB4，再由勾股定理求出AC即可 【解答】解：连接AE，如图： EF是AC的垂直平分线， 22 OAOC，AECE， 四边形ABCD是矩形， B90，ADBC， OAFOCE， 在AOF和COE中， AOFCOE（ASA） ， AFCE5， AECE5，BCBE+CE3+58， AB4， AC4； 故选：A 4.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AB 与 DC 不平行，C90，E 为 CD 中点，FAEDAE，点 F 在直线 BC 上，则AEF 的度数是（ ） A
35、80 B90 C45 D100 【答案】B 【分析】添加辅助线,根据平行线的性质,可以得到两个三角形全等,再推出 FAFG,由等腰三角形的性质可 以得到需要的结论. 【解答】解：延长 AE 交 BC 的延长线于点 G. ADBC， DECG，DAEG. E 为 DC 中点， DECE， ADEGCE， 23 AEGE. FAEDAE， FAEG， FAFG， AEF90. 故选：B 5.（2019 山东青岛中考模拟）如图，在ABC 中，ABAC，D，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC，EBC E60，若 BE6 cm，DE2 cm，则 BC_cm. A2cm B4 cm C6 cm D8
36、 cm 【答案】D 【分析】如图，延长 AD 交 BC 于点 M，由 ABAC，AD 是BAC 的平分线可得 AMBC，BMMC1 2BC，延长 ED 交 BC 于点 N，则BEN 是等边三角形，从而求出 DN 的长，利用在直角三角形中，30的角所对的直角边 等于斜边的一半，求出 MN 的长，进而求 BM，BC 的值 【解答】延长 AD 交 BC 于点 M， 由 ABAC，AD 是BAC 的平分线 AMBC，BMMC1 2BC， 延长 ED 交 BC 于点 N，则BEN 是等边三角形 BE6 cm DE2 cm DN4 cm 在 RtDMN 中 DNM60 NDM30 MN1 2DN2 cm
37、BM4 cm BC8 cm 故选：D 24 6.（2019 河南开封中考模拟）如图，CE 是ABC 的外角ACD 的平分线，若B35，ACE60，则 A( ) A35 B95 C85 D75 【答案】D 【分析】 利用角平分线的定义求得ACD 的度数， 从而利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和求解 【解答】ACDA+B ACDA+35 CE 是ABC 的外角ACD 的平分线 120A+35 A85 故选：C 7.（2019 河北沧州中考模拟）小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图 1，图 2 是晒衣架的侧面示意图， 立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到ABCD136cm
38、，OAOC51cm，OEOF34cm， 现将晒衣架完全稳固张开， 扣链EF成一条线段， 且EF32cm， 垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于( )cm 时，连衣裙才不会拖在地面上？ A120 B102 C68 D136 【答案】A 【分析】 先根据等角对等边得出OACOCA （180BOD） 和OBDODB （180BOD） ， 进而利用平行线的判定得出即可，再证明 RtOEMRtABH，进而得出AH的长即可 【解答】解：AB、CD相交于点O， AOCBOD OAOC， 25 OACOCA（180BOD） ， 同理可证：OBDODB（180BOD） ， OACOBD， ACBD， 在 RtOEM中
39、，OM30（cm） ， 过点A作AHBD于点H， 同理可证：EFBD， ABHOEM，则 RtOEMRtABH， ，AH120（cm） ， 所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于 120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上 故选：A 8.（2019 重庆中考模拟）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，E 为 AC 边的中点，过点 A 作 ADAB 交 BE 的延长线于点 D.CG 平分ACB 交 BD 于点 G，F 为 AB 边上一点，连接 CF，且ACFCBG.下面答案 不正确的是( ) AAFCG BCF2DE CCFDE DCFBG 【答案】C 【分析】(1)要证明 AFCG，可以利用“AS
40、A”证明ACFCBG 来得到；(2)要证明 CF2DE，由(1)得 CF BG，则只要证明 BG2DE，又利用AEDCEG 可得 DG2DE，再证明 DGBG 即可 【解答】证明：(1)ACB90，CG 平分ACB，ACBC. BCGCAB45. 又ACFCBG，ACBC， 26 ACFCBG(ASA)， CFBG，AFCG； (2)延长 CG 交 AB 于点 H. ACBC，CG 平分ACB， CHAB，H 为 AB 中点 又ADAB，CHAD，DEGC. 又H 为 AB 中点，G 为 BD 中点，BGDG. E 为 AC 中点，AEEC. 又AEDCEG，AEDCEG(AAS)， DEEG
41、，DG2DE， BGDG2DE. 由(1)得 CFBG，CF2DE. 综上可知：AFCG；CF2DE；CFBG；CFDE 是错误的. 故选C （二）（二）填空题填空题 1. （2019 江苏南京中考） 在ABC中，AB4， C60， AB， 则BC的长的取值范围是 【答案】4BC 【分析】作ABC的外接圆，求出当BAC90时，BC是直径最长；当BACABC时，ABC 是等边三角形，BCACAB4，而BACABC，即可得出答案 【解答】解：作ABC的外接圆，如图所示： BACABC，AB4， 当BAC90时，BC是直径最长， C60， ABC30， BC2AC，ABAC4， AC， BC； 当B
42、ACABC时，ABC是等边三角形，BCACAB4， BACABC， 27 BC长的取值范围是 4BC； 故答案为：4BC 2.（2019 江西中考）如图，在ABC中，点D是BC上的点，BADABC40，将ABD沿着AD翻折得 到AED，则CDE 【答案】20 【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可 【解答】解：BADABC40，将ABD沿着AD翻折得到AED， ADC40+4080，ADEADB1804040100， CDE1008020， 故答案为：20 3.（2019 黑龙江哈尔滨中考） （2019哈尔滨）在ABC中，A50，B30，点D在AB边上，连接 CD，若ACD为直角三角形，
43、则BCD的度数为 度 【答案】60或 10； 【分析】当ACD为直角三角形时，存在两种情况：ADC90或ACD90，根据三角形的内角和定理 可得结论 【解答】解：分两种情况： 如图 1，当ADC90时， 28 B30， BCD903060； 如图 2，当ACD90时， A50，B30， ACB1803050100， BCD1009010， 综上，则BCD的度数为 60或 10； 故答案为：60或 10； 4.（2019威海）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接AC，BD若ACB90，ACBC，ABBD，则 ADC 【答案】105 【分析】作DEAB于E，CFAB于F，则DECF，由等腰直角
44、三角形的性质得出CFAFBFAB，得出 DECFABBD，BADBDA，由直角三角形的性质得出ABD30，得出BADBDA75， 再由平行线的性质即可得出答案 【解答】解：作DEAB于E，CFAB于F，如图所示： 则DECF， CFAB，ACB90，ACBC， 29 CFAFBFAB， ABBD，DECFABBD，BADBDA， ABD30， BADBDA75， ABCD， ADC+BAD180， ADC105； 故答案为：105 5.（2019成都）如图，在ABC中，ABAC，点D，E都在边BC上，BADCAE，若BD9，则CE的长 为 【答案】9 【分析】利用等腰三角形的性质和题目的已知条
45、件证得BADCAE后即可求得CE的长 【解答】解：ABAC， BC， 在BAD和CAE中， BADCAE， BDCE9， 故答案为：9 6.（2019南通）如图，ABC中，ABBC，ABC90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AECF， 若BAE25，则ACF 度 30 【答案】70 【分析】先证明ABECBF，可得BAEBCF25；然后根据ABBC，ABC90，求出ACB的 度数，即可求出ACF的度数 【解答】解：在 RtABE与 RtCBF中， RtABERtCBF（HL） BAEBCF25； ABBC，ABC90， ACB45， ACF25+4570； 故答案为：70 7.（201
46、9 山东德州中考模拟）如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，AB5，BC12，AD9，CD5 10，那 么四边形 ABCD 的面积是 【答案】177 2 . 【分析】由ABC 为直角三角形，可利用勾股定理求出 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断ACD 是直 角三角形，从而可以求出四边形 ABCD 的面积 【解答】连接 AC. ABBC，B90， AC AB 2BC2 5212213. 在ACD 中， AC 2AD21329216981250， CD 2(5 10)2250， AC 2AD2CD2，DAC90， 31 S四边形 ABCDSABCSACD 1 2BCAB 1 2ADAC 1 2125 1 2913 177 2 . 故答案为：177 2 8.（2019广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合） ，DAM45， 点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论： ECF45；AEG的周长为（1+）a；BE 2+DG2EG2；EAF 的面积的最大值a 2 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 【答案】 【分析】正确如图 1 中，在BC上截取BHBE，连接EH证明FAEEHC（SAS） ，即可解决问题 错误如图 2 中，延长AD到H，使得DHBE，则