1、 1 第第 1111 讲讲 一次函数及其应用一次函数及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 正比例函数图像及性质】正比例函数图像及性质】 1.一般地，把形如 ykx(k 为常数，且 k0)的函数叫正比例函数 2.正比例函数的性质 当 k0 时，正比例函数的图象过一、三 象限， y 随 x 的增大而增大 当 k0 正比例函数的图象过二、四 象限， y 随 x 的增大而减小 【考点【考点 2 2 一次函数的图像及性质】一次函数的图像及性质】 1.一般地，把形如 ykxb(k，b 为常数，且 k0)的函数叫做一次函数 2.一次函数的性质：一次函数 ykxb(k0)的图像是经过点(0，b)和
2、 b k，0 的一条直线； 一次函数 ykxb(k0)的图像可由正比例函数 ykx(k0)的图像平移得到；b0，向上平移 b 个单位 长度；b0，向下平移|b|个单位长度 3.图像确定：因为一次函数的图像是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图像时，只要取两点 即可 4.一次函数的图像及性质考查的题型多为选择题，有以下几种常考类型：(1)一次函数与不等式结合；(2) 一次函数与程序框图结合；(3)一次函数与反比例函数及几何图形结合；(4)单纯一次函数； 5.设问方式有：(1)判断函数图像及经过的象限；(2)求未知系数的取值范围，并在数轴上表示；(3)求一次 函数表达式；(4)判断一次函数
3、图像是否经过某点 【考点【考点 3 3 一次函数的应用】一次函数的应用】 1.一次函数的实际应用考查题型都为解答题，多与以下知识结合：(1)方程、不等式；(2)二次函数；(3)统 计图的相关知识 2.用一次函数解决实际问题的一般步骤为： (1)设定实际问题中的自变量与因变量； (2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； (3)确定自变量的取值范围； (4)利用函数性质解决问题； (5)检验所求解是否符合实际意义； (6)答 3方案最值问题： 2 对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出 某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足
4、的条件，即可确定出有多少种方案；对于最值问题， 一般是用于分段函数。 【考点【考点 4 4 一次函数与几何图形的关系】一次函数与几何图形的关系】 一次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其 中的几何图形，再求出面积等相关数据 【考点【考点 5 5 一次函数与其它函数的关系】一次函数与其它函数的关系】 一次函数与反比例函数、二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，结合图像 特点，总结规律。 二、考点分析 【考点【考点 1 1 正比例函数图像及性质】正比例函数图像及性质】 【解题技巧】正比例函数的图象 ：y=kx(k0)是过原
5、点和点（1，k）的一条直线所以画正比例函数图像 时，一般过点（0，0）和（1，k）画一条直线即可。 【例 1】 （2019 陕西中考）若正比例函数y2x的图象经过点O（a1，4） ，则a的值为（ ） A1 B0 C1 D2 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 辽宁沈阳中考模拟）如图，已知点A的坐标为（0，1） ，点B的坐标为（，2） ， 点P在直线yx上运动，当|PAPB|最大时点P的坐标为（ ） A （2，2） B （4，4） C （，） D （5，5） 【举一反三举一反三 1-2】 （2016 河北中考考试说明）已知：yb 与 x1(其中 b 是常数)成正比例 (1)证明：y 是 x
6、 的一次函数； (2)若这个一次函数过点（ 2 5 ，0） ，且与坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为25 4 ，求这个一次函数的表 达式 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式 方式一： 顾客先购买会员卡， 每张会员卡 200 元， 仅限本人一年内使用， 凭卡游泳， 每次游泳再付费 30 元 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40 元 3 设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次， 选择方式一的总费用为y1（元） ， 选择方式二的总费用为y2（元） （1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式 （2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选
7、择方式一比方式二省钱 【考点【考点 2 2 一次函数的图像及性质】一次函数的图像及性质】 【解题技巧】两直线的交点坐标及一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积 一条直线与 x 轴交点坐标令 y0，求出对应的 x 值 一条直线与 y 轴交点坐标令 x0，求出对应的 y 值 一条直线与其他一次函数图像的交点坐标解由两个函数表达式组成的二元一次方程组，方程组的解即为两 函数图像的交点坐标 一条直线与坐标轴围成的三角形的面积直线 ykxb(k0)与 x 轴的交点坐标为 b k，0 ，与 y 轴的交点 坐标为(0，b)，与坐标轴围成的三角形面积为 S1 2| b k|b| 【例 2】 （2019 陕西中
8、考）在平面直角坐标系中，将函数y3x的图象向上平移 6 个单位长度，则平移后的 图象与x轴的交点坐标为（ ） A （2，0） B （2，0） C （6，0） D （6，0） 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 浙江杭州中考）已知一次函数y1ax+b和y2bx+a（ab） ，函数y1和y2的图象可 能是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 山东济南中考模拟）若实数 a，b，c 满足 abc0，且 abc，则函数 ycxa 的图像可能是( ) 4 （A） （B） （C） （D） 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 江西中考）在平面直角坐标系中，A，B，C三点
9、的坐标分别为（4，0） ， （4，4） ， （0， 4） ，点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA1，CPDP于点P，则点P的坐标为 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 浙江杭州中考）某函数满足当自变量x1 时，函数值y0，当自变量x0 时， 函数值y1，写出一个满足条件的函数表达式 【考点【考点 3 3 一次函数的应用】一次函数的应用】 【解题技巧】1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要 符合实际 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件 寻
10、求可以反映实际问题的函数 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：建立函数模型的方法；分段函数思想的应用 （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键 4、求最值的本质为求最优方案，解法有两种： (1)可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； (2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及 最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较 【例 3】 （2019 上海中考）在登山过程中，海拔每升高 1 千米，气温下降 6，已知某登山大本营所在的位 置的气温是 2，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的
11、气温是y，那么y关于 x的函数解析式是 【举一反三举一反三 3-1】 （2019 陕西中考）根据记录，从地面向上 11km以内，每升高 1km，气温降低 6；又知在 距离地面 11km以上高空，气温几乎不变若地面气温为m（） ，设距地面的高度为x（km）处的气温为y （） （1）写出距地面的高度在 11km以内的y与x之间的函数表达式； （2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机 外气温为26时，飞机距离地面的高度为 7km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时 5 在距离地面 12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如
12、当时飞机距离地面 12km时，飞机外的气 温 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 辽宁大连中考） ）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的A， B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图 1 是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时x（单 位：min）的函数图象，图 2 是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时间x（单位；min）的函数图 象，则ab 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 吉林中考）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇 后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地甲、乙两车距B地的路程y（km）与各 自
13、行驶的时间x（h）之间的关系如图所示 （1）m ，n ； （2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程 【考点【考点 4 4 一次函数与几何图形的关系】一次函数与几何图形的关系】 【解题技巧】常见的有（1）直线的平行和相交（2）直线与三角形的关系（3）直线与四边形（4）直线与 圆 【例 4】 （2019 上海中考）在平面直角坐标系xOy中（如图） ，已知一次函数的图象平行于直线yx，且 经过点A（2，3） ，与x轴交于点B 6 （1）求这个一次函数的解析式； （2）设点C在y轴上，当ACBC时，求点C的坐标 【举一反三举一
14、反三 4-1】 （2019 江苏徐州中考）函数yx+1 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴 上若ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 个 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 江西中考如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（，0） ， （， 1） ，连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC （1）求点C的坐标； （2）求线段BC所在直线的解析式 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 辽宁大连中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3 与x轴，y轴 分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BDOC，以CO，CD为邻边作COED设点 C
15、的坐标为（0，m） ，COED在x轴下方部分的面积为S求： （1）线段AB的长； （2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围 7 【举一反三举一反三 4-4】 （2019宁夏）在综合与实践活动中，活动小组对学校 400 米的跑道进行规划设计，跑道由 两段直道和两端是半圆弧的跑道组成其中 400 米跑道最内圈为 400 米，两端半圆弧的半径为 36 米 （ 取 3.14） （1）求 400 米跑道中一段直道的长度； （2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化请完 成下表： 跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 跑道周长/米 400 若设
16、x表示跑道宽度（单位：米） ，y表示该跑道周长（单位：米） ，试写出y与x的函数关系式： （3）将 446 米的跑道周长作为 400 米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长 400 米）形成的区域 最多能铺设道宽为 1.2 米的跑道多少条？ 【考点【考点 5 5 一次函数与其它函数的关系】一次函数与其它函数的关系】 【解题技巧】常见的有（1）一次函数与反比例函数（2）一次函数与二次函数（3）两个一次函数 【例 5】 （2019 湖北黄石中考）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BAx轴于点A，反比例函 数y（x0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线yx的
17、对称点C的 坐标为（1，n） （n1） ，若OAB的面积为 3，则k的值为（ ） A B1 C2 D3 【举一反三举一反三 5-1】 （2019济南）函数yax+a与y（a0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） 8 A B C D 【举一反三举一反三 5-2】 （2019 安徽中考）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数yxa+1 和y x 22ax 的图象相交于P，Q两点若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围 是 【举一反三举一反三 5-3】 （2019 云南中考）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售已 知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销
18、售单价不低于成本，又不高于成本的两倍经过市场调查发现，某天西 瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示： （1）求y与x的函数解析式（也称关系式） ； （2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值 【举一反三举一反三 5-4】 （2019 福建中考）如图，菱形ABCD顶点A在函数y（x0）的图象上，函数y（k 3，x0） 的图象关于直线AC对称， 且经过点B、D两点， 若AB2， BAD30， 则k 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 台湾中考） （2019台湾）小涵与阿嘉一起去咖啡店购买同款咖啡豆，咖啡豆每公克的价钱固定， 购买时自备容器则结帐金
19、额再减 5 元若小涵购买咖啡豆 250 公克且自备容器，需支付 295 元；阿嘉购买 咖啡豆x公克但没有自备容器，需支付y元，则y与x的关系式为下列何者？（ ） Ayx Byx 9 Cyx+5 Dyx+5 2.（2019 辽宁沈阳中考） （2019沈阳）已知一次函数y（k+1）x+b的图象如图所示，则k的取值范围是 （ ） Ak0 Bk1 Ck1 Dk1 3.（2019 山东威海中考） （2019威海）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为 380 米的公路在施工过程 中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务下表是根据 每天工程进度绘制而成的 施工时间/天
20、1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工量/ 米 35 70 105 140 160 215 270 325 380 下列说法错误的是（ ） A甲队每天修路 20 米 B乙队第一天修路 15 米 C乙队技术改进后每天修路 35 米 D前七天甲，乙两队修路长度相等 4.（2019 河北张家口中考模拟）如图所示，A、M、N点坐标分别为A（0，1） ，M（3，2） ，N（4，4） ，动点 P从点A出发，沿y轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：yx+b也随之移动，设 移动时间为t秒，若点m，n分别位于l的异侧，则t的取值范围是（ ） A5t8 B4t7 C4t7 D4t8 1
21、0 5. （2019 宁夏中考） （2019宁夏） 函数y和ykx+2 （k0） 在同一直角坐标系中的大致图象是 （ ） A B C D 6.（2019 山东烟台中考模拟）一次函数yx+2 的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，以AB为腰， 作等腰 RtABC，则直线BC的解析式为（ ） Ayx+2 Byx+2 Cyx+2 Dyx+2 7.（2019 江苏徐州中考模拟）如图 1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余 各边均与坐标轴平行，直线l：yx3 沿x轴的负方向以每秒 1 个单位的速度平移，在平移的过程中，该 直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间
22、为t（秒） ，m与t的函数图象如图 2 所示，则图 2 中b的值为（ ） A5 B4 C3 D2 8.（2019 河北沧州中考模拟）一次函数y1kx+b与y2x+a的图象如图，则下列结论： k0：a0：当x3 时，y1y2；当x3 时，y1y2中正确的个数是（ ） 11 A0 B1 C2 D3 （二）（二）填空题填空题 1.（2019 天津中考）直线y2x1 与x轴的交点坐标为 2.（2019 重庆中考）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机 落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲乙刚出发 2 分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻 按原路原速骑车回公司
23、，2 分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往 某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机 的时间忽略不计） 则乙回到公司时，甲距公司的路程是 米 3. （2019 山东济南中考） （2019济南） 某市为提倡居民节约用水， 自今年 1 月 1 日起调整居民用水价格 图 中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m 3）之间的关系小雨家去年用水量为 150m3，若今 年用水量与去年相同，水费将比去年多 元 4.（2019 四川成都中考） （2019成都）已知一次函数y（k3）x+1 的图象经过第一、二
24、、四象限，则k 的取值范围是 5.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，把直线y2x向上平移后，分别交y轴、x轴于A、B两点，直线 AB经过点（m，n）且 2m+n6，则点O到线段AB的距离为 12 6.（2019 湖北黄石中考模拟）在平面直角坐标系中，直线y2x+1 沿y轴向上平移了m（m0）个单位后， 该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了 2，则m的值为 7.（2019 山东淄博中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y2x与ykx+b的图象交于点P（m， 2） ，则不等式kx+b2x的解集为 8.（2019 辽宁大连中考模拟）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y2x于点B1；
25、点A2与点O关 于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称； 过点A3（4， 0） 作x轴的垂线， 交直线y2x于点B3； ， 按此规律作下去， 则点Bn的坐标为 （三）（三）解答题解答题 1.（2019 北京中考）在平面直角坐标系xOy中，直线l：ykx+1（k0）与直线xk，直线yk分别 交于点A，B，直线xk与直线yk交于点C 13 （1）求直线l与y轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W 当k2 时，结合函数图象，求区域W内的整点个数； 若区域W内没有整点，直
26、接写出k的取值范围 2.（2019 安徽中考）一次函数ykx+4 与二次函数yax 2+c 的图象的一个交点坐标为（1，2） ，另一个交 点是该二次函数图象的顶点 （1）求k，a，c的值； （2）过点A（0，m） （0m4）且垂直于y轴的直线与二次函数yax 2+c 的图象相交于B，C两点，点O 为坐标原点，记WOA 2+BC2，求 W关于m的函数解析式，并求W的最小值 3.（2019 天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均 为 6 元/kg在乙批发店，一次购买数量不超过 50kg时，价格为 7 元/kg；一次购买数量超过 50kg时，其 中有 5
27、0kg的价格仍为 7 元/kg，超过 50kg部分的价格为 5 元/kg设小王在同一个批发店一次购买苹果的 数量为xkg（x0） （）根据题意填表： 一次购买数量/kg 30 50 150 甲批发店花费/元 300 乙批发店花费/元 350 （）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式； （）根据题意填空： 若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买 苹果的数量为 kg； 若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 120kg，则他在甲、乙两个批发店中 批发店购买花 费少； 若小王在同一个批发店一次购买苹果花
28、费了 360 元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量 多 4.（2019 重庆中考）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其 性质一一运用函数解决问题“的学习过程在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函 数图象同时，我们也学习了绝对值的意义|a| 14 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y|kx3|+b中，当x2 时，y4；当x0 时，y1 （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函yx3 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出
29、不等式|kx3|+bx3 的 解集 5.（2019 浙江温州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+4 分别交x轴、y轴于点B，C，正 方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OFDE于点F，连结OE动点P在AO上从点A向终点O 匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点 （1）求点B的坐标和OE的长 （2）设点Q2为（m，n） ，当tanEOF时，求点Q2的坐标 （3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合 延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Qs，APt，求s关于t的函数表达式 当PQ与OEF的
30、一边平行时，求所有满足条件的AP的长 6.（2019 浙江温州中考）某旅行团 32 人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成已知儿童 10 人， 成人比少年多 12 人 （1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？ （2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各 1 名）带领 10 名儿童去另一景区B游玩景区B的门 15 票价格为 100 元/张，成人全票，少年 8 折，儿童 6 折，一名成人可以免费携带一名儿童 若由成人 8 人和少年 5 人带队，则所需门票的总费用是多少元？ 若剩余经费只有 1200 元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所 有满足条件的方案
31、，并指出哪种方案购票费用最少 7. （2019 山东日照中考） （2019日照）探究活动一： 如图 1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3） 、B（2，5） 、C（4， 9） ，有kAB2，kAC2，发现kABkAC，兴趣小组提出猜想：若直线ykx+b（k0）上任意两 点坐标P（x1，y1） ，Q（x2，y2） （x1x2） ，则kPQ是定值通过多次验证和查阅资料得知，猜想成 立，kPQ是定值，并且是直线ykx+b（k0）中的k，叫做这条直线的斜率 请你应用以上规律直接写出过S（2，2） 、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST 探究活动二： 数学兴趣小组继
32、续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要 直时，这两条直线的斜率之积是定值 如图 2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2） ，E（1，4） ，F（4，3） 请求出直线DE与直线DF的斜率 之积 综合应用 如图 3，M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2） ，N（4，5） ，请结合探究活动二的结论，求出 过点N的M的切线的解析式 8.（2019 甘肃中考）如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（1，n） 、B（2， 1）两点，与y轴相交于点C （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求ABD的面积； 16 （3）若M（x1，y1） 、N（x2，y2）是反比例函数y上的两点，当x1x20 时，比较y2与y1的大小关系