1、 1 第第 21 讲讲 视图与投影、展开视图与投影、展开 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 三视图】三视图】 1.投影 平行投影 由平行光线照射在物体上所形成的投影，叫做平行投影 正投影 投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影 中心投影 由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影 2.几何体的三视图 （1）一个几何体的正投影，又叫做这个几何体的视图从正面得到的视图叫做主视图，从上面得到的视图 叫做俯视图，从左面得到的视图叫做左视图 （2）三种视图的关系 主视图可反映出物体的长和高，俯视图可反映出物体的长和宽，左视图可反映出物体的高和宽 (3)在画三视图时，
2、主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，俯、左视图要宽相等，看得见的轮廓线要 画成实线，看不见的轮廓线要画成虚线 3常见几何体的三视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 4. 常见几何体的体积和表面积的计算公式 名称几何体 体积 表面积 正方体 a3 6a2 长方体 abc 2(abbcac) 三棱柱 h S底面 2S底面h C底长 圆锥 1 3r 2h r2lr (l 为母线长) 圆柱 r2h 2r22rh 球 4 3R 3 4R2 【考点【考点 2 正方体展开图】正方体展开图】 2 正方体表面展开图的类型 二三一型 三三型 二二二型 【考点【考点 3 圆柱、圆锥表面展开图】圆柱、圆锥表面展开
3、图】 常见几何体的展开图 常见几何体 展开图 图示(选其一种) 两个圆和一个矩形 一个圆和一个扇形 二、考点分析 【考点【考点 1 三视图】三视图】 【解题技巧】1.要求解几何体的体积或表面积，就要先确定几何体的形状： （1）由三视图确定出实物的形状和结构 （2）由部分特殊图确定出实物的形状和结构 2.太阳光与影子的关系：物体在太阳光照射的不同时刻，不但影子的大小在变化，而且影子的方向也在变化. 在早晨太阳位于正东方，此时的影子较长，位于正西方；在上午，影子随着太阳位置的变化，其长度逐渐 变短，方向向正北方向移动；中午，影子最短，方向正北；到了下午，影子的长度又逐渐变长，其方向向 正东移动.
4、3.产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为光 一四一型 3 源的位置. （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和 左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状 （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： 根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； 从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； 熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； 利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习
5、，不断总结方法 【例 1】 （2019 安徽中考）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 福建中考）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 广东中考）如图，由 4 个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ） A B 4 C D 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 海南中考） 如图是由 5 个大小相同的小正方体摆成的几何体， 它的俯视图是 （ ） A B C D 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 北京中考）在如图所示的
6、几何体中，其三视图中有矩形的是 （写 出所有正确答案的序号） 【考点【考点 2 正方体展开图】正方体展开图】 【解题技巧】1.多数立体图形是由平面图形围成的沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应 立体图形的展开图同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出， 立体图形的展开图是平面图形 2. 正方体的侧面展开图是长方形 3. 3.三棱柱的侧面展开图是长方形 【例 2】（2019 山西中考） 某正方体的每个面上都有一个汉字， 如图是它的一种展开图， 那么在原正方体中， 与“点”字所在面相对面上的汉字是（ ） A青 B春 C梦 D想 5 【举一反三举一反三 2
7、-1】 （2019 广东深圳中考）下列哪个图形是正方体的展开图（ ） A B C D 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 河北沧州十四中模拟）如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、 美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向） 不可能的是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 山东青岛中考） （2019青岛）如图，一个正方体由 27 个大小相同的小立方块搭成， 现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取 走 个小立方块 【考点【考点 3 圆柱、
8、圆锥表面展开图】圆柱、圆锥表面展开图】 【解题技巧】1.常见几何体的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是长方形圆锥的侧面展开图是扇形 2.立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系立体图形问题可以转化为平面图形问题解 6 决从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空 间观念，是解决此类问题的关键 【例 3】 （2019 江苏徐州中考模拟）已知 O 为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C 为 OB 中点，一只小蚂 蚁从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点 A，另一只小蚂蚁也从 C 点出发，绕着圆锥侧面爬行到点 B，它们所爬 行的最短路线的痕迹如右图所
9、示若沿 OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（ ） A B C D 【举一反三举一反三 3-1】 （2019 河北张家口中考模拟） （选择题）如图是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体， 请类比梯形面积公式的推导方法（如图） ，推导图几何体的体积为 （结果保留 ） 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 江苏徐州中考）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥 的底面圆的半径 r2cm，扇形的圆心角 120 ，则该圆锥的母线长 l 为 cm 7 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 江苏南京中考）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜 放在该杯子内，木
10、筷露在杯子外面的部分至少有 cm 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1. （2019 河南中考） 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体， 将上层的小正方体平移后得到图 关 于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 2.（2019 湖北黄石中考）如图，该正方体的俯视图是（ ） A B C D 3.（2019 湖北孝感中考）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ） A B 8 C D 4. （2019 河北中考） 图 2 是图 1 中长方体的三视图， 若用 S 表示面积， S主x2+2x， S左x2+x， 则 S俯 （
11、 ） Ax2+3x+2 Bx2+2 Cx2+2x+1 D2x2+3x 5.（2019 江西中考）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为 （ ） A B C D 6.（2019 辽宁大连中考）如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B 9 C D 7.（2019 江西中考）如图，由 10 根完全相同的小棒拼接而成，请你再添 2 根与前面完全相同的小棒，拼接 后的图形恰好有 3 个菱形的方法共有（ ） A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 8.（2019 云南中考）一个圆锥的侧面展开图是半径为 8 的半圆，则该圆锥的全面积是（
12、） A48 B45 C36 D32 （二）（二）填空题填空题 1.（2019 甘肃中考）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的 面积为 2.（2019 浙江杭州中考）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度） ，已知其母线长为 12cm，底面圆半径 为 3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm2（结果精确到个位） 4.（2019广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开 扇形的弧长为 （结果保留 ） 10 5.（2019 山东青岛中考模拟）如图所示，是三棱柱的表面展开示意图，则 AB ，BC ，CD ，BD ，AE
13、 6.（2019 河北衡水中考模拟）如图，在 RtABC 纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角 三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知 BC 24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为 cm3 7.（2019 湖北武汉中考模拟）把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是 4 厘米，宽是 2 厘米，这个圆柱体的底面半径是 厘米 8.（2019 河南郑州中考模拟）如图，这是一个正方体的展开图，则原正方体中与“创“字所在的面相对的面 上标的字是 （三）（三）解答题解答题 1.（2019台湾）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一
14、的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的 墙，且圆柱与墙的距离皆为 120 公分敏敏观察到高度 90 公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为 60 公 分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示 已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下， 11 请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为 150 公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为 150 公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整 写出你的解题过程，并求出答案 2.（2019 河北衡水中考模拟）如图是一个长方体的表面展开图，每个面
15、上都标注了字母和数据，请根据要 求回答 （1）如果 A 面在长方体的底部，那么 面会在上面； （2）求这个长方体的表面积和体积 3.（2019 河南信阳中考模拟）如图是某种产品的展开图，高为 3cm （1）求这个产品的体积； （2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装 5 件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能 少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小） ，求此包装纸箱的表面积 4.（2019 山东德州中考模拟）如图所示，说出下列几何体截面（阴影部分）的形状 12 5.（2019 四川成都中考模拟） （1）如图 1，一个正方体纸盒的棱长为 4 厘米，将它的一些棱剪开展成一个 平面图形
16、，求这个平面图形的周长 （2）如图 2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是 a 厘米、b 厘米、c 厘米（abc）将它的一些棱剪开 展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形 6.（2019 石家庄二十中学模拟）如图所示，太阳光线 AC 和 A C 是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳下 的影子一样长，那么建筑物是否一样高？请说明理由 7.（2019 辽宁大连中考模拟）如图 1 是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型 （1）请说出这个几何体模型的最确切的名称是 （2）如图 2 是根据 a，h 的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中的粗实线表示的正方形（中间一条 虚线）和粗实线表示的三角形） ，请在网格中画出该几何体的左视图 （3）在（2）的条件下，已知 h20cm，求该几何体的表面积 13 8.（2019 河北石家庄中考模拟）如图 1 所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图 2 所示，已知展开图中每个正方形的边长为 1， （1）求线段 AC的长度； （2）试比较立体图中BAC 与展开图中BAC的大小关系？并写出过程