1、 1 第第 3 讲讲 乘法公式和因式分解乘法公式和因式分解 一、考点知识梳理 【考点 1 平方差公式】 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (ab)(ab)a2b2 【考点 2 完全平方公式】 两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方 (a b)2a2 2abb2 【考点 3 因式分解】 1把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 2分解因式与整式乘法的关系：多项式 因式分解 整式乘法整式的积 3. 分解因式的基本方法 （1） 提公因式法：mambmcm(abc) （2） 运用公式法： 平方差公式：a2b2(ab)(ab) 完全平方公
2、式：a2 2abb2(a b)2 二、考点分析 【考点 1 平方差公式】 【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式， 且符号相反反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反 【例 1】(2019 河北沧州中考模拟)若（ab2）2+|a+b+3|0，则 a2b2的值是（ ） A1 B1 C6 D6 【答案】D 【分析】由非负数的性质得出 ab2，a+b3，求出 a，b 的值，再代入 a2b2进行计算即可 【解答】解：（ab2）2+|a+b+3|0， ab2，a+b3， a2b2（a+b） （ab）2 （3）6； 故选：D 【举一反
3、三 1-1】(2019 山东青岛模拟)若 k 为任意整数，且 99399 能被 k 整除，则 k 不可能是（ ） 2 A50 B100 C98 D97 【答案】D 【分析】对题目中的式子分解因式即可解答本题 【解答】9939999 （9921）99 （99+1） （991）99 100 98， k 可能是 99、100、98 或 50， 故选：D 【举一反三 1-2】(2019 辽宁大连模拟)先化简，再求值： (ab)(ab)b(a2b)b2，其中 a1，b2. 【分析】先利用平方差公式和去括号，然后合并同类项. 【解答】原式a2b2ab2b2b2 a2ab， 当 a1，b2 时， 原式121
4、 (2)121. 【举一反三 1-3】(2019 河北石家庄中考模拟)计算并观察、探究下列式子 （x1） （x+1） x21 （x1） （x2+x+1） x31 （x1） （x3+x2+x+1）x41 （x1） （x4+x3+x2+x+1）x51 （x1） （x5+x4+x3+x2+x+1）x61 由以上规律 （1）填空： （x1） （xn+xn 1+x+1） （2）求：22019+22018+22017+22+2+1 的值 【分析】 （1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，规律总结得到一般性结论，写出即可； （2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果 【解答】解：（x1） （x+1
5、）x21； （x1） （x2+x+1）x31； （x1） （x3+x2+x+1）x41； （x1） （x4+x3+x2+x+1）x51； （x1） （x5+x4+x3+x2+x+1）x61； 3 由以上规律 （1） （x1） （xn+xn 1+x+1）xn+11； （2）原式（21） （22019+22018+22017+22+2+1）220201， 则 22019+22018+22017+22+2+1220201 故答案为： （1）xn+11（2）220201 【考点 2 完全平方公式】 【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之 能运用完全
6、平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式， 另一项是这两个数（或式）的积的 2 倍 【例 2】(2019 辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次 x216x+m2是一个完全平方式，那么 m 的值是（ ） A 8 B4 C2 D 2 【答案】A 【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是 8 和 x，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可 【解答】解：16x28x， m28264， 解得 m 8 故选：A 【举一反三 2-1】(2019 山东聊城中考模拟)已知 a，b 是ABC 的两边，且 a2b22ab，则ABC 的形状是 ( ) A等腰三角形 B等边三角形
7、C锐角三角形 D不确定 【答案】A 【分析】运用完全平方公式分解因式 【解答】a2b22ab a2b2-2ab=0 =0 a=b 故选：A 2 )(ba 4 【举一反三 2-2】(2019 沧州九中模拟)当 st1 2时，代数式 s 22stt2的值为 【分析】运用完全平方公式分解因式 【解答】st1 2 st1 2 s22stt2=1 4 故答案是1 4 【举一反三 2-3】 （2019吉林长春中考）先化简，再求值： （2a+1）24a（a1） ，其中 a 【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案 【解答】解：原式4a2+4a+14a2+4a 8a+1， 当 a时，原
8、式8a+12 【举一反三 2-4】 （2018，江苏南京模拟）先化简，再求值： 2 (21)2(21)3aa，其中2a 【分析】直接运用(a+b)2=a2+2ab+b2进行计算、化简. 【解答】原式=4a2+4a+1-4a-2+3=4a2+2. 当 a= 2时, 4a2+2 =4 ( 2)2+2 =10. 【考点 3 因式分解】 【解题技巧】因式分解的一般步骤： (1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； (2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有 时需考虑用十字交乘法； (3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止
9、【例 3】 （2019台湾中考）若多项式 5x2+17x12 可因式分解成（x+a） （bx+c） ，其中 a、b、c 均为整数，则 a+c 之值为何？（ ） 2 )(ts 2 ) 2 1 ( 5 A1 B7 C11 D13 【答案】A 【分析】首先利用十字交乘法将 5x2+17x12 因式分解，继而求得 a，c 的值 【解答】解：利用十字交乘法将 5x2+17x12 因式分解， 可得：5x2+17x12（x+4） （5x3） a4，c3， a+c431 故选：A 【举一反三 3-1】 （2019 浙江温州中考）分解因式：m2+4m+4 【答案】 （m+2）2 【分析】直接利用完全平方公式分解
10、因式得出答案 【解答】解：原式m2+4m+22 =（m+2）2 故答案为： （m+2）2 【举一反三 3-2】 （2019 江苏南京中考）分解因式（ab）2+4ab 的结果是 【答案】 （a+b）2 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案 【解答】解： （ab）2+4ab a22ab+b2+4ab a2+2ab+b2 （a+b）2 故答案为： （a+b）2 【举一反三 3-3】 （2019 江西中考）因式分解：x21 【答案】 （x+1） （x1） 【分析】原式利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式（x+1） （x1） 故答案为： （x+1） （x1）
11、 【举一反三 3-4】 （2019 江苏徐州中考）若 ab+2，则代数式 a22ab+b2的值为 【答案】4 6 【分析】由 ab+2，可得 ab2，代入所求代数式即可 【解答】解：ab+2， ab2， a22ab+b2（ab）2224 故答案为：4 三、【达标测试】 一、选择题 1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ） A. 323 2 B. ( 21)( 21)1 C. 1 22 D. 222 2()xxyyxy 【答案】B. 【分析】二次根式的运算，整式中的法则，公式可以灵活运用.(a+b)(a-b)=a2-b2,a2 2ab+b2=(a b)2. 【解答】A 选项不能
12、合并； C 选项=1 2; D 选项错用完全平方公式因式分解； B 计算正确； 故选 B. （2019，安徽蚌埠中考模拟） 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A.x2xy B. x2xy C. x2y2 D. x2y2 【答案】 C. 【分析】平方差公式因式分解为 a2-b2=(a+b)(a-b) 【解答】A、B 能用提公因式因式分解，D 在实数范围内，不能因式分解，只有 C 符合平方差公式特征. 故选 C. 3.（2019河北石家庄中考模拟）若要使 4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则 m 的值应为（ ） A B C D 【答案】A 【分析】 这里首末两项是 2x 和 这两
13、个数的平方， 那么中间一项为减去 2x 和 积的 2 倍， 故 m 1 2 7 【解答】解：（2x）24x2x+，或2x（）24x2+x+， m或 故选：A 4.（2019山东青岛中考模拟）如果自然数 a 是一个完全平方数，那么与 a 之差最小且比 a 大的一个完全平 方数是（ ） Aa+1 Ba2+1 Ca2+2a+1 Da+2+1 【答案】D 【分析】当两个完全平方数是自然数时，其算术平方根是连续的话，这两个完全平方数的差最小 【解答】解：自然数 a 是一个完全平方数， a 的算术平方根是， 比 a 的算术平方根大 1 的数是+1， 这个平方数为： （+1）2a+2+1 故选：D 5.（2
14、019辽宁本溪中考模拟）有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部 分（阴影部分）的面积（ ） A4a2 B4a2ab C4a2+ab D4a2ab2b2 【答案】D 【分析】根据阴影部分面积大长方形的面积小长方形的面积列出算式，再根据整式的混合运算顺序和 运算法则计算可得 【解答】解：余下的部分的面积为（2a+b） （2ab）b（ab） 4a2b2ab+b2 4a2ab， 故选：D 二、填空题 8 1.（2019呼和浩特中考）因式分解：x2y4y3 【答案】y（x2y） （x+2y） 【分析】首先提公因式 y，再利用平方差进行分解即可 【解答】解：原式y（x24y2）
15、y（x2y） （x+2y） 故答案为：y（x2y） （x+2y） 2.（2019辽宁沈阳中考）因式分解：x24y2+4xy 【答案】（x2y）2 【分析】先提取公因式1，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解 【解答】解：x24y2+4xy， （x2+4y24xy） ， （x2y）2 3.（2019甘肃兰州中考）因式分解：a3+2a2+a 【答案】a（a+1）2 【分析】 先提取公因式 a， 再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式 完全平方公式： a2 2ab+b2 （a b） 2 【解答】解：a3+2a2+a， a（a2+2a+1） ，（提取公因式） a（a+1）2（完全平方公式） 故答案
16、为：a（a+1）2 4.（2019山东威海中考）分解因式：2x22x+ 【答案】2（x）2 【分析】直接提取公因式 2，再利用公式法分解因式即可 【解答】解：原式2（x2x+） 2（x）2 故答案为：2（x）2 5.（2019，江苏省连云港中考模拟）当 1 2 st 时，代数式 22 2sstt的值为 【答案】 1 4 9 【分析】 代数式求值，一般先化简，后代入，求值时要灵活运用乘法公式，可使运算简便. 【解答】 因为 s2-2st+t2=(s-t)2,再把 s=t+1 2代入，得 s 2-2st+t2=(t+1 2-t) 2=1 4. 6. (2019,山西省太原中考模拟)分解因式(4)4
17、x x的结果是 【答案】 (x+2)2 【分析】若一个三项式，其中两项分别是两个数的平方第三项是这两个数的积的 2 倍，就可以用 a2 2ab+b2=(a b)2来因式分解. 【解答】(4)4x x =x2+4x+4= x2+2 2x+22 =(x+2)2. 7.（2019，山东潍坊中考模拟）分解因式： 32 627xxx 【答案】x(x+9)(x-3) 【分析】先提取公因式 x,再运用“十字交叉法”因式分解,或者用配方法后，再运用平方差公式因式分解. 【解答】 方法一： x3+6x2-27x =x(x2+6x-27 =x(x+9)(x-3) 方法二： x3+6x2-27x =x(x2+6x+
18、9-36) =x(x+3)2-62 =x(x+3+6)(x+3-6) =x(x+9)(x-3) 8. （2019，河北沧州中考模拟）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图，它表示了（2m+n） （m+n）2m2+3mn+n2 （1） 图是将一个长 2m、 宽 2n 的长方形， 沿图中虚线平均分为四块小长方形， 然后再拼成一个正方形 （图 ） ，则图中的阴影部分的正方形的边长等于 （用含 m、n 的代数式表示） （2）请用两种不同的方法列代数式表示图中阴影部分的面积 10 方法 方法 （3）请你观察图形，写出三个代数式（m+n）2、 （mn）2、mn 关系的等式： ； （4）根据（3）题中
19、的等量关系，解决如下问题：若已知 x+y7，xy10，则（xy）2 ； （5）小明用 8 个一样大的长方形（长 acm，宽 bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个 正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是 2cm 的正方形小洞则（a+2b）28ab 的值为 【答案】 （1）mn （2） （m+n）24mn； （mn）2 （3） （mn）2（m+n）24mn （4）9 （5）4. 【分析】 （1）阴影部分的正方形的边长为 mn； （2）方法：阴影部分的面积大正方形的面积4 个小长方形的面积；方法：表示出小正方形的边长为 m n，即可解答； （3）大正方形的面积减去
20、 4 个小长方形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、 （m n）2、mn 之间的等量关系； （4）（4）根据（3）所得出的关系式，可求出（xy）2的值； （5）利用图形面积之间关系得出（a+2b）28ab（a2b）2即可求出 【解答】解： （1）阴影部分的正方形的边长为 mn； 故答案为：mn （2）方法：阴影部分的面积大正方形的面积4 个小长方形的面积， 所以阴影部分的面积为： （m+n）24mn； 11 方法：表示出小正方形的边长为 mn， 所以阴影部分的面积（mn）2 故答案为： （m+n）24mn； （mn）2 （3） （mn）2（m+n）24mn； 故答案为
21、： （mn）2（m+n）24mn （4） （xy）2（x+y）24xy724 109； 故答案为：9 （5）（a+2b）28ab（a2b）2224， （a+2b）28ab 的值为 4 故答案为：4 三、解答题 1.(2019 湖南怀化中考模拟)先化简，再求值：(2a1)22(a1)(a1)a(a2)，其中 a 21. 【分析】利用完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值 【解答】原式4a24a12a22a22a a22a3， 当 a 21 时，原式32 22 2234. 2.(2019 浙江宁波中考模拟)化简：(ab)2(ab
22、)(ab)2ab. 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号合并同类项得到结果. 【解答】原式a22abb2a2b22ab 2a2. 2. (2019 浙江金华中考模拟)先化简，再求值：(x5)(x1)(x2)2，其中 x2. 【分析】利用完全平方公式以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 x 的值代入计 算即可求出值 【解答】原式x24x5x24x4 2x21， 当 x2 时 原式7. 4.（2019 江苏省淮安中考模拟）先化简，再求值： 2 1 y1,)()( 2 ，其中xxyxyxyx 【分析】本题既可按乘法公式展开,再合并化简后求值,也可运用提公因式法因式分
23、解来化 12 简,后求值. 【解答】方法一: 原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) x =(2x2-2xy) x =2x-2y 当 x=-1,y=1 2时,原式=2 (-1)-2 1 2=-3. 方法二: 原式=(x-y)(x-y+x+y) x =2(x-y) 当 x=-1,y=1 2时,原式=2(-1- 1 2)=-3 5. 已知 a+b3，ab10求： （1）a2+b2的值； （2） （ab）2的值 【分析】 （1）将 a+b3 两边平方，利用完全平方公式展开，把 ab 的值代入计算即可求出所求式子的值； （2）利用完全平方公式变形，将 a+b 与 ab 的值代入计算即可求出值 【解答
24、】解： （1）将 a+b3 两边平方得： （a+b）2a2+b2+2ab9， 把 ab10 代入得：a2+b229； （2） （ab）2（a+b）24ab29+2049 6.下面是某同学对多项式（x24x+2） （x24x+6）+4 进行因式分解的过程 解：设 x24xy， 原式（y+2） （y+6）+4 （第一步） y2+8y+16 （第二步） （y+4）2（第三步） （x24x+4）2（第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A提取公因式 B平方差公式 C两数和的完全平方公式 13 D两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）若不彻
25、底，请直接写出因式分解 的最后结果 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x） （x22x+2）+1 进行因式分解 【分析】 （1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可； （3）将（x22x）看作整体进而分解因式即可 【解答】解： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选：C； （2）该同学因式分解的结果不彻底， 原式（x24x+4）2（x2）4； 故答案为：不彻底， （x2）4； （3） （x22x） （x22x+2）+1 （x22x）2+2（x22x）+1 （x22x+1）2 （x1）4 7.正方形的
26、周长比正方形的周长长 96cm，它们的面积相差 960cm2，求这两个正方形的边长 【分析】 先设小正方形的边长是 xcm， 于是可知大正方形的周长是 4xcm， 则大正方形的周长是 （4x+96） cm， 即可求出大正方形的边长（x+24）cm，再根据面积之差即可得出答案 【解答】解：设小正方形的边长是 xcm，则大正方形的边长是（x+24）cm，根据题意得： （x+24）2x2960， 即 48x+576960， 解得 x8， x+2432（cm） ， 答：正方形的边长为 8cm，正方形的边长为 32cm 8.如图，在长方形 ACDF 中，ACDF，点 B 在 CD 上，点 E 在 DF
27、上，BCDEa，ACBDb，AB BEc，且 ABBE （1）用两种不同的方法表示长方形 ACDF 的面积 S 方法一：S 14 方法二：S （2）求 a，b，c 之间的等量关系（需要化简） （3）请直接运用（2）中的结论，求当 c10，a6，S 的值 【分析】 （1）方法一，根据矩形的面积公式就可以直接表示出 S；方法二，根据矩形的面积等于四个三角形 的面积之和求出结论即可； （2）根据方法一与方法二的 S 相等建立等式就可以表示出 a，b，c 之间的等量关系； （3）先由（2）的结论求出 b 的值，然后代入 S 的解析式就可以求出结论 【解答】解： （1）由题意，得 方法一：S1b（a+b）ab+b2 方法二：S2ab+ab+（ba） （b+a）+c2ab+b2a2+c2 故答案为：ab+b2；ab+b2a2+c2 （2）S1S2， ab+b2ab+b2a2+c2， 2ab+2b22ab+b2a2+c2， a2+b2c2 （3）a2+b2c2，且 c10，a6， b8， Sab+b26 8+64112 答：S 的值为 112