1、 1 第第 2323 讲讲 三角函数及解直角三角形三角函数及解直角三角形 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 锐角三角函数】锐角三角函数】 1.锐角三角函数的概念 在RtABC 中，C90，ABc，BCa， ACb，则A 的 正弦 sinAA的对边 斜边 a c 余弦 cosAA的邻边 斜边 b c 正切 tanAA的对边 A的邻边 a b 2.特殊角的三角函数值 三角函数 30 45 60 sin 1 2 2 2 3 2 cos 3 2 2 2 1 2 tan 3 3 1 3 【考点【考点 2 2 解直角三角形解直角三角形方位角问题】方位角问题】 解直角三角形 解直角三角
2、形常用的关系： 在RtABC 中，C90，则 三边关系 a 2b2c2 两锐角关系 AB90 边角关系 sinAcosBa c 2 cosAsinBb c tanAa b 方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角，叫做方位角，如图，A 点位于 O 点 的北偏东 30方向，B 点位于 O 点的南偏东 60方向，C 点位于 O 点的北偏西 45方向(或西北方向) 【考点【考点 3 3 解直角三角形解直角三角形 仰角、俯角问题】仰角、俯角问题】 仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯 角 【考点【考点 4 4 解直角三角形解直
3、角三角形坡度问题】坡度问题】 坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫坡度(坡比)，用字母 i 表示；坡面与水平线的夹 角 叫坡角itanh l. 【考点【考点 5 5 解直角三角形与其它几何图形的关系】解直角三角形与其它几何图形的关系】 主要是掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有 一个重要原则是“构造相似三角形”，要在直角三角形的基础上。 二、考点分析 【考点【考点 1 1 锐角三角函数】锐角三角函数】 【解题技巧】1.解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次 是牢记特殊角的三角函数
4、值及边角关系 2.规律记忆法：30、45、60角的正弦值的分母都是 2，分子依次为、；30、45、 60角的余弦值恰好是 60、45、30角的正弦值. 3.应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐 渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记 4.特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角 形中应用较多 【例 1】 （2019 天津中考）2sin60的值等于（ ） A1 B C D2 【答案】C 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】解：2sin602， 故选：C 123 3 【举一
5、反三举一反三 1-1】 （2019 浙江杭州中考）在直角三角形ABC中，若 2ABAC，则 cosC 【答案】或 【分析】讨论：若B90，设ABx，则AC2x，利用勾股定理计算出BCx，然后根据余弦的定义 求 cosC的值；若A90，设ABx，则AC2x，利用勾股定理计算出BCx，然后根据余弦的定义 求 cosC的值 【解答】解：若B90，设ABx，则AC2x，所以BCx，所以 cosC ； 若A90，设ABx，则AC2x，所以BCx，所以 cosC； 综上所述，cosC的值为或 故答案为或 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 河北中考）在ABC中，C90，tanA，则 cosB 【答案
6、】 【分析】法一：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解； 法二：利用正切求出A30，B60，再求 cosB的值 【解答】解：法一： 利用三角函数的定义及勾股定理求解 在 RtABC中，C90，tanA， 设ax，b3x，则c2x， cosB 法二： 利用特殊角的三角函数值求解 tanA A30， C90 B60， 4 cosBcos60 故答案为： 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 甘肃中考）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制中 小学楼梯宽度的范围是 260mm300mm含（300mm） ，高度的范围是 120mm150mm
7、（含 150mm） 如图是某中 学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，ABCD， AC900mm， ACD65， 试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定 （结果精确到 1mm， 参考数据： sin650.906，cos650.423） 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中 学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题 【解答】解：连接BD，作DMAB于点M， ABCD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH， ABCD，ABCD， 四边形ABCD是平行四边形， CAB
8、D，ACBD， C65，AC900， ABD65，BD900， BMBDcos659000.423381，DMBDsin659000.906815， 3813127，120127150， 该中学楼梯踏步的高度符合规定， 8153272，260272300， 该中学楼梯踏步的宽度符合规定， 由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定 5 【考点【考点 2 2 解直角三角形解直角三角形方位角问题】方位角问题】 【解题技巧】1.解直角三角形的方法： (1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三 角形中的边角替代所要求的元素； (2)解实际问题的关键
9、是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角 形中的边角计算问题 2.（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数 （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在 直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角 （3）方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于 90的角 （4）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角 时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西 （注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西
10、北， 西南 ） （5）画方向角：以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线 【例 2】 （2019济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东 37方向，继 续向北走 105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北编东 53方向请计算一下南门A与历 下亭C之间的距离约为（ ） （参考数据：tan37，tan53） A225m B275m C300m D315m 【答案】C 【分析】如图，作CEBA于E设ECxm，BEym构建方程组求出x，y即可解决问题 6 【解答】解：如图，作CEBA于E设ECxm，BEym 在 RtECB中，tan53，即
11、， 在 RtAEC中，tan37，即， 解得x180，y135， AC300（m） ， 故选：C 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 辽宁大连中考） 如图， ABC是等边三角形， 延长BC到点D， 使CDAC， 连接AD 若 AB2，则AD的长为 【答案】2 【分析】ABACBCCD，即可求出BAD90，D30，解直角三角形即可求得 【解答】解：ABC是等边三角形， BBACACB60， CDAC， CADD， ACBCAD+D60， CADD30， BAD90， AD2 故答案为 2 7 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 湖北黄石中考）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西 3
12、0方向，该轮船沿 正南方向以 15 海里/小时的速度匀速航行 2 小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西 60方向，若该轮 船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为 海里（结果保 留根号） 【答案】2 【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离为PT”，得 PTMN，利用锐角三角函数关系进行求解即可 【解答】解：由题意得，MN15230 海里， PMN30，PNT60， MPNPMN30， PNMN30 海里， PTPNsinPNT15海里 故答案为：15 【举一反三举一反三 2-3】 （2019呼和浩特）如图，已知甲地在乙地
13、的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要 绕行丙地已知丙地位于甲地北偏西 30方向，距离甲地 460km，丙地位于乙地北偏东 66方向，现要打 通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2） 所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可） 【分析】过点B作BDAC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论 【解答】解：过点C作CDAB于点D， 8 丙地位于甲地北偏西 30方向，距离甲地 460km， 在 RtACD中，ACD30， ADAC230km CDAC230km 丙地
14、位于乙地北偏东 66方向， 在 RtBDC中，CBD24， BD（km） ABBD+AD230+（km） 答：公路AB的长为（230+）km 【考点【考点 3 3 解直角三角形解直角三角形仰角、俯角问题】仰角、俯角问题】 【解题技巧】利用仰角、俯角可以测量底部不能到达的建筑物的高度。先构成直角三角形，利用锐角三角 函数或边角关系或相似三角形的对应边成比例来解决此类问题。 【例 3】 （2019 辽宁大连中考）如图，建筑物C上有一杆AB从与BC相距 10m的D处观测旗杆顶部A的仰 角为 53，观测旗杆底部B的仰角为 45，则旗杆AB的高度约为 m（结果取整数，参考数据： sin530.80，co
15、s530.60，tan531.33） 【答案】3 【分析】根据正切的定义分别求出AC、BC，结合图形计算即可 9 【解答】解：在 RtBCD中，tanBDC， 则BCCDtanBDC10， 在 RtACD中，tanADC， 则ACCDtanADC101.3313.3， ABACBC3.33（m） ， 故答案为：3 【举一反三举一反三 3-1】（2019 湖北孝感中考） 如图， 在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为 60， 点C的仰角为 45，点P到建筑物的距离为PD20 米，则BC 米 【答案】 （2020） 【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合
16、图形计算，得到答案 【解答】解：在 RtPBD中，tanBPD， 则BDPDtanBPD20， 在 RtPBD中，CPD45， CDPD20， BCBDCD2020， 故答案为： （2020） 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 广东中考）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD15米，在实验楼 顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是 30，底部C点的俯角是 45，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号） 10 【答案】15 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形本题涉及到两个直角三角形BEC、ABE，进而可解 即可求出答案 【解答】解：过点B作BEAB于点E， 在 RtBEC中
17、，CBE45，BE15；可得CEBEtan4515米 在 RtABE中，ABE30，BE15，可得AEBEtan3015 米 故教学楼AC的高度是AC15米 答：教学楼AC的高度是（15）米 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 江苏徐州中考）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为 45，测 得该建筑底部C处的俯角为 17若无人机的飞行高度AD为 62m，则该建筑的高度BC为 m （参考数据：sin170.29，cos170.96，tan170.31） 【答案】15 【分析】 作AEBC于E， 根据正切的定义求出AE， 根据等腰直角三角形的性质求出BE， 结合图形计算即可 【解答
18、】解：作AEBC于E， 则四边形ADCE为矩形， 11 ECAD62， 在 RtAEC中，tanEAC， 则AE200， 在 RtAEB中，BAE45， BEAE200， BC200+62262（m） ， 则该建筑的高度BC为 262m， 故答案为：262 【举一反三举一反三 3-4】 （2019 河南中考） 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像 （塑像中高者） 的高度 如 图所示，炎帝塑像DE在高 55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为 34，再沿AC方向前进 21m 到达B处，测得塑像顶部D的仰角为 60，求炎帝塑像DE的高度 （精确到 1m参考数据：sin340.56，co
19、s340.83，tan340.67，1.73） 【分析】由三角函数求出AC82.1m，得出BCACAB61.1m，在 RtBCD中，由三角函数得 出CDBC105.7m，即可得出答案 【解答】解：ACE90，CAE34，CE55m， tanCAE， AC82.1m， AB21m， 12 BCACAB61.1m， 在 RtBCD中，tan60， CDBC1.7361.1105.7m， DECDEC105.75551m， 答：炎帝塑像DE的高度约为 51m 【考点【考点 4 4 解直角三角形解直角三角形坡度问题】坡度问题】 【解题技巧】 在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是
20、一锐角，坡度实际就是 一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题 应用领域：测量领域；航空领域 航海领域：工程领域等 【例 4】 （2019 浙江杭州中考）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OCOB，点A，B，C，D，O在同一 平面内） ，已知ABa，ADb，BCOx，则点A到OC的距离等于（ ） Aasinx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dacosx+bsinx 【答案】D 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解 决 【解答】解：作AEOC于点E，作AFOB于点F， 四
21、边形ABCD是矩形， ABC90， ABCAEC，BCOx， EABx， FBAx， ABa，ADb， FOFB+BOacosx+bsinx， 13 故选：D 【举一反三举一反三 4-1】 （2019威海）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点已知坡 角为 20，山高BC2 千米用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（ ） A B C D 【答案】A 【分析】在ABC中，通过解直角三角形可得出 sinA，则AB，即可得出结论 【解答】解：在ABC中，sinAsin20， AB， 按键顺序为：2sin20 故选：A 【举一反三举一反三 4-2】 （2019长春）
22、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是 3 米若梯子与 地面的夹角为 ，则梯子顶端到地面的距离C为（ ） A3sin 米 B3cos 米 C米 D米 【答案】A 14 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 sin，进而得出答案 【解答】解：由题意可得：sin， 故BC3sin（m） 故选：A 【举一反三举一反三4-3】（2019 吉林中考） 墙壁及淋浴花洒截面如图所示 已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm， 花洒AC的长为 30cm，与墙壁的夹角CAD为 43求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到 1cm） （参 考数据：sin430.68，cos430.73，tan43
23、0.93） 【分析】过C作CFAB于F，于是得到AFC90，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过C作CFAB于F， 则AFC90， 在 RtACF中，AC30，CAF43， cosCAF， AFACcosCAF300.7321.9， CEBFAB+AF170+21.9191.9192（cm） ， 答：花洒顶端C到地面的距离CE为 192cm 【考点【考点 5 5 解直角三角形与其它几何图形的关系】解直角三角形与其它几何图形的关系】 【解题技巧】解直角三角形的一般过程是： 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题） 15 根据题目已知特点选用适当锐角三角
24、函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得 到实际问题的答案 【例 5】 （2019 陕西中考）如图，在ABC中，B30，C45，AD平分BAC交BC于点D，DEAB， 垂足为E若DE1，则BC的长为（ ） A2+ B+ C2+ D3 【答案】A 【分析】过点D作DFAC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DEDF1，解直角三角形即可得到结 论 【解答】解：过点D作DFAC于F如图所示， AD为BAC的平分线，且DEAB于E，DFAC于F， DEDF1， 在 RtBED中，B30， BD2DE2， 在 RtCDF中，C45， CDF为等腰直角三角形， CDDF， BCBD+CD
25、2， 故选：A 【举一反三举一反三 5-1】 （2019新疆）如图，正方形ABCD的边长为 2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是 CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AFDE，连接PN，则以下结论中：SABM4SFDM；PN ；tanEAF；PMNDPE，正确的是（ ） 16 A B C D 【答案】A 【分析】正确利用相似三角形的性质解决问题即可 正确作PHAN于H，求出PH，HN即可解决问题 正确求出EN，AN即可判断 错误证明DPNPDE即可 【解答】解：正方形ABCD的边长为 2，点E是BC的中点， ABBCCDAD2，ABCCADF90，CEBE1， AFDE
26、， DAF+ADNADN+CDE90， DANEDC， 在ADF与DCE中， ADFDCE（ASA） ， DFCE1， ABDF， ABMFDM， （） 24， SABM4SFDM；故正确； 由勾股定理可知：AFDEAE， ADDFAFDN， DN， 17 EN，AN， tanEAF，故正确， 作PHAN于H BEAD， 2， PA， PHEN， ， AH，HN， PN，故正确， PNDN， DPNPDE， PMN与DPE不相似，故错误 故选：A 【举一反三举一反三 5-2】 （2019宁夏）如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EFEC，且AE CD （1）求证：AFDE
27、； （2）若DEAD，求 tanAFE 【分析】 （1）根据矩形的性质得到AD90，由垂直的定义得到FEC90，根据余角的性质得到 18 AFEDEC，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）由已知条件得到AEDE，由AFDE，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】 （1）证明：四边形ABCD是矩形， AD90， EFCE， FEC90， AFE+AEFAEF+DEC90， AFEDEC， 在AEF与DCE中， AEFDCE（AAS） ， AFDE； （2）解：DEAD， AEDE， AFDE， tanAFE 【举一反三举一反三 5-3】 （2019 上海中考）图 1 是某小型汽车的
28、侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱， 在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为 60时，箱盖ADE落在ADE 的位置（如图 2 所示） 已知AD90 厘米，DE30 厘米，EC40 厘米 （1）求点D到BC的距离； （2）求E、E两点的距离 【分析】 （1） 过点D作DHBC， 垂足为点H， 交AD于点F， 利用旋转的性质可得出ADAD90 厘米， 19 DAD60，利用矩形的性质可得出AFDBHD90，在 RtADF中，通过解直角三角形可 求出DF的长，结合FHDCDE+CE及DHDF+FH可求出点D到BC的距离； （2）连接AE，AE，EE，利用旋转的
29、性质可得出AEAE，EAE60，进而可得出AEE是等 边三角形，利用等边三角形的性质可得出EEAE，在 RtADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合 EEAE可得出E、E两点的距离 【解答】解： （1）过点D作DHBC，垂足为点H，交AD于点F，如图 3 所示 由题意，得：ADAD90 厘米，DAD60 四边形ABCD是矩形， ADBC， AFDBHD90 在 RtADF中，DFADsinDAD90sin6045厘米 又CE40 厘米，DE30 厘米， FHDCDE+CE70 厘米， DHDF+FH（45+70）厘米 答：点D到BC的距离为（45+70）厘米 （2）连接AE，AE，EE，如
30、图 4 所示 由题意，得：AEAE，EAE60， AEE是等边三角形， EEAE 四边形ABCD是矩形， ADE90 在 RtADE中，AD90 厘米，DE30 厘米， AE30厘米， EE30厘米 答：E、E两点的距离是 30厘米 20 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1. （2019 浙江温州中考） 某简易房示意图如图所示， 它是一个轴对称图形， 则坡屋顶上弦杆AB的长为 （ ） A米 B米 C米 D米 【答案】B 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长 【解答】解：作ADBC于点D， 则BD0.3， cos， cos， 解得，AB米， 21
31、 故选：B 2. （2019 重庆中考） 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想， 某森林保护区开展了寻找古树活动 如 图，在一个坡度（或坡比）i1：2.4 的山坡AB上发现有一棵古树CD测得古树底端C到山脚点A的距离 AC26 米，在距山脚点A水平距离 6 米的点E处，测得古树顶端D的仰角AED48（古树CD与山坡AB 的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直） ，则古树CD的高度约为（ ） （参考数据：sin480.73，cos480.67，tan481.11） A17.0 米 B21.9 米 C23.3 米 D33.3 米 【答案】C 【分析】 如图， 根据已知条件得到1： 2
32、.4， 设CF5k，AF12k， 根据勾股定理得到AC 13k26，求得AF10，CF24，得到EF6+2430，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：如图，1：2.4， 设CF5k，AF12k， AC13k26， k2， AF10，CF24， AE6， EF6+2430， DEF48， tan481.11， 22 DF33.3， CD33.31023.3， 答：古树CD的高度约为 23.3 米， 故选：C 3. （2019日照） 如图， 甲乙两楼相距 30 米， 乙楼高度为 36 米， 自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为 30， 则甲楼高度为（ ） A11 米 B （3615）米 C1
33、5米 D （3610）米 【答案】B 【分析】分析题意可得：过点A作AEBD，交BD于点E；可构造 RtABE，利用已知条件可求BE；而乙楼 高ACEDBDBE 【解答】解：过点A作AEBD，交BD于点E， 在 RtABE中，AE30 米，BAE30， BE30tan3010（米） ， ACEDBDBE（3610） （米） 甲楼高为（3610）米 故选：D 4.（2019广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的目高AB为 1.5 米，她先 站在A处看路灯顶端O的仰角为 35，再往前走 3 米站在C处，看路灯顶端O的仰角为 65，则路灯顶端 O到地面的距离约为（已知 sin3
34、50.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9，cos650.4， tan652.1） （ ） 23 A3.2 米 B3.9 米 C4.7 米 D5.4 米 【答案】C 【分析】过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DFx，根据锐角三角函数的定义表示OF的长 度，然后列出方程求出x的值即可求出答案 【解答】解：过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F， 设DFx， tan65， OFxtan65， BF3+x， tan35， OF（3+x）tan35， 2.1x0.7（3+x） ， x1.5， OF1.52.13.15， OE3.15+1.54.65， 故选：C
35、5.（2019广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为 30m，斜坡的倾斜角是BAC，若 tanBAC ，则此斜坡的水平距离AC为（ ） 24 A75m B50m C30m D12m 【答案】A 【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决 【解答】解：BCA90，tanBAC，BC30m， tanBAC， 解得，AC75， 故选：A 6.（2018 河北中考）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转 50航行到B处，再向右转 80继 续航行，此时的航行方向为（ ） A北偏东 30 B北偏东 80 C北偏西 30 D北偏西 50 【答案】A 【分析
36、】根据平行线的性质，可得2，根据角的和差，可得答案 【解答】解：如图， 25 APBC， 2150 342805030， 此时的航行方向为北偏东 30， 故选：A 7.（2019 河北中考）如图，从点C观测点D的仰角是（ ） ADAB BDCE CDCA DADC 【答案】B 【分析】根据仰角的定义进行解答便可 【解答】解：从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE， 从点C观测点D的仰角是DCE， 故选：B 8.（2017 河北中考） ）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶 向某海域，甲的航向是北偏东 35，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ）
37、A北偏东 55 B北偏西 55 C北偏东 35 D北偏西 35 【答案】D 【分析】根据已知条件即可得到结论 【解答】解：甲的航向是北偏东 35，为避免行进中甲、乙相撞， 乙的航向不能是北偏西 35， 故选：D 26 （二）（二）填空题填空题 1. （2019 山西中考） 如图， 在ABC中， BAC90，ABAC10cm， 点D为ABC内一点， BAD15， AD6cm，连接BD，将ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE， DE交AC于点F，则CF的长为 cm 【答案】102 【分析】过点A作AGDE于点G，由旋转的性质推出AEDADG45，AFD60，
38、利用锐角三角函 数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CFACAF102 【解答】解：过点A作AGDE于点G， 由旋转知：ADAE，DAE90，CAEBAD15， AEDADG45， 在AEF中，AFDAED+CAE60， 在 RtADG中，AGDG3， 在 RtAFG中，GF，AF2FG2， CFACAF102， 故答案为：102 2.（2019 陕西中考）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度一天下午，他和学习小组 的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示于是他们 先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树
39、的顶端A的仰角为 45；再在 BD的延长线上确定一点G，使DG5 米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移 动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG2 米，小明眼睛 27 与地面的距离EF1.6 米，测倾器的高度CD0.5 米已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、 AB均垂直于FB，这棵古树的高度AB m （小平面镜的大小忽略不计） 【答案】18 【分析】 过点C作CHAB于点H， 则CHBD，BHCD0.5 解 RtACH， 得出AHCHBD， 那么ABAH+BH BD+0.5再证明EFGABG，根据相似三角形对应边成
40、比例求出BD17.5，进而求出AB即可 【解答】解：如图，过点C作CHAB于点H， 则CHBD，BHCD0.5 在 RtACH中，ACH45， AHCHBD， ABAH+BHBD+0.5 EFFB，ABFB， EFGABG90 由题意，易知EGFAGB， EFGABG， 即， 解之，得BD17.5， AB17.5+0.518（m） 这棵古树的高AB为 18m 故答案为：18 28 3.（2019青海）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM4 米， AB8 米，MAD45，MBC30，则CD的长为 米 （结果保留根号） 【答案】44 【分析】在 RtCMB中求出
41、CM，在 RtADM中求出DM即可解决问题 【解答】解：在 RtCMB中，CMB90，MBAM+AB12 米，MBC30， CMMBtan30124， 在 RtADM中，AMD90，MAD45， MADMDA45， MDAM4 米， CDCMDM（44）米， 故答案为：44 4.（2019 浙江温州中考）图 1 是一种折叠式晾衣架晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图 2 所 示， 两支脚OCOD10 分米， 展开角COD60， 晾衣臂OAOB10 分米， 晾衣臂支架HGFE6 分米， 且HOFO4 分米当AOC90时，点A离地面的距离AM为 分米；当OB从水平状态旋 转到OB （在CO延
42、长线上） 时， 点E绕点F随之旋转至OB上的点E处， 则BEBE为 分米 【答案】5+5， 4 【分析】如图，作OPCD于P，OQAM于Q，FKOB于K，FJOC于J解直角三角形求出MQ，AQ即可求 出AM，再分别求出BE，BE即可 【解答】解：如图，作OPCD于P，OQAM于Q，FKOB于K，FJOC于J 29 AMCD， QMPMPOOQM90， 四边形OQMP是矩形， QMOP， OCOD10，COD60， COD是等边三角形， OPCD， COPCOD30， QMOPOCcos305（分米） ， AOCQOP90， AOQCOP30， AQOA5（分米） ， AMAQ+MQ5+5 OB
43、CD， BODODC60 在 RtOFK中，KOOFcos602（分米） ，FKOFsin602（分米） ， 在 RtPKE中，EK2（分米） BE1022（82） （分米） ， 在 RtOFJ中，OJOFcos602（分米） ，FJ2（分米） ， 在 RtFJE中，EJ2， BE10（22）122， BEBE4 30 故答案为 5+5，4 5.（2019成都）2019 年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际 影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为 35，底部D 的俯角为 45，如果A处离地面的高度AB20 米，起
44、点拱门CD的高度是 分米 （结果精确到 1 米；参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70） 【答案】6 【分析】作CEAB于E，根据矩形的性质得到CEAB20，CDBE，根据正切的定义求出AE，结合图形计 算即可 【解答】解：作CEAB于E， 则四边形CDBE为矩形， CEAB20，CDBE， 在 RtADB中，ADB45， ABDB20， 在 RtACE中，tanACE， AECEtanACE200.7014， CDBEABAE6， 故答案为 6 31 6.（2019南通）如图，ABCD中，DAB60，AB6，BC2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的 最小值等
45、于 【答案】3 【分析】 过点P作PEAD， 交AD的延长线于点E， 有锐角三角函数可得EPPD， 即PB+PDPB+PE， 则当点B，点P，点E三点共线且BEAD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE 【解答】解：如图，过点P作PEAD，交AD的延长线于点E， ABCD EDPDAB60， sinEDP EPPD PB+PDPB+PE 当点B，点P，点E三点共线且BEAD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， sinA BE3 故答案为 3 7.（2019 河北邯郸中考模拟）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过 30 cm. 图是一位同学的 坐姿， 把他的眼睛 B， 肘关节 C 和笔
46、端 A 的位置关系抽象成图的ABC. 已知 BC30 cm， AC22 cm， ACB 53，他的这种坐姿 （填是或不）符合保护视力的要求。 (参考数据：sin530.8， cos530.6，tan531.3) 32 【答案】不 【分析】过点 B 作 BDAC 于点 D.然后构造直角三角形 BDC,先利用正弦函数，求出 BD，然后再利用余弦函 数求出 DC,ADACDC,再利用勾股定理求出 AB 的长，从而得到结论。 【解答】 ：他的这种坐姿不符合保护视力的要求 理由：过点 B 作 BDAC 于点 D. BC30 cm，ACB53， sin53BD BC BD 300.8， 解得：BD24，
47、cos53DC BC0.6， 解得 DC18, ADACDC22184(cm)， AB AD 2BD2 42242 592 900， 他的这种坐姿不符合保护视力的要求 故答案为：不 8. （2019 攀枝花中考模拟） 在ABC 中， 如果A， B 满足|tanA1| cosB1 2 2 0， 那么C_. 【答案】75 【分析】先根据非负性，得tanA1，cosB1 2，求出A 及B 的度数，进而可得出结论 【解答】 ：在ABC 中，tanA1，cosB1 2， A45，B60， C180AB 75. 故答案为：75 （三）（三）解答题解答题 1.（2019 北京中考）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BEDF，连接EF （1）求证：ACEF； 33 （2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O若