1、 1 第第 4 讲讲 分式及其运算分式及其运算 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 分式的概念及性质】分式的概念及性质】 1.分式的定义：形如A B(A，B 是整式，且 B 中含有字母，B0)的式子叫分式，其中 A 叫分子，B 叫分母 2最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3有理式：整式和分式统称为有理式 4 分式基本性质 a m b m a b， a m b m a b(m0) 5通分的关键是确定几个分式的最简公分母，约分的关键是确定分式的分子、分母的最大公因式 【考点【考点 2 分式的运算和化简】分式的运算和化简】 1. 同分母分式加减b a c a b c a . 2. 异分母分式加减
2、通过通分转化为同分母分式加减，即b a d c bc ad ac . 2.分式的乘除：b a d c bd ac， b a d c bc ad， a b n a n bn. 3分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇到括号，先算 括号里面的分式运算的结果要化成整式或最简分式 二、考点分析 【考点【考点 1 分式的概念及性质】分式的概念及性质】 【解题技巧】与分式有关的“五个条件”的字母表示： (1)分式A B无意义时，B0； (2)分式A B有意义时，B0； (3)分式A B的值为零时，A0 且 B0； (4)分式A B的值为正时，A，B 同号，即 A0，
3、 B 0或 A0， B 0或 A0， B 0. 【例 1】 （2019 河北沧州中考模拟）若分式 1 2 2 x x 的值为 0，则 x 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1 D.2 2 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 湖北黄石中考）若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 且 x2 Bx1 Cx1 且 x2 Dx1 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 河北石家庄中考模拟）要使分式 2 1 x x 有意义，则 x 的取值应满足（ ） Ax2 Bx-1 Cx=2 Dx=-1 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 福建厦门中考模拟）分式 3 3 x
4、x 的值为零，则 x 的值为（ ） A3 B-3 C3 D任意实数 【举一反三举一反三 1-4】（2019 河北唐山中考模拟） 设 x0， x， 则代数式的值是 （ ） A1 B C D 【考点【考点 2 分式的运算和化简】分式的运算和化简】 【解题技巧】分式化简求值题的一般步骤： (1)若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同 分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号； (2)若有除法运算的，将分式中除号( )后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“”变为“”，保证几个 分式之间除了“”“”就只有“”或“”，简称：除法变
5、乘法； (3)利用因式分解、约分进行分式乘法运算； (4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式； (5)将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义(即使原分式分母不为 0) 【例 2】 （2019 河北中考）如图，若 x 为正整数，则表示的值的点落在（ ）之间. A段 B段 C段 D段 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 山东济南中考模拟）化简 1 2 x x + x x 1 的结果是（ ） Ax+1 Bx-1 C-x Dx 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 河北沧州中考模拟）先化简，再求值： （+x2），其中|x|2 3 【举一反三举一反三 2-
6、3】 （2019 福建中考）先化简，再求值： （x1） （x） ，其中 x+1 三、【达标测试】 （一）（一）选择题选择题 1.（2019 山东德州中考模拟）如果将分式中 x，y 都扩大到原来的 2 倍，则分式的值（ ） A扩大到原来的 2 倍 B不变 C扩大到原来的 4 倍 D缩小到原来的 2.（2019 山东济南中考模拟）计算（x1） （1）x 的结果是（ ） Ax2 B1 Cx2 D1 3.（2019兰州中考）化简：（ ） Aa1 Ba+1 C D 4. （2019 河南郑州中考模拟） 已知 x 为整数， 且分式的值为整数， 满足条件的整数 x 的个数有 （ ） A1 个 B2 个 C3
7、 个 D4 个 5.（2019 山东青岛中考模拟）若 a+b5，则代数式（a） （）的值为（ ） A5 B5 C D 6.（2019 河北衡水中考模拟）若（a+）2与|b1|互为相反数，则的值为（ ） A B+1 C1 D1 7. （2019 山西太原中考模拟）化简 22 2 mn mmn 的结果是（ ） A 2 mn m B mn m C mn m D mn mn 8.（2019 河北衡水中考模拟）下列运算正确的是（ ） A a b a b11 B 22 2 2bababa C12 3 16 a a D22 2 （二）填空题 1.（2019武汉中考）计算的结果是 4 2.（2019 山东淄博
8、中考模拟）已知 请计算 y2019 （用含 x 的代数式表示） 3.（2019 山东济南中考模拟）先化简 2 3 1 x x 2 2 23 21 xx xx + 1 1x ，再在-1，0，1，3 中选择一个合适的 x 值 代入求值 4.（2019 辽宁葫芦岛中考模拟）若 3x4yz0，2x+y8z0，则的值为 5.（2019 河北沧州中考模拟）如果分式的值为正数，则 x 的取值范围是 6.（2019 河北唐山中考模拟）如果分式的值小于 3，则 x 的取值范围是 7.（2019 山东威海中考模拟）实数 a 满足丨 a 丨+a0，且 a1，那么 8.（2019 河北石家庄中考模拟）阅读以下材料：将
9、分母中的根号化去，叫做分母有理化分母有理化的方 法， 一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式， 使分母不含根号 例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于 x 的方程 3x+ 的解是 （三）解答题 1.（2019 广东中考）先化简，再求值： （），其中 x 2.（2019 陕西中考）化简： （+） 3.（2019 浙江杭州中考）化简：1 圆圆的解答如下： 14x2（x+2）（x24）x2+2x 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案 4.（2019成都中考）先化简，再求值： （1），其中 x+1 5.（2019青岛中考）化简： （2n） ； 5 6.（2019广州中考）已知 P（
10、ab） （1）化简 P； （2）若点（a，b）在一次函数 yx的图象上，求 P 的值 7.（2019 河北衡水中考模拟）阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题： 计算： （第一步） 12x（第二步） x1（第三步） 该同学在计算中，第一步用数学算理是 ； 上述计算过程是从第 步开始出现错误； 请你直接写出该分式正确的结果是 8.（2019 山东济南中考模拟）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 则称这个分式为“和谐分式”如：，则是“和谐分式” （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号） ； ； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： （要写出变形过程） ； （3）应用：先化简，并求 x 取什么整数时，该式的值为整数